Progressão aritmética

Uma sequência de fileiras com duas cadeiras a mais que a anterior, depósitos mensais que aumentam sempre o mesmo valor e marcas igualmente espaçadas numa régua exemplificam uma progressão aritmética, ou PA. Em todos esses casos, a diferença entre termos consecutivos é constante.

A sequência $(7,11,15,19,\ldots)$ tem razão 4. O número 19 é um termo; 4 é sua posição nessa lista. Distinguir valor e posição é essencial: perguntar “quanto vale o vigésimo termo?” é diferente de perguntar “em qual posição aparece 83?”.

Reconhecer a razão

Se $r>0$, a PA é crescente; se $r<0$, decrescente; se $r=0$, constante. A razão não precisa ser inteira: $(1;1{,}5;2;2{,}5;\ldots)$ é uma PA de razão 0,5. Também não se exige que os termos sejam positivos.

Não basta verificar um único par se a lista contém outros termos. Em $(2,5,8,12)$, as duas primeiras diferenças valem 3, mas a última vale 4; portanto, a sequência inteira não é PA.

Termo geral: conte os passos

Partindo de $a_1$, somamos uma razão para chegar a $a_2$, duas para chegar a $a_3$ e $n-1$ para chegar a $a_n$. Assim,

$$a_n=a_1+(n-1)r.$$

Para $a_1=7$ e $r=4$, o vigésimo termo é $a_{20}=7+19\cdot4=83$. A forma equivalente $a_n=rn+(a_1-r)$ mostra que a PA é uma função afim avaliada apenas nas posições inteiras positivas.

Isso não significa que exista um “termo de posição 2,5” numa sequência usual. A reta ajuda a representar a tendência; a PA corresponde aos pontos com índices permitidos.

Se $a_3=14$ e $a_8=34$, então cinco passos somam 20: $r=(34-14)/(8-3)=4$. Retrocedendo dois passos, encontramos $a_1=6$. Substituir os dados no termo geral é uma conferência rápida.

Soma dos primeiros termos

Uma soma pede o total acumulado, não o último termo. Emparelhe o primeiro com o último, o segundo com o penúltimo e assim por diante: cada par tem a mesma soma. O resultado é

$$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}2.$$

A expressão funciona também para número ímpar de termos. Nesse caso, o termo central é a média dos extremos, e a interpretação por média continua válida: quantidade de termos multiplicada pelo valor médio.

Por exemplo, uma sala tem dez fileiras; a primeira possui 12 lugares e cada seguinte tem 2 a mais. A última tem $12+9\cdot2=30$ lugares. A capacidade total é $S_{10}=10(12+30)/2=210$ lugares. Responder 30 confundiria capacidade da última fileira com capacidade da sala.

Inserir termos e localizar valores

Inserir três meios aritméticos entre 4 e 20 cria cinco termos: os dois extremos e três internos. Há quatro intervalos, logo $r=(20-4)/4=4$. A sequência é $(4,8,12,16,20)$.

Para decidir se 100 pertence à PA $(7,11,15,\ldots)$, resolvemos $7+4(n-1)=100$. O resultado é $n=24{,}25$, que não é posição inteira. Portanto, 100 não aparece, apesar de estar entre termos da sequência.

Limiares e aplicações

Se uma pessoa guarda 20 reais na primeira semana e aumenta cada depósito em 5 reais, o depósito da semana $n$ é $a_n=20+5(n-1)$. Para encontrar a primeira semana com depósito de pelo menos 60 reais, resolvemos $20+5(n-1)\ge60$, obtendo $n\ge9$. A primeira é a nona.

Já a quantia total guardada exige $S_n$, supondo que não haja retiradas ou rendimentos. Uma regra de aumento percentual não gera, em geral, PA: multiplicar sempre por 1,05 é diferente de adicionar sempre 5.

Ao finalizar, confira um termo anterior e um posterior quando houver uma condição de “primeiro” ou “mínimo”. Verifique também se a razão, as unidades e o número de passos correspondem exatamente à descrição do problema.