Sistemas lineares

Resolver um sistema linear é encontrar valores que satisfazem todas as equações ao mesmo tempo. A quantidade de equações não garante a quantidade de informações independentes: duas frases algébricas podem repetir a mesma restrição ou contradizer uma à outra. Por isso, montar o sistema, transformar suas equações e verificar a solução são etapas diferentes de um mesmo raciocínio.

O que torna uma equação linear

Uma equação linear nas incógnitas x, y e z tem forma $ax+by+cz=d$, com coeficientes e termo independente conhecidos. Coeficientes negativos e frações não prejudicam a linearidade. Termos como $xy$, $x^2$ e $1/y$ não pertencem a essa forma.

Defina as incógnitas com unidades antes de montar o modelo. Se x e y representam preços unitários em reais, uma compra de dois itens do primeiro tipo e três do segundo, por 31 reais, produz $2x+3y=31$. Os coeficientes contam itens; os produtos representam valores monetários. Ao final, o contexto pode exigir preços positivos ou quantidades inteiras, mesmo que o sistema seja resolvido inicialmente nos reais.

Uma matriz organiza as equações

Na forma $AX=B$, A contém os coeficientes, X é a coluna das incógnitas e B contém os termos independentes. Fixe uma ordem, como x, y, z, e mantenha-a em todas as linhas. Uma incógnita ausente entra com coeficiente zero.

A matriz ampliada $[A\mid B]$ junta coeficientes e termos independentes para o escalonamento. A barra separa funções diferentes: a última coluna não representa uma incógnita adicional. Todas as operações em uma linha precisam atingir também seu termo independente.

Operações que preservam soluções

Podemos trocar duas equações, multiplicar uma equação por um número não nulo e somar a uma equação um múltiplo de outra, mantendo essa outra equação. Cada operação pode ser desfeita, e por isso conserva o conjunto de soluções.

A palavra “combinação” exige cuidado. Trocar simultaneamente duas equações pela soma delas repetida duas vezes pode perder informação. Acrescentar uma equação que é consequência das existentes não altera as soluções, mas substituir todo o sistema por uma única consequência geralmente altera. O escalonamento utiliza operações elementares reversíveis, não qualquer alteração de aparência conveniente.

Um sistema três por três, passo a passo

Considere $x+y+z=6$, $2x+y-z=1$ e $x-y+2z=5$. Subtraia duas vezes a primeira equação da segunda: surge $-y-3z=-11$. Subtraia a primeira da terceira: surge $-2y+z=-1$. A primeira equação permanece.

Agora subtraia duas vezes a nova segunda equação da nova terceira. O resultado é $7z=21$, portanto z=3. Voltando à segunda, $-y-9=-11$ dá y=2. Voltando à primeira, $x+2+3=6$ dá x=1.

Confira no sistema original: $1+2+3=6$, $2+2-3=1$ e $1-2+6=5$. Essa substituição testa a resposta independentemente do caminho das operações. As três equações escalonadas apresentam três pivôs, isto é, três posições líderes não nulas que permitem determinar as três incógnitas.

Possível, impossível e indeterminado

Nos reais, um sistema linear tem solução única, infinitas soluções ou nenhuma solução. Chamamos esses casos de possível determinado (SPD), possível indeterminado (SPI) e impossível (SI), respectivamente.

Uma linha $0=5$ é uma contradição: o sistema é impossível. Já uma linha $0=0$ não impõe restrição, mas sua presença sozinha não basta para concluir que há infinitas soluções. Ainda é necessário contar os pivôs nas outras linhas e procurar contradições.

No sistema $x+y=2$ e $2x+2y=4$, a segunda linha se reduz a zero. Há uma incógnita livre: escolhendo y=t, temos x=2−t, com t real. Se o segundo termo independente fosse 5, surgiria $0=1$, sem solução. Geometricamente, os primeiros pares de equações representam retas coincidentes; os segundos, paralelas distintas. Duas retas concorrentes fornecem um único ponto comum, inclusive quando uma delas é vertical.

Duas compras, mas apenas uma informação

Uma loja vende camisas por c reais e calças por p reais, com preços positivos. Um cliente compra três camisas e duas calças por 160 reais. Outro compra as mesmas quantidades com desconto de 25% em todos os itens e paga 120 reais. As equações são

$$3c+2p=160,\qquad 2{,}25c+1{,}5p=120.$$

A segunda é exatamente 0,75 vez a primeira, inclusive no termo independente. Subtraindo esse múltiplo, sobra $0=0$. Não é possível identificar cada preço: c=20 e p=50 satisfazem as compras, mas c=40 e p=20 também. Em ambos os casos os preços são positivos e diferentes. A restrição comercial, portanto, não elimina a indeterminação.

O desconto só acrescenta informação independente se modificar a proporção dos coeficientes. Mantendo o pagamento de 120 reais, suponha agora desconto de 50% nas camisas e de 10% nas calças. A segunda equação passa a ser $1{,}5c+1{,}8p=120$. Subtraindo metade da primeira, obtemos $0{,}8p=40$: p=50 e c=20. A conferência dá $3\cdot10+2\cdot45=120$. O que permite separar os preços é a nova relação entre os produtos, não o simples fato de haver dois recibos.

Posto, consistência e determinante

O posto é o número de pivôs, ou de linhas independentes, após escalonamento. Um sistema é consistente quando $\operatorname{posto}(A)=\operatorname{posto}([A\mid B])$. Se esse valor comum é igual ao número n de incógnitas, a solução é única; se é menor, existem $n-\operatorname{posto}(A)$ variáveis livres e infinitas soluções reais.

Em um sistema quadrado, $\det A\ne0$ garante posto n e solução única. Determinante zero permite tanto SI quanto SPI: analise B também. Em sistemas retangulares, o escalonamento continua funcionando, mesmo sem determinante principal.