Princípio de Cavalieri

O princípio de Cavalieri compara volumes olhando para seções planas em alturas correspondentes. Dois sólidos podem ter formatos diferentes e ocupar o mesmo volume. Para justificar essa igualdade pelo princípio, não basta olhar as bases ou uma única fatia: é preciso controlar as áreas de todas as seções paralelas ao plano de referência ao longo da mesma altura.

O que precisa ser igual

Considere dois sólidos entre planos paralelos separados por uma altura h. Se, para cada nível entre esses planos, as seções dos dois sólidos por um plano paralelo têm áreas iguais, então seus volumes são iguais. A posição horizontal das seções não precisa coincidir, nem seus contornos precisam ser congruentes.

O que comparamos é a área no mesmo nível. Uma seção triangular pode ter a mesma área de uma circular. As áreas também podem variar com a altura, desde que variem de modo correspondente nos dois sólidos. A versão escolar se aplica aos sólidos usuais, com seções e volumes bem definidos.

A imagem de fatias deslocadas

Imagine camadas horizontais de um prisma que são deslocadas lateralmente sem mudar suas áreas. A quantidade de material continua a mesma. O sólido pode ficar inclinado, mas o deslocamento horizontal não acrescenta espessura vertical às camadas.

O diagrama compara um prisma reto e um oblíquo, ambos com base retangular de área 12 unidades quadradas e altura perpendicular 5. Toda seção paralela às bases é um retângulo congruente de área 12. Assim, cada volume vale 60 unidades cúbicas, embora as arestas laterais do segundo sejam mais longas que sua altura.

Essa visualização não autoriza substituir altura por comprimento inclinado. A altura é a distância entre os planos paralelos que contêm as bases, medida perpendicularmente a eles.

Por que prisma e cilindro usam base vezes altura

Em prismas, as seções paralelas às bases têm sempre a área da base. O mesmo acontece nos cilindros circulares, retos ou oblíquos, quando a base circular está em um plano e a outra é sua translação em um plano paralelo.

Comparando um sólido desses com um paralelepípedo de mesma altura e base de igual área, Cavalieri fornece $V=A_bh$. Isso explica por que o formato da base não aparece separadamente na fórmula. O cálculo da área é que muda: um triângulo usa base vezes altura dividido por dois; um círculo usa $\pi r^2$.

Por exemplo, um prisma de base triangular com catetos perpendiculares de 6 cm e 4 cm tem área de base 12 cm². Se sua altura é 5 cm, seu volume é 60 cm³, igual ao de um prisma de base quadrada de lado $\sqrt{12}$ cm e mesma altura. As bases não são congruentes, mas suas áreas coincidem em todos os níveis.

Uma comparação com áreas variáveis

Considere uma semiesfera sólida de raio r apoiada em seu disco equatorial. A uma altura y acima desse plano, com $0\le y\le r$, o raio da seção é $\sqrt{r^2-y^2}$. Sua área é $\pi(r^2-y^2)$, por Pitágoras.

Agora considere um cilindro de raio r e altura r, do qual se retira um cone com vértice no centro da base inferior e base coincidente com a base superior do cilindro. Por semelhança, o raio da seção do cone na altura y é y. A seção que sobra é uma coroa circular de área $\pi r^2-\pi y^2$.

As áreas são iguais para todo y, embora um corte seja disco e o outro coroa. Cavalieri iguala os volumes. Admitindo a fórmula do cone, resulta $V=\pi r^3-\pi r^3/3=2\pi r^3/3$. Para r=3 cm, o resultado é $18\pi$ cm³. No nível y=1 cm, ambos têm seção de área $8\pi$ cm²; essa conta ilustra a identidade geral, sem substituí-la por um único teste.

O que o princípio não afirma

Volumes iguais não garantem seções iguais em cada altura. Um sólido pode concentrar mais área em níveis baixos e menos em níveis altos, compensando o total. Portanto, a conclusão do princípio não pode ser usada ao contrário como se fosse sua hipótese.

Mesma base e mesma altura também não garantem volume igual para sólidos arbitrários. Um cone e um cilindro com mesma base e altura possuem volumes diferentes: as seções do cone encolhem ao se aproximar do vértice, enquanto as do cilindro conservam a área.