Números complexos

Um número complexo tem a forma $z=a+bi$, com a e b reais e $i^2=-1$. A parte real é a, e a parte imaginária é b, não bi. Ambas são números reais. No plano de Argand-Gauss, z corresponde ao ponto (a,b). Essa representação permite tratar a mesma informação por álgebra ou por geometria, escolhendo a linguagem mais útil para cada pergunta.

Igualdade e operações básicas

Dois complexos são iguais quando suas partes reais e imaginárias coincidem. Para somar, reúna as partes separadamente: $(2+3i)+(4-i)=6+2i$. Na subtração, distribua o sinal negativo antes de agrupar os termos.

Na multiplicação, use a distributiva e substitua $i^2$ por −1. Por exemplo, $(2+i)(3-2i)=6-4i+3i-2i^2=8-i$. As potências de i repetem-se a cada quatro expoentes: $i,i^2,i^3,i^4$ valem i,−1,−i,1. Logo, $i^{23}=i^3=-i$, pois 23 deixa resto 3 na divisão por quatro.

Todo real também é complexo, com parte imaginária zero. Já a unidade imaginária não é um número real. Trabalhar nos complexos amplia o conjunto disponível para resolver equações, mas preserva as operações usuais sobre números reais.

Conjugado e divisão

O conjugado de $z=a+bi$ é $\bar z=a-bi$. Geometricamente, é a reflexão no eixo real. Seu produto com z vale $z\bar z=a^2+b^2$, um real não negativo, que só é zero quando z=0.

Para dividir por um complexo não nulo, multiplique numerador e denominador pelo conjugado do denominador. Em $(3+i)/(1-i)$, isso produz $(3+i)(1+i)/2=(2+4i)/2=1+2i$. Conferindo, $(1+2i)(1-i)=3+i$.

Dividir a parte real pela real e a imaginária pela imaginária não é uma regra de divisão de complexos. Também não se pode dividir por zero: o conjugado ajuda a simplificar o denominador, mas não torna válida uma operação originalmente indefinida.

Módulo e distância no plano

O módulo é $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$, a distância do ponto até a origem. Para z=−3+4i, o módulo é 5. A soma das partes, −3+4=1, não mede essa distância. Em contextos que atribuem significados independentes às partes, é o enunciado que decide qual operação representa o total desejado.

A distância entre os pontos z e w é $|z-w|$. Assim, $|z-z_0|=R$, para R>0, descreve a circunferência de centro z₀ e raio R. O módulo do produto satisfaz $|zw|=|z||w|$; essa propriedade liga a multiplicação a mudanças de escala.

Argumento e forma polar

Para z não nulo, um argumento θ indica sua direção em relação ao eixo real positivo. Escrevemos $z=\rho(\cos\theta+i\sin\theta)$, com $\rho=|z|>0$. Os argumentos diferem por múltiplos inteiros de $2\pi$; escolher um argumento principal exige indicar o intervalo adotado.

O complexo −1+i tem módulo $\sqrt2$ e um argumento $3\pi/4$. Usar $\pi/4$ colocaria o ponto no primeiro quadrante, contrariando sua parte real negativa. Conferir os sinais de seno e cosseno evita esse erro. O número zero possui módulo zero, mas não tem direção e, portanto, não tem argumento definido.

Multiplicar também é girar

Na forma polar, os módulos se multiplicam e os argumentos se somam. Multiplicar por i gira um ponto 90° no sentido anti-horário em torno da origem: $i(a+bi)=-b+ai$, que corresponde a (−b,a). O módulo permanece igual porque |i|=1.

Para potência inteira positiva n, a fórmula de De Moivre dá $z^n=\rho^n[\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)]$. Não multiplique o módulo por n: ele deve ser elevado à potência. O argumento, por sua vez, é multiplicado por n.

Raízes e polígonos regulares

Para w não nulo e inteiro n≥1, as soluções de $z^n=w$ têm módulo $|w|^{1/n}$ e argumentos $(\theta+2k\pi)/n$, com k=0,…,n−1 e θ um argumento de w. Para n≥3, formam vértices de um polígono regular; para n=2, são pontos opostos.

As raízes de $z^4=16$ têm módulo 2 e argumentos 0,$\pi/2$,π,$3\pi/2$: são 2,2i,−2,−2i. Cada quarta potência vale 16. Se w=0, há apenas a raiz distinta zero, com multiplicidade n; não surgem n pontos diferentes.

O ciclo trigonométrico sustenta a forma polar; as equações polinomiais usam raízes complexas e multiplicidades.