Posições relativas de retas

Duas retas de um mesmo plano podem ter um ponto comum, nenhum ponto comum ou todos os pontos em comum. Essas possibilidades correspondem a retas concorrentes, paralelas distintas e coincidentes. A classificação considera as retas inteiras, mesmo quando o desenho mostra apenas pequenos trechos. Retas perpendiculares são um caso particular de concorrentes: encontram-se formando ângulos retos.

Comece pela forma das equações

Para retas não verticais escritas como $y=m_1x+b_1$ e $y=m_2x+b_2$, coeficientes angulares diferentes garantem exatamente uma interseção. Se os coeficientes angulares são iguais e os interceptos diferentes, as retas são paralelas distintas. Se os dois coeficientes coincidem, as equações representam a mesma reta.

Assim, $y=2x+1$ e $y=2x-4$ não se encontram. Já $y=2x+1$ e $2y=4x+2$ são coincidentes. Comparar apenas os números que aparecem visualmente nas equações não resolve a classificação: primeiro coloque-os em posições equivalentes.

Adotaremos “paralelas distintas” para as retas sem interseção, separando-as explicitamente das coincidentes. Algumas convenções incluem coincidência em uma noção ampla de paralelismo; explicitar a classificação evita ambiguidade na resposta.

O caso vertical não usa inclinação

As retas $x=3$ e $x=-1$ são verticais e paralelas distintas. As equações $x=3$ e $2x=6$ representam a mesma vertical. Nenhuma delas possui coeficiente angular real, por isso não se deve tentar comparar valores infinitos como se fossem números comuns.

Uma vertical e uma reta não vertical sempre se encontram no plano. Para cruzar $x=3$ com $y=2x+1$, substitua x e obtenha y=7: o ponto de encontro é (3,7). Uma vertical e uma horizontal são perpendiculares; por exemplo, $x=3$ e $y=7$.

Perpendicularidade exige mais que sinais opostos

Quando ambas as inclinações estão definidas, as retas são perpendiculares exatamente quando $m_1m_2=-1$, em um sistema ortogonal com a mesma escala métrica nos eixos. Se uma tem $m=2$, a perpendicular possui $m=-1/2$. Inverter e trocar o sinal são operações necessárias.

Por exemplo, $r:2x-y+1=0$ tem inclinação 2, enquanto $s:x+2y-8=0$ tem inclinação −1/2. O produto é −1, logo são perpendiculares. Substituindo $y=2x+1$ na segunda, encontramos $5x-6=0$, portanto $x=6/5$ e $y=17/5$.

A conferência nas duas formas gerais dá zero: $2(6/5)-17/5+1=0$ e $6/5+2(17/5)-8=0$. Uma reta com inclinação −2 teria sinal oposto à primeira, mas o produto seria −4; não seria perpendicular a ela.

Coeficientes gerais: um teste que inclui verticais

Considere $r:a_1x+b_1y+c_1=0$ e $s:a_2x+b_2y+c_2=0$, com cada par $(a_i,b_i)$ não nulo. Se $D=a_1b_2-a_2b_1\ne0$, o sistema tem uma única solução e as retas são concorrentes.

Se $D=0$, os pares de coeficientes de x e y são proporcionais. Para haver coincidência, os três coeficientes devem ser proporcionais pelo mesmo fator não nulo. Caso contrário, são paralelas distintas. Essa formulação evita quocientes como $a_1/a_2$ quando algum coeficiente é zero.

O teste de perpendicularidade na forma geral é $a_1a_2+b_1b_2=0$. Ele compara os vetores normais das retas e também inclui o par vertical-horizontal. Para $x-3=0$ e $y-7=0$, os pares normais são (1,0) e (0,1), cujo produto escalar é zero.

Sistemas e quantidade de soluções

Resolver as duas equações simultaneamente transforma a posição relativa em uma pergunta algébrica. Se a eliminação produz uma igualdade impossível, como $0=5$, não existe ponto comum. Se uma equação desaparece e sobra a outra, há infinitas soluções sobre a mesma reta.

Por exemplo, $x+y=4$ e $2x+2y=10$ não têm solução: dobrar a primeira daria $2x+2y=8$. A direção é a mesma, mas os termos independentes não obedecem à mesma proporção. Trocar o 10 por 8 tornaria o sistema dependente e as retas coincidentes.

Construa uma reta com posição desejada

Para passar por P=(2,1) paralelamente a $y=3x-5$, mantenha m=3 e use $y-1=3(x-2)$. Nesse caso, a equação resultante é justamente $y=3x-5$: P já estava na reta dada. Não se obteve uma paralela distinta. Verificar o ponto antes evita prometer um objeto impossível sob a exigência de distinção.

Retome a equação da reta para converter formas e as distâncias para medir a separação entre paralelas.