Plano cartesiano

O plano cartesiano permite representar posições por pares ordenados. Em vez de descrever um ponto como “mais à direita e um pouco acima”, indicamos duas coordenadas em relação a eixos definidos. Essa representação liga figuras a cálculos e permite verificar propriedades que um desenho apenas sugere.

Eixos, origem e par ordenado

No sistema cartesiano ortogonal usual, os eixos horizontal e vertical são perpendiculares e se cruzam na origem $O=(0,0)$. A coordenada $x$, chamada abscissa, localiza a projeção horizontal; a coordenada $y$, chamada ordenada, localiza a projeção vertical. Escrevemos primeiro a abscissa: $P=(x,y)$.

O ponto $P=(3,-2)$ fica três unidades à direita da origem e duas abaixo dela. Já $Q=(-2,3)$ fica duas à esquerda e três acima. Trocar a ordem das coordenadas geralmente muda o ponto. A ordem só é indiferente quando as duas coordenadas são iguais.

Um ponto não precisa ter coordenadas inteiras. Frações, números decimais e irracionais também localizam posições. A malha quadriculada é um auxílio visual, não uma restrição que obrigue todos os pontos a ocupar cruzamentos de linhas desenhadas.

Quadrantes e pontos sobre os eixos

Os eixos dividem o plano em quatro quadrantes. No primeiro, $x>0$ e $y>0$; no segundo, $x<0$ e $y>0$; no terceiro, ambas são negativas; no quarto, $x>0$ e $y<0$. A numeração percorre o plano no sentido anti-horário a partir da região superior direita.

Pontos sobre os eixos não pertencem aos quadrantes. No eixo horizontal, a ordenada é zero; no vertical, a abscissa é zero. Portanto, $(0,-4)$ pertence ao eixo vertical, e não ao terceiro ou ao quarto quadrante. A origem pertence aos dois eixos.

Para interpretar sinais, use a orientação indicada. Um mapa pode escolher norte como sentido positivo vertical e leste como positivo horizontal. Essa convenção precisa estar definida; coordenadas negativas não significam distâncias negativas, mas posições em um sentido oposto ao positivo escolhido.

Escalas e unidades fazem parte da leitura

Se cada unidade nos eixos representa 100 metros, o ponto $(3,2)$ corresponde a deslocamentos de 300 metros e 200 metros desde a origem. As coordenadas e as distâncias físicas não podem ser misturadas sem conversão. Em um gráfico de grandezas, os eixos podem até representar unidades diferentes, como tempo e temperatura.

Para medir comprimentos euclidianos e interpretar ângulos geometricamente, usamos eixos espaciais ortogonais com a mesma unidade e escala métrica. Um desenho esticado na horizontal pode preservar coordenadas escritas e ainda distorcer a aparência de uma perpendicular. Conferir as equações é mais seguro que confiar apenas no ângulo visual.

Deslocamento entre posições

Se $A=(-2,1)$ e $B=(4,5)$, o deslocamento de A até B tem componentes $\Delta x=4-(-2)=6$ e $\Delta y=5-1=4$. No sentido inverso, as componentes são −6 e −4. Elas indicam direção e variação; não são, isoladamente, o comprimento do segmento.

Transladar todos os pontos por um mesmo par $(u,v)$ transforma $(x,y)$ em $(x+u,y+v)$. Se deslocamos A e B por $(3,-1)$, obtemos $A'=(1,0)$ e $B'=(7,4)$. As diferenças continuam 6 e 4, mostrando que a translação preserva a posição relativa entre os pontos.

Ponto médio e simetria

O ponto médio do segmento de A até B é $M=((x_A+x_B)/2,(y_A+y_B)/2)$. Para os pontos anteriores, $M=(1,3)$. Da primeira extremidade até M, as componentes são 3 e 2; de M até a segunda, são novamente 3 e 2. Essa conferência mostra que M divide o segmento em duas partes iguais.

Se conhecemos A e M, recuperamos B por $x_B=2x_M-x_A$ e $y_B=2y_M-y_A$. O ponto médio não é obtido calculando metade da diferença sem recolocar a origem do segmento: isso fornece um deslocamento, não a posição final.

Refletir $(x,y)$ no eixo horizontal produz $(x,-y)$; no vertical, $(-x,y)$; na origem, $(-x,-y)$. Na reta $y=x$, a reflexão troca as coordenadas. Essas transformações são úteis para conferir simetrias antes de calcular equações.

Alinhamento sem divisão por zero

Três pontos A, B e C estão alinhados quando $(x_B-x_A)(y_C-y_A)-(y_B-y_A)(x_C-x_A)=0$. A expressão compara as direções sem dividir pelas diferenças horizontais, funcionando também para retas verticais. Com A e B distintos, ela testa se C pertence à reta determinada por ambos.

A equação da reta descreve conjuntos de pontos alinhados; as distâncias na geometria analítica transformam diferenças de coordenadas em comprimentos.