Matrizes

Uma matriz organiza números em linhas e colunas, mas sua utilidade vai além de guardar uma tabela. Ela permite combinar informações mantendo o significado de cada posição: quantidades e preços, coeficientes e incógnitas, coordenadas e transformações. Antes de calcular, decida o que cada linha e cada coluna representam. Uma multiplicação numericamente correta pode responder à pergunta errada se essas categorias forem trocadas.

Endereços, ordem e igualdade

Uma matriz $A=(a_{ij})$ de ordem $m\times n$ tem m linhas e n colunas. O primeiro índice indica a linha; o segundo, a coluna. Assim, $a_{23}$ está na segunda linha e terceira coluna. Uma matriz com duas linhas e três colunas tem seis entradas, mas sua ordem é $2\times3$, não seis.

Duas matrizes são iguais quando têm a mesma ordem e entradas correspondentes iguais. Uma matriz linha tem uma linha; uma matriz coluna, uma coluna. A matriz quadrada tem o mesmo número de linhas e colunas. A diagonal principal reúne as entradas $a_{ii}$, até o menor dos números de linhas e colunas. Na matriz quadrada de ordem n, ela vai de $a_{11}$ até $a_{nn}$.

Somar, subtrair e multiplicar por um número

A soma e a subtração exigem a mesma ordem. Cada entrada do resultado usa as entradas de mesmo endereço dos dois fatores. Se duas tabelas registram vendas dos mesmos produtos nos mesmos locais, somá-las pode fornecer o total de dois períodos. Se a ordem das categorias mudou, primeiro reorganize os dados.

Multiplicar A por um escalar k significa multiplicar todas as suas entradas por k. Para uma tabela de preços, o fator 1,08 representa aumento uniforme de 8%. Esse produto por escalar é diferente do produto entre duas matrizes: naquele, não há combinação de linhas com colunas.

A matriz nula tem todas as entradas iguais a zero. Ela é o elemento neutro da soma para a ordem considerada. A matriz oposta $-A$ satisfaz $A+(-A)=0$.

Produto: linha encontra coluna

O produto $AB$ existe se o número de colunas de A coincide com o número de linhas de B. Se A tem ordem $m\times n$ e B tem ordem $n\times p$, o resultado tem ordem $m\times p$. Sua entrada é $c_{ij}=\sum_{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}$.

Isso significa multiplicar entradas correspondentes da linha i de A e da coluna j de B, depois somar. O índice k percorre a dimensão compartilhada; i e j identificam o endereço do resultado. Não se multiplica simplesmente cada entrada pela que ocupa a mesma posição na outra matriz.

Considere duas lojas que encomendaram dois produtos. As linhas de A são $(2,3)$ e $(4,1)$, e os preços unitários formam a coluna B com entradas 5 e 8 reais. O produto AB é a coluna com entradas $2\cdot5+3\cdot8=34$ e $4\cdot5+1\cdot8=28$. São os gastos de cada loja, em reais. A soma 62 confere com o total de seis unidades do primeiro produto e quatro do segundo: $6\cdot5+4\cdot8=62$.

A ordem muda o resultado

O produto não é comutativo em geral. Tome A com linhas $(1,1)$ e $(0,1)$, e B com linhas $(1,0)$ e $(0,2)$. AB tem linhas $(1,2)$ e $(0,2)$; BA tem linhas $(1,1)$ e $(0,2)$. Ambos existem, mas não são iguais.

Também pode ocorrer que somente uma ordem seja possível. Uma matriz $2\times3$ pode multiplicar uma $3\times1$; a ordem inversa não permite o produto. Já matrizes $2\times3$ e $3\times2$ produzem AB de ordem $2\times2$ e BA de ordem $3\times3$.

Quando os produtos são definidos, valem associatividade e distributividade. Mudar os parênteses não autoriza trocar a ordem dos fatores. Essa distinção será essencial em transformações no plano.

Transposta, identidade e inversa

A transposta $A^T$ troca linhas por colunas. Sua ordem passa de $m\times n$ para $n\times m$. Uma matriz quadrada é simétrica quando $A^T=A$, isto é, $a_{ij}=a_{ji}$. Uma matriz quadrada é simétrica quando $A^T=A$, isto é, $a_{ij}=a_{ji}$: as entradas espelhadas em relação à diagonal principal são iguais. Uma propriedade útil é $(AB)^T=B^TA^T$: transpor um produto inverte a ordem dos fatores.

A identidade $I_n$ tem entradas 1 na diagonal principal e zero nas demais. Para A de ordem $m\times n$, $I_mA=A=AI_n$. Uma matriz quadrada é inversível quando existe $A^{-1}$ com $AA^{-1}=A^{-1}A=I$. Nem toda matriz quadrada possui inversa; determinantes ajudam a decidir isso.