Ângulos e polígonos

Portas, ladrilhos, telhados e desenhos técnicos apresentam segmentos que se encontram em diferentes aberturas. A geometria dos ângulos permite relacionar essas aberturas sem medir cada uma. Quando conhecemos paralelismos, perpendicularidades ou a estrutura de um polígono, podemos deduzir medidas que não aparecem no desenho.

O ângulo é formado por duas semirretas de mesma origem. Sua medida descreve a abertura, não o comprimento dos traços usados para representá-lo. Alongar um lado no papel não aumenta o ângulo. Uma volta completa mede 360°; um ângulo raso, 180°; um ângulo reto, 90°.

Complementares, suplementares e opostos pelo vértice

Dois ângulos são complementares quando somam 90° e suplementares quando somam 180°. Assim, o complemento de 35° é 55°, enquanto seu suplemento é 145°. As palavras indicam relações entre medidas; não exigem que os ângulos estejam lado a lado.

Quando duas retas se cruzam, os ângulos opostos pelo vértice têm a mesma medida. Os adjacentes que formam uma linha reta são suplementares. Se um dos quatro ângulos mede 62°, o oposto mede 62° e os outros dois medem 118°.

O que as paralelas garantem?

“Correspondentes” indica a mesma posição nos dois cruzamentos. “Alternos internos” ficam entre as paralelas, em lados opostos da transversal. “Colaterais internos” também ficam entre as paralelas, mas do mesmo lado da transversal.

Essas relações dependem do paralelismo. Um desenho que apenas parece ter retas paralelas não autoriza o uso do teorema: é preciso que o texto informe ou que outra propriedade permita demonstrar. No plano, duas retas distintas perpendiculares à mesma reta são paralelas entre si.

Um trapézio oferece uma aplicação direta. Cada lado não paralelo funciona como transversal das bases. Por isso, os dois ângulos internos apoiados nesse lado somam 180°. Conhecer um ângulo de 70° permite concluir que o vizinho no mesmo lado oblíquo mede 110°; não determina, sozinho, todos os outros ângulos.

Por que um triângulo soma 180°?

Trace por um vértice uma paralela ao lado oposto. Pelas relações de alternos internos, os outros dois ângulos do triângulo podem ser reconhecidos junto ao ângulo desse vértice. Os três formam um ângulo raso, logo somam 180°.

Consequentemente, um triângulo com ângulos de 48° e 67° tem terceiro ângulo de $180°-48°-67°=65°$. Em um triângulo isósceles, os ângulos da base são iguais; se o ângulo do vértice mede 40°, cada ângulo da base mede 70°.

A soma num polígono convexo

Um polígono é uma figura plana fechada por segmentos, sem cruzamentos no caso simples considerado aqui. Em um polígono convexo, as diagonais ficam dentro da figura. Traçando diagonais a partir de um vértice, obtemos $n-2$ triângulos para $n$ lados:

$$S_{\text{internos}}=(n-2)\cdot180°.$$

Um hexágono tem soma interna de $4\cdot180°=720°$. Isso não implica que cada ângulo tenha 120°: dividir igualmente só é justificado quando sabemos que os ângulos são iguais, como num polígono regular.

Os ângulos externos de um polígono convexo, tomando um por vértice e mantendo o mesmo sentido de percurso, somam 360°. Essa volta completa permite obter o número de lados de um regular: se o ângulo externo é 24°, então $n=360/24=15$.

Ângulos no ladrilhamento

Em um encontro de ladrilhos sem buracos nem sobreposição, os ângulos ao redor do ponto somam 360°. Se o revestimento usa um único tipo de polígono regular congruente, triângulos equiláteros, quadrados e hexágonos regulares permitem esse fechamento. Pentágonos regulares não fecham um vértice apenas com cópias de si mesmos, pois 108° não divide 360° em um número inteiro.

Para resolver, marque as relações conhecidas, escolha uma soma de 90°, 180° ou 360° e escreva uma equação. Ao conferir, verifique se a medida é compatível com o tipo de ângulo e com as hipóteses da figura.