Distâncias na geometria analítica

Em 2024, a prova do PAS 3 colocou a fachada do Palácio do Itamaraty sobre um plano em metros, marcou $A(-3, 0)$, $B(3, 0)$, $C(0, 9)$, $D(0, 12)$, $E(-3, 9)$ e $F(3, 9)$ e pediu, em metros e multiplicada por dez, a distância entre o ponto $B$ e o segmento que liga $A$ a $D$, oferecendo $\sqrt{17} \approx 4{,}12$ como ajuda. Um ano depois, o canavial: a reta $r\colon 3x + 4y = 800$ era o eixo de uma estrada, e o item afirmava que a distância mínima de $P(500, 30)$ até ela passava de 200 m. Em 2015, um terreno com os vértices $A(-2, 6)$, $B(8, 8)$, $C(10, -3)$ e $D(-5, -2)$ veio desenhado de um jeito que fazia a diagonal $AC$ parecer a maior, e o item afirmava exatamente isso. Nos três casos a banca não quer que o candidato meça com régua: quer que ele transforme “quanto falta para chegar” numa conta com as coordenadas. Qual é o menor caminho entre dois objetos do plano, e como calculá-lo só com números?

Esta página responde a essa pergunta em camadas. Primeiro a distância entre dois pontos, que é o teorema de Pitágoras escrito com coordenadas, e o hábito que a prova mais recompensa: comparar quadrados em vez de extrair raízes. Depois as duas aplicações diretas, o ponto médio (com o baricentro) e a classificação de triângulos e quadriláteros pelos lados. Em seguida a distância de ponto a reta, com a dedução pela perpendicular, a fórmula e o cuidado com a forma geral; o caso do segmento, em que o pé da perpendicular pode cair fora; a distância entre paralelas; e os lugares geométricos que nascem de “estar à mesma distância”: mediatriz, bissetriz e a faixa em torno de uma reta. Fecham a página a leitura de coordenadas em figuras e a conversão de unidades, que decidem os itens de resposta numérica. O que já tem página própria fica só como remissão: coeficiente angular e equação da reta, paralelismo, perpendicularismo e interseção, a circunferência e a área por coordenadas.

Toda distância entre dois pontos é um Pitágoras

Marque dois pontos num papel quadriculado e ligue-os. Se você andar de um ao outro primeiro na horizontal e depois na vertical, os dois trechos formam os catetos de um triângulo retângulo, e o segmento que liga os pontos é a hipotenusa. O comprimento desse segmento é, portanto, a raiz da soma dos quadrados dos catetos, e os catetos são as diferenças das coordenadas. Não há nada mais na fórmula da distância do que o teorema de Pitágoras aplicado a esse triângulo.

Exemplo resolvido 1. Uma ambulância está em $P(-4, 1)$ e o hospital em $Q(8, 6)$, num mapa em quilômetros. Em linha reta, $\Delta x = 8 - (-4) = 12$ e $\Delta y = 6 - 1 = 5$, logo $d = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$ km. Conferência: $5$, $12$ e $13$ formam um terno pitagórico ($25 + 144 = 169$), e inverter os pontos dá $\Delta x = -12$, $\Delta y = -5$, com os mesmos quadrados. Os ternos $3$-$4$-$5$, $5$-$12$-$13$ e $8$-$15$-$17$ (e seus múltiplos, como $6$-$8$-$10$ e $9$-$12$-$15$) aparecem o tempo todo nas provas, porque permitem uma distância inteira sem calculadora; reconhecê-los economiza a raiz.

Exemplo resolvido 2. Dois postes estão em $(2, -3)$ e $(2, 5)$, em metros. Mesma abscissa: o segmento é vertical e mede $|5 - (-3)| = 8$ m. A fórmula geral daria $\sqrt{0 + 64} = 8$, o mesmo valor, mas o módulo da diferença dispensa a raiz. O erro a evitar é escrever $5 - (-3)$ como $2$: subtrair um número negativo é somar o seu módulo.

Quando o enunciado dá os pontos por nomes de lugares, a primeira tarefa é traduzir para números. Em 2019, o PAS 3 pôs a Estátua da Liberdade na origem de um mapa e deu, numa tabela, Ellis Island em $A\left(\tfrac{1}{2}, 2\right)$, Black Tom Island em $B\left(-2, \tfrac{2}{3}\right)$ e Governors Island em $C(4, 0)$. A distância de Ellis Island à estátua é $OA = \sqrt{\tfrac{1}{4} + 4} = \sqrt{\tfrac{17}{4}} = \tfrac{\sqrt{17}}{2}$; a de Governors Island é $OC = 4$, lida direto, porque $C$ está sobre o eixo $x$. O que a banca fez com esses dois números está na próxima seção.

Compare quadrados, não raízes

A pergunta da prova raramente é “quanto mede”; é “mede mais que”, “é pelo menos 10% maior que”, “demora mais que a metade do tempo”. Para responder, não é preciso saber quanto vale $\sqrt{269}$: basta saber se $269$ é maior ou menor que o quadrado do outro lado da comparação. Como a função raiz quadrada é crescente, comparar duas distâncias é o mesmo que comparar os seus quadrados, e os quadrados são inteiros ou frações exatas, sem aproximação.

Exemplo resolvido 3: as diagonais do terreno de 2015. Com $A(-2, 6)$, $B(8, 8)$, $C(10, -3)$ e $D(-5, -2)$, o item 117 afirmava que a diagonal $AC$ era mais comprida que a diagonal $BD$. $AC^2 = (10 + 2)^2 + (-3 - 6)^2 = 144 + 81 = 225$; $BD^2 = (-5 - 8)^2 + (-2 - 8)^2 = 169 + 100 = 269$. Como $225 < 269$, $AC < BD$: a afirmação é falsa, gabarito E. Conferência: $AC = 15$ exatamente (o terno $9$-$12$-$15$) e $BD$ fica entre $16$ e $17$, porque $256 < 269 < 289$. A figura do caderno sugeria o contrário, e era isso que o item testava: quem decide pelo desenho erra, quem decide pelos quadrados acerta.

Exemplo resolvido 4: os barcos de 2019. O item 77 dizia que dois barcos iguais, à mesma velocidade, partiam de Ellis Island e de Governors Island rumo à estátua, e afirmava que o tempo do primeiro era maior que a metade do tempo do segundo. Com velocidade igual, tempo é proporcional a distância, então a pergunta é se $OA > OC/2$, isto é, se $\tfrac{\sqrt{17}}{2} > 2$. Pelos quadrados: $\tfrac{17}{4} > 4 \iff 17 > 16$. Verdadeiro, gabarito C. A margem é mínima ($\sqrt{17} \approx 4{,}12$, logo $OA \approx 2{,}06$): quem troca $\sqrt{17}$ por $4$ encontra $OA = 2$, lê igualdade e marca E. A comparação $17 > 16$ não deixa espaço para esse arredondamento.

Exemplo resolvido 5: a razão entre distâncias de 2014. Seis antenas apareciam numa figura em quilômetros, e o item 95 afirmava que a distância entre $B(-8, -3)$ e $D(8, 6)$ era pelo menos $10\%$ maior que a distância entre $A(-10, 2)$ e $C(5, 4)$. $BD^2 = 16^2 + 9^2 = 337$ e $AC^2 = 15^2 + 2^2 = 229$. A condição $BD \geq 1{,}1\, AC$ equivale a $337 \geq 1{,}21 \times 229 = 277{,}09$, que vale com folga: gabarito C. Quem prefere o valor, $BD \approx 18{,}4$ e $AC \approx 15{,}1$, razão $\approx 1{,}21$, ou seja, $21\%$ maior. As duas rotas chegam ao mesmo lugar; a dos quadrados chega sem aproximar.

O meio do caminho e o centro do triângulo

Dois usos do ponto médio aparecem nos itens: encontrar o centro de um segmento (o ponto de encontro de dois caminhantes que partem ao mesmo tempo com a mesma velocidade, o centro de uma ponte) e, mais frequente, servir de passo intermediário para outra conta, como a reta pelos pontos médios de dois lados ou a mediatriz. A página do plano cartesiano apresenta o ponto médio como média das coordenadas; aqui interessa a sua ligação com a distância.

Exemplo resolvido 6. Para $A(-3, 5)$ e $B(7, -1)$, $M = \left(\tfrac{-3 + 7}{2}, \tfrac{5 - 1}{2}\right) = (2, 2)$. Conferência por distâncias: $d(A, M)^2 = 5^2 + 3^2 = 34$ e $d(M, B)^2 = 5^2 + 3^2 = 34$; e $d(A, B)^2 = 10^2 + 6^2 = 136 = 4 \times 34$, como deve ser, já que $d(A, B) = 2\, d(A, M)$. Se um item disser que o ponto médio de $A$ e $B$ é $(2, 3)$, não é preciso recalcular: $d(A, (2, 3))^2 = 25 + 4 = 29$ e $d((2, 3), B)^2 = 25 + 16 = 41$; distâncias diferentes, o ponto não é o médio.

Exemplo resolvido 7. O triângulo de vértices $A(0, 0)$, $B(6, 0)$ e $C(3, 9)$ tem baricentro $G = \left(\tfrac{0 + 6 + 3}{3}, \tfrac{0 + 0 + 9}{3}\right) = (3, 3)$. O ponto médio de $AB$ é $M(3, 0)$, e a mediana $CM$ é o segmento vertical de $(3, 9)$ a $(3, 0)$, de comprimento 9; $G$ está a $d(C, G) = 6$ de $C$ e a $d(G, M) = 3$ de $M$, exatamente na razão $2 : 1$. Numa placa triangular homogênea, $G$ é o ponto em que ela se equilibra sobre a ponta de um lápis.

Que figura é esta? Meça lados e diagonais

Quando os vértices vêm como coordenadas, a figura está escondida nos números, e o jeito de revelá-la é medir. Três distâncias classificam um triângulo; quatro lados e duas diagonais classificam um quadrilátero. Como só interessa comparar, trabalhe com os quadrados até o fim.

Exemplo resolvido 8. $A(0, 0)$, $B(4, 2)$ e $C(2, 6)$. $AB^2 = 16 + 4 = 20$, $BC^2 = 4 + 16 = 20$, $CA^2 = 4 + 36 = 40$. Dois lados iguais: isósceles. E $20 + 20 = 40$: o ângulo oposto ao maior lado, o ângulo em $B$, é reto. O triângulo é isósceles e retângulo, com perímetro $2\sqrt{20} + \sqrt{40} = 4\sqrt{5} + 2\sqrt{10}$. Conferência: a página de posições relativas daria o mesmo pelo produto dos coeficientes angulares de $BA$ e $BC$, $\tfrac{1}{2} \cdot (-2) = -1$.

Exemplo resolvido 9. $A(0, 0)$, $B(5, 1)$, $C(6, 5)$, $D(1, 4)$. $AB^2 = 26$, $BC^2 = 1 + 16 = 17$, $CD^2 = 25 + 1 = 26$, $DA^2 = 1 + 16 = 17$: lados opostos iguais, paralelogramo. Diagonais: $AC^2 = 36 + 25 = 61$ e $BD^2 = 16 + 9 = 25$, diferentes, então não é retângulo; como $26 \neq 17$, não é losango. Perímetro: $2\sqrt{26} + 2\sqrt{17}$. Conferência pelos pontos médios: o de $AC$ é $(3, 2{,}5)$ e o de $BD$ é $(3, 2{,}5)$; as diagonais se cortam ao meio, como em todo paralelogramo.

A menor distância até uma reta é a perpendicular

De um ponto fora de uma reta saem infinitos segmentos até ela, um para cada ponto da reta, e só um deles é o mais curto: o que chega em ângulo reto. A razão é Pitágoras de novo: se $H$ é o pé da perpendicular e $X$ é qualquer outro ponto da reta, o triângulo $PHX$ é retângulo em $H$, e $PX$, hipotenusa, é maior que o cateto $PH$. Por definição, a distância de $P$ à reta $r$ é esse mínimo, $d(P, r) = PH$. Por isso os enunciados dizem “distância mínima”: estão nomeando a perpendicular.

Para transformar a definição em fórmula, use a reta na forma geral $ax + by + c = 0$ e o ponto $P(x_0, y_0)$. A queda vertical de $P$ até a reta é fácil de calcular: o ponto da reta com a mesma abscissa de $P$ tem ordenada $y_r = -\dfrac{a x_0 + c}{b}$, e o segmento vertical mede $h = |y_0 - y_r| = \dfrac{|a x_0 + b y_0 + c|}{|b|}$. A perpendicular é mais curta que a vertical por um fator que só depende da inclinação da reta: no triângulo retângulo formado pela vertical, pela perpendicular e pelo trecho da reta entre os dois pés, o ângulo entre a vertical e a perpendicular é igual ao ângulo agudo $\alpha$ que a reta faz com o eixo $x$ (os lados de um são perpendiculares aos lados do outro: a vertical ao eixo, a perpendicular à reta), e então $d = h \cos\alpha$. Como a reta tem coeficiente angular $m = -\tfrac{a}{b}$ e $\tan\alpha = |m|$, vem $\cos\alpha = \dfrac{1}{\sqrt{1 + m^2}} = \dfrac{|b|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$. Multiplicando, o $|b|$ cancela: $d(P, r) = h\cos\alpha = \dfrac{|a x_0 + b y_0 + c|}{|b|} \cdot \dfrac{|b|}{\sqrt{a^2 + b^2}} = \dfrac{|a x_0 + b y_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$.

(Para a reta vertical, $b = 0$, a queda vertical não existe, mas a fórmula continua valendo: $d = |a x_0 + c|/|a| = |x_0 - x_r|$, a diferença das abscissas. Quem conhece vetores reconhece outra leitura: $(a, b)$ é um vetor perpendicular à reta, e $d$ é o módulo da projeção, sobre ele, do vetor que vai de um ponto qualquer da reta até $P$.)

Exemplo resolvido 10. Qual é a distância de $P(5, 7)$ à reta $y = 2x - 1$? Forma geral: $2x - y - 1 = 0$, com $a = 2$, $b = -1$, $c = -1$. Numerador: $|2 \cdot 5 - 7 - 1| = |2| = 2$. Denominador: $\sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$. Logo $d = \dfrac{2}{\sqrt{5}} = \dfrac{2\sqrt{5}}{5} \approx 0{,}89$. Conferência pelo pé da perpendicular: o pé é $H = P - t\,(a, b)$ com $t = \dfrac{a x_0 + b y_0 + c}{a^2 + b^2} = \dfrac{2}{5}$, ou seja, $H = (5 - 0{,}8,\ 7 + 0{,}4) = (4{,}2;\ 7{,}4)$. Ele está na reta ($2 \cdot 4{,}2 - 7{,}4 - 1 = 0$) e $d(P, H) = \sqrt{0{,}64 + 0{,}16} = \sqrt{0{,}8} \approx 0{,}89$. A queda vertical, de $P$ até $(5, 9)$, mede 2, mais que o dobro da perpendicular.

Exemplo resolvido 11: o canavial de 2025. O texto-base descrevia um canavial desenhado sobre um plano em metros e chamava de $r$ a reta $3x + 4y = 800$, eixo de uma estrada que corta a plantação. Item 23: “A distância mínima do ponto $P(500, 30)$ até o centro da estrada é superior a 200 m.” Forma geral: $3x + 4y - 800 = 0$. Numerador: $|3 \cdot 500 + 4 \cdot 30 - 800| = |1\,500 + 120 - 800| = 820$. Denominador: $\sqrt{9 + 16} = 5$. Distância: $820 / 5 = 164$ m, que não é superior a 200: gabarito E. Conferência do erro mais comum: quem esquece o $-800$ calcula $|1\,500 + 120|/5 = 324$ m e marca C com convicção. A palavra “mínima” no enunciado é a própria definição da perpendicular.

Exemplo resolvido 12: a estrada de 2020, em decâmetros. O texto-base daquele bloco informava que um trecho de estrada estava sobre a reta $y = -x + 2$, com as medidas em quilômetros, e mandava usar $\sqrt{2} \approx 1{,}41$. O item 94, tipo B, pedia o menor percurso da origem até a estrada, com a resposta em decâmetros. Forma geral: $x + y - 2 = 0$. Da origem, só o termo independente sobrevive: $d = \dfrac{|-2|}{\sqrt{1 + 1}} = \dfrac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \approx 1{,}41$ km. Um decâmetro são 10 m, então 1 km são 100 dam e a resposta é $141$. Repare na proporção do trabalho: a geometria cabe numa linha, e o que separa o acerto do erro é a conversão. Quem marca $001$ entregou o quilômetro truncado; quem marca $014$ tratou o decâmetro como se valesse 100 m.

Reta ou segmento? Depende de onde cai o pé

Uma reta é infinita; um segmento tem dois extremos. A distância de ponto a segmento é o menor comprimento entre o ponto e algum ponto do segmento, e isso muda a conta num caso: quando o pé da perpendicular à reta que contém o segmento cai fora dele. Nesse caso o ponto do segmento mais próximo é um dos extremos, e a distância é a distância a esse extremo, maior que a distância à reta.

Exemplo resolvido 13: o Itamaraty de 2024. Item 87, tipo B: “Na situação da figura I, calcule, em metros, a distância entre o ponto $B$ e o segmento de reta que liga os pontos $A$ e $D$, utilizando, caso necessário, a aproximação $\sqrt{17} \approx 4{,}12$. Multiplique o valor encontrado por 10. Após realizar todos os cálculos solicitados, despreze, para a marcação no Caderno de Respostas, a parte fracionária do resultado final obtido, caso exista.” Da figura, $A(-3, 0)$, $B(3, 0)$ e $D(0, 12)$. Primeiro, a reta que contém $A$ e $D$: o declive é $\tfrac{12 - 0}{0 - (-3)} = 4$, a equação reduzida é $y = 4x + 12$ e, com tudo de um lado, $4x - y + 12 = 0$. A distância de $B$ a essa reta é $\dfrac{|4 \cdot 3 - 0 + 12|}{\sqrt{16 + 1}} = \dfrac{24}{\sqrt{17}} \approx \dfrac{24}{4{,}12} \approx 5{,}83$ m. Segundo, o pé cai dentro do segmento? $BA^2 = 36$, $BD^2 = 9 + 144 = 153$, $AD^2 = 9 + 144 = 153$. Em $A$: $BD^2 = 153 \leq BA^2 + AD^2 = 189$, agudo. Em $D$: $BA^2 = 36 \leq BD^2 + AD^2 = 306$, agudo. O pé está entre $A$ e $D$ (perto de $A$), e a distância ao segmento é a distância à reta. Vezes 10: $58{,}3$; resposta $058$. Conferência: o $\sqrt{17}$ oferecido no comando é exatamente o $\sqrt{a^2 + b^2}$ de $4x - y + 12 = 0$, o que confirma a reta montada; e o pé, calculado com $t = \tfrac{24}{17}$, é $H = (3 - \tfrac{96}{17},\ 0 + \tfrac{24}{17}) \approx (-2{,}65;\ 1{,}41)$, de fato entre $A$ e $D$.

Exemplo resolvido 14: quando o pé cai fora. O ponto $Q(10, 3)$ e o segmento de $A(0, 0)$ a $B(6, 0)$. A reta $AB$ é o eixo $x$, e a distância de $Q$ a ela é $3$. Mas o pé da perpendicular é $(10, 0)$, que não está entre $0$ e $6$. Pelo teste: $QA^2 = 109$, $QB^2 = 16 + 9 = 25$, $AB^2 = 36$; em $B$, $QA^2 = 109 > QB^2 + AB^2 = 61$, ângulo obtuso. O ponto do segmento mais próximo de $Q$ é $B$, e $d(Q, AB) = d(Q, B) = 5$. Quem responde 3 mediu a distância à reta errada: o segmento acabou antes.

Duas paralelas estão sempre à mesma distância

Retas paralelas não se encontram, e a separação entre elas é a mesma em qualquer ponto; isso permite defini-la escolhendo um ponto arbitrário numa delas e medindo a sua distância à outra. Quando as duas estão escritas com os mesmos coeficientes de $x$ e de $y$, a conta se reduz à diferença dos termos independentes.

Exemplo resolvido 15. $r\colon 2x - 3y + 4 = 0$ e $s\colon 4x - 6y - 10 = 0$. Os coeficientes de $s$ são o dobro dos de $r$: paralelas. Divida $s$ por 2: $2x - 3y - 5 = 0$. Agora $d = \dfrac{|4 - (-5)|}{\sqrt{4 + 9}} = \dfrac{9}{\sqrt{13}} \approx 2{,}50$. Conferência por um ponto: $(-2, 0)$ está em $r$ ($-4 + 4 = 0$), e a sua distância a $s$ na forma original é $\dfrac{|4 \cdot (-2) - 0 - 10|}{\sqrt{16 + 36}} = \dfrac{18}{\sqrt{52}} = \dfrac{18}{2\sqrt{13}} = \dfrac{9}{\sqrt{13}}$. Quem subtraísse $4$ e $-10$ sem dividir obteria $14/\sqrt{13}$, errado.

Exemplo resolvido 16: duas faixas de uma avenida. As bordas de uma ciclovia são as retas $y = \tfrac{3}{4}x + 2$ e $y = \tfrac{3}{4}x - 1$, em metros. Forma geral com os mesmos coeficientes: $3x - 4y + 8 = 0$ e $3x - 4y - 4 = 0$. Largura: $\dfrac{|8 - (-4)|}{5} = \dfrac{12}{5} = 2{,}4$ m. A diferença das ordenadas na origem, $2 - (-1) = 3$, é a queda vertical entre as retas, maior que a largura real, porque a ciclovia é inclinada: $3 \cos\alpha = 3 \cdot \tfrac{4}{5} = 2{,}4$.

Equidistar: mediatriz, bissetriz e a faixa em torno de uma reta

“Estar à mesma distância” é uma condição que, escrita com as fórmulas desta página, produz uma equação, e a equação descreve um conjunto de pontos: um lugar geométrico. Três deles cabem aqui porque são distância pura; a circunferência, o lugar dos pontos a distância fixa de um centro, tem página própria.

Exemplo resolvido 17: a mediatriz por distâncias. $A(1, 2)$ e $B(5, 6)$. Um ponto $P(x, y)$ equidista deles quando $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = (x - 5)^2 + (y - 6)^2$. Expandindo, $x^2 - 2x + 1 + y^2 - 4y + 4 = x^2 - 10x + 25 + y^2 - 12y + 36$; os quadrados somem e fica $8x + 8y = 56$, isto é, $x + y = 7$. Conferência: o ponto médio $(3, 4)$ satisfaz $3 + 4 = 7$; o coeficiente angular da mediatriz é $-1$ e o de $AB$ é $\tfrac{6 - 2}{5 - 1} = 1$, produto $-1$, perpendiculares; e $(6, 1)$, que está na mediatriz, dista $\sqrt{25 + 1}$ de $A$ e $\sqrt{1 + 25}$ de $B$. A página de posições relativas chega à mesma reta pela perpendicular ao ponto médio; aqui ela saiu só da igualdade de distâncias, e é assim que a prova costuma defini-la (“o conjunto dos pontos equidistantes de duas torres”).

Exemplo resolvido 18: as bissetrizes. $r\colon 3x + 4y = 0$ e $s\colon 4x - 3y = 0$, as duas pela origem, ambas com $\sqrt{a^2 + b^2} = 5$. A condição $d(P, r) = d(P, s)$ é $\dfrac{|3x + 4y|}{5} = \dfrac{|4x - 3y|}{5}$, ou seja, $3x + 4y = \pm(4x - 3y)$. Com o sinal positivo, $x = 7y$; com o negativo, $7x = -y$. As bissetrizes são $y = \tfrac{1}{7}x$ e $y = -7x$, perpendiculares ($\tfrac{1}{7} \cdot (-7) = -1$). Conferência: $(7, 1)$ está na primeira e dista $\tfrac{|21 + 4|}{5} = 5$ de $r$ e $\tfrac{|28 - 3|}{5} = 5$ de $s$.

Exemplo resolvido 19: a faixa de segurança. Uma linha de alta tensão segue a reta $3x + 4y - 800 = 0$ (metros) e a norma proíbe construir a menos de 50 m dela. Os pontos a exatamente 50 m satisfazem $\dfrac{|3x + 4y - 800|}{5} = 50$, isto é, $3x + 4y - 800 = \pm 250$: as retas $3x + 4y = 1\,050$ e $3x + 4y = 550$. A área proibida é a faixa $550 < 3x + 4y < 1\,050$. O ponto $P(500, 30)$ do item de 2025, a 164 m, está fora dela; o ponto $(200, 50)$, com $|600 + 200 - 800| = 0$, está sobre a própria linha.

Ler coordenadas na figura e entregar a unidade certa

Os itens de distância do PAS 3 quase sempre chegam com figura: um mapa, uma planta, um campo, um diagrama. Parte das coordenadas está escrita no texto; parte, só no desenho, nas marcas dos eixos ou em linhas tracejadas até eles. E a resposta do tipo B exige uma unidade específica, às vezes diferente da unidade dos eixos. Três itens mostram as três leituras.

Exemplo resolvido 20: coordenadas lidas das marcas dos eixos (2014). A figura II do caderno trazia seis antenas com linhas tracejadas até os eixos, e as marcas diziam $-10$, $-8$, $5$, $8$ e $12$ no eixo $x$ e $6$, $4$, $2$, $-2$, $-3$ e $-5$ no eixo $y$. Daí saem $A(-10, 2)$, $B(-8, -3)$, $C(5, 4)$, $D(8, 6)$, $E(8, -2)$ e $F(12, -5)$, em quilômetros. Sem essa leitura o item 95 (razão entre $BD$ e $AC$, Exemplo 5) não tem como começar. Em figuras assim, siga cada tracejado até o número da marca e anote o par antes de qualquer conta; o erro típico é trocar a ordem ou ler um sinal negativo como positivo num ponto abaixo do eixo.

Exemplo resolvido 21: uma coordenada que a figura não dá e a circunferência fornece (2008). O diagrama de um home theater punha a TV em $A$, no topo de uma semicircunferência de raio 4 m e centro $D(4, 0)$, as caixas de som em $B(1, y_B)$ e $C$ sobre a mesma semicircunferência, e o telespectador em $D$. Item 55: “Nesse diagrama, a distância entre a TV e a caixa de som posicionada em $B$ é superior a 3 metros.” $A$ está exatamente acima de $D$, a 4 m: $A(4, 4)$. A ordenada de $B$ não está escrita, mas $B$ está a 4 m de $D$: $(1 - 4)^2 + y_B^2 = 16$, logo $y_B^2 = 7$ e $y_B = \sqrt{7} \approx 2{,}65$. Agora $AB^2 = (4 - 1)^2 + (4 - \sqrt{7})^2 = 9 + 16 - 8\sqrt{7} + 7 = 32 - 8\sqrt{7}$. É maior que $9$? Equivale a $23 > 8\sqrt{7}$, e, pelos quadrados, $529 > 448$. Sim: $AB \approx 3{,}29$ m, gabarito C. A distância pediu, antes, uma distância: $y_B$ veio da condição de $B$ estar a 4 m do centro, que é a equação da circunferência disfarçada.

Exemplo resolvido 22: distância sobre um eixo, em centímetros (2012). O campo de futebol do caderno tinha a linha de fundo sobre o eixo $y$, com os postes do gol em $M(0, -\tfrac{73}{20})$ e $N(0, \tfrac{73}{20})$, o ponto $G(20, 0)$ sobre o eixo $x$ (a marca do pênalti, a 20 m da linha) e $E$ entre $O$ e $G$, também no eixo $x$. Item 84, tipo B: “Considere que uma bola chutada por um jogador posicionado no ponto $G$ descreva uma trajetória retilínea, fazendo um ângulo igual a $\operatorname{arctg}(7/16)$ com a reta entre os pontos $G$ e $E$. Com base nesses dados, calcule, em centímetros, a distância mínima entre a bola e a trave vertical do gol no momento em que a bola cruza a linha de fundo, isto é, calcule a distância mínima entre o ponto onde a bola cruza a linha de fundo e os pontos $M$ ou $N$.” A reta $GE$ é o eixo $x$. A trajetória sai de $G(20, 0)$ com inclinação de tangente $\tfrac{7}{16}$ em relação ao eixo e chega à linha de fundo ($x = 0$) depois de avançar 20 m na horizontal; o deslocamento vertical é $20 \cdot \tfrac{7}{16} = 8{,}75$ m, para cima ou para baixo conforme o lado do chute. A bola cruza em $(0, \pm 8{,}75)$. A trave mais próxima está em $y = \pm 3{,}65$, na mesma vertical: a distância é a diferença das ordenadas, $8{,}75 - 3{,}65 = 5{,}10$ m, ou seja, $510$ cm. Conferência: a simetria do campo faz os dois lados darem o mesmo valor, e a tangente foi o único passo que não é desta página. Lembre que o caderno pediu centímetros com o plano em metros: $5{,}10$ seria uma resposta errada.

Exemplo resolvido 23: tempo como distância disfarçada (2016). A prova de 2016 dispôs 14 caixas de som de uma orquestra de laptops num plano em metros, simétricas em relação ao eixo $y$, e deu numa tabela as ordenadas: as caixas $D$ e $D'$ em $y = 5$, as caixas $G$ e $G'$ em $y = 3$. Item 66: “Se as abscissas das caixas D’ e G forem, respectivamente, iguais a 2,5 e $-0{,}5$, sendo a velocidade do som constante, então o som emitido pela caixa D’ e o som emitido pela caixa G demorarão o mesmo tempo para chegar ao ponto $(2, -5)$.” Com velocidade igual, tempos iguais exigiriam distâncias iguais. De $D'(2{,}5;\ 5)$ ao ponto: $0{,}5^2 + 10^2 = 100{,}25$. De $G(-0{,}5;\ 3)$: $2{,}5^2 + 8^2 = 70{,}25$. Quadrados diferentes, distâncias diferentes, tempos diferentes: gabarito E. O som de $G$ chega antes.

Como a banca pergunta

• Comparação com limiar (tipo A): “é superior a”, “é inferior a”, “é maior que a metade de”. Compare quadrados; respeite o adjetivo. Itens 2013/64 ($\sqrt{281}$ contra $5\sqrt{10}$), 2015/117, 2019/77, 2008/55.
• Razão ou porcentagem entre distâncias: “pelo menos 10% maior”. Eleve o fator ao quadrado ($1{,}1^2 = 1{,}21$) e compare $d^2$. Item 2014/95.
• Tempo, custo ou consumo proporcional à distância: velocidade constante transforma a pergunta em comparação de distâncias. Itens 2019/77 e 2016/66.
• Distância mínima até uma reta (tipo A ou B): a palavra “mínima” aponta a perpendicular; forma geral, módulo, denominador. Itens 2025/23 e 2020/94.
• Distância a um segmento (tipo B): calcule pela reta e verifique se o pé cai dentro; a banca forneceu $\sqrt{17}$ como pista. Item 2024/87.
• Coordenada que falta: uma distância conhecida (raio, comprimento de um cabo) fornece a coordenada que a figura não escreve. Itens 2008/55 e 2009/103 (a usina a 10 km do consumidor, com $P(0, 8)$, dá $Q(6, 0)$ pelo terno $6$-$8$-$10$).
• Resposta numérica com unidade exótica: decâmetros, centímetros, “multiplique por 10”. A conversão é a última linha da conta. Itens 2012/84, 2020/94, 2024/87.

Os erros que mais derrubam

1. Decidir pela figura. O desenho do terreno de 2015 e o mapa de 2019 foram feitos para que a distância maior parecesse menor. A conta decide; o olho não.
2. Arredondar a raiz antes de comparar. $\sqrt{17} \approx 4$ transforma $2{,}06 > 2$ em “igual”. Compare $17$ com $16$.
3. Ler “superior” como “maior ou igual”. O terno $3$-$4$-$5$ está lá para dar exatamente o limiar.
4. Esquecer o termo independente. $3x + 4y = 800$ sem o $-800$ no numerador dá 324 m em vez de 164 m.
5. Confundir queda vertical com distância. A vertical só coincide com a perpendicular quando a reta é horizontal.
6. Tratar segmento como reta. Quando o pé cai fora, a distância é até o extremo mais próximo, e é maior.
7. Subtrair termos independentes de paralelas com escalas diferentes. Iguale os coeficientes de $x$ e $y$ primeiro.
8. Entregar a unidade dos eixos em vez da unidade pedida. 1,41 km são 141 dam; 5,10 m são 510 cm.
9. Trocar a ordem ou o sinal ao ler coordenadas de uma figura. Siga o tracejado até a marca e escreva o par antes de calcular.

O essencial em meia página

• $d(P, Q) = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}$: Pitágoras nas diferenças de coordenadas; segmento horizontal ou vertical, módulo da diferença. Ternos $3$-$4$-$5$, $5$-$12$-$13$, $8$-$15$-$17$ e múltiplos.
• Comparar distâncias é comparar $d^2$; “10% maior” vira fator $1{,}21$ nos quadrados; “superior” é estrito.
• Ponto médio = média das coordenadas, equidistante dos extremos; baricentro = média dos três vértices, a $2/3$ de cada mediana.
• Classificar por distâncias: lados iguais (isósceles, equilátero, losango), $a^2 + b^2 = c^2$ (retângulo), lados opostos iguais (paralelogramo), diagonais iguais (retângulo).
• $d(P, r) = \dfrac{|a x_0 + b y_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ com a reta na forma $ax + by + c = 0$; da origem, $|c|/\sqrt{a^2 + b^2}$; é a perpendicular, que vale $h \cos\alpha$ da queda vertical.
• Segmento: distância à reta se o pé cai dentro (ângulos em $A$ e $B$ não obtusos), senão distância ao extremo mais próximo.
• Paralelas com os mesmos $a$ e $b$: $|c_1 - c_2|/\sqrt{a^2 + b^2}$; iguale os coeficientes antes.
• Equidistância: de dois pontos, mediatriz (reta); de duas retas, bissetrizes (duas retas perpendiculares); de uma reta, duas paralelas (faixa); de um ponto, circunferência.
• Leia coordenadas das marcas dos eixos; use uma distância conhecida para achar a coordenada que falta; converta para a unidade pedida no fim.