Funções

Uma função descreve uma correspondência: dada uma entrada permitida, ela fornece uma única saída. A temperatura medida ao longo do dia, o custo de uma compra conforme a quantidade e a área de um quadrado em função do lado podem ser estudados dessa maneira. A fórmula é uma representação possível, mas uma tabela ou um gráfico também pode definir uma função.

O primeiro cuidado é identificar o significado das variáveis. Em $C(q)=4q+10$, por exemplo, $q$ pode ser uma quantidade comprada e $C$ um custo em reais. Sem essa informação, sabemos calcular; com ela, podemos decidir quais cálculos fazem sentido.

A definição exige existência e unicidade

Se uma entrada não recebe saída, a correspondência não define função nesse domínio. Se uma mesma entrada recebe duas saídas diferentes, também não define. Entradas diferentes, entretanto, podem ter a mesma saída. Dois quadrados com lados de sinais opostos não fazem sentido geométrico, mas a função algébrica $f(x)=x^2$ no domínio real envia 2 e −2 à mesma saída 4 sem violar a definição.

O símbolo $f(x)$ significa “valor da função na entrada $x$”; não representa o produto de $f$ por $x$. Para calcular $f(3)$ em $f(x)=2x-1$, substituímos a variável por 3: $f(3)=5$.

Domínio, contradomínio e imagem

A imagem reúne somente as saídas efetivamente atingidas. Considere $f:\{-2,-1,0,1,2\}\to\mathbb R$, dada por $f(x)=x^2$. O domínio contém cinco números, o contradomínio é real e a imagem é $\{0,1,4\}$.

Mudar o domínio pode mudar a imagem mesmo sem alterar a fórmula. Para $f(x)=x^2$ com domínio $[1,3]$, a imagem é $[1,9]$. Com domínio $\{1,2,3\}$, ela é $\{1,4,9\}$. Números “entre” 1 e 9 não são necessariamente atingidos quando as entradas são discretas.

Como descobrir o domínio permitido

Há restrições algébricas e restrições do contexto. Em $g(x)=1/(x-2)$, devemos excluir 2 para evitar divisão por zero. Em $h(x)=\sqrt{x-3}$, trabalhando com saídas reais, precisamos de $x\ge3$.

Na venda de ingressos, a quantidade é inteira e não negativa. A fórmula de receita pode aceitar números fracionários, mas o modelo não permite vender 2,7 ingressos. Em medições realizadas apenas em cinco dias, o domínio pode ser uma lista de datas, e ligar os pontos do gráfico introduz uma hipótese sobre o que aconteceu entre elas.

O que observar num gráfico

Cada ponto $(x,y)$ representa $y=f(x)$. Uma reta vertical não pode encontrar o gráfico em dois pontos diferentes, porque isso daria duas saídas para a mesma entrada. Esse teste depende de considerar o gráfico completo da relação, e não apenas um trecho escolhido.

As interseções com o eixo horizontal indicam zeros, isto é, entradas em que $f(x)=0$. A interseção com o eixo vertical, quando 0 pertence ao domínio, mostra $f(0)$. Não confunda zero da função, que é uma entrada, com valor inicial, que é uma saída.

Uma função é crescente num intervalo quando entradas maiores produzem saídas maiores; decrescente quando produzem saídas menores. Ser crescente não significa ser positiva: $f(x)=x-10$ cresce mesmo onde seus valores são negativos. Uma mesma função pode crescer em um intervalo e decrescer em outro.

Ler o significado da saída

Se uma função mede a porcentagem de um grupo, crescimento da função significa aumento da participação desse grupo, não necessariamente aumento de sua quantidade absoluta. Uma participação de 20% em 100 pessoas corresponde a 20; uma participação de 30% em 50 corresponde a 15.

Ao resolver um problema, escreva o que entra, o que sai e em quais unidades. Confira domínio e imagem, leia a representação disponível e só então calcule. A resposta deve devolver o significado: custo, tempo, quantidade, altura ou outra grandeza definida pelo modelo.