Poliedros

Um poliedro é um sólido limitado por faces poligonais planas. As bordas compartilhadas entre faces são arestas; os pontos em que arestas se encontram são vértices. Contar esses elementos exige enxergar o objeto completo, inclusive suas partes ocultas no desenho. Relações de incidência e a fórmula de Euler permitem conferir a contagem e descobrir informações sem desenhar todas as faces.

Faces, arestas e vértices

No cubo, cada face é um quadrado. Há seis faces, doze arestas e oito vértices. O contorno visível em perspectiva não coincide com a lista de arestas: algumas ficam escondidas e costumam aparecer tracejadas. Uma diagonal desenhada sobre uma face não se torna uma aresta do cubo, pois não separa duas faces do sólido.

Cilindros e cones não são poliedros: possuem superfície curva. Ter uma base circular também não cria uma face poligonal. A classificação trata da superfície que limita o sólido, e não somente de seu aspecto aproximado ou da quantidade de partes de um desenho.

Convexidade e a hipótese de Euler

Um sólido é convexo quando o segmento que une quaisquer dois de seus pontos permanece inteiramente dentro dele. Uma reentrância pode fazer esse segmento sair do sólido, tornando-o não convexo. Cubos, prismas com base convexa e pirâmides com base convexa são exemplos convexos.

Para poliedros convexos, vale $V-A+F=2$, em que V conta vértices, A conta arestas e F conta faces. Aqui A não significa área. A relação também aparece em certas superfícies não convexas, mas a condição de convexidade fornece uma garantia suficiente no recorte escolar. Não aplique a igualdade automaticamente a sólidos com túneis ou a montagens que não formam uma superfície poliédrica fechada comum.

Se um poliedro convexo tem 12 vértices e oito faces, então $12-A+8=2$, logo A=18. A equação é uma relação entre contagens; sozinha, não reconstrói um formato único de sólido.

Cada aresta é contada duas vezes

Ao somar o número de lados de todas as faces de um poliedro fechado usual, cada aresta participa de duas faces. Portanto, essa soma é igual a $2A$. Se há f faces triangulares e g quadrangulares, temos $3f+4g=2A$, desde que sejam todas as faces.

Considere um poliedro convexo formado por oito triângulos e seis quadrados. Há F=14 faces. A soma dos lados é $8\cdot3+6\cdot4=48$, então A=24. Euler fornece $V=2+24-14=12$. Conferência: $12-24+14=2$. Dividir 48 por três, em vez de dois, confundiria a quantidade de lados de cada triângulo com a quantidade de faces que compartilham uma aresta.

Contagem pelos vértices

Também podemos somar os graus dos vértices, isto é, quantas arestas chegam a cada um. Cada aresta tem duas extremidades, de modo que essa soma é $2A$. Se exatamente q arestas chegam a cada vértice, então $qV=2A$.

É essencial verificar a uniformidade antes de usar uma única quantidade q. Em uma pirâmide quadrangular, o ápice recebe quatro arestas, enquanto cada vértice da base recebe três. Usar quatro para todos produziria uma contagem errada. A contagem de incidências entre faces e vértices segue lógica semelhante, mas precisa identificar o que está sendo contado.

Prismas e pirâmides

Um prisma de base n-gonal tem duas bases congruentes e n faces laterais. Assim, $F=n+2$, $V=2n$ e $A=3n$: n arestas em cada base e n ligando vértices correspondentes. Para n=6, obtemos oito faces, doze vértices e dezoito arestas.

Uma pirâmide de base n-gonal tem uma base e n faces triangulares, portanto $F=n+1$, $V=n+1$ e $A=2n$. Uma pirâmide pentagonal, por exemplo, possui seis faces, seis vértices e dez arestas. Essas contagens independem das medidas dos lados, desde que a estrutura descrita seja preservada.

Os cinco poliedros regulares convexos

Um poliedro regular convexo possui faces regulares congruentes e a mesma organização ao redor de cada vértice. Os cinco tipos são tetraedro, cubo, octaedro, dodecaedro e icosaedro. Suas faces são, respectivamente, triângulos, quadrados, triângulos, pentágonos e triângulos.

No icosaedro, vinte faces triangulares somam sessenta lados contados com repetição. Logo A=30 e, por Euler, V=12. Como a incidência é uniforme, sessenta encontros face-vértice divididos por doze vértices dão cinco faces em cada vértice.