Leitura de tabelas e gráficos

Em dezembro de 2025, a prova do PAS 2 imprimiu uma tabela de quatro linhas sobre o MATOPIBA, a fronteira agrícola que junta pedaços do Maranhão, do Tocantins, do Piauí e da Bahia: cada estado com a sua porcentagem do território da região e o seu número de municípios na região. O Tocantins aparecia com 38%; a Bahia, com 18%. O item 52 afirmou ser correto inferir, dos dados da tabela, que o Tocantins é um estado maior que a Bahia. Quem leu 38 e 18 e marcou certo errou, e não por causa de geografia: a coluna media a fatia de cada estado dentro da região, e a tabela não tinha nenhuma informação sobre o tamanho dos estados. Quinze anos antes, o PAS 1 tinha dado uma tabela com o percentual de estudantes vítimas de bullying em dez capitais e a população aproximada de cada uma, e pedido para julgar se Curitiba, com 35,2%, tinha proporcionalmente mais casos que Goiânia, com 31,2%, “apesar de, nesta capital, haver numericamente mais estudantes” agredidos. As duas coisas eram verdadeiras ao mesmo tempo. E em 2018 a banca pôs um embaixo do outro dois gráficos de chuva diária em Brasília, maio de 2017 e maio de 2018, com eixos verticais que iam até 35 mm num e até 12 mm no outro, de modo que a maior barra de 2018 tinha quase a mesma altura da maior barra de 2017 e valia um terço dela.

Os três itens têm em comum o que não pedem: nenhuma fórmula nova, nenhuma conta mais longa que uma multiplicação. O que eles cobram é a leitura, e leitura de dados é um conjunto de perguntas feitas antes da conta: o que esta tabela mediu, percentual de quê, número absoluto ou relativo, em que unidade e em que escala, o que o gráfico permite concluir e o que ele não mostra. Esta página é sobre essas perguntas. Ela trata da tabela de dupla entrada e dos seus totais, do percentual de um recorte contra o percentual do todo, do absoluto contra o relativo, das razões “por unidade”, das frações do total, dos gráficos de barras, de linhas e de setores, da passagem de uma tabela para o gráfico compatível e da variação percentual lida num gráfico. Resumir os dados num número, a média, a mediana e a moda, é a página seguinte; aqui a média aparece só quando a leitura a disfarça de taxa.

Uma tabela responde a uma pergunta: descubra qual

Toda tabela foi montada por alguém que queria responder a uma pergunta, e os seus elementos dizem qual. O título anuncia o assunto (“divisão da região do MATOPIBA entre os quatro estados”). Os cabeçalhos de coluna dizem o que cada coluna mede, com a unidade (“porcentagem do território do MATOPIBA”; “população aproximada (× 1.000)”). Os cabeçalhos de linha dizem a quem o valor se refere (Maranhão, Tocantins). Cada célula é o cruzamento: o valor daquela medida para aquela linha. A fonte e as notas de rodapé dizem de onde vêm os números e com que ressalvas (“com adaptações”; “não estabelecido”). A linha ou coluna de total diz se as linhas são partes de um todo, e qual. Uma tabela com um só cabeçalho de coluna é uma lista; uma tabela em que linhas e colunas são duas classificações diferentes da mesma população (estado × ano; faixa etária × gênero; turma × meio de transporte) é uma tabela de dupla entrada, e é nela que a maior parte dos erros de leitura acontece.

Exemplo resolvido 1: três percentuais da mesma célula. Uma escola pequena perguntou a 70 estudantes de duas turmas como chegam à escola. Na turma A, 10 vêm a pé, 28 de ônibus e 2 de carro; na turma B, 15 a pé, 12 de ônibus e 3 de carro. A tabela, com os totais:

Três perguntas sobre a célula “B, ônibus = 12”. Que fração da turma B vem de ônibus? Total de linha: $12 \div 30 = 0{,}40$, isto é, 40%. Que fração dos usuários de ônibus está na turma B? Total de coluna: $12 \div 40 = 0{,}30$, 30%. Que fração da escola é “turma B e ônibus”? Total geral: $12 \div 70 \approx 0{,}171$, cerca de 17%. Agora uma comparação: “a turma A usa mais ônibus que a turma B”. Em número absoluto, sim ($28 > 12$); em fração da turma, também ($28 \div 40 = 70\%$ contra $40\%$). As duas leituras coincidem aqui, mas não precisavam coincidir, e o item de prova costuma ser montado exatamente onde elas divergem. Conferência: os três totais de coluna somam $25 + 40 + 5 = 70$, e os dois totais de linha somam $40 + 30 = 70$; uma tabela em que as duas somas não batem tem um erro de transcrição, e o primeiro suspeito é a célula que você acabou de copiar.

O PAS 1 de 2009 deu uma tabela de enchentes em cinco estados do Nordeste (municípios atingidos, pessoas desalojadas, pessoas desabrigadas) e afirmou que “o número total de municípios atingidos no conjunto dos estados de Alagoas, Paraíba e Sergipe foi inferior a 53% da quantidade de municípios atingidos no estado do Maranhão”. A linha dos municípios trazia Alagoas 19, Ceará 100, Maranhão 108, Paraíba 34, Sergipe 10. O “conjunto” pede um total parcial de linha: $19 + 34 + 10 = 63$. O limiar é um percentual de outra célula da mesma linha: $53\%$ de 108 $= 57{,}24$. Como $63 > 57{,}24$, o item é errado. Não há nada de difícil na conta; o trabalho é não misturar linhas (quem soma os desalojados em vez dos municípios erra) e não confundir “53% de 108” com “53 municípios”.

“Percentual de quê?”: a pergunta que decide o item

Um percentual é uma fração com denominador 100, e toda fração tem um denominador que precisa ser nomeado. “18%” não é um dado; “18% do território do MATOPIBA” é. A pergunta percentual de quê? tem de ser respondida duas vezes: para saber o que o número mede e para saber com o que ele pode ser comparado.

Exemplo resolvido 2: a tabela do MATOPIBA (PAS 2 2025, item 52). A tabela impressa:

O item pede para julgar se a tabela permite inferir que o Tocantins, como estado, é maior que a Bahia. Primeira pergunta: percentual de quê? Do território do MATOPIBA (está no cabeçalho). Logo, 38% e 18% são fatias da região: a parte tocantinense da região é maior que a parte baiana da região. Segunda pergunta: o item fala de fatias da região ou dos estados inteiros? Dos estados inteiros (a comparação é entre os dois estados, não entre as duas fatias). A tabela não contém a área de nenhum dos dois estados, nem a fração de cada estado que está dentro da região; sem isso, não há como passar de “fatia da região” para “tamanho do estado”. A inferência não se sustenta nos dados: errado. Repare que a resposta não depende de saber geografia. Se a Bahia fosse menor que o Tocantins, o item continuaria errado, porque a tabela continuaria sem dizer isso; o enunciado pergunta o que os dados permitem inferir, não o que é verdade no mundo. Conferência: a coluna soma $33 + 38 + 11 + 18 = 100$, o que confirma que os quatro percentuais são fatias de um único todo, a região, e de nenhum outro.

A mesma pergunta decide um erro mais sutil, o percentual de percentual. Numa escola, 40% dos estudantes são meninas e 30% das meninas jogam vôlei. Que fração da escola é “menina que joga vôlei”? Não é $40\% + 30\%$ nem $40\% - 30\%$; é $30\%$ de $40\%$: $0{,}30 \times 0{,}40 = 0{,}12$, 12% da escola. O segundo percentual tem como todo o primeiro grupo, e percentuais encadeados se compõem por multiplicação. Em tabelas, isso aparece quando uma coluna é “% do total” e outra é “% da categoria”: a célula “ônibus, turma B” valia 40% da turma e 17% da escola, e os 17% são $40\%$ de $\dfrac{30}{70}$ ($0{,}40 \times 0{,}4286 = 0{,}171$).

Absoluto contra relativo: 35,2% de 1 850 e 31,2% de 2 100

Uma fatia percentual grande, tirada de um grupo pequeno, pode corresponder a menos pessoas que uma fatia menor tirada de um grupo grande. A prova do PAS 1 de 2010 montou exatamente essa situação. A tabela trazia, para dez unidades da Federação, o percentual de estudantes do 9.º ano que disseram sofrer bullying e a população aproximada em milhares: entre outras linhas, Curitiba 35,2% e 1.850; Goiânia 31,2% e 2.100. O enunciado pedia para supor as quantidades de estudantes proporcionais às populações, “por uma mesma constante”, e o item 49 afirmou: “as ocorrências de bullying são proporcionalmente maiores em Curitiba que em Goiânia, apesar de, nesta capital, haver numericamente mais estudantes que já sofreram esse tipo de agressão”.

Exemplo resolvido 3: percentual maior, quantidade menor. “Proporcionalmente” compara os percentuais: $35{,}2\% > 31{,}2\%$, Curitiba na frente. “Numericamente” compara quantidades, e a quantidade de vítimas é o percentual aplicado ao número de estudantes. Como os estudantes são proporcionais às populações pela mesma constante $k$, basta aplicar os percentuais às populações: Curitiba, $0{,}352 \times 1\,850 = 651{,}2$ (vezes $k$ mil); Goiânia, $0{,}312 \times 2\,100 = 655{,}2$ (vezes $k$ mil). Goiânia tem mais vítimas em número, por pouco. As duas metades do item estão certas: certo. Conferência pela razão: Curitiba só ganharia em número se $0{,}352 \times 1\,850$ superasse $0{,}312 \times 2\,100$, isto é, se $\dfrac{35{,}2}{31{,}2} = 1{,}128$ superasse $\dfrac{2\,100}{1\,850} = 1{,}135$; o percentual de Curitiba é 12,8% maior, mas a população de Goiânia é 13,5% maior, e o segundo efeito vence. A margem é estreita de propósito: o item foi desenhado para que a resposta mudasse se o candidato arredondasse cedo demais.

A mesma prova de 2010 trouxe, quatro páginas adiante, uma tabela de uma pesquisa da Unesco com o percentual de jovens, por faixa etária e por gênero, segundo o número de parceiros sexuais no ano anterior, e o enunciado do item 76 fixou a base: “um mesmo número de indivíduos para cada um dos dois gêneros”. Com bases iguais, os percentuais se comparam diretamente. O item afirmou que o número de pessoas com pelo menos dois parceiros “é maior na população masculina que na feminina, independentemente da faixa etária”. Na faixa de 10 a 14 anos, a tabela dava 25% dos rapazes com “de 2 a 5 pessoas” e 33,3% das moças: já na primeira faixa a afirmação falha, e o “independentemente” a derruba, errado. O item 77, de múltipla escolha, deu as bases (4.000 mulheres de 10 a 14 anos e 4.000 de 20 a 24) e pediu quantidades: mais de um parceiro na faixa de 10 a 14 anos eram $33{,}3\%$, isto é, $0{,}333 \times 4\,000 \approx 1\,332$ mulheres; na faixa de 20 a 24, $0\% + 11{,}1\% = 11{,}1\%$, $444$ mulheres. A opção certa (“maior que 1.000 e menor que 1.500”) dependia de identificar, pela biologia, que o maior risco de parto cesáreo está na faixa de 10 a 14 anos, e então ler a quantidade dessa faixa.

O caso inverso, em que o absoluto aponta para um lado e o relativo para o outro, apareceu no PAS 3 de 2015 com uma tabela de parlamentares mulheres e o total de cadeiras de cada câmara: Angola, 81 mulheres em 250 cadeiras; França, 150 em 577. Em número, a França tem quase o dobro. “Em relação ao número total de cadeiras”, pediu o item, Angola é “proporcionalmente superior”: $81 \div 250 = 32{,}4\%$ contra $150 \div 577 \approx 26{,}0\%$. Certo. A frase “em relação ao total” é a instrução para dividir pelo total; sem ela, a comparação seria entre 81 e 150.

Razões “por unidade” e proporções em prosa

Nem toda relação entre números chega em tabela. Em 2019, o PAS 2 escreveu em prosa: 6.000 formigas fora dos ninhos, e a quantidade fora do ninho A igual à metade da de B, a um terço da de C, a um quarto da de D e a um quinto da de E; o item afirmou que fora de D havia mais de 1.500 formigas. A leitura transforma a prosa numa única incógnita: se A tem $x$, então B tem $2x$, C tem $3x$, D tem $4x$ e E tem $5x$ (cuidado com a direção: “A é a metade de B” significa que B é o dobro de A, não o contrário). A soma é $15x = 6\,000$, logo $x = 400$ e D tem $4x = 1\,600 > 1\,500$: certo. Conferência: $400 + 800 + 1\,200 + 1\,600 + 2\,000 = 6\,000$. Quem inverte a direção (“B é a metade de A”) obtém $x$ maior e D menor, e muda o julgamento; a inversão é o erro que o item quer flagrar.

Uma taxa “por unidade” (por hectare, por habitante, por município, por pessoa) é uma razão entre duas grandezas, e as taxas se encadeiam: hectares viram toneladas, toneladas viram litros. O PAS 2 de 2010 fixou, num bloco de biologia sobre etanol, que “uma área de 90 hectares produz 80 toneladas, por hectare, de cana-de-açúcar e que, com uma tonelada de cana-de-açúcar, são produzidos 80 litros de etanol de primeira geração”; o texto-base acrescentava que, com a integração de segunda geração, uma usina que produz 1 bilhão de litros “poderá produzir mais 400 milhões de litros” com o mesmo volume de cana, isto é, 40% a mais. Em 90 hectares: $90 \times 80 = 7\,200$ toneladas; $7\,200 \times 80 = 576\,000$ litros de primeira geração; com a integração, $576\,000 \times 1{,}4 = 806\,400$ litros, “mais de 800.000 litros”, certo (item 105). O item 99 afirmou que, com a segunda geração, “a área plantada poderia ser reduzida em 36 hectares e a mesma produção do etanol de primeira geração seria mantida”. Trinta e seis hectares são 40% de 90, e a tentação é dizer que 40% a mais de rendimento permite 40% a menos de área. Não permite: se cada hectare rende 1,4 vez mais, a área necessária para a mesma produção é a antiga dividida por 1,4, $90 \div 1{,}4 \approx 64{,}3$ hectares, uma redução de cerca de 25,7 hectares, e não de 36. Errado.

A razão “por pessoa” apareceu em 2024 com uma incógnita no lugar da base: $k$ insetos para cada ser humano em 2019, cinco vezes mais insetos em 2024 e uma população humana 4% maior; o item afirmou que em 2024 haveria $100k$ insetos por pessoa. A razão nova é $\dfrac{5k}{1{,}04} \approx 4{,}8k$: o numerador quintuplica e o denominador cresce 4%, e nada disso produz um fator 100. O item junta duas leituras erradas, “5 vezes” lido como “500%” e “4%” lido como um fator, e as duas se corrigem com a mesma pergunta: o que mudou, e de quanto.

Quando a taxa é “total dividido pelo número de unidades” (“em média, por município”; “por ano”; “por dia”), ela é a média aritmética com outro nome, e o item de 2025 que pediu a área média de um município baiano ($18\% \div 30 = 0{,}6\%$ da região) é tratado na página seguinte, junto com os seus parentes.

Frações do total: quando a tabela dá as partes

Alguns itens dão um todo e as frações que o compõem, e pedem a tradução para quantidades ou para um gráfico. O PAS 1 de 2006 deu um texto com três números: cerca de 40 milhões de brasileiros abaixo da linha de pobreza, dos quais cerca de 15 milhões indigentes e 25 milhões “privilegiados” (pobres, mas não indigentes); o item 31 fixou a população em 180 milhões e pediu, entre quatro gráficos de setores com as fatias “indigentes”, “privilegiados” e “outros”, o que traduzia o texto. As frações do total são $15 \div 180 \approx 8{,}3\%$ (indigentes), $25 \div 180 \approx 13{,}9\%$ (“privilegiados”) e $140 \div 180 \approx 77{,}8\%$ (outros). O gráfico certo tem uma fatia pequena de indigentes, uma fatia um pouco maior de “privilegiados” (quase o dobro da primeira) e uma fatia grande de outros, mais de três quartos do círculo. Entre as opções impressas, uma trocava as duas fatias pequenas (indigentes maior que “privilegiados”), uma fazia dos “privilegiados” a maior fatia e outra fazia dos indigentes a maior; sobrava a certa. Note o passo que o texto exige: os 15 milhões são “desse total” de 40 milhões, e os 25 milhões são o resto desse total; as frações a representar, porém, são do total de 180 milhões, porque é ele o círculo inteiro.

O PAS 2 de 2012 combinou frações de grupos diferentes. Uma tabela dava quanto de fibra de carbono, titânio e aço se aproveita de cada revólver, pistola e carabina destruídos, e o texto dava os totais de material obtidos (8,8 t de fibra, 13,5 t de titânio, 43,3 t de aço). Os três totais e as três linhas formam um sistema linear cuja solução é o número de armas de cada tipo, 42 000 revólveres, 36 000 pistolas e 5 000 carabinas (o sistema é assunto da página de sistemas lineares; o item 109 do mesmo bloco, aliás, afirmava “36 mil pistolas”). O item 110 então disse que “metade dos revólveres, um terço das pistolas e 20% das carabinas apresentavam defeito” e pediu o produto entre o total de armas com defeito e o total sem defeito, em dezenas de milhões. A leitura que importa: as três frações têm todos diferentes, e cada uma se aplica ao seu grupo. Com defeito: $\dfrac{42\,000}{2} + \dfrac{36\,000}{3} + 0{,}20 \times 5\,000 = 21\,000 + 12\,000 + 1\,000 = 34\,000$. Sem defeito: $83\,000 - 34\,000 = 49\,000$. Produto: $34\,000 \times 49\,000 = 1\,666\,000\,000$, que em dezenas de milhões ($10^7$) dá $166{,}6$, resposta 166 depois de desprezar a parte fracionária. Quem soma as frações ($\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{5}$) e aplica ao total de armas obtém outro número, e o erro é o mesmo da armadilha anterior: frações de bases diferentes não se somam.

Gráfico de barras e de linhas: leia a escala, não a altura

Um gráfico é uma tabela desenhada, e o desenho acrescenta uma coisa que a tabela não tinha: a escala. O eixo horizontal diz o que varia (meses, anos, categorias); o eixo vertical diz o que se mede, em que unidade, de onde começa e de quanto em quanto cresce. Uma barra ou um ponto só vira número depois de lidos os dois eixos, e é na escala que estão as armadilhas mais rentáveis para a banca. O gráfico de barras compara categorias ou períodos discretos; as barras têm a mesma largura e o que importa é a altura. O gráfico de linhas mostra a evolução de uma grandeza ao longo de uma variável contínua, quase sempre o tempo; os pontos são as medidas e os segmentos entre eles são só uma ajuda visual (a linha não garante que o valor de um dia intermediário esteja sobre ela). Barras agrupadas põem lado a lado, para a mesma categoria, duas ou mais séries (mulheres e homens em cada eleição); barras empilhadas somam as séries numa barra só, e a altura total é o total. Um gráfico com dois eixos verticais desenha duas grandezas de unidades diferentes (chuva em mm e temperatura em °C) na mesma figura, cada uma lida no seu eixo; comparar a altura de uma com a da outra não tem sentido.

A variante mais traiçoeira é a de dois gráficos lado a lado com escalas diferentes, porque cada um, sozinho, está correto. Em 2018, o PAS 1 imprimiu o gráfico da chuva diária em Brasília em maio de 2017 (eixo de 0 a 35 mm) e, embaixo, o de maio de 2018 (eixo de 0 a 12 mm). A barra mais alta de 2018 tinha, no papel, quase o tamanho da barra mais alta de 2017; valia 11 mm contra 34,5 mm.

Exemplo resolvido 4: dois gráficos, duas escalas (PAS 1 2018, item 97). O item: “em Brasília, o volume de chuva precipitada em maio de 2018 foi inferior a 20% do volume precipitado em maio de 2017”. Lendo os dois gráficos nas suas escalas, maio de 2017 tem chuva nos dias 7 (cerca de 1,5 mm), 8 (2), 16 (2,5), 17 (1,5), 18 (34,5), 20 (4), 21 (22) e 22 (1,5), e maio de 2018 tem chuva num único dia, o 20, com 11 mm. O volume do mês é a soma das barras (o índice é em milímetros por metro quadrado, logo a comparação entre meses é a comparação das somas): 2017, $1{,}5 + 2 + 2{,}5 + 1{,}5 + 34{,}5 + 4 + 22 + 1{,}5 = 69{,}5$ mm, aproximadamente; 2018, 11 mm. Vinte por cento de 69,5 são 13,9 mm, e 11 é inferior a isso: certo. Conferência da folga: mesmo que as barras pequenas de 2017 fossem lidas com erro de 1 mm cada, o total ficaria entre 63 e 76 mm, e 20% dele entre 12,6 e 15,2 mm, sempre acima de 11; o julgamento não depende da precisão da leitura. O que o item testa é se o candidato percebe que as duas maiores barras, parecidas no papel, estão em escalas diferentes; quem compara alturas conclui que 2018 choveu “quase um terço” de 2017 e erra.

Uma leitura mais simples, a de linha de grade, derrubou candidatos no PAS 3 de 2008. Um gráfico de barras agrupadas dava o percentual da população desnutrida em cinco regiões, em 1997 e em 2003, sem rótulos numéricos; o item afirmou que, “em 1997, menos de 10% da população da América Latina e do Caribe estava desnutrida”. A barra de 1997 dessa região passava um pouco da linha dos 10%. Errado, e a única habilidade cobrada é seguir a linha horizontal do 10 até a barra e ver de que lado o topo fica. Em gráficos sem rótulos, a grade é a régua; leia sempre o topo da barra contra a linha mais próxima, e, quando o topo está perto demais de uma linha para decidir, desconfie de que o item foi feito justamente para ficar longe.

O PAS 1 de 2007 cobrou a soma de barras e a estimativa com uma barra sem rótulo. O gráfico trazia o comprimento de estrada de ferro construído em cada um de 10 meses: 2,8; 2,8; (3.º mês sem rótulo); 5,6; 5,6; 2,8; 2,8; 1,4; 1,4; 0,4 km, com a barra do 3.º mês desenhada numa altura entre a do 2.º e a do 4.º. O item 53 afirmou que “nos cinco últimos meses, foram construídos mais de 10 km”: $2{,}8 + 2{,}8 + 1{,}4 + 1{,}4 + 0{,}4 = 8{,}8$ km, errado. O item 54 afirmou que o comprimento total $\ell$ satisfaz $28{,}4 < \ell < 31{,}2$: os nove meses rotulados somam $25{,}6$ km, e a barra sem rótulo está entre 2,8 e 5,6, logo $\ell$ está entre $25{,}6 + 2{,}8 = 28{,}4$ e $25{,}6 + 5{,}6 = 31{,}2$, certo. O valor omitido não impede a conclusão, porque o desenho ainda informa um intervalo; “não sei o número” e “não sei nada” são coisas diferentes.

O mesmo gráfico de 2018 trouxe o item 118: “o gráfico de candidatos eleitos mostra que, nas eleições municipais do período considerado, ocorreu forte tendência de as mulheres votarem em mulheres”. O gráfico de eleitos tem o número de vereadoras e vereadores eleitos; não tem quem votou em quem. Nenhuma leitura de barras, por mais cuidadosa, extrai de “quantas mulheres foram eleitas” a informação “quem as elegeu”. Errado, e por um motivo diferente dos anteriores: não é um erro de conta nem de escala, é a atribuição ao gráfico de um dado que ele não contém. A pergunta “o que este gráfico mediu?” tem de ser feita antes da pergunta “quanto?”.

O rótulo diz o que a curva mede

Em gráficos de linha e de função, o rótulo do eixo vertical e a legenda dizem qual grandeza está desenhada, e nem sempre é a grandeza sobre a qual o item pergunta. O PAS 3 de 2013 deu um gráfico da função $y = p(t)$ e explicou, no texto, que o preço do gás natural era $F(t) = p(t) + 6$; o gráfico de $p$ tinha máximo $6{,}5$ em $t_1$, o ano de 2008. O item 96 afirmou que “era superior a 12 dólares o preço do gás natural em 2008”. O gráfico mostra $p(t_1) = 6{,}5$; o preço é $F(t_1) = 6{,}5 + 6 = 12{,}5$, superior a 12: certo. Quem lê o 6,5 como preço marca errado. O deslocamento de 6 unidades estava escrito no texto, não no gráfico, e o item inteiro consiste em juntar os dois.

Também importa o que cada ponto resume. No PAS 2 de 2010, dois gráficos de linha apresentavam “as médias por década” das exportações e da balança comercial brasileira entre 1821 e 1900: exportações de 3,9; 4,9; 5,5; 10,2; 15,0; 20,0; 22,1 e 29,1 milhões de dólares por década, e saldo da balança (exportações menos importações) de $-0{,}4$; $-0{,}5$; $-0{,}6$; $-1{,}3$; $1{,}8$; $3{,}5$; $2{,}8$ e $3{,}8$. O item 46 afirmou que “é correto inferir das informações dos gráficos que, em todos os anos do Reinado de D. Pedro I, o valor das importações superou o valor das exportações”. O reinado vai de 1822 a 1831 e cabe nas duas primeiras décadas do gráfico, 1821–1830 e 1831–1840, ambas com saldo médio negativo, isto é, importações acima das exportações na média da década. O gabarito oficial foi certo: a banca tomou o saldo negativo das décadas que cobrem o reinado como a informação que sustenta a afirmação. Vale registrar o que a leitura rigorosa acrescenta: uma média negativa por década não exclui que um ano isolado tenha tido saldo positivo, de modo que “todos os anos” é mais do que médias decenais conseguem garantir. O gabarito tomou a média da década como leitura suficiente (e o texto-base ajuda, ao situar o saldo positivo só “a partir de 1861”); a ressalva fica para a sua leitura crítica, não para a marcação. O candidato precisa saber as duas coisas: o que o gráfico diz e o que o gabarito considerou suficiente.

Dois gráficos sobre a mesma coisa permitem derivar uma terceira série. Com as exportações $E$ e o saldo $S = E - I$ de cada década, as importações são $I = E - S$: $3{,}9 + 0{,}4 = 4{,}3$; $4{,}9 + 0{,}5 = 5{,}4$; $5{,}5 + 0{,}6 = 6{,}1$; $10{,}2 + 1{,}3 = 11{,}5$; $15{,}0 - 1{,}8 = 13{,}2$; $20{,}0 - 3{,}5 = 16{,}5$; $22{,}1 - 2{,}8 = 19{,}3$; $29{,}1 - 3{,}8 = 25{,}3$ milhões de dólares. O sinal do saldo é o cuidado: subtrair um saldo negativo aumenta as importações. A prova de 2010 pediu, no item 42, a média anual dessas importações, e o item acabou anulado; a conta das importações, porém, é pura leitura, e a página seguinte conta o resto da história.

Gráfico de setores: fatias de um único todo

Num gráfico de setores (“pizza”), o círculo inteiro é o total e cada setor é uma parte dele; a fração que a parte representa é a mesma na área, no ângulo central e no percentual:

$$\frac{\text{parte}}{\text{total}} = \frac{\text{ângulo}}{360^\circ} = \frac{x}{100}.$$

Os 15 milhões de indigentes entre 180 milhões de brasileiros ocupam $\dfrac{15}{180} \times 360^\circ = 30^\circ$; os 25 milhões de “privilegiados”, $50^\circ$; os 140 milhões restantes, $280^\circ$. Para ler um setor sem rótulo, compare-o com os marcos fáceis: um quarto do círculo ($90^\circ$) é 25%, metade é 50%, um décimo ($36^\circ$) é 10%. Para desenhar, converta cada percentual em ângulo e confira se os ângulos somam $360^\circ$.

O gráfico de setores só faz sentido quando as fatias são partes disjuntas de um mesmo todo. Ele não serve para grandezas que não se somam (as temperaturas de doze meses), para percentuais de bases diferentes (a fatia de mulheres em cada uma de quatro eleições) nem para categorias que se sobrepõem (quem estuda e quem trabalha, quando há quem faça os dois). Também esconde a ordem: um gráfico de setores dos consumos mensais de energia de uma casa soma 100% e é tecnicamente correto, mas a pergunta natural sobre consumo mensal, “em que mês gastou mais e como variou ao longo do ano”, é respondida em um segundo por um gráfico de linhas e exige ler doze rótulos na pizza.

Da tabela ao gráfico e de volta

Passar de uma tabela para um gráfico é escolher a forma que responde à pergunta e conferir que os valores sobreviveram ao desenho. Categorias se comparam em barras; uma grandeza ao longo do tempo pede linhas (ou barras por período); partes de um todo pedem setores; duas grandezas medidas nos mesmos indivíduos pedem um gráfico de dispersão (um ponto por indivíduo). O caminho inverso, identificar entre vários gráficos o que corresponde a uma tabela, é um formato clássico de item tipo C, e a técnica é a mesma de uma prova dos nove: escolha dois ou três valores fáceis de localizar (o maior, o menor, o primeiro) e elimine cada gráfico em que um deles não bate.

O PAS 2 de 2008 reproduziu a fatura de energia de uma família de Brasília com o histórico de consumo de 2007: janeiro 410 kWh, fevereiro 440, março 430, abril 420, maio 330, junho 430, julho 450, agosto 370, setembro 380, outubro 380, novembro 360, dezembro 360. O item 85 pediu “a opção cujo gráfico representa corretamente os consumos mensais”. Três pontos bastam: o mínimo é maio (330), o máximo é julho (450), e janeiro vale 410. Uma das opções era um gráfico de linhas com exatamente esses pontos (janeiro em 410, uma queda a 330 em maio, um pico de 450 em julho, e o eixo vertical começando em 320, truncado, o que acentua a queda de maio sem alterar os valores); outra era um gráfico de setores cujos rótulos (550, 110, 300…) não correspondiam a nenhum mês da fatura; outra, um gráfico de barras com o máximo em junho (530) e o mínimo em janeiro (250); outra, um gráfico de área com janeiro em cerca de 230. Só a primeira sobrevive aos três pontos. Em itens assim, a tentação é comparar a “forma geral”; a forma engana, e os valores não.

Variação percentual lida no gráfico

Entre dois pontos de um gráfico, a variação percentual é a diferença dividida pelo valor inicial:

$$\text{variação} = \frac{\text{final} - \text{inicial}}{\text{inicial}} \times 100\%.$$

As exportações brasileiras foram de 3,9 milhões de dólares na década de 1821–1830 para 29,1 na de 1891–1900: $\dfrac{29{,}1 - 3{,}9}{3{,}9} \approx 6{,}46$, um aumento de cerca de 646%, ou seja, o valor final é cerca de 7,5 vezes o inicial. O denominador é sempre o ponto de partida, e por isso a mesma diferença vale percentuais diferentes conforme a direção: de 20 para 25 é $+25\%$; de 25 para 20 é $-20\%$.

Quando o gráfico dá uma variação e o item pede uma projeção, a variação se aplica em cadeia. O PAS 3 de 2008 deu a produção mundial de cereais em milhões de toneladas: 1 573 em 1980 e 1 718 em 1985 (depois 1 903, 1 930, 2 100 e 2 270 até 2005), e o item 17 supôs que, de 1970 a 1975 e de 1975 a 1980, “tenha havido o mesmo crescimento percentual” observado de 1980 a 1985, afirmando que a produção de 1970 “foi superior a 1.300 milhões de toneladas”. O crescimento lido é $\dfrac{1\,718}{1\,573} \approx 1{,}092$, cerca de 9,2% por quinquênio; voltando dois quinquênios, $1\,573 \div 1{,}092^2 \approx 1\,573 \div 1{,}193 \approx 1\,319$ milhões, superior a 1 300: certo. Dividir duas vezes por 1,092 não é subtrair duas vezes 9,2%: a conta por subtração dá $1\,573 \times (1 - 0{,}184) \approx 1\,284$ e troca o julgamento. A matemática das variações encadeadas, com juros e fatores de crescimento, está na página de juros simples e compostos; aqui importa a leitura: o percentual sai de dois pontos do gráfico, e o fator que ele gera se aplica por multiplicação.

As médias ficam para a página seguinte

Quase todo item de leitura de dados pode terminar com uma média: “em média, por município”, “a média do período de 1985 a 2000”, “a média das quatro eleições”. A média é uma conta sobre os dados lidos, e uma conta certa sobre dados lidos errado continua errada; por isso esta página vem antes. O que a página de média, moda e mediana acrescenta é o que fazer com os números depois de lidos: a média como total repartido, a média ponderada quando as bases são diferentes (a mesma ideia da armadilha dos percentuais, resolvida de uma vez), a mediana e a moda. A dispersão, por sua vez, mede o quanto os dados de uma tabela se afastam da média, e a probabilidade usa a tabela de dupla entrada como espaço amostral, com os totais de linha e de coluna no lugar que esta página lhes deu.

Como a banca pergunta

A leitura de dados é o assunto mais constante da estatística do PAS: aparece nas três etapas, em provas de 2006 a 2025, e quase sempre pendurada num texto de outra disciplina, história (balança comercial do Império), biologia (etanol, sexualidade na adolescência), sociologia (candidaturas femininas), geografia (MATOPIBA, chuvas). A primeira habilidade é reconhecer que o item é seu: ele traz um número, um percentual, “a tabela”, “o gráfico”, “proporcionalmente”, “em todos os anos”, e cabe resolvê-lo sem ler o texto inteiro, só o quadro.

Tipo A com limiar. A afirmação compara uma quantidade lida com um número redondo (“inferior a 53%”, “mais de 10 km”, “superior a 12 dólares”, “inferior a 20%”). O limiar fica perto do valor real quando o item quer punir arredondamento (651 contra 655) e longe quando quer punir a leitura errada (8,8 contra 10; 11 contra 13,9). Compare antes de arredondar e, quando a leitura de um gráfico é aproximada, verifique se a folga do limiar absorve o erro de leitura.

“É correto inferir dos dados que…” A frase diz que o julgamento é sobre o que o quadro permite concluir. Uma afirmação verdadeira no mundo mas ausente dos dados (o tamanho dos estados; quem votou em quem) é errada; uma afirmação sustentada pelos dados é certa mesmo que você desconfie dela por outros motivos.

Tipo B com fator de escala. “Em dezenas de milhões”, “multiplique por 100”, “em milhares de cm³”: o fator se aplica ao final, e só depois se despreza a parte fracionária ($166{,}6 \to 166$). Guarde as unidades de cada coluna até o fim.

Tipo C com opções-gráfico ou opções-intervalo. Quando as quatro opções são gráficos, elimine com dois ou três valores; quando são intervalos (“maior que 1.000 e menor que 1.500”), calcule a quantidade com precisão suficiente para cair num só intervalo, e repare que as fronteiras dos intervalos costumam ser as respostas das leituras erradas.

O que a prova nunca pede. Fórmulas de estatística que não estejam na página seguinte, desenhar gráficos (exceto em itens tipo D, raros) ou conhecer os dados de antemão. Toda informação necessária está no quadro ou no texto; se a sua resposta exige um número que não está lá, releia o cabeçalho.

Os erros que mais derrubam

• Comparar percentuais de todos diferentes como se fossem fatias do mesmo bolo. 38% e 18% da região não ordenam os estados; 35,2% e 31,2% de populações diferentes não ordenam as quantidades.
• Somar, subtrair ou tirar a média de percentuais de bases diferentes. Converta em quantidades; some as quantidades; divida pela soma das bases.
• Percentual de percentual somado em vez de multiplicado. 30% de 40% são 12%, não 70% nem 10%.
• Ler a célula da linha errada ou da coluna errada. Municípios, desalojados e desabrigados estavam em linhas vizinhas; mulheres e homens, em barras vizinhas.
• Ignorar a unidade e o fator de escala. “× 1.000”, “em milhares”, “em dezenas de milhões”, “mm por m²”. O fator é parte do dado.
• Ler a altura em vez do valor. Eixo truncado; dois gráficos com escalas diferentes; barra lida pela impressão, não pela grade.
• Inverter a direção de uma proporção. “A é a metade de B” faz B o dobro de A, e não o contrário.
• Desfazer um aumento de $x\%$ com uma redução de $x\%$. 40% a mais se desfaz com 28,6% a menos; 36 hectares não eram a resposta.
• Atribuir ao gráfico um dado que ele não contém. Quem votou em quem; o tamanho dos estados; o valor exato de um ano quando o ponto é a média da década.
• Esquecer o deslocamento ou a legenda. O gráfico era de $p(t)$; o preço era $p(t) + 6$.
• Confundir pontos percentuais com variação percentual. De 22,0% para 32,6%: 10,6 pontos, 48% de aumento.
• Escolher o gráfico pela forma geral. Teste três valores; a forma engana.
• Aplicar o fator de escala cedo demais ou esquecê-lo. O produto era 1,666 bilhão; em dezenas de milhões, 166.

O essencial em meia página

• Antes da conta, cinco perguntas: o que a tabela mediu; percentual de quê; absoluto ou relativo; em que unidade e com que fator de escala; o que o gráfico permite concluir.
• Tabela de dupla entrada: célula $n_{ij}$; totais de linha $L_i$, de coluna $C_j$ e geral $N$; três percentuais da mesma célula ($n_{ij}/L_i$, $n_{ij}/C_j$, $n_{ij}/N$); confira que linhas e colunas somam o mesmo total.
• Percentual de um recorte: $p = \frac{x}{100}T$ informa sobre $p$ em relação a $T$ e nada mais; fatias só se comparam dentro do mesmo todo; percentual de percentual multiplica.
• Absoluto × relativo: bases iguais, o percentual basta; bases diferentes, quantidade $=$ percentual $\times$ base, e “proporcionalmente” e “numericamente” podem discordar.
• Bases diferentes nunca se somam em percentual: $\dfrac{0{,}20 \times 50 + 0{,}50 \times 20}{70} = 28{,}6\%$, não 35%.
• Proporções em prosa: uma incógnita, as outras como múltiplos dela, soma igual ao total; cuidado com a direção de “metade de”.
• Taxas por unidade encadeiam-se por multiplicação: ha $\to$ t $\to$ L; um aumento de $x\%$ se desfaz com redução de $\frac{x}{100+x}$.
• Frações de grupos diferentes: aplique cada fração ao seu grupo e some as quantidades.
• Gráficos: barras para categorias, linhas para o tempo, setores para partes de um todo, dispersão para duas grandezas; eixo truncado distorce razões de altura; escalas diferentes lado a lado enganam; a grade é a régua; barras agrupadas têm a fração sobre o total do grupo.
• Rótulo e legenda: diga o que a curva mede (era $p$, não $p + 6$) e o que cada ponto resume (média por década).
• Setores: $\dfrac{\text{parte}}{\text{total}} = \dfrac{\text{ângulo}}{360^\circ} = \dfrac{x}{100}$; só para partes disjuntas de um todo; ângulos somam $360^\circ$.
• Tabela $\leftrightarrow$ gráfico: confira o primeiro valor, o mínimo e o máximo; elimine o que não bate.
• Variação percentual: $\dfrac{\text{final} - \text{inicial}}{\text{inicial}}$; pontos percentuais $\ne$ percentual; variações em cadeia multiplicam fatores.
• Na prova: “é correto inferir dos dados” julga o que o quadro sustenta; limiar perto pede conta exata, limiar longe pede leitura certa; fator de escala por último; opções-gráfico se eliminam com três pontos.