Probabilidade condicional

Probabilidade condicional é a chance de um evento quando sabemos que outro ocorreu. Essa informação muda o conjunto de possibilidades considerado. Em uma pesquisa, perguntar qual fração de todos os participantes lê ficção difere de perguntar qual fração dos participantes de um clube lê ficção. Os numeradores podem até coincidir, mas os denominadores respondem a perguntas diferentes.

A condição define o novo universo

Para eventos $A$ e $B$ com $P(B)>0$, definimos $P(A\mid B)=P(A\cap B)/P(B)$. O símbolo vertical é lido como “dado que”. O evento depois da barra é a condição e determina a normalização. Não se trata de dividir por qualquer total disponível.

Em um espaço finito equiprovável, a fórmula pode ser escrita como $n(A\cap B)/n(B)$. Primeiro filtre os resultados que atendem a $B$; depois conte quais deles também atendem a $A$. Se $P(B)=0$, essa fórmula não define a condicional. Os métodos de condicionamento para variáveis contínuas exigem um tratamento diferente.

Uma tabela, três perguntas

Uma turma tem 40 estudantes. Entre os 16 que participam de um clube de leitura, 12 preferem ficção e quatro preferem outros gêneros. Entre os 24 que não participam, oito preferem ficção e 16 preferem outros gêneros. Cada estudante pertence a exatamente uma das quatro células da tabela.

A chance de preferir ficção entre todos os estudantes é $20/40=1/2$. Sabendo que a pessoa pertence ao clube, a chance é $12/16=3/4$. Já a chance de pertencer ao clube entre quem prefere ficção é $12/20=3/5$. Inverter a condição troca o denominador: $P(A\mid B)$ geralmente difere de $P(B\mid A)$.

A probabilidade conjunta de participar do clube e preferir ficção é $12/40=3/10$. Ela ainda usa a turma inteira como referência. As quatro respostas descrevem a mesma tabela, mas nenhuma deve ser substituída por outra apenas porque os dados parecem semelhantes.

Multiplique seguindo os ramos

Reorganizando a definição, obtemos $P(A\cap B)=P(B)P(A\mid B)$. Na turma, $16/40\cdot12/16=12/40$, confirmando a conjunta. Em uma árvore, cada ramo da segunda etapa leva uma probabilidade condicionada ao caminho já percorrido.

Uma caixa tem três fichas verdes e duas amarelas. Retiramos duas sem reposição, com sorteio uniforme em cada etapa. A chance de duas verdes é $3/5\cdot2/4=3/10$. Para uma de cada cor, há dois caminhos disjuntos: verde-amarela e amarela-verde. A soma é $3/5\cdot2/4+2/5\cdot3/4=3/5$.

Se houver reposição, a composição original é restaurada antes da segunda retirada. Com os sorteios independentes, as probabilidades da segunda etapa voltam a ser 3/5 e 2/5. A regra de multiplicação continua válida; o que muda são as condicionais colocadas nos ramos.

Independência não significa separação

Dois eventos são independentes quando $P(A\cap B)=P(A)P(B)$. Se $P(B)>0$, isso equivale a $P(A\mid B)=P(A)$. A informação de que $B$ ocorreu não altera a chance de $A$. É uma propriedade numérica do modelo, não uma impressão sobre os temas envolvidos.

Eventos disjuntos com probabilidades positivas não são independentes: sua interseção tem probabilidade zero, mas o produto das probabilidades é positivo. Em um dado, “obter 1” e “obter 6” se excluem; saber que saiu 1 torna impossível sair 6 no mesmo lançamento. Já resultados de lançamentos independentes podem ocorrer conjuntamente.

Reconstituir um total e inverter uma condição

Uma fábrica produz peças em duas máquinas. A máquina I fornece 60% das peças e tem 2% de peças com determinada falha; a II fornece 40% e tem 5% com a mesma falha. Escolhendo uniformemente uma peça da produção conjunta, a chance de falha é $0{,}6\cdot0{,}02+0{,}4\cdot0{,}05=0{,}032$, ou 3,2%.

Entre as peças com falha, a fração proveniente da máquina II é $0{,}4\cdot0{,}05/0{,}032=0{,}625$, ou 62,5%. O numerador mede o caminho “II e falha”; o denominador soma todos os caminhos que levam à falha. Essa é uma aplicação da fórmula de Bayes. Não basta responder 5%: esse número condiciona na máquina, não na falha.

Leia associações com cuidado

Na tabela do clube, 75% dos participantes preferem ficção, contra aproximadamente 33,3% dos não participantes. Isso revela associação nos dados, mas não prova que participar cause a preferência: estudantes que já preferiam ficção podem ter escolhido o clube. Probabilidade condicional organiza a informação observada; causalidade depende do desenho da investigação.

Retome probabilidade para revisar união e complementar; a análise combinatória ajuda a contar casos dentro do grupo condicionado.