Média, moda e mediana

Média, moda e mediana resumem aspectos diferentes de um conjunto de dados. Nenhuma delas representa tudo o que aconteceu. Antes da conta, identifique a variável, sua unidade, o número de observações e o significado de cada linha de uma tabela. Uma frequência conta quantas vezes um valor ocorreu; não é necessariamente mais um valor a entrar na lista.

Média: distribuir o total igualmente

A média aritmética de $n$ valores numéricos é $\bar{x}=(x_1+\cdots+x_n)/n$. Ela representa o valor que cada observação teria se o total fosse repartido igualmente. Para os dados 2, 3, 3, 7 e 10, a soma é 25 e a média é 5.

A média não precisa pertencer ao conjunto. Nesse exemplo, nenhum dado vale 5. Ela também não é necessariamente o valor mais frequente nem aquele que ocupa o centro da lista ordenada. Uma conferência útil é multiplicar a média pela quantidade de observações: $5\cdot5=25$, recuperando o total.

Se acrescentamos a mesma constante a todos os dados, a média aumenta por essa constante. Multiplicar todos por um fator multiplica a média pelo mesmo fator. Essas propriedades ajudam em conversões de unidade e na revisão de cálculos, desde que a transformação seja aplicada a todas as observações.

Frequências e média ponderada

Considere uma turma em que duas pessoas obtiveram nota 4, três obtiveram 6 e cinco obtiveram 8. Há dez estudantes, não três. A média é $(2\cdot4+3\cdot6+5\cdot8)/10=66/10=6{,}6$. Somar 4, 6 e 8 e dividir por três ignoraria as frequências.

A fórmula ponderada é $\bar{x}=\sum w_ix_i/\sum w_i$, com pesos não negativos e soma dos pesos positiva. Os pesos podem representar frequências ou critérios previamente definidos. Em uma avaliação com notas 5 e 9 e pesos 1 e 3, a média é $(1\cdot5+3\cdot9)/4=8$. Não dividimos pelo número de notas, pois os pesos somam quatro.

Para combinar grupos, os tamanhos funcionam como pesos. Um grupo de dez pessoas tem média 6 e outro de trinta tem média 8. A média conjunta é $(10\cdot6+30\cdot8)/40=7{,}5$, e não 7. A média simples das duas médias é garantidamente adequada quando os grupos têm o mesmo tamanho; também coincide com a ponderada quando as médias dos grupos são iguais.

Mediana: posição depois da ordenação

A mediana divide uma lista ordenada em duas metades, considerando as posições dos dados. Para quantidade ímpar $n$, ela ocupa a posição $(n+1)/2$. Na lista 2, 3, 3, 7, 10, a terceira observação é 3, portanto a mediana é 3.

Para quantidade par de dados numéricos, usamos a média aritmética dos dois valores centrais. Na lista 1, 2, 6, 8, a mediana é $(2+6)/2=4$. A posição é identificada pela contagem, mas o resultado usa os valores nas posições. Calcular a média dos números das posições seria outro erro.

Uma tabela de frequências também permite localizar a mediana sem expandir a lista. Na turma das notas, as posições 1 e 2 têm nota 4; de 3 a 5, nota 6; de 6 a 10, nota 8. As posições centrais são 5 e 6, dando mediana $(6+8)/2=7$.

Moda: o que aparece mais

Moda é o valor ou categoria de maior frequência. Em 2, 3, 3, 7, 10, a moda é 3. Em 1, 1, 4, 4, 8, há duas modas, 1 e 4: a distribuição é bimodal. Pode haver mais de duas categorias empatadas na frequência máxima.

Quando todos os valores aparecem com a mesma frequência, a convenção escolar frequentemente classifica o conjunto como amodal, sem destaque de frequência; outras convenções chamam todos os valores de modais. O importante é explicitar o empate. A moda também pode resumir categorias sem ordem, como a cor preferida. A mediana exige uma ordenação e a média exige valores numéricos apropriados.

Valores extremos e interpretação

Troque o 10 da primeira lista por 100. A nova soma é 115 e a média sobe de 5 para 23. A mediana continua 3 e a moda continua 3. O extremo arrasta a média, mas não mudou as posições centrais nem a categoria mais frequente. Isso explica a utilidade da mediana em distribuições com valores muito distantes dos demais.

Essa resistência não significa que a mediana nunca muda: trocar ou acrescentar observações pode deslocar o centro. Tampouco a relação entre média e mediana prova sozinha a forma de toda a distribuição. Observe os dados e, quando disponíveis, medidas de dispersão e gráficos.

Ao interpretar pesquisas, mantenha explícita a população considerada. A probabilidade condicional mostra como mudar o grupo de referência também muda proporções, mesmo usando a mesma tabela.