Progressão geométrica

Uma progressão geométrica, ou PG, descreve uma sequência obtida multiplicando cada termo pelo mesmo número. Ela aparece em duplicações sucessivas, reduções percentuais e decomposições geométricas. A primeira decisão é descobrir se a quantidade somada é constante ou se o fator multiplicativo é constante. Essa diferença separa a PG da progressão aritmética.

O que a razão realmente informa

Na sequência 3, 6, 12, 24, cada termo é o anterior multiplicado por 2. Assim, a razão é $q=2$. Na sequência 80, 40, 20, 10, a razão é $q=1/2$. Uma PG não precisa crescer: ela pode diminuir, permanecer constante ou alternar sinais. A definição recursiva é $a_{n+1}=q a_n$.

Quando o termo anterior não é zero, podemos calcular $q=a_{n+1}/a_n$. A condição importa: na sequência 5, 0, 0, 0, temos uma PG de razão zero, mas não podemos dividir zero por zero para recuperá-la. A sequência inteiramente nula satisfaz a recorrência com qualquer razão; os termos não determinam um único valor de $q$.

Para termos positivos, $q>1$ indica crescimento e $0<q<1$, decrescimento. Com primeiro termo negativo, essa classificação de crescimento se inverte. Já uma razão negativa produz alternância de sinais, salvo na sequência nula, e impede classificá-la como simplesmente crescente ou decrescente.

Termo geral: conte as multiplicações

Se a indexação começa em 1, vale $a_n=a_1q^{n-1}$. Entre o primeiro e o quinto termo existem quatro multiplicações. Considere $a_1=7$ e $q=3$: o quinto termo é $7\cdot3^4=567$. Usar expoente 5 daria o sexto termo.

A mesma sequência pode ser indexada a partir de zero: $b_k=7\cdot3^k$. Nesse caso, $b_0=7$ e $b_4=567$. As fórmulas representam os mesmos valores; muda o rótulo da posição. Para razão zero, mantenha explicitamente o primeiro termo e use a recorrência nos seguintes, evitando depender da expressão ambígua $0^0$.

Organizar as posições em uma pequena tabela ajuda a identificar quantos fatores separam os dados conhecidos. Conhecer dois termos também pode determinar a razão. Se $a_2=6$ e $a_5=162$, dividir as expressões dá $q^3=27$, portanto $q=3$ e $a_1=2$. Se o expoente obtido fosse par, seria necessário avaliar as duas possibilidades de sinal, conforme as condições do problema.

Soma finita: por que a fórmula funciona

Escreva $S_n=a_1+a_1q+\cdots+a_1q^{n-1}$. Multiplicar por $q$ desloca todos os termos. Subtraindo $S_n$ de $qS_n$, os termos intermediários se cancelam. Para $q\ne1$, resulta $S_n=a_1(q^n-1)/(q-1)$. A expressão equivalente $a_1(1-q^n)/(1-q)$ costuma ser mais confortável quando $0<q<1$.

Por exemplo, uma sequência de cinco parcelas começa em 4 e dobra a cada parcela. Sua soma é $4(2^5-1)/(2-1)=124$. A conferência direta é 4+8+16+32+64=124. O quinto termo vale 64, não 124: termo e acumulado são perguntas diferentes. Para $q=1$, todas as parcelas são iguais, logo $S_n=na_1$; a fórmula com denominador $q-1$ não pode ser usada.

Soma infinita: uma condição indispensável

Somar infinitos termos significa estudar o limite das somas parciais. Para uma PG não nula, esse limite é finito quando $|q|<1$, pois $q^n$ tende a zero. Nesse caso, $S_\infty=a_1/(1-q)$. A sequência 6, 3, 1,5, … tem soma infinita 12. Nenhuma soma parcial chega exatamente a 12, mas a diferença diminui a cada etapa.

Razões negativas também podem convergir: 6, −3, 1,5, −0,75, … tem $q=-1/2$ e soma 4. As somas parciais oscilam em torno do limite. Para $q=-1$, porém, 6−6+6−6… não converge: suas somas alternam entre 6 e 0. Não basta haver cancelamentos. A PG nula é uma exceção trivial, com soma zero independentemente da razão escolhida.

PG e curva exponencial

Para $q>0$, os termos podem ser vistos como pontos de uma curva exponencial, mas o domínio da sequência continua inteiro. O gráfico não afirma que existe um “termo 2,7”. Quando $q<0$, a sequência real existe normalmente, enquanto $q^x$ não define uma função real para todo número real $x$.

Compare agora a progressão aritmética com a função exponencial: a primeira preserva diferenças; a PG preserva fatores.