Equação da reta

Uma equação de reta é uma condição satisfeita por todos os seus pontos e somente por eles. Reconhecer essa ideia permite conferir soluções sem precisar reconstruir todo o desenho a cada alteração algébrica. O ponto $(2,5)$ pertence à reta $y=2x+1$ porque $5=2\cdot2+1$. Já $(2,4)$ não pertence. Substituir coordenadas oferece uma verificação simples e independente da aparência do gráfico.

Inclinação: uma razão entre variações

Para dois pontos distintos A e B com $x_A\ne x_B$, o coeficiente angular é $m=(y_B-y_A)/(x_B-x_A)$. Ele indica a variação de y para cada unidade de variação de x. A ordem dos pontos deve ser a mesma no numerador e no denominador; inverter ambos preserva o resultado.

Se $m>0$, a reta sobe da esquerda para a direita; se $m<0$, desce. Uma reta horizontal tem $m=0$, pois sua ordenada não varia. Uma reta vertical tem diferença horizontal nula e não possui coeficiente angular real definido. Dizer que sua inclinação é zero confunde dois casos opostos.

Em eixos espaciais com a mesma escala, $m$ pode ser relacionado à tangente do ângulo de inclinação. Em um gráfico com unidades distintas, como distância e tempo, o coeficiente angular carrega a razão entre essas unidades. Não interprete um ângulo desenhado sem observar a escala.

Um ponto e uma inclinação

Conhecidos um ponto $P_0=(x_0,y_0)$ e um coeficiente angular m, usamos $y-y_0=m(x-x_0)$. Essa forma expressa a mesma razão de variações para qualquer ponto da reta. É especialmente útil quando os dados incluem diretamente um ponto e uma direção não vertical.

Considere A=(1,2) e B=(4,8). Temos $m=(8-2)/(4-1)=2$. Usando A, obtemos $y-2=2(x-1)$, logo $y=2x$. A substituição de B confirma $8=2\cdot4$. Trocar o ponto de apoio por B produz $y-8=2(x-4)$, que se reduz à mesma equação.

Dois pontos distintos determinam uma única reta. Se os dois pontos informados forem iguais, a direção não estará determinada: infinitas retas passam por aquele ponto. Sempre confira essa condição antes de calcular uma razão.

Forma reduzida e interceptos

A forma reduzida é $y=mx+b$. O termo b é a ordenada da interseção com o eixo vertical, isto é, o ponto $(0,b)$. O coeficiente m não é a posição de uma interseção; ele descreve a variação.

Para encontrar onde $y=-2x+6$ cruza o eixo horizontal, faça $y=0$. Assim, $x=3$ e o intercepto é $(3,0)$. No eixo vertical, faça $x=0$, obtendo $(0,6)$. Confundir essas substituições troca os dois pontos.

Uma reta horizontal $y=5$ não intercepta o eixo horizontal. A reta $y=0$ coincide com esse eixo. Portanto, nem toda reta tem dois interceptos distintos, e a construção por interceptos precisa levar em conta esses casos especiais.

Forma geral: inclusive as verticais

A forma geral é $ax+by+c=0$, com a e b não simultaneamente nulos. Se $b\ne0$, isolamos y e obtemos $m=-a/b$ e intercepto vertical $-c/b$. Se $b=0$, então $a\ne0$ e a reta é vertical: $x=-c/a$.

Por exemplo, $3x+2y-12=0$ vira $y=-3x/2+6$. Já $2x-8=0$ descreve $x=4$, para qualquer y. Essa reta não pode ser escrita como uma função $y=f(x)$: a mesma abscissa 4 corresponde a infinitas ordenadas.

Multiplicar todos os coeficientes por uma constante não nula preserva a reta. Assim, $x-y+2=0$ e $3x-3y+6=0$ são duas equações do mesmo conjunto. Multiplicar apenas parte da equação, porém, muda a condição e geralmente muda a reta.

Dois pontos sem separar o caso vertical

Uma expressão que evita dividir por $x_B-x_A$ é $(y_B-y_A)(x-x_A)-(x_B-x_A)(y-y_A)=0$. Com A e B distintos, ela representa a reta por ambos. Para A=(3,1) e B=(3,7), resulta $6(x-3)=0$, ou $x=3$.

Outra descrição usa um parâmetro real t: $(x,y)=(x_A,y_A)+t(u,v)$, com vetor direção $(u,v)\ne(0,0)$. Tomar $(u,v)=B-A$ produz a reta inteira. Restringir $0\le t\le1$ produz apenas o segmento AB; a equação paramétrica deve trazer o domínio correspondente ao objeto desejado.

As posições relativas de retas usam essas formas para decidir paralelismo, coincidência e perpendicularidade.