Transformações no plano

Um estudante monta o cartaz da feira de ciências num editor de imagens. Ele importa o logotipo da escola, que fica torto; usa o botão girar e o desenho roda; fica pequeno; usa redimensionar e ele cresce; precisa de uma cópia espelhada para o canto oposto; usa espelhar; por fim arrasta tudo para o centro da folha. Quatro botões, quatro operações, e nenhuma delas foi feita pixel a pixel: cada botão aplica a todos os pontos do logotipo a mesma regra, que recebe as coordenadas $(x, y)$ de um ponto e devolve as coordenadas $(x', y')$ do ponto de chegada. Arrastar é somar um par fixo a cada ponto. Girar, espelhar, redimensionar e inclinar são regras de outro tipo: $x'$ e $y'$ são combinações de $x$ e $y$ com coeficientes fixos, e os coeficientes cabem numa matriz $2 \times 2$. É o que esta página estuda: as transformações do plano, as matrizes que as representam, o que acontece quando se aplica uma depois da outra e os números que dizem, sem desenhar nada, quanto a figura cresceu, se virou do avesso e que pontos ficaram parados.

A matriz é, aqui, um objeto em ação. A álgebra de matrizes em geral (soma, produto, inversa) está na página de matrizes; os quadrantes e a leitura de pontos, na de plano cartesiano; os senos e cossenos dos ângulos usados nas rotações, na de trigonometria no triângulo e na do ciclo trigonométrico.

Mover uma figura inteira é somar o mesmo par a todos os pontos

A operação mais simples é a translação: cada ponto se desloca a mesma distância na mesma direção. Se o deslocamento é “4 para a esquerda e 2 para cima”, o ponto $(x, y)$ vai para $(x - 4, y + 2)$. O par $(-4, 2)$ é o vetor da translação; a regra é somar esse vetor a cada ponto.

Exemplo resolvido 1: achar o vetor e aplicar. Numa animação, o vértice $A(3, -1)$ de um triângulo foi parar em $A'(-1, 4)$ por uma translação. Para onde foram os outros vértices, $B(5, 0)$ e $C(4, 3)$? O vetor é $A' - A = (-1 - 3,\ 4 - (-1)) = (-4, 5)$. Logo $B' = (5 - 4,\ 0 + 5) = (1, 5)$ e $C' = (4 - 4,\ 3 + 5) = (0, 8)$. Conferência: o lado $BC$ mede $\sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10}$ e o lado $B'C'$ mede $\sqrt{(0 - 1)^2 + (8 - 5)^2} = \sqrt{10}$; distâncias preservadas, como toda translação exige.

Há um detalhe de estrutura que vai importar na seção seguinte: a translação não pode ser escrita como uma matriz $2 \times 2$ aplicada ao ponto. Uma matriz leva a origem na origem (multiplicar qualquer matriz pela coluna $(0, 0)$ dá $(0, 0)$), e uma translação de vetor não nulo tira a origem do lugar. Translação é soma; as transformações da próxima seção são produto.

As colunas da matriz dizem para onde vão $(1, 0)$ e $(0, 1)$

Uma matriz $M = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ age sobre um ponto escrito como coluna, pela conta linha sobre coluna: a primeira linha de $M$ multiplica a coluna e produz a nova abscissa, a segunda linha produz a nova ordenada,

$$x' = ax + by, \qquad y' = cx + dy, \qquad \text{isto é,}\quad (x, y) \mapsto (x', y').$$

Aplique-a ao ponto $(1, 0)$: sai $(a, c)$, a primeira coluna. Aplique ao ponto $(0, 1)$: sai $(b, d)$, a segunda coluna. Essa leitura é a chave de toda a página: a primeira coluna é a imagem de $(1, 0)$ e a segunda é a imagem de $(0, 1)$. E como qualquer ponto se escreve $(x, y) = x \cdot (1, 0) + y \cdot (0, 1)$, a imagem de $(x, y)$ é $x$ vezes a primeira coluna mais $y$ vezes a segunda: $M(x, y) = x \cdot (a, c) + y \cdot (b, d)$. A matriz fica inteiramente determinada por onde ela manda dois pontos, e a figura inteira vai atrás.

Exemplo resolvido 2: construir a matriz pelas imagens. Uma transformação linear leva $(1, 0)$ em $(3, 1)$ e $(0, 1)$ em $(-1, 2)$. Qual é a matriz, e para onde vai o ponto $(2, 3)$? As imagens são as colunas: $M = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$. Então $M(2, 3) = (3 \cdot 2 + (-1) \cdot 3,\ 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3) = (3, 8)$. Conferência pela combinação: $2 \cdot (3, 1) + 3 \cdot (-1, 2) = (6 - 3,\ 2 + 6) = (3, 8)$, o mesmo ponto.

Espelhar é trocar um sinal (ou trocar as coordenadas)

Uma reflexão leva cada ponto ao seu simétrico em relação a uma reta, o espelho. Com o espelho passando pela origem, a reflexão é linear e tem matriz; as quatro de prova são as dos eixos e das bissetrizes.

Espelho	Regra	Matriz
eixo $x$ (reta $y = 0$)	$(x, y) \mapsto (x, -y)$	$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$
eixo $y$ (reta $x = 0$)	$(x, y) \mapsto (-x, y)$	$\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$
bissetriz $y = x$	$(x, y) \mapsto (y, x)$	$\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$
bissetriz $y = -x$	$(x, y) \mapsto (-y, -x)$	$\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$

Cada uma sai da leitura das colunas. Para o espelho $y = x$, o ponto $(1, 0)$ vai para $(0, 1)$ e o ponto $(0, 1)$ vai para $(1, 0)$: as colunas são $(0, 1)$ e $(1, 0)$. Para o espelho $y = -x$, $(1, 0)$ vai para $(0, -1)$ e $(0, 1)$ vai para $(-1, 0)$.

Três fatos sobre reflexões que a prova gosta de testar:

• Reflexão desfaz a si mesma. Refletir duas vezes no mesmo espelho devolve o ponto: $S \cdot S = I$. Confira com o espelho $y = x$: $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.
• Duas reflexões seguidas dão uma rotação. Refletir no eixo $x$ e depois no eixo $y$ leva $(x, y)$ em $(-x, -y)$: é a meia-volta em torno da origem, e não uma reflexão (não há espelho que leve $(1, 0)$ em $(-1, 0)$ e $(0, 1)$ em $(0, -1)$ ao mesmo tempo). Em geral, duas reflexões em espelhos que se cruzam formando um ângulo $\varphi$ compõem uma rotação de $2\varphi$.
• O determinante de uma reflexão é $-1$. $1 \cdot (-1) - 0 = -1$, $0 \cdot 0 - 1 \cdot 1 = -1$: o sinal negativo é a marca da inversão de orientação, assunto de uma seção adiante.

A meia-volta $(x, y) \mapsto (-x, -y)$, chamada às vezes de “simetria em relação à origem”, tem matriz $\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ e determinante $+1$: é uma rotação de $180°$, e a figura chega girada, não espelhada.

Girar é usar seno e cosseno, e o sinal do seno escolhe o sentido

Para girar o plano de um ângulo $\theta$ em torno da origem, basta saber para onde vão $(1, 0)$ e $(0, 1)$. O ponto $(1, 0)$ está sobre o círculo unitário no ângulo $0°$; girado de $\theta$ no sentido anti-horário, vai parar no ângulo $\theta$, isto é, em $(\cos\theta,\ \mathrm{sen}\,\theta)$. O ponto $(0, 1)$ está no ângulo $90°$ e vai para $90° + \theta$, isto é, para $(\cos(90° + \theta),\ \mathrm{sen}(90° + \theta)) = (-\mathrm{sen}\,\theta,\ \cos\theta)$. As duas imagens são as colunas.

Exemplo resolvido 3: girar um triângulo de $60°$. Os vértices $O(0, 0)$, $P(2, 0)$ e $Q(1, \sqrt{3})$ formam um triângulo equilátero de lado 2. Para onde vão por $R(60°)$? Com $\cos 60° = \frac{1}{2}$ e $\mathrm{sen}\,60° = \frac{\sqrt{3}}{2}$, a matriz é $\begin{pmatrix} 1/2 & -\sqrt{3}/2 \\ \sqrt{3}/2 & 1/2 \end{pmatrix}$. A origem fica. $P' = (2 \cdot \frac{1}{2},\ 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}) = (1, \sqrt{3})$: o vértice $P$ caiu exatamente sobre o antigo $Q$. $Q' = (\frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{3},\ \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3}) = (\frac{1}{2} - \frac{3}{2},\ \sqrt{3}) = (-1, \sqrt{3})$. Conferência: as três imagens estão a distância 2 da origem ($\sqrt{1 + 3} = 2$) e $P'Q'$ mede $\sqrt{(-1 - 1)^2 + 0} = 2$: o triângulo chegou equilátero, como a rotação exige, e girou um sexto de volta, ocupando a posição vizinha num hexágono.

O sinal do seno é o que distingue o giro anti-horário do horário. Para $\theta = -90°$, $\cos(-90°) = 0$ e $\mathrm{sen}(-90°) = -1$, e a matriz fica $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$. Comparada com $R(90°)$, a diferença é só a posição do $-1$: em cima à direita, anti-horário; embaixo à esquerda, horário.

Na prova, a rotação costuma vir disfarçada de regra. O PAS 3 de 2025 descreveu, para cada ponto $P(x, y)$ de um canavial, o ponto $Q(a, b)$ cujas coordenadas são as linhas do produto $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$, e afirmou que, se $P$ percorresse um segmento da reta $3x + 4y = 800$ situado no primeiro quadrante, os pontos $Q$ formariam um segmento no quarto quadrante. Feito o produto, $a = y$ e $b = -x$. Para um ponto do primeiro quadrante, $x > 0$ e $y > 0$, logo $a > 0$ e $b < 0$: quarto quadrante, e o item está certo. Que a transformação seja a rotação horária de $90°$ é informação extra, útil para saber que o segmento chega com o mesmo comprimento; o julgamento só precisou dos sinais. Dá para ir além e achar a reta de chegada: como $x = -b$ e $y = a$, a condição $3x + 4y = 800$ vira $-3b + 4a = 800$, ou $4a - 3b = 800$; as extremidades $(\frac{800}{3}, 0)$ e $(0, 200)$ do segmento original vão para $(0, -\frac{800}{3})$ e $(200, 0)$, e o segmento imagem desce do eixo $x$ positivo para o eixo $y$ negativo, atravessando o quarto quadrante.

Composição de rotações é a soma dos ângulos: girar $\beta$ e depois $\alpha$ é girar $\alpha + \beta$, isto é, $R(\alpha) \cdot R(\beta) = R(\alpha + \beta)$. Isso faz das rotações uma família rara em que a ordem não importa, e esconde duas fórmulas de trigonometria: a entrada da primeira linha e primeira coluna do produto é $\cos\alpha\cos\beta - \mathrm{sen}\,\alpha\,\mathrm{sen}\,\beta$, que tem de ser $\cos(\alpha + \beta)$; a entrada logo abaixo é $\mathrm{sen}\,\alpha\cos\beta + \cos\alpha\,\mathrm{sen}\,\beta$, que tem de ser $\mathrm{sen}(\alpha + \beta)$. Girar e desgirar devolve a identidade: $R(\theta) \cdot R(-\theta) = R(0°) = I$, de modo que a inversa de uma rotação é a rotação do ângulo oposto, que é também a transposta da matriz.

Ampliar, reduzir e esticar: homotetias e escalas

A homotetia de centro na origem e razão $k$ multiplica cada ponto por $k$: $(x, y) \mapsto (kx, ky)$, matriz $kI = \begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix}$. Com $k = 2$, todas as distâncias dobram e todas as áreas quadruplicam; com $k = \frac{1}{2}$, as distâncias caem à metade e as áreas, a um quarto. Com $k$ negativo, a figura é ampliada por $|k|$ e girada de $180°$: $-2I = 2 \cdot R(180°)$. A homotetia preserva ângulos e a forma; é o protótipo da semelhança.

Quando os fatores são diferentes nos dois eixos, $\begin{pmatrix} k_1 & 0 \\ 0 & k_2 \end{pmatrix}$, a transformação é uma escala: $(x, y) \mapsto (k_1 x, k_2 y)$. A matriz $\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1/2 \end{pmatrix}$ duplica as larguras e divide as alturas por 2; um círculo vira uma elipse, um quadrado vira um retângulo, ângulos mudam, mas a área não: $2 \cdot \frac{1}{2} = 1$. Escalas com $k_1 = 1$ e $k_2 = -1$ não são “esticar”, são a reflexão no eixo $x$; o quadro das reflexões é o caso particular em que os fatores valem $\pm 1$.

Exemplo resolvido 4: homotetia com centro fora da origem. Um arquiteto amplia uma planta por um fator 3 a partir do ponto $C(1, 1)$, e não da origem. Para onde vai $P(2, 3)$? Uma homotetia de centro $C$ leva $P$ ao ponto $P' = C + k(P - C)$: o vetor de $C$ a $P$ é esticado por $k$. Aqui $P - C = (1, 2)$, então $P' = (1, 1) + 3 \cdot (1, 2) = (4, 7)$. Conferência: $C$, $P$ e $P'$ devem estar alinhados, com $CP' = 3 \cdot CP$: $CP = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$ e $CP' = \sqrt{9 + 36} = 3\sqrt{5}$. Em linguagem de matrizes, a conta é “translade $C$ para a origem, aplique $3I$, translade de volta”: três passos em vez de uma matriz só, porque a homotetia centrada fora da origem não é linear (a origem sai do lugar).

Inclinar sem mudar a área: o cisalhamento

O cisalhamento horizontal de fator $k$ desliza cada ponto para a direita proporcionalmente à sua altura: $(x, y) \mapsto (x + ky,\ y)$, matriz $\begin{pmatrix} 1 & k \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$. Os pontos do eixo $x$ (altura zero) não se movem; os de altura 1 andam $k$; os de altura 2 andam $2k$. Um retângulo com a base no eixo $x$ vira um paralelogramo de mesma base e mesma altura, portanto de mesma área: $\det = 1 \cdot 1 - k \cdot 0 = 1$. É a transformação que os programas de texto usam para produzir um itálico sintético a partir de uma fonte reta (cada linha horizontal da letra desliza, com $k$ perto de $0{,}2$, o que dá uma inclinação de uns $12°$), e a que aparece quando um baralho de cartas empilhado é empurrado de lado. O cisalhamento vertical, $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ k & 1 \end{pmatrix}$, faz o mesmo com os papéis dos eixos trocados: o eixo $y$ fica parado e os pontos sobem proporcionalmente a $x$.

Aplicar uma depois da outra é multiplicar as matrizes, e a ordem importa

Se $T_1$ tem matriz $M_1$ e $T_2$ tem matriz $M_2$, aplicar primeiro $T_1$ e depois $T_2$ leva o ponto $P$ a $M_2(M_1 P) = (M_2 M_1) P$. A transformação composta tem matriz $M_2 \cdot M_1$: a primeira a agir é a que fica mais à direita, encostada no ponto. Como o produto de matrizes em geral não comuta, trocar a ordem das transformações muda o resultado.

Exemplo resolvido 5: espelhar e girar nas duas ordens. Seja $S$ a reflexão no eixo $x$ e $R$ a rotação de $90°$ anti-horária. Aplique ao ponto $(3, 1)$ nas duas ordens. Primeiro $S$, depois $R$: $S(3, 1) = (3, -1)$, e $R(3, -1) = (-(-1), 3) = (1, 3)$. Pela matriz composta, $R \cdot S = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$, a reflexão na bissetriz $y = x$, que de fato leva $(3, 1)$ em $(1, 3)$. Primeiro $R$, depois $S$: $R(3, 1) = (-1, 3)$ e $S(-1, 3) = (-1, -3)$. Pela matriz, $S \cdot R = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$, a reflexão na bissetriz $y = -x$, que leva $(3, 1)$ em $(-1, -3)$. Os dois resultados são reflexões (produto de uma reflexão por uma rotação inverte a orientação uma vez), mas em espelhos diferentes: $(1, 3)$ e $(-1, -3)$ são pontos distintos. Conferência: os dois resultados são simétricos em relação à origem, e isso tem explicação: $S \cdot R = R(180°) \cdot (R \cdot S)$, pois $\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$. Ambas as compostas têm determinante $-1$, e $(1, 3)$ e $(-1, -3)$ estão à mesma distância da origem que $(3, 1)$, $\sqrt{10}$: a isometria foi preservada nas duas ordens, mas o destino não.

Um uso prático da composição é a rotação em torno de um ponto qualquer, que, como a homotetia de centro fora da origem, não é linear. Para girar de $\theta$ em torno de $C$: translade $C$ para a origem, aplique $R(\theta)$, translade de volta. Para girar $90°$ anti-horário em torno de $C(2, 1)$ o ponto $P(5, 2)$: $P - C = (3, 1)$; $R(90°)(3, 1) = (-1, 3)$; $P' = (2, 1) + (-1, 3) = (1, 4)$. Distância de $C$ a $P$ e a $P'$: $\sqrt{10}$ nas duas.

O determinante mede quanto a área mudou, e o sinal diz se a figura virou do avesso

A imagem do quadrado unitário por $M = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ é o paralelogramo gerado pelos vetores $(a, c)$ e $(b, d)$, e a área desse paralelogramo é $|ad - bc| = |\det M|$. Como toda figura pode ser aproximada por quadradinhos, e cada quadradinho vai num paralelogramo com área multiplicada pelo mesmo fator, vale em geral:

Exemplo resolvido 6: área de um triângulo transformado. O triângulo de vértices $(0, 0)$, $(2, 0)$ e $(0, 2)$ tem área 2. Qual é a área da sua imagem por $M = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$? Pelo determinante, $\det M = 6 - 1 = 5$, e a imagem tem área $5 \cdot 2 = 10$. Conferência direta: as imagens dos vértices são $(0, 0)$, $(4, 2)$ e $(2, 6)$; a área do triângulo com um vértice na origem é metade do módulo do determinante dos outros dois, $\frac{1}{2}|4 \cdot 6 - 2 \cdot 2| = \frac{1}{2} \cdot 20 = 10$. As duas contas fecham. Como $\det M > 0$, o contorno $(0, 0) \to (2, 0) \to (0, 2)$, que é anti-horário, continua anti-horário na imagem.

O caso $\det = 0$ merece um exemplo. A matriz $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$ leva $(x, y)$ em $(x + 2y,\ 2x + 4y) = (x + 2y) \cdot (1, 2)$: toda imagem é um múltiplo de $(1, 2)$, isto é, está sobre a reta $y = 2x$. O quadrado unitário vira um segmento, um círculo vira um segmento, e pontos diferentes, como $(2, 0)$ e $(0, 1)$, caem no mesmo lugar, $(2, 4)$. A segunda coluna é o dobro da primeira, e é exatamente por isso que o determinante se anula: as duas imagens básicas são paralelas, e o paralelogramo que elas geram é degenerado.

A mesa de Kuczyński (PAS 3 2022). Um texto-base da prova pôs a ilustração Jantar num plano cartesiano em decímetros, com os vértices da mesa em $A(0, 0)$, $B(-2, 5)$, $C(4, 6)$ e $D(9, 2)$, e informou que a matriz $\frac{1}{49}\begin{pmatrix} 5 & 2 \\ -2 & 9 \end{pmatrix}$ leva esses pontos a $A'$, $B'$, $C'$ e $D'$, numa transformação que o texto chamou de cisalhamento. Vale aplicar a matriz: $B' = \frac{1}{49}(5 \cdot (-2) + 2 \cdot 5,\ -2 \cdot (-2) + 9 \cdot 5) = \frac{1}{49}(0, 49) = (0, 1)$; $C' = \frac{1}{49}(20 + 12,\ -8 + 54) = (\frac{32}{49}, \frac{46}{49})$; $D' = \frac{1}{49}(45 + 4,\ -18 + 18) = (1, 0)$; $A' = (0, 0)$. A mesa inclinada chega quase num quadrado de lado 1. O determinante é $\frac{1}{49^2}(45 + 4) = \frac{1}{49}$, de modo que a área da mesa imagem é $\frac{1}{49}$ da original; e a área original, pela fórmula das coordenadas aplicada ao quadrilátero $ABCD$, é $\frac{1}{2}|0 - 32 - 46 + 0| = 39$ dm² (esse 39 foi a resposta de um item tipo B do mesmo bloco). A mesa transformada tem, portanto, área $\frac{39}{49}$ dm², pouco menos que 1, como convém a uma figura que cabe quase no quadrado unitário. No sentido estrito desta página, um cisalhamento tem determinante 1 e uma reta fixa ponto a ponto; a matriz impressa, com determinante $\frac{1}{49}$, inclina e encolhe, e o texto usou o nome no sentido largo de deformação que entorta a figura.

Que pontos ficam parados? Pontos fixos e retas invariantes

Um ponto fixo de uma transformação $T$ é um ponto $P$ com $T(P) = P$. Para uma matriz, a condição $MP = P$ é um sistema linear homogêneo, $(M - I)P = 0$, e as soluções dizem muito sobre o tipo da transformação:

Transformação	Pontos fixos	Retas invariantes (levadas em si mesmas)
translação, $\vec{v} \neq 0$	nenhum	todas as retas paralelas a $\vec{v}$
rotação de $\theta \neq 0°$ em torno de $O$	só a origem	nenhuma (para $\theta = 180°$, todas as retas pela origem)
reflexão num espelho $r$	todos os pontos de $r$	$r$ e todas as retas perpendiculares a $r$
homotetia de razão $k \neq 1$	só a origem	todas as retas pela origem
cisalhamento horizontal	todos os pontos do eixo $x$	todas as retas horizontais $y = c$
identidade	todos	todas

Uma reta invariante é uma reta que a transformação leva em si mesma, mesmo que os pontos dela troquem de lugar: no cisalhamento horizontal, a reta $y = 2$ é invariante (cada ponto dela desliza $2k$ para a direita, mas continua na reta), enquanto só o eixo $x$ é fixo ponto a ponto. Essa distinção decide itens do tipo “a transformação deixa a reta $r$ no lugar”: é preciso saber se a pergunta é sobre a reta como conjunto ou sobre cada um dos seus pontos.

Exemplo resolvido 7: identificar uma transformação pelos pontos fixos. A matriz $M = \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ deixa algum ponto parado além da origem? A condição $M(x, y) = (x, y)$ dá $3x - 2y = x$ e $x = y$. Da segunda, $y = x$; na primeira, $3x - 2x = x$, verdadeiro para todo $x$. Logo toda a reta $y = x$ é fixa ponto a ponto. Não é uma reflexão (o determinante vale $0 + 2 = 2$, e reflexões têm $\det = -1$) nem um cisalhamento (que teria $\det = 1$): é uma transformação que fixa a bissetriz e estica o resto do plano, multiplicando as áreas por 2. Conferência: $M(1, 1) = (3 - 2, 1) = (1, 1)$ e $M(5, 5) = (15 - 10, 5) = (5, 5)$; já $M(1, 0) = (3, 1)$ saiu do lugar.

Isometrias e semelhanças: o que se preserva

Quando a isometria é linear (fixa a origem), a matriz tem um formato reconhecível: as colunas, imagens de $(1, 0)$ e $(0, 1)$, têm comprimento 1 e são perpendiculares. Se o determinante é $+1$, a matriz é uma rotação $R(\theta)$; se é $-1$, uma reflexão num espelho pela origem. Uma semelhança linear de razão $k$ é $k$ vezes uma dessas: $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$, por exemplo, tem colunas $(1, -1)$ e $(1, 1)$, perpendiculares e de comprimento $\sqrt{2}$; ela é $\sqrt{2} \cdot R(-45°)$, uma rotação horária de $45°$ com ampliação por $\sqrt{2}$, e o seu determinante, $2 = (\sqrt{2})^2$, confirma o fator de área.

As isometrias são o vocabulário dos ladrilhamentos: cobrir o plano com cópias de um mesmo motivo é repetir o motivo por translações, rotações, reflexões e reflexões deslizantes, e as gravuras de M. C. Escher, com peixes, pássaros e lagartos que se encaixam sem fresta, são o exemplo clássico. O PAS 1 de 2022 pendurou um bloco de seis itens na xilogravura Metamorphosis I, e um deles afirmou que isometrias são movimentos rígidos, como rotação e translação, mas que não seria possível verificar transformações desse tipo na obra: o item está errado, porque o padrão de losangos repetidos da gravura nasce justamente de deslocar e espelhar um único motivo. A definição da primeira metade estava certa; a conclusão a contradizia.

Ler a figura: qual matriz fez isso?

Na prova, o caminho inverso é frequente: a figura original e a imagem estão impressas, e o item pergunta pela matriz, ou afirma que uma certa matriz (ou “uma única matriz”) faz a transformação. O método tem dois passos.

Passo 1, com o quadrado unitário. Se a figura de partida é o quadrado unitário, os dois vértices da imagem adjacentes à origem são as colunas da matriz. Um paralelogramo de vértices $(0, 0)$, $(3, 1)$, $(4, 3)$ e $(1, 2)$ vem de $M = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$, colunas $(3, 1)$ e $(1, 2)$; o quarto vértice tem de ser a soma das colunas, $(4, 3)$, e é. Se o quarto vértice impresso não fosse a soma, não haveria matriz: a figura não seria a imagem linear de um quadrado.

Passo 2, com pontos quaisquer. Se a prova dá pontos $P$, $Q$, $\ldots$ e as imagens $P'$, $Q'$, $\ldots$, cada ponto gera duas equações nas quatro incógnitas $a$, $b$, $c$, $d$ (uma para a abscissa da imagem, outra para a ordenada). Dois pontos não alinhados com a origem geram quatro equações e determinam a matriz sozinhos. Um terceiro ponto não acrescenta incógnita nenhuma: a sua imagem já está forçada pela matriz encontrada, e o item se decide conferindo se a imagem forçada coincide com a impressa. A origem, por sua vez, não gera informação (vai sempre em si mesma) e não pode ir a lugar nenhum fora da origem.

Exemplo resolvido 8: existe a matriz? Uma transformação linear deveria levar $P(1, 2)$ em $P'(3, 1)$ e $Q(2, -1)$ em $Q'(1, -3)$. (a) Encontre a matriz. (b) Ela pode levar $R(3, 1)$ em $R'(4, 2)$? (a) Da abscissa: $a \cdot 1 + b \cdot 2 = 3$ e $a \cdot 2 + b \cdot (-1) = 1$; da segunda, $b = 2a - 1$, e na primeira $a + 4a - 2 = 3$, logo $a = 1$ e $b = 1$. Da ordenada: $c + 2d = 1$ e $2c - d = -3$; $d = 2c + 3$, $c + 4c + 6 = 1$, $c = -1$ e $d = 1$. A matriz é $M = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$ (a semelhança $\sqrt{2} \cdot R(-45°)$ da seção anterior). (b) A imagem de $R$ está forçada: $M(3, 1) = (3 + 1,\ -3 + 1) = (4, -2)$, e não $(4, 2)$. Nenhuma matriz cumpre as três exigências; uma afirmação do tipo “existe uma única matriz que leva $P$, $Q$ e $R$ em $P'$, $Q'$ e $R'$” seria falsa. Conferência: $M(1, 2) = (3, -1 + 2) = (3, 1)$ e $M(2, -1) = (1, -2 - 1) = (1, -3)$, as duas imagens dadas.

Foi exatamente essa a armadilha do PAS 3 de 2022: sobre os vértices da mesa, $A(0, 0)$, $B(-2, 5)$, $C(4, 6)$ e $D(9, 2)$, um item afirmou que existe uma única matriz $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ que transforma $A$, $B$, $C$ e $D$ em $A'(0, 0)$, $B'(1, 0)$, $C'(0, 1)$ e $D'(1, 1)$. A origem vai sozinha. As condições sobre $B$ e $C$ determinam a matriz: $-2a + 5b = 1$ e $4a + 6b = 0$ dão $a = -\frac{3}{16}$ e $b = \frac{1}{8}$; $-2c + 5d = 0$ e $4c + 6d = 1$ dão $c = \frac{5}{32}$ e $d = \frac{1}{16}$. A imagem de $D$ fica forçada em $(9a + 2b,\ 9c + 2d) = (-\frac{27}{16} + \frac{4}{16},\ \frac{45}{32} + \frac{4}{32}) = (-\frac{23}{16}, \frac{49}{32})$, longe de $(1, 1)$. Não existe matriz alguma, e “existe uma única” é falso: item errado. Há um atalho geométrico: os pontos $A'$, $B'$, $D'$ e $C'$ são os vértices de um quadrado, cujo vértice oposto à origem é a soma $B' + C'$; se $D$ fosse a imagem linear correspondente, $D$ teria de ser $B + C = (2, 11)$, e é $(9, 2)$. A mesa não é um paralelogramo, e uma transformação linear nunca leva um quadrilátero que não é paralelogramo num paralelogramo de área não nula (se $\det M = 0$ a imagem é um segmento, e o quadrado $A'B'D'C'$ tem área 1).

Como a banca pergunta

Os itens de transformações do PAS chegam com um texto-base (um canavial, uma ilustração, uma gravura) e pedem, em geral, uma destas cinco coisas:

1. Executar uma regra dada e ler sinais. A matriz vem impressa; o item afirma em que quadrante cai a imagem de um segmento ou de uma região. Aplique a matriz a $(x, y)$ com letras, escreva $x'$ e $y'$ e leia os sinais. Foi o item de 2025.
2. Decidir se existe (ou se é única) a matriz que leva pontos dados em imagens dadas. Conte condições (duas por ponto fora da origem) contra as quatro incógnitas; com dois pontos independentes a matriz está determinada, e o terceiro ponto é um teste. Foi o item de 2022.
3. Reconhecer isometrias numa obra. A afirmação costuma trazer uma definição correta seguida de uma conclusão falsa sobre a figura, ou o contrário. Separe as duas metades e julgue cada uma. Foi o item do PAS 1 de 2022 sobre Escher.
4. Compor e comparar ordens. “Aplicar $M_1$ e depois $M_2$ equivale a aplicar $M_1 M_2$”: falso em geral, a composta é $M_2 M_1$. Exceções a lembrar: duas rotações, rotação com homotetia.
5. Área e determinante. “A imagem do triângulo tem a mesma área”: verdadeiro se $|\det| = 1$ (rotação, reflexão, cisalhamento), falso em caso contrário; a área da imagem é $|\det|$ vezes a área original.

O item tipo B pode pedir o determinante, uma coordenada da imagem de um ponto ou a área da figura transformada; o tipo C, qual das matrizes impressas faz uma certa transformação. Em todos, a conta é curta; o que decide é a leitura das colunas e dos sinais.

Os erros que mais derrubam

• Sentido do giro. $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ e $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$ diferem só na posição do $-1$ e giram em sentidos opostos. Aplique a $(1, 0)$: se a imagem tem ordenada positiva, o giro é anti-horário.
• Ordem da composição. “Primeiro $T_1$, depois $T_2$” é $M_2 M_1$, com a primeira à direita. Entre as transformações de prova, trocam de ordem sem mudar o resultado: rotações entre si, escalas entre si e qualquer uma delas com uma homotetia; reflexão com rotação, ou com reflexão em outro espelho, em geral não.
• Translação como matriz $2 \times 2$. Não existe: a matriz fixa a origem, a translação não. Translação é soma de vetor; rotação em torno de um ponto fora da origem e homotetia de centro fora da origem são “transladar, aplicar a matriz, transladar de volta”.
• Linhas no lugar de colunas. As imagens de $(1, 0)$ e $(0, 1)$ são as colunas. A transposta é outra transformação (para rotações, é a rotação oposta).
• Determinante em vez de módulo. O fator de área é $|\det|$; o sinal informa a orientação. Uma reflexão tem $\det = -1$ e preserva a área.
• “Quatro pontos, quatro incógnitas”. Cada ponto fora da origem impõe duas condições; a origem, nenhuma. Três pontos independentes em geral não têm matriz.
• Confundir reta invariante com pontos fixos. No cisalhamento horizontal, toda reta $y = c$ é invariante, mas só o eixo $x$ é fixo ponto a ponto.
• Chamar a meia-volta de reflexão. $(x, y) \mapsto (-x, -y)$ é $R(180°)$, determinante $+1$: a figura chega girada, com a orientação preservada.

O essencial em meia página

• Translação: $(x, y) \mapsto (x + a, y + b)$; soma de vetor, não matriz; preserva tudo, não fixa ponto algum; $\vec{v} = P' - P$.
• Matriz $2 \times 2$: $(x, y) \mapsto (ax + by, cx + dy)$; colunas = imagens de $(1, 0)$ e $(0, 1)$; origem fixa; quadrado unitário vai no paralelogramo das colunas.
• Reflexões: eixo $x$ $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$; eixo $y$ $\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$; $y = x$ $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$; $y = -x$ $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$. $\det = -1$; $S^2 = I$; duas reflexões = rotação do dobro do ângulo entre os espelhos.
• Rotação: $R(\theta) = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\mathrm{sen}\,\theta \\ \mathrm{sen}\,\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$, anti-horária; $R(90°)$: $(x, y) \mapsto (-y, x)$; $R(-90°)$: $(x, y) \mapsto (y, -x)$; $R(180°)$: $(x, y) \mapsto (-x, -y)$. $\det = 1$; $R(\alpha)R(\beta) = R(\alpha + \beta)$; inversa $= R(-\theta) =$ transposta.
• Homotetia e escala: $kI$ (distâncias $\times k$, áreas $\times k^2$, $k < 0$ inclui meia-volta); $\begin{pmatrix} k_1 & 0 \\ 0 & k_2 \end{pmatrix}$ (áreas $\times k_1 k_2$). Centro fora da origem: $P' = C + k(P - C)$.
• Cisalhamento: $\begin{pmatrix} 1 & k \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, $(x, y) \mapsto (x + ky, y)$; eixo $x$ fixo; $\det = 1$, área preservada.
• Composição: “$T_1$ depois $T_2$” $= M_2 M_1$; não comuta em geral; rotações comutam entre si e com homotetias.
• Determinante: área da imagem $= |\det M| \cdot$ área; sinal negativo = orientação invertida; $\det = 0$ achata o plano numa reta, sem inversa.
• Pontos fixos: resolva $MP = P$. Rotação e homotetia: só a origem; reflexão: o espelho inteiro; cisalhamento: o eixo; translação: nenhum.
• Isometrias: translação, rotação, reflexão, reflexão deslizante; preservam distâncias (figura congruente). Semelhança: distâncias $\times k$, áreas $\times k^2$ (figura semelhante). Matriz de isometria linear: colunas unitárias e perpendiculares; $\det = +1$ rotação, $-1$ reflexão.
• Na prova: regra dada → aplique a $(x, y)$ e leia sinais; “existe a matriz?” → duas condições por ponto, a origem não conta, o terceiro ponto é teste; obra de arte → separe definição e conclusão.