Função exponencial

Uma função exponencial relaciona a variável a um expoente. No modelo $f(x)=Ab^x$, a constante $A$ define o valor inicial e a base $b$ determina o fator de mudança a cada unidade de $x$. O modelo é apropriado quando intervalos iguais produzem a mesma variação proporcional, e não necessariamente a mesma variação absoluta.

Base, domínio e valor inicial

Para uma função exponencial real definida em todo $\mathbb{R}$, adotamos $b>0$ e $b\ne1$. Uma base negativa não permite calcular todos os expoentes reais; a base 1 produz uma função constante. Em modelos de quantidades positivas, normalmente $A>0$. Como $b^0=1$, temos $f(0)=A$.

Se $A>0$, a imagem é o conjunto dos reais positivos. A função não atinge zero, embora possa aproximar-se dele. Se $A<0$, a imagem é negativa e o sentido de variação se inverte. Se $A=0$, a função é constante nula. Essas condições evitam a generalização incorreta de que qualquer expressão com base maior que 1 necessariamente cresce.

Crescimento e decaimento no gráfico

Com $A>0$, a função é crescente para $b>1$ e decrescente para $0<b<1$. Em $f(x)=2^x$, os pontos de abscissas −1, 0, 1 e 2 têm ordenadas 1/2, 1, 2 e 4. Já $g(x)=(1/2)^x$ passa por 2, 1, 1/2 e 1/4 nessas mesmas abscissas. As duas curvas são reflexos em relação ao eixo vertical.

O eixo horizontal é uma assíntota: a curva se aproxima dele em uma direção, sem o tocar. Para $2^x$, isso ocorre quando $x$ diminui sem limite; para $(1/2)^x$, quando $x$ aumenta. A expressão “cresce rapidamente” é insuficiente para reconhecer o modelo. O teste algébrico é $f(x+1)/f(x)=b$, quando a razão está definida.

Percentual vira fator

Um aumento de 15% equivale a multiplicar por 1,15. Uma redução de 15% equivale a multiplicar por 0,85. Se uma quantidade inicial de 800 unidades diminui 25% a cada etapa, depois de três etapas restam $800\cdot0{,}75^3=337{,}5$ unidades no modelo.

Não subtraímos três vezes 25% do valor inicial: cada perda incide sobre o que restou. A conferência por etapas dá 800, 600, 450 e 337,5. Se a grandeza conta objetos indivisíveis, um resultado fracionário pode representar uma estimativa média; o enunciado precisa definir o tratamento de arredondamento.

Um aumento seguido de uma redução de mesmo percentual também não restaura o início. Aumentar 20% e depois reduzir 20% multiplica por $1{,}2\cdot0{,}8=0{,}96$: a perda líquida é 4%. O referencial da segunda porcentagem mudou.

Resolva equações e limiares

Para resolver $3^{2x-1}=27$, escreva $27=3^3$. A função exponencial é injetora, então $2x-1=3$ e $x=2$. Substituir confirma $3^3=27$. Quando não há uma base comum conveniente, os logaritmos permitem isolar o expoente.

Em um processo que começa em 5 e dobra a cada etapa, o primeiro valor estritamente maior que 100 ocorre na quinta etapa: $5\cdot2^4=80$ e $5\cdot2^5=160$. O tempo real obtido por uma equação não substitui automaticamente uma resposta inteira. Verifique se o problema pergunta quando o limite é atingido, ultrapassado ou observado após etapas completas.

Ao resolver desigualdades, a base decide o sentido. Para $2^x>2^3$, temos $x>3$. Para $(1/2)^x>(1/2)^3$, temos $x<3$, porque essa função é decrescente.

Discreto não é automaticamente contínuo

Uma população observada ao fim de cada dia pode seguir $P_n=P_0b^n$, uma PG. Estender a fórmula a tempos fracionários define uma interpolação exponencial; sua adequação entre observações é uma hipótese adicional. Outra escrita é $P(t)=P_0e^{kt}$, com $k=\ln b$ se a unidade temporal é a mesma. A taxa contínua $k$ não é igual à taxa efetiva $b-1$.

Meia-vida é o intervalo necessário para multiplicar a quantidade por 1/2. Se o intervalo é $T$, o modelo é $Q(t)=Q_0(1/2)^{t/T}$. Após três meias-vidas resta 1/8, ou 12,5%, da quantidade inicial. Esse cálculo ideal não afirma que processos reais permanecem exponenciais para sempre: recursos limitados e mudanças ambientais podem exigir outro modelo.

A progressão geométrica organiza observações discretas; os juros compostos aplicam a mesma estrutura a saldos em períodos definidos.