Função afim

Uma mensalidade com valor fixo e cobrança por uso, uma distância percorrida a velocidade constante e um tanque que perde o mesmo volume a cada minuto têm uma estrutura comum: variações iguais na entrada produzem variações iguais na saída. A função afim transforma essa regularidade em fórmula, tabela e gráfico.

Seu modelo é $f(x)=ax+b$, com coeficientes reais. Nesta página, incluímos o caso $a=0$, que produz função constante; quando falamos de reta crescente ou decrescente e de raiz única, supomos $a\ne0$. Essa distinção evita aplicar uma divisão por $a$ quando ele é zero.

O que significam a e b?

Em $C(q)=3q+18$, interpretado como custo em reais de uma compra com entrega, 18 é a cobrança fixa e 3 é o custo por unidade. Comprar uma unidade adicional acrescenta 3 reais, independentemente da quantidade já comprada. A taxa tem unidade reais por unidade de produto.

Se $a>0$, a função é crescente; se $a<0$, decrescente. O valor de $b$ desloca a reta verticalmente, mas não altera sua taxa de variação. Uma função pode ser crescente e assumir valores negativos em parte do domínio.

Da tabela ou de dois pontos para a fórmula

Suponha que um serviço custe 28 reais para 2 unidades e 46 reais para 5 unidades. A taxa é $(46-28)/(5-2)=6$. Substituindo um ponto em $C(q)=6q+b$, encontramos $28=12+b$, então $b=16$.

A lei é $C(q)=6q+16$. Confira o segundo ponto: $C(5)=30+16=46$. Dois pontos distintos determinam a reta, mas observar apenas dois dados reais não prova que todo o fenômeno seja afim. A hipótese de taxa constante precisa vir do contexto ou ser avaliada com outras medições.

As diferenças entre saídas só podem ser comparadas diretamente quando os intervalos entre entradas são iguais. Aqui, o aumento de 12 corresponde a duas unidades e o de 18 a três: ambos representam taxa 6.

Do modelo para o gráfico

Marque dois pontos, como o intercepto $(0,b)$ e o ponto $(1,a+b)$, e trace a reta quando o domínio for real. Se a variável for quantidade inteira de produtos, represente apenas os pontos admissíveis. Uma linha contínua pode ajudar a visualizar a tendência, mas não torna possíveis quantidades fracionárias.

A inclinação visual depende também da escala dos eixos. A taxa deve ser calculada pelas coordenadas, não pela aparência de um ângulo na tela. Uma mudança de escala pode fazer a mesma reta parecer mais íngreme.

Raiz e estudo do sinal

Para $a\ne0$, a raiz é obtida impondo saída zero:

$$ax+b=0\quad\Rightarrow\quad x=-\frac ba.$$

Em $f(x)=2x-8$, a raiz é 4. A função é negativa para $x<4$ e positiva para $x>4$. Em $g(x)=-2x+8$, o sinal se inverte: positiva antes de 4, negativa depois.

Ao resolver $-2x+8>0$, obtemos $-2x>-8$. Dividir por um número negativo inverte a desigualdade, produzindo $x<4$. Um esboço do gráfico permite conferir o resultado sem depender apenas da manipulação algébrica.

Comparar dois planos

Considere os custos $A(q)=20+2q$ e $B(q)=8+5q$. Igualando, $20+2q=8+5q$, encontramos $q=4$. Nesse ponto, ambos custam 28 reais. Abaixo de 4 unidades, B custa menos; acima, A custa menos. A igualdade divide o domínio em regiões, mas a decisão final deve respeitar as quantidades permitidas.

Confira o alcance do modelo

Uma quantidade física não deve ficar negativa apenas porque a fórmula permite. Identifique a taxa e o valor inicial, escreva o domínio, confira pontos conhecidos e interprete o resultado. Se o problema pede custo, devolva reais; se pede o instante de esvaziamento, devolva tempo. A raiz é uma ferramenta, não a resposta automática para toda pergunta.