Transformações no plano

Uma transformação do plano associa cada ponto a uma nova posição. Matrizes permitem descrever certas transformações com uma regra única para todos os pontos: girar, refletir, alongar, projetar. A conta com coordenadas, em uma base explicitamente escolhida, revela o movimento, enquanto a geometria ajuda a conferir sinais, distâncias e a ordem das operações.

A matriz atua em vetores coluna

Adotaremos eixos cartesianos usuais: x cresce para a direita, y para cima, e os pontos são representados por vetores coluna. Se a matriz A tem linhas $(a,b)$ e $(c,d)$, sua ação é $T(x,y)=(ax+by,cx+dy)$.

As colunas informam as imagens dos vetores básicos: $(1,0)$ vai para $(a,c)$; $(0,1)$ vai para $(b,d)$. Conhecer essas duas imagens determina toda a transformação linear, pois qualquer vetor é uma combinação desses vetores básicos.

Toda transformação dessa forma mantém a origem fixa e preserva somas e multiplicações por escalares. Uma translação não nula, como $(x,y)\mapsto(x+3,y-2)$, não pode ser representada apenas por uma matriz $2\times2$ aplicada a $(x,y)$. Ela é uma transformação afim, escrita $T(v)=Av+b$, com uma coluna de deslocamento b.

Rotações e convenção de sinal

O giro de ângulo $\theta$ em torno da origem é dado por $R(\theta)$, com primeira linha $(\cos\theta,-\sin\theta)$ e segunda $(\sin\theta,\cos\theta)$. Ângulos positivos indicam sentido anti-horário; negativos, horário. A convenção depende dos eixos adotados, por isso merece atenção em imagens digitais que medem y para baixo.

Para $\theta=90^\circ$, a regra é $(x,y)\mapsto(-y,x)$. Para $-90^\circ$, é $(x,y)\mapsto(y,-x)$. Um ponto P=(1,3), girado 90° no sentido horário, chega a Q=(3,−1). Ambos têm distância $\sqrt{10}$ à origem. O ponto (3,1) chega a (1,−3); o segmento entre os dois pontos também gira, mantendo seu comprimento.

O diagrama mostra esses dois segmentos com a mesma escala nos eixos. O giro preserva comprimentos, ângulos e áreas, pois a matriz de rotação é ortogonal: $R(\theta)^TR(\theta)=I$. Seu determinante vale 1.

Reflexão, escala e projeção

A reflexão no eixo x segue $(x,y)\mapsto(x,-y)$; no eixo y, $(x,y)\mapsto(-x,y)$. Na reta y=x, trocam-se as coordenadas. Reflexões preservam distâncias e áreas, mas invertem a orientação, com determinante −1.

Uma matriz diagonal com entradas s e t produz $(x,y)\mapsto(sx,ty)$. Se s=t=2, todos os comprimentos dobram e as áreas quadruplicam. Se s=2 e t=1, ocorre alongamento horizontal: comprimentos em direções distintas podem mudar por fatores diferentes.

A projeção sobre o eixo x leva $(x,y)$ a $(x,0)$. Seu determinante é zero: a informação da coordenada y desaparece, e pontos diferentes podem ter a mesma imagem. Não existe uma transformação inversa capaz de recuperar essa coordenada somente a partir do resultado.

Composição: a primeira ação fica à direita

Se primeiro aplicamos B e depois A, o resultado é $A(Bv)=(AB)v$. A ordem de leitura das ações é da direita para a esquerda no produto. Em geral, trocar essa ordem muda a imagem.

Tome P=(1,1), um alongamento horizontal S por fator 2 e um giro R de 90° anti-horário. Primeiro S leva P a (2,1); depois R leva a (−1,2). Primeiro R leva P a (−1,1); depois S leva a (−2,1). Logo, RS e SR são diferentes.

Rotações em torno da mesma origem constituem um caso especial: $R(\alpha)R(\beta)=R(\alpha+\beta)$. Elas comutam entre si porque a soma dos ângulos comuta. A primeira coluna do produto $R(\alpha)R(\beta)$, calculada combinando cada linha da primeira matriz com a primeira coluna da segunda, fornece as identidades de soma: $\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$ e $\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$.

A ponte com números complexos

Identifique o ponto (x,y) com $z=x+iy$. Multiplicar z por $\cos\theta+i\sin\theta$ produz parte real $x\cos\theta-y\sin\theta$ e parte imaginária $x\sin\theta+y\cos\theta$. São exatamente as coordenadas da matriz de rotação. Multiplicar por i gira 90° anti-horário; por −i, 90° horário.

Para girar em torno de um centro C diferente da origem, primeiro subtraia C, aplique R e depois some C: $T(P)=C+R(P-C)$. Sem esses deslocamentos, o centro do giro seria outro.