Funções trigonométricas

As funções trigonométricas descrevem relações periódicas. Quando um ponto percorre o círculo unitário em movimento uniforme, sua projeção vertical varia como seno e a horizontal como cosseno. Ao desenhar essas coordenadas em função do ângulo ou do tempo, obtemos curvas que repetem seus valores regularmente.

Seno e cosseno básicos

As funções $f(x)=\sin x$ e $g(x)=\cos x$ têm domínio real e imagem [−1,1]. Em radianos, seu período fundamental é $2\pi$: adicionar uma volta ao argumento preserva todos os valores. Um período precisa funcionar para todo x do domínio, não apenas para dois pontos particulares.

O seno começa em zero, chega a 1 em π/2, volta a zero em π, chega a −1 em 3π/2 e retorna a zero em 2π. O cosseno começa em 1 e percorre a mesma sequência com uma defasagem. A identidade $\cos x=\sin(x+\pi/2)$ expressa essa relação.

O valor máximo é atingido infinitas vezes no domínio real. Por exemplo, $\sin x=1$ em $x=\pi/2+2k\pi$, com k inteiro. Em um intervalo restrito, porém, pode haver uma quantidade finita de ocorrências; a resposta precisa acompanhar o domínio solicitado.

Amplitude e linha média

Para $f(t)=A\sin(Bt+C)+D$, com A e B não nulos e argumento em radianos, a amplitude é |A| e a linha média é D. No domínio real inteiro, a imagem é $[D-|A|,D+|A|]$. A amplitude mede metade da diferença entre máximo e mínimo.

Em $f(t)=3-2\sin(\pi t/4)$, a amplitude é 2 e a imagem é [1,5]. O sinal negativo reflete a oscilação em relação à linha média, mas não cria amplitude negativa. Conhecer apenas o máximo 5 não basta para dizer que a amplitude é 5.

Se A=0, a função é constante D. Se B=0, o argumento não varia e a função também é constante, embora seu valor possa diferir de D. Uma função constante admite qualquer período positivo e não tem um menor período positivo; a fórmula usual de período não se aplica a esses casos.

Frequência e período

Para seno ou cosseno com A e B não nulos, o período fundamental é $T=2\pi/|B|$. O módulo é necessário quando B é negativo. Para uma função do tempo, a frequência de ciclos é $f_0=1/T$, enquanto |B| representa a frequência angular em radianos por unidade de tempo.

No exemplo anterior, $B=\pi/4$, então T=8. Aumentar |B| comprime o gráfico horizontalmente: mais ciclos cabem no mesmo intervalo. Dobrar B não dobra o período; reduz o período pela metade.

Um esboço consistente marca primeiro a linha média, os extremos e cinco pontos separados por quartos de período. Para $h(t)=2\sin(\pi t/4)+3$, temos h(0)=3,h(2)=5,h(4)=3,h(6)=1,h(8)=3. Esses pontos conferem amplitude 2, linha média 3 e período 8.

Fase e deslocamento horizontal

Podemos escrever $Bt+C=B(t-t_0)$, com $t_0=-C/B$. Assim, t₀ indica um deslocamento horizontal de uma versão sem fase. O número C sozinho não é o deslocamento na unidade de t: ele está dentro do argumento e precisa ser dividido por B.

Em $q(t)=2\sin[\pi(t-1)/4]+3$, o gráfico anterior desloca-se uma unidade para a direita. No ciclo $1\le t<9$, a primeira passagem crescente pela linha média ocorre em t=1, e o primeiro máximo após essa passagem ocorre em t=3. A amplitude e o período continuam iguais.

Resolva uma ocorrência em um ciclo

Para encontrar quando $h(t)=4$, com $0\le t<8$, resolvemos $2\sin(\pi t/4)+3=4$, portanto $\sin(\pi t/4)=1/2$. Nesse intervalo, o argumento percorre [0,2π), e as soluções são π/6 e 5π/6.

Logo, $t=2/3$ ou $t=10/3$. Há duas ocorrências, uma na subida e outra na descida. Usar apenas o arco principal retornado pela calculadora perderia a segunda solução. Nos ciclos seguintes, somam-se múltiplos inteiros de oito aos tempos encontrados.

Tangente tem outra estrutura

A função $\tan x$ tem período π, imagem real e domínio que exclui $\pi/2+k\pi$. Há assíntotas verticais nesses pontos. Ela não possui amplitude finita: seus valores não ficam presos entre dois extremos.

Para $a\tan(bt+c)+d$, com a,b não nulos, o período é $\pi/|b|$ e os pontos excluídos satisfazem $bt+c=\pi/2+k\pi$. Não transfira automaticamente as regras de imagem e amplitude das senoides para a tangente.

O ciclo trigonométrico explica sinais e soluções angulares; a modelagem escolhe depois como o argumento varia com o tempo.