Juros simples e compostos

Juros simples e compostos são dois modelos matemáticos de atualização de um capital. A diferença está na base de cálculo dos juros de cada período. Para compará-los, precisamos manter claros o capital inicial, a taxa, o número de períodos e a existência de pagamentos ou aportes. Os exemplos a seguir usam taxas hipotéticas fornecidas, sem custos adicionais nem movimentações intermediárias.

Capital, juros e montante

Chamamos de $C$ o capital inicial, de $J$ os juros acumulados e de $M$ o montante final. A relação básica é $M=C+J$. A taxa $i$ deve entrar na fórmula em representação decimal: 2% corresponde a 0,02, e não a 2.

O tempo $n$ precisa estar na unidade da taxa. Uma taxa mensal combina com número de meses; uma taxa anual combina com número de anos. Se o problema informa 18 meses e uma taxa anual, é necessário decidir qual regra de conversão o regime permite. Trocar a unidade não é simplesmente trocar o nome escrito ao lado do número.

Juros simples: incrementos constantes

No regime simples, cada período acrescenta $Ci$, sempre calculado sobre o capital inicial. Portanto, $J=Cin$ e $M=C(1+in)$. Se $C=2000$ e $i=0{,}02$ ao mês, o acréscimo mensal é 40. Depois de três meses, os juros são 120 e o montante é 2120.

A sequência de saldos ao fim de cada mês é 2040, 2080, 2120: uma PA de razão 40. Se incluirmos o instante inicial, começamos em 2000. A função do tempo é afim, com intercepto $C$ e coeficiente angular $Ci$. O gráfico não parte da origem, pois o capital já existe no instante zero.

Para descobrir uma taxa simples, isole a incógnita. Um capital de 5000 chega a 5600 após seis meses: $i=(5600/5000-1)/6=0{,}02$, ou 2% ao mês. A conferência é 100 de juros por mês, totalizando 600.

Juros compostos: fatores constantes

No regime composto, cada período multiplica o saldo por $1+i$. Sem aportes ou retiradas, $M=C(1+i)^n$. Com os mesmos 2000 a 2% ao mês durante três meses, $M=2000\cdot1{,}02^3=2122{,}416$, ou 2122,42 após arredondar o resultado final aos centavos. Os juros são 122,42, aproximadamente.

No primeiro mês, os dois regimes coincidem: ambos chegam a 2040. No segundo, os compostos calculam 2% sobre 2040 e chegam a 2080,80. O acréscimo passa de 40 para 40,80. Os saldos formam uma PG de razão 1,02, e não uma PA.

Para capital positivo, taxa positiva e número inteiro de períodos maior que um, o montante composto supera o simples quando as demais condições são iguais. Essa comparação depende dessas hipóteses. Não é uma afirmação universal sobre qualquer taxa, prazo fracionário ou contrato com movimentações.

Taxas proporcionais e equivalentes

Em juros simples, 2% ao mês durante 12 meses acumula 24% do capital inicial. Em juros compostos, o fator anual correspondente é $1{,}02^{12}$, aproximadamente 1,26824; a taxa efetiva anual é cerca de 26,824%. Multiplicar a taxa mensal por 12 não produz essa taxa composta equivalente.

Em geral, uma taxa efetiva $i$ por período equivale a $j=(1+i)^k-1$ em um intervalo de $k$ períodos. No sentido inverso, a taxa por subperíodo é $(1+j)^{1/k}-1$. Como verificação simples, 21% por dois períodos equivale a 10% por período, pois $1{,}1^2=1{,}21$.

A expressão “taxa nominal” exige conhecer a convenção e a frequência de capitalização informadas. Não extraia uma taxa efetiva apenas do número anunciado, sem a regra que o acompanha. Em exercícios, os dados devem tornar essa conversão determinada.

Tempo necessário e arredondamento

Se um capital dobra a juros compostos hipotéticos de 10% por período, resolvemos $1{,}1^n=2$. Com logaritmos, $n=\ln2/\ln1{,}1\approx7{,}27$. Se o saldo é atualizado apenas ao fim de períodos completos, o primeiro saldo pelo menos dobrado aparece após oito períodos: $1{,}1^7\approx1{,}9487$ e $1{,}1^8\approx2{,}1436$.

O resultado real 7,27 pressupõe estender o modelo exponencial entre os instantes de capitalização. Para juros simples na mesma taxa, dobrar exige $1+0{,}1n=2$, logo dez períodos. Indicar qual modelo está sendo usado é parte da resposta.

O que uma movimentação altera

Um aporte intermediário não rende pelo mesmo tempo do capital inicial. Em um modelo composto, cada parcela deve ser transportada pelo número de períodos em que permanece no saldo. Pagamentos exigem uma recorrência que subtraia os valores no instante correto. A fórmula de uma única parcela não descreve automaticamente esse fluxo.

A PG explica os fatores sucessivos; os logaritmos isolam o prazo quando ele aparece no expoente.