Curso · Matemática

Matemática PAS 3: geometria analítica, matrizes, complexos e polinômios

A 3.ª etapa do PAS/UnB em Matemática na sequência do Rota PAS 3: o plano cartesiano e as retas; matrizes, sistemas, determinantes e as transformações que giram pontos; distâncias, circunferência e números complexos; polinômios e as equações que as raízes decidem.

1 Plano cartesiano A prova do PAS 3 de 2012 pôs um campo de futebol num sistema de eixos com a linha do gol sobre o eixo y, parou uma bola de 22 cm de diâmetro com o centro em (−3/25 m, 0 m) e perguntou se o juiz devia confirmar o gol; a de 2023 marcou quatro pontos sobre uma tela de Lasar Segall e afirmou que o quadrilátero tinha 36 unidades de área; a de 2015 deu os quatro vértices de um terreno e pediu a reta pelos pontos médios de dois lados. Em nenhum dos três há fórmula nova: há um par de números por ponto. Como transformar uma posição em dois números e, a partir deles, calcular tudo o que o desenho só sugere? Conteúdo e materiais de estudo
2 Equação da reta O item D do PAS 3 de 2018 pôs o Rio Grande do Sul num plano em quilômetros, com Cachoeira do Sul na origem, e mandou esboçar a reta 8x − 21y = 1 600 dizendo por qual cidade ela passava; em 2019, o mapa do porto de Nova Iorque afirmou que, se um museu estivesse sobre a reta por duas ilhas, suas coordenadas satisfariam w/8 − z/15 = 13/60; em 2010, o espelho secundário do Hubble, inclinado 120° em relação ao eixo x e passando por (50, 0), teria equação y = −√3(x − 50). Três cenários, uma pergunta: que condição sobre x e y descreve uma reta inteira, e como se passa da equação ao desenho e do desenho à equação? Conteúdo e materiais de estudo
3 Posições relativas de retas A prova do PAS 3 de 2025 pôs uma estrada de canavial sobre a reta 3x + 4y = 800, apresentou um segundo trajeto, 3y − 4x + 800 = 0, e afirmou que os dois eram paralelos; a de 2023 marcou O(0, 0), A(4, 3) e C(8, −3) sobre uma tela de Lasar Segall e afirmou que OA e OC eram perpendiculares; a de 2022 deu os quatro vértices de uma mesa desenhada em perspectiva e pediu a ordenada do ponto de fuga, onde dois lados prolongados se encontram. Nos três casos ninguém desenhou com régua: a resposta saiu de dois números por reta. Como decidir, só com as equações, se duas retas se cruzam, nunca se encontram ou são a mesma, e se o cruzamento é em ângulo reto? Conteúdo e materiais de estudo
4 Matrizes A prova do PAS 2 de 2013 imprimiu uma tabela com os pacotes de café, arroz e açúcar que uma família comprou em janeiro, fevereiro e março, pôs os três preços numa coluna e afirmou que uma certa entrada do produto das duas tabelas, c₁₁ − c₃₁ = 20, era a diferença de gasto entre janeiro e março; a de 2008 deu as horas de uso de três aparelhos em três meses, o total mensal em kWh, e afirmou que o consumo por hora de cada aparelho saía da equação AX = B; a de 2022 imprimiu quatro produtos de matrizes e pediu qual deles traduzia três frases sobre uma comunidade de 300 pessoas. Em nenhum caso houve conta pesada: a pergunta era o que significa multiplicar uma tabela por outra. Por que uma tabela de números vira um objeto que se soma, se multiplica e resolve sistemas, e o que exatamente cada entrada do produto está dizendo? Conteúdo e materiais de estudo
5 Sistemas lineares Uma loja cobra o mesmo por cada camisa e o mesmo por cada calça; Alberto pagou 160 reais por 3 camisas e 2 calças, e Junior, com 25 % de desconto em tudo, pagou 120 pelos mesmos 3 e 2. A prova do PAS 2 de 2020 afirmou que, com isso, é impossível descobrir o preço de qualquer das peças. Duas equações, duas incógnitas, e mesmo assim não dá? Quando um conjunto de frases numéricas determina as incógnitas, quando deixa infinitas respostas e quando se contradiz, e como se chega à resposta sem se perder quando há três letras? Conteúdo e materiais de estudo
6 Determinantes A prova do PAS 3 de 2025 imprimiu a matriz 3×3 de um circuito elétrico e pediu, num item de resposta numérica, o determinante da matriz 2A. Quem calculou det A = 39 e dobrou marcou 78; a resposta certa era 312, oito vezes 39. Dois anos antes, a 2.ª etapa deu uma matriz 2×2 com temperaturas, fixou o determinante em −1/2 e afirmou que a incógnita era menor que 3 (era 3,75). O que é esse número que cada matriz quadrada carrega, por que ele mede área, decide se um sistema tem uma solução só e resolve o sistema por uma razão de determinantes, e por que dobrar a matriz o multiplica por 8? Conteúdo e materiais de estudo
7 Transformações no plano Um editor de imagens tem cinco botões que mexem numa figura inteira: mover, espelhar, girar, redimensionar e inclinar. Por trás de cada botão há uma regra única aplicada a todos os pontos, e quatro dos cinco cabem em quatro números. Que números são esses, como se lê neles o que a figura vai sofrer (e em que sentido gira), por que aplicar dois botões em ordens diferentes dá figuras diferentes, e como um único número, o determinante, diz quanto a área mudou e se a figura virou do avesso? Conteúdo e materiais de estudo
8 Distâncias na geometria analítica Em 2025, a prova do PAS 3 pôs um canavial sobre um plano em metros, chamou de r: 3x + 4y = 800 o eixo de uma estrada e afirmou que a distância mínima do ponto P(500, 30) até ela passava de 200 m; em 2015, deu os quatro vértices de um terreno e afirmou que a diagonal AC era maior que a BD, quando o desenho dizia o contrário da conta; em 2024, pediu em metros, vezes dez, a distância do ponto B(3, 0) ao segmento que liga A(−3, 0) a D(0, 12) na fachada do Itamaraty. Em todos, a pergunta é a mesma: qual é o menor caminho entre dois objetos do plano, e como calculá-lo só com os números das coordenadas? Conteúdo e materiais de estudo
9 Equação da circunferência Vistos de satélite, os pivôs de irrigação de Cristalina, a 130 km de Brasília, são discos verdes quase perfeitos, alguns com 800 m de raio. Num mapa em coordenadas, cada pivô é um centro e um raio. Que equação descreve a borda molhada, e como decidir, sem desenhar, se uma estrada vicinal passa por dentro, apenas encosta ou fica de fora do círculo? Conteúdo e materiais de estudo
10 Números complexos Um drone de entrega sai da base, voa 3 km para leste e 4 km para norte; o controlador escreve a posição como 3 + 4i e, para girar a rota 90° à esquerda, simplesmente multiplica esse número por i. Que número é esse que guarda um ponto inteiro do plano numa única letra, por que multiplicar por ele gira em vez de esticar, como se escreve a mesma posição como "5 km na direção de 53°", e por que as soluções de zⁿ = w se arrumam sozinhas nos vértices de um polígono regular? Conteúdo e materiais de estudo
11 Polinômios A prova do PAS 3 de 2025 deu três expressões de uma fábrica de carros elétricos e perguntou se a produção do segundo ano cobria a demanda e se o total produzido era "sempre divisível" pela demanda; a de 2022 deu três números de desmatamento e afirmou qual seria o quarto. O que um polinômio é, como se avalia, divide e fatora, e o que ele consegue prever sem que ninguém resolva equação nenhuma? Conteúdo e materiais de estudo
12 Equações polinomiais A prova do PAS 3 de 2025 deu a produção anual de dois modelos de carro elétrico por dois polinômios de grau 4 e perguntou quantos carros saíam no ano em que as produções coincidiam; a de 2014 deu uma cúbica com uma raiz real conhecida e uma raiz complexa e cobrou o coeficiente. Ninguém resolve uma equação de grau 3 ou 4 por fórmula no vestibular: o que os coeficientes já contam sobre as raízes, quantas raízes existem de fato e como uma raiz à mostra, uma substituição ou um par conjugado fecham a equação inteira? Conteúdo e materiais de estudo