Matemática

Conceitos, gráficos e raciocínio para compreender a matemática e resolver problemas, da escola aos vestibulares.

Conjuntos

Uma pesquisa disse que 102 jovens ouviam hip-hop, 83 ouviam reggae e 93 ouviam rock, e a prova do PAS perguntou quantos jovens havia. A soma dá 278, e a resposta certa era 205. Como se conta um grupo em que a mesma pessoa aparece em duas ou três listas? Conteúdo e materiais de estudo

Funções

A prova do PAS resumiu 22 anos de desmatamento do Cerrado numa fórmula, f(x) = x + 9,2, e não pediu conta nenhuma: pediu o domínio, a imagem e o que significa crescer. O que uma função sabe, e o que ela não sabe, sobre o fenômeno que descreve? Conteúdo e materiais de estudo

Função afim (função do 1.º grau)

Um aplicativo cobra R$ 4 de bandeirada mais R$ 3 por quilômetro; a prova do PAS contou 319 interações em 44 horas de observação e, supondo ritmo constante, chegou a I(t) = 7,25t. Que estrutura o preço da corrida e a contagem de peixes compartilham, e o que uma reta sabe dizer sobre ela? Conteúdo e materiais de estudo

Progressão aritmética (PA)

Arquibancadas de 25 filas em que cada fila tem 4 assentos a mais que a anterior; um templo reconstruído sete vezes com alturas que crescem sempre a mesma quantidade. Como chegar ao 25.º termo sem escrever os 24 anteriores, e como somar tudo em uma linha? Conteúdo e materiais de estudo

Função quadrática (função do 2.º grau)

Uma cerca de 16 metros, uma bola chutada para cima e o preço de um copo de açaí: por que a mesma curva responde onde fica o maior valor de cada um, e quanto ele vale? Conteúdo e materiais de estudo

Ângulos e polígonos

A seção de um templo asteca é um trapézio com 60° e 45° na base; quanto medem os ângulos do topo? Um piso fecha com hexágonos e não fecha com pentágonos; por quê? Como descobrir todos os ângulos de uma figura a partir de um só, quando se sabe onde estão as paralelas e quantos lados o polígono tem? Conteúdo e materiais de estudo

Construções geométricas

Um marceneiro marca o meio exato de uma tábua sem régua graduada; uma operadora escolhe o único ponto equidistante de três vilarejos para erguer uma torre. Como um traçado com régua sem marcas e compasso garante uma propriedade sem medir nada, e como "equidistante" vira uma reta que se pode desenhar? Conteúdo e materiais de estudo

Teorema de Tales e semelhança de triângulos

Uma vara de 2 m faz sombra de 0,8 m e, ao lado, a torre da caixa-d'água faz sombra de 7,2 m; um quadro de 8,80 m por 4,60 m vira uma reprodução de 22 cm de largura; um mapa 1:5 000 000 separa Natal do atol das Rocas por alguns centímetros. Como medir o que não se alcança usando só uma razão, e por que a área não obedece à mesma razão que o comprimento? Conteúdo e materiais de estudo

Teorema de Pitágoras e relações métricas no triângulo retângulo

Uma passarela avança 12 m e sobe 5 m; uma escada de 7,5 m tem o pé a 4,5 m da parede; uma TV "de 50 polegadas" tem quanto de largura? Como uma única relação entre três lados mede o que a régua não alcança, de onde ela vem e por que só vale onde há um ângulo reto? Conteúdo e materiais de estudo

Trigonometria no triângulo

A norma de acessibilidade diz que uma rampa não pode subir mais de 1 metro a cada 12 de avanço, e a prova do PAS transformou isso em três itens sem citar a palavra tangente. Como um ângulo vira uma razão entre dois comprimentos, e como essa razão devolve uma altura, uma distância ou um ângulo que ninguém pode medir diretamente? Conteúdo e materiais de estudo

Áreas de figuras planas

Uma sala em L, a seção de um templo em forma de trapézio, um losango dentro de um retângulo, um desmatamento numa malha de 100 m: nenhuma dessas figuras vem com fórmula pronta. Como calcular a superfície de qualquer figura decompondo-a em partes conhecidas, e por que dobrar o lado não dobra a área? Conteúdo e materiais de estudo

Função exponencial

Uma dívida a 12% ao mês, uma colônia de bactérias que dobra a cada hora e o carbono-14 de um osso antigo: por que a mesma curva descreve os três, e como prever quanto haverá, ou quanto restará, depois de n passos? Conteúdo e materiais de estudo

Progressão geométrica (PG)

Um mutirão que planta a cada dia o dobro de mudas do dia anterior; um tubarão cujos parasitas caem pela metade a cada sessão de limpeza. Como chegar ao 10.º termo sem escrever os nove anteriores, como somar dez termos ou infinitos termos em uma linha, e por que somar sempre perde de multiplicar? Conteúdo e materiais de estudo

Juros simples e compostos

Uma dívida de R$ 500 no rotativo do cartão a 12% ao mês vira R$ 1 220 ou R$ 1 948 em um ano? E por que 'duas vezes sem juros' com 10% de desconto à vista esconde um juro de 25% ao mês? Conteúdo e materiais de estudo

Logaritmos e função logarítmica

Uma quantia que dobra a cada ano leva quantos anos para virar mil vezes maior? Um som de 90 dB é quantas vezes mais intenso que um de 30 dB? Por que uma unidade de pH muda a acidez dez vezes? As três perguntas pedem o expoente, e o nome dele é logaritmo. Conteúdo e materiais de estudo

Ciclo trigonométrico

A prova do PAS disse que as pás de um helicóptero giram 600π radianos por minuto e perguntou quantos metros ele avança por rotação; em outro ano, deu cos(t² − 36t + 260) = 1 e pediu a temperatura. O que é, afinal, um radiano, e como um único círculo de raio 1 dá seno, cosseno e tangente de qualquer ângulo, de 0° a milhares de graus, negativos inclusive? Conteúdo e materiais de estudo

Funções trigonométricas

A prova do PAS 2 escreveu a intensidade de uma orquestra como 80 − 20·cos(πt/4), a posição de um pistão como (21/5)·sen(200πt) e o ar nos pulmões de um animal como a·sen(bt) + c, e em cada caso perguntou por um máximo, um período ou um instante. Como três ou quatro números escritos numa fórmula descrevem por completo tudo o que sobe e desce, e como se leem sem calculadora? Conteúdo e materiais de estudo

Geometria espacial

A prova descreve um tanque, um silo ou um tronco de árvore só com palavras, posiciona um plano e afirma qual figura aparece no corte; depois pede quanto metal, concreto ou papel reveste cada parte. Como enxergar a figura plana escondida dentro do sólido, ao cortar ou ao desenrolar, e medi-la sem ver o objeto? Conteúdo e materiais de estudo

Cônicas

A ponta de um lápis apontado, cortada por uma lâmina, mostra um círculo, um oval ou uma curva aberta conforme a inclinação do corte; a antena de Arecibo tem 305 m de boca e 51 m de fundo, e o receptor fica a 114 m do fundo; Netuno dá a volta no Sol numa curva que nem parece achatada. O que essas três situações têm em comum, e como se calcula onde fica o foco? Conteúdo e materiais de estudo

Poliedros

Uma bola de futebol tem 32 gomos, um cristal de granada tem 30 arestas e 20 vértices, um vírus tem casca de 20 triângulos: quantas costuras, quantas faces, quantos cantos cada um tem? Como contar os elementos de um sólido sem desenhá-lo, e por que só existem cinco poliedros regulares? Conteúdo e materiais de estudo

Geometria da esfera

Uma bola de basquete tem 24 cm de diâmetro: quanta borracha reveste a casca e quanto ar cabe dentro? A rota de um voo entre Brasília e Lisboa aparece no mapa como uma curva que sobe para o norte: por que o avião não vai em linha reta? E por que a Groenlândia parece maior que a África no mapa-múndi pendurado na parede, se a África tem catorze vezes a área dela? As três perguntas têm a mesma resposta: a geometria da esfera. Conteúdo e materiais de estudo

Volume de prismas e cilindros

Uma caixa-d'água de 1 000 litros é um cubo de 1 metro de lado; a lata de refrigerante tem 350 mL; a chuva de ontem foi de 30 milímetros. Como esses três números são o mesmo tipo de medida, como se passa de um para o outro sem errar por mil, e por que cortar o diâmetro de uma lata pela metade não deixa a lata com metade do refrigerante? Conteúdo e materiais de estudo

Princípio de Cavalieri

Um pão de forma inteiro e o mesmo pão com as fatias escorregadas para o lado têm a mesma quantidade de miolo; um vaso em forma de parábola não tem fórmula de volume em livro nenhum. Como se compara o volume de dois sólidos de formas diferentes sem calcular nenhum dos dois, o que exatamente precisa ser conferido para a comparação valer, e por que saber que dois sólidos têm o mesmo volume não diz nada sobre as suas fatias? Conteúdo e materiais de estudo

Volume de pirâmides e cones

Um funil cheio de água até a borda despeja só um terço do que despeja a lata cilíndrica de mesma boca e mesma altura, e a Pirâmide do Sol, com 225 metros de lado, guarda menos pedra do que parece. De onde vem exatamente o fator um terço, por que ele vale para qualquer base e para pirâmides tortas, por que cortar a ponta de um cone a meia altura tira só um oitavo do volume, e como se calcula o que sobra, o tronco, sem decorar fórmula nenhuma? Conteúdo e materiais de estudo

Volumes de sólidos compostos

Uma manilha de concreto, um silo com chapéu de cone, uma cápsula de remédio, um bloco de alumínio com um furo, uma caixa de laranjas: nenhum deles é um sólido só. Como se decide o que somar e o que subtrair, por que a parede de um tubo não é "área vezes espessura", quanto do cubo uma bola ocupa de verdade e o que o nível da água revela quando um objeto afunda? Conteúdo e materiais de estudo

Análise combinatória

A prova do PAS 2 de 2025 deu uma tabela com os 336 municípios do MATOPIBA, mandou escolher dois ao acaso e perguntou se havia mais de 50 000 maneiras de fazer isso; um ano antes, pediu para separar 3 pessoas entre 35 e 2 entre 5 e julgar se as maneiras eram menos de 6 000. Ninguém enumera 56 280 pares nem 65 450 seleções. Como se conta o que não dá para listar, e como se sabe quando trocar a ordem cria uma escolha nova ou repete a mesma? Conteúdo e materiais de estudo

Probabilidade

A prova do PAS 2 de 2024 descreveu um teste de vacina com 100 pessoas, 40 delas com sintomas, sorteou duas e perguntou se a chance de pelo menos uma ter sintomas ficava abaixo de 0,6; depois mandou preencher uma tabela com as chances de 0, 1 e 2 sintomáticos entre os dois sorteados e desenhar um gráfico de pizza. Um ano depois, mandou comparar a chance de dois municípios do MATOPIBA saírem "do Maranhão ou da Bahia" com a de saírem "do Tocantins ou do Piauí" e acabou anulando o item. O que é, afinal, a probabilidade de um evento, como se calcula quando os casos são contados e quando vêm de uma tabela, e por que um "ou" mal lido derruba a conta inteira? Conteúdo e materiais de estudo

Probabilidade condicional

A prova do PAS 2 de 2024 descreveu um teste de vacina com 100 pessoas, 50 vacinadas, 40 com sintomas (5 delas vacinadas), e afirmou que a probabilidade condicional P(A/B), com A = infectados e B = vacinados, valia 4/5; a resposta certa era 1/10. A prova do PAS 3 do mesmo ano deu que 89 % dos moradores de áreas urbanas e 72 % dos de áreas rurais têm celular e perguntou, de quem tem celular, qual a chance de morar na cidade. Por que uma informação nova muda a probabilidade, por que o denominador é o que muda, e como se inverte uma condicional sem nenhuma fórmula além de uma tabela de 1 000 pessoas? Conteúdo e materiais de estudo

Leitura de tabelas e gráficos

A prova do PAS 2 de 2025 imprimiu a tabela do MATOPIBA, com o Tocantins dono de 38% do território da região e a Bahia de 18%, e afirmou que a tabela permitia inferir que o Tocantins, como estado, é maior que a Bahia; a de 2010 deu uma tabela de percentuais de estudantes vítimas de bullying ao lado da população de cada capital e afirmou que Curitiba (35,2%) tinha proporcionalmente mais casos que Goiânia (31,2%), apesar de Goiânia ter mais casos em número; e a de 2018 pôs lado a lado dois gráficos de chuva com escalas diferentes, um até 35 mm e outro até 12 mm, e perguntou se um mês choveu menos de 20% do outro. Nenhum dos três exige fórmula nova. O que é preciso ler numa tabela ou num gráfico antes de fazer qualquer conta, e quais leituras a banca sabe que o candidato erra? Conteúdo e materiais de estudo

Média, moda e mediana

A prova do PAS 2 de 2025 deu a tabela do MATOPIBA (a Bahia com 18% do território e 30 municípios) e perguntou que área, "em média", cada município baiano ocupa; a de 2011 misturou 25 g de um material com 50 g de outro e pediu o percentual de urânio da mistura, em resposta numérica; no PAS 3, a banca deu a frota de veículos por 100 habitantes em treze anos, avisou que a média era 26,2 e afirmou que a mediana era superior a ela; e, com cinco vacinas em quantidades 16, 36, 17, 14 e 17, afirmou que a moda era 36 porque a Tembulax era a mais frequente. Quando um único número tem de falar por muitos, qual escolher, como calculá-lo e o que ele esconde? Conteúdo e materiais de estudo

Variância e desvio padrão

A prova do PAS 3 de 2018 deu quatro barras com o número de mulheres eleitas vereadoras (6,6; 6,5; 7,5 e 7,8 mil) e afirmou que o desvio padrão era inferior a 0,70; a de 2013 pediu, em resposta numérica, a variância de quatro barras da frota de veículos multiplicada por 100 (gabarito 135); a de 2023 falou em "variância amostral" e só fechava com o divisor n − 1; a de 2008 afirmou que três valores em progressão aritmética têm desvio padrão zero. Quanto os dados se afastam do centro, como medir esse afastamento com um número e o que ele permite concluir? Conteúdo e materiais de estudo

Plano cartesiano

A prova do PAS 3 de 2012 pôs um campo de futebol num sistema de eixos com a linha do gol sobre o eixo y, parou uma bola de 22 cm de diâmetro com o centro em (−3/25 m, 0 m) e perguntou se o juiz devia confirmar o gol; a de 2023 marcou quatro pontos sobre uma tela de Lasar Segall e afirmou que o quadrilátero tinha 36 unidades de área; a de 2015 deu os quatro vértices de um terreno e pediu a reta pelos pontos médios de dois lados. Em nenhum dos três há fórmula nova: há um par de números por ponto. Como transformar uma posição em dois números e, a partir deles, calcular tudo o que o desenho só sugere? Conteúdo e materiais de estudo

Equação da reta

O item D do PAS 3 de 2018 pôs o Rio Grande do Sul num plano em quilômetros, com Cachoeira do Sul na origem, e mandou esboçar a reta 8x − 21y = 1 600 dizendo por qual cidade ela passava; em 2019, o mapa do porto de Nova Iorque afirmou que, se um museu estivesse sobre a reta por duas ilhas, suas coordenadas satisfariam w/8 − z/15 = 13/60; em 2010, o espelho secundário do Hubble, inclinado 120° em relação ao eixo x e passando por (50, 0), teria equação y = −√3(x − 50). Três cenários, uma pergunta: que condição sobre x e y descreve uma reta inteira, e como se passa da equação ao desenho e do desenho à equação? Conteúdo e materiais de estudo

Posições relativas de retas

A prova do PAS 3 de 2025 pôs uma estrada de canavial sobre a reta 3x + 4y = 800, apresentou um segundo trajeto, 3y − 4x + 800 = 0, e afirmou que os dois eram paralelos; a de 2023 marcou O(0, 0), A(4, 3) e C(8, −3) sobre uma tela de Lasar Segall e afirmou que OA e OC eram perpendiculares; a de 2022 deu os quatro vértices de uma mesa desenhada em perspectiva e pediu a ordenada do ponto de fuga, onde dois lados prolongados se encontram. Nos três casos ninguém desenhou com régua: a resposta saiu de dois números por reta. Como decidir, só com as equações, se duas retas se cruzam, nunca se encontram ou são a mesma, e se o cruzamento é em ângulo reto? Conteúdo e materiais de estudo

Matrizes

A prova do PAS 2 de 2013 imprimiu uma tabela com os pacotes de café, arroz e açúcar que uma família comprou em janeiro, fevereiro e março, pôs os três preços numa coluna e afirmou que uma certa entrada do produto das duas tabelas, c₁₁ − c₃₁ = 20, era a diferença de gasto entre janeiro e março; a de 2008 deu as horas de uso de três aparelhos em três meses, o total mensal em kWh, e afirmou que o consumo por hora de cada aparelho saía da equação AX = B; a de 2022 imprimiu quatro produtos de matrizes e pediu qual deles traduzia três frases sobre uma comunidade de 300 pessoas. Em nenhum caso houve conta pesada: a pergunta era o que significa multiplicar uma tabela por outra. Por que uma tabela de números vira um objeto que se soma, se multiplica e resolve sistemas, e o que exatamente cada entrada do produto está dizendo? Conteúdo e materiais de estudo

Sistemas lineares

Uma loja cobra o mesmo por cada camisa e o mesmo por cada calça; Alberto pagou 160 reais por 3 camisas e 2 calças, e Junior, com 25 % de desconto em tudo, pagou 120 pelos mesmos 3 e 2. A prova do PAS 2 de 2020 afirmou que, com isso, é impossível descobrir o preço de qualquer das peças. Duas equações, duas incógnitas, e mesmo assim não dá? Quando um conjunto de frases numéricas determina as incógnitas, quando deixa infinitas respostas e quando se contradiz, e como se chega à resposta sem se perder quando há três letras? Conteúdo e materiais de estudo

Determinantes

A prova do PAS 3 de 2025 imprimiu a matriz 3×3 de um circuito elétrico e pediu, num item de resposta numérica, o determinante da matriz 2A. Quem calculou det A = 39 e dobrou marcou 78; a resposta certa era 312, oito vezes 39. Dois anos antes, a 2.ª etapa deu uma matriz 2×2 com temperaturas, fixou o determinante em −1/2 e afirmou que a incógnita era menor que 3 (era 3,75). O que é esse número que cada matriz quadrada carrega, por que ele mede área, decide se um sistema tem uma solução só e resolve o sistema por uma razão de determinantes, e por que dobrar a matriz o multiplica por 8? Conteúdo e materiais de estudo

Transformações no plano

Um editor de imagens tem cinco botões que mexem numa figura inteira: mover, espelhar, girar, redimensionar e inclinar. Por trás de cada botão há uma regra única aplicada a todos os pontos, e quatro dos cinco cabem em quatro números. Que números são esses, como se lê neles o que a figura vai sofrer (e em que sentido gira), por que aplicar dois botões em ordens diferentes dá figuras diferentes, e como um único número, o determinante, diz quanto a área mudou e se a figura virou do avesso? Conteúdo e materiais de estudo

Distâncias na geometria analítica

Em 2025, a prova do PAS 3 pôs um canavial sobre um plano em metros, chamou de r: 3x + 4y = 800 o eixo de uma estrada e afirmou que a distância mínima do ponto P(500, 30) até ela passava de 200 m; em 2015, deu os quatro vértices de um terreno e afirmou que a diagonal AC era maior que a BD, quando o desenho dizia o contrário da conta; em 2024, pediu em metros, vezes dez, a distância do ponto B(3, 0) ao segmento que liga A(−3, 0) a D(0, 12) na fachada do Itamaraty. Em todos, a pergunta é a mesma: qual é o menor caminho entre dois objetos do plano, e como calculá-lo só com os números das coordenadas? Conteúdo e materiais de estudo

Equação da circunferência

Vistos de satélite, os pivôs de irrigação de Cristalina, a 130 km de Brasília, são discos verdes quase perfeitos, alguns com 800 m de raio. Num mapa em coordenadas, cada pivô é um centro e um raio. Que equação descreve a borda molhada, e como decidir, sem desenhar, se uma estrada vicinal passa por dentro, apenas encosta ou fica de fora do círculo? Conteúdo e materiais de estudo

Números complexos

Um drone de entrega sai da base, voa 3 km para leste e 4 km para norte; o controlador escreve a posição como 3 + 4i e, para girar a rota 90° à esquerda, simplesmente multiplica esse número por i. Que número é esse que guarda um ponto inteiro do plano numa única letra, por que multiplicar por ele gira em vez de esticar, como se escreve a mesma posição como "5 km na direção de 53°", e por que as soluções de zⁿ = w se arrumam sozinhas nos vértices de um polígono regular? Conteúdo e materiais de estudo

Polinômios

A prova do PAS 3 de 2025 deu três expressões de uma fábrica de carros elétricos e perguntou se a produção do segundo ano cobria a demanda e se o total produzido era "sempre divisível" pela demanda; a de 2022 deu três números de desmatamento e afirmou qual seria o quarto. O que um polinômio é, como se avalia, divide e fatora, e o que ele consegue prever sem que ninguém resolva equação nenhuma? Conteúdo e materiais de estudo

Equações polinomiais

A prova do PAS 3 de 2025 deu a produção anual de dois modelos de carro elétrico por dois polinômios de grau 4 e perguntou quantos carros saíam no ano em que as produções coincidiam; a de 2014 deu uma cúbica com uma raiz real conhecida e uma raiz complexa e cobrou o coeficiente. Ninguém resolve uma equação de grau 3 ou 4 por fórmula no vestibular: o que os coeficientes já contam sobre as raízes, quantas raízes existem de fato e como uma raiz à mostra, uma substituição ou um par conjugado fecham a equação inteira? Conteúdo e materiais de estudo