Volume de prismas e cilindros

O volume mede quanto espaço uma região tridimensional ocupa. Em prismas e cilindros, a fórmula central é simples: área da base multiplicada pela altura perpendicular. O trabalho está em escolher a base, identificar a altura e manter as unidades coerentes. Quando o problema descreve uma embalagem ou reservatório, também é preciso distinguir as dimensões externas das medidas do espaço interno disponível.

Medir com unidades cúbicas

Um centímetro cúbico é o volume de um cubo com aresta de 1 cm. Um metro contém cem centímetros, mas um metro cúbico contém $100^3=1\,000\,000$ centímetros cúbicos. A conversão deve atuar nas três dimensões.

Também valem $1\text{ m}^3=1000\text{ dm}^3$, $1\text{ dm}^3=1\text{ L}$ e $1\text{ cm}^3=1\text{ mL}$. Assim, 0,24 m³ correspondem a 240 litros. Não confunda volume com área de revestimento: pintar paredes requer unidades quadradas; preencher o recipiente requer unidades cúbicas.

O volume é não negativo, não muda quando um sólido é movido rigidamente e é aditivo em partes sem sobreposição de interiores. Essas propriedades permitem somar compartimentos ou subtrair uma cavidade, desde que as regiões sejam identificadas corretamente.

Conversão de unidade ou rendimento de produção?

Converter metros cúbicos em litros descreve a mesma quantidade de volume em outra unidade. Um rendimento industrial relaciona grandezas de materiais diferentes e precisa ser fornecido pelo problema.

Suponha, em um modelo de produção, que cada metro cúbico de cana processada renda 100 litros de etanol. Um lote de 78 m³ produziria $78\cdot100=7800$ litros, abaixo de 8000 litros. A conta usa o rendimento de $100\text{ L}/\text{m}^3$, não a conversão de $1000\text{ L}/\text{m}^3$. O volume inicial de cana equivale a 78 000 litros de cana; isso não significa obter esse volume de etanol. O rendimento é uma hipótese do exercício, não uma taxa universal de produção.

Prismas: escolha a base e sua área

Um prisma possui duas bases poligonais congruentes em planos paralelos. Sua altura h é a distância perpendicular entre esses planos. O volume é $V=A_bh$, em que $A_b$ é a área de uma base. Em um prisma reto, as arestas laterais medem h; em um oblíquo, geralmente são maiores.

Um prisma triangular tem base com lado de 8 cm e altura relativa de 3 cm. A área triangular é $8\cdot3/2=12$ cm². Se a altura do prisma é 10 cm, seu volume é 120 cm³. Existem duas alturas nessa descrição: uma pertence ao triângulo da base, a outra mede a separação entre as bases do sólido.

No paralelepípedo reto-retângulo de dimensões a, b e c, a fórmula vira $V=abc$. Uma caixa com medidas internas 40 cm, 30 cm e 20 cm tem capacidade $24\,000$ cm³, ou 24 litros. Essa capacidade não informa quanto material foi usado nas paredes.

Cilindros: raio não é diâmetro

Para um cilindro de base circular de raio r, $A_b=\pi r^2$ e $V=\pi r^2h$. A altura continua sendo perpendicular às bases. O princípio vale também para um cilindro oblíquo, pois suas seções paralelas às bases preservam a área.

Se o diâmetro interno de um reservatório é 2 m e sua altura interna é 3 m, o raio é 1 m. A capacidade é $3\pi$ m³, ou $3000\pi$ litros. Usando a aproximação fornecida $\pi=3{,}14$, obtemos 9420 litros. Substituir o diâmetro no lugar do raio produziria quatro vezes esse volume.

Quando o cilindro é horizontal, uma altura parcial de líquido não pode ser usada diretamente como h nessa fórmula: a base circular pode estar apenas parcialmente preenchida. O produto entre área da base completa e profundidade de líquido é imediato no recipiente com base horizontal e paredes verticais.

Como mudanças de medida afetam o volume

A altura aparece uma vez na fórmula do cilindro; o raio aparece ao quadrado. Mantendo r, dobrar h dobra o volume. Mantendo h, dobrar r quadruplica o volume. Reduzir o diâmetro à metade também reduz o raio à metade e divide o volume por quatro.

Para conservar o volume após essa redução, a altura precisa quadruplicar. Já em sólidos semelhantes, todas as medidas lineares mudam pelo mesmo fator k positivo, e os volumes mudam por $k^3$. Uma ampliação por fator 2 produz oito vezes o volume, não quatro.

Se dois cilindros de mesma altura têm seus volumes somados em um terceiro de igual altura, a relação é $r_3^2=r_1^2+r_2^2$. Para raios 3 e 4 cm, o terceiro raio é 5 cm: $9+16=25$. Somar os raios e obter 7 cm superestimaria o volume.

Altura de água e coleta de chuva

Em um recipiente prismático reto de base horizontal e área constante de 0,8 m², acrescentar 40 litros significa acrescentar 0,04 m³. O nível sobe $\Delta h=0{,}04/0{,}8=0{,}05$ m, isto é, 5 cm, desde que não haja transbordamento nem outros fluxos.

Uma lâmina de chuva de 1 mm sobre 1 m² representa $0{,}001$ m³, ou 1 litro. Portanto, 12 mm sobre uma superfície horizontal de 50 m² correspondem a 600 litros incidentes. Se o enunciado informa aproveitamento de 80%, o volume coletado é 480 litros. Use a área horizontal de captação e o rendimento informado, não a área inclinada do telhado sem análise da projeção.

Para comparar chuva com um reservatório, considere 20 mm por dia durante sete dias sobre uma área horizontal de 250 m². A lâmina acumulada é 140 mm, ou 0,14 m; o volume incidente é $250\cdot0{,}14=35$ m³. Uma cisterna cilíndrica de raio interno 2 m e altura interna 2 m comporta $8\pi$ m³, aproximadamente 25,12 m³ para $\pi=3{,}14$. No modelo de captação integral, a chuva seria suficiente para enchê-la. Se houver perdas, a fração efetivamente coletada precisa ser pelo menos $25{,}12/35\approx0{,}718$, cerca de 71,8%. Volume incidente e volume aproveitado são etapas distintas da conta.