Equação da circunferência

Abra um mapa de satélite sobre Cristalina, em Goiás, a 130 km de Brasília, e a paisagem parece um tabuleiro de moedas verdes: são os pivôs centrais de irrigação, cada um girando um braço de tubos em torno de uma torre fixa, alguns com 800 m de raio. Cada disco é definido por dois dados apenas, o ponto onde a torre está e o comprimento do braço, e é exatamente isso que uma circunferência é no plano cartesiano: um centro e um raio. Com esses dois dados escritos numa equação, toda pergunta sobre o pivô vira conta: a estrada vicinal que passa a 700 m da torre entra na área molhada? O poço em tal coordenada fica dentro ou fora? Dois pivôs vizinhos se sobrepõem? Nenhuma delas pede desenho. Pedem uma comparação entre uma distância e o raio.

Esta página constrói a equação da circunferência a partir da distância entre dois pontos, ensina a extrair centro e raio de uma equação desarrumada, classifica pontos e retas em relação à curva, monta a circunferência a partir de condições (três pontos, um diâmetro, tangência aos eixos) e compara duas circunferências. No fim, lê as figuras com escala que a prova usa, de campos de futebol a mapas de estado. A fórmula da distância que sustenta tudo é a de Distâncias na geometria analítica; a reta que vai cruzar a curva é a de Equação da reta; elipse, parábola e hipérbole ficam em Cônicas, e a circunferência de raio 1 que mede ângulos, em Ciclo trigonométrico.

Uma regra, não um desenho: a forma reduzida

Tome um ponto fixo $C(a, b)$ e um número $r > 0$. A circunferência de centro $C$ e raio $r$ é o conjunto de todos os pontos $P(x, y)$ do plano cuja distância até $C$ vale exatamente $r$. Escreva a distância com a fórmula de Pitágoras e eleve ao quadrado para tirar a raiz:

$$d(P, C) = r \iff \sqrt{(x - a)^2 + (y - b)^2} = r \iff r^2 = (x - a)^2 + (y - b)^2.$$

A última igualdade é a forma reduzida (ou canônica) da equação. Ela diz, em símbolos, “a distância de $(x, y)$ ao centro, ao quadrado, é $r^2$”. Um ponto está na curva se, e somente se, as suas coordenadas tornam a igualdade verdadeira.

Dois cuidados de leitura resolvem a maior parte dos erros. O primeiro é o sinal: em $(x + 2)^2 + (y - 5)^2 = 49$, a abscissa do centro é $-2$, porque $x + 2 = x - (-2)$; a ordenada é $5$. O segundo é a raiz: o raio é $\sqrt{49} = 7$, não $49$. Uma conferência barata é testar um ponto óbvio: o centro mais o raio na horizontal, $(-2 + 7, 5) = (5, 5)$, deve satisfazer a equação, e satisfaz: $7^2 + 0^2 = 49$.

Exemplo resolvido 1: da equação ao desenho. Identifique centro e raio de $(x + 2)^2 + (y - 5)^2 = 49$ e encontre os pontos mais alto e mais baixo da curva.

Estratégia: ler $a$ e $b$ com o sinal trocado em relação ao que está dentro dos parênteses, e tirar a raiz do lado direito.

Resolução: $C(-2, 5)$ e $r = 7$. O ponto mais alto está uma unidade de raio acima do centro, $(-2, 12)$; o mais baixo, $(-2, -2)$.

Conferência: em $(-2, 12)$, $(0)^2 + (7)^2 = 49$; em $(-2, -2)$, $0 + (-7)^2 = 49$. Os dois pertencem à curva.

Exemplo resolvido 2: do desenho à equação. Um pivô tem a torre em $(3, -1)$, em centenas de metros, e um braço de 500 m. Escreva a equação da borda irrigada.

Resolução: 500 m são 5 unidades. $(x - 3)^2 + (y + 1)^2 = 25$. Repare em $y + 1$: a ordenada do centro é $-1$, e $y - (-1) = y + 1$.

Conferência: o ponto $(7, 2)$ está a $\sqrt{4^2 + 3^2} = 5$ do centro, e de fato $4^2 + 3^2 = 25$.

Vale distinguir duas palavras que a prova usa com precisão. Circunferência é a linha, o conjunto dos pontos a distância exatamente $r$ do centro. Círculo (ou disco) é a região: a linha mais tudo o que está dentro dela. A equação com sinal de igual descreve a circunferência; a região pede uma desigualdade, como veremos adiante.

A forma geral esconde o centro: complete quadrados

Expanda a forma reduzida do exemplo 2: $(x - 3)^2 + (y + 1)^2 = 25$ dá $x^2 - 6x + 9 + y^2 + 2y + 1 = 25$, isto é,

$$x^2 + y^2 - 6x + 2y - 15 = 0.$$

Essa é a forma geral: $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$. Ela é a que aparece nos itens, porque esconde o centro e o raio atrás de três números. O caminho de volta chama-se completar quadrados e usa uma identidade só: $x^2 + Dx = \left(x + \frac{D}{2}\right)^2 - \frac{D^2}{4}$. Em palavras: metade do coeficiente, elevada ao quadrado, é o número que falta para fechar o quadrado perfeito, e esse número precisa ser compensado do outro lado.

Exemplo resolvido 3: completar quadrados com os dois sinais. Encontre centro e raio de $x^2 + y^2 + 6x - 10y + 18 = 0$.

Estratégia: agrupar $x$ com $x$ e $y$ com $y$, passar o termo independente para a direita, somar aos dois lados os números que fecham os quadrados.

Resolução: $(x^2 + 6x) + (y^2 - 10y) = -18$. Metade de $6$ é $3$, e $3^2 = 9$; metade de $-10$ é $-5$, e $(-5)^2 = 25$. Somando $9$ e $25$ aos dois lados: $(x + 3)^2 + (y - 5)^2 = -18 + 9 + 25 = 16$. Centro $(-3, 5)$, raio $4$.

Conferência: pela fórmula, $-D/2 = -3$ e $-E/2 = 5$; $r^2 = 9 + 25 - 18 = 16$. Expandindo de volta, $x^2 + 6x + 9 + y^2 - 10y + 25 = 16$ devolve a equação original.

A prova gosta de embaralhar a equação antes de entregá-la. Em 2024, a fachada do Palácio do Itamaraty veio com o arco escrito como $18y - x^2 - y^2 = 72$. Nada muda: passe tudo para um lado, $x^2 + y^2 - 18y + 72 = 0$, e complete o quadrado em $y$: $x^2 + (y - 9)^2 = 81 - 72 = 9$. Centro $(0, 9)$, raio $3$, que era exatamente o círculo esboçado na foto, passando por $D(0, 12)$, $E(-3, 9)$ e $F(3, 9)$. O item era certo, e quem não reorganizou a equação sequer viu que havia uma circunferência ali.

Nem toda equação com $x^2 + y^2$ é uma circunferência

Completar quadrados produz $(x - a)^2 + (y - b)^2 = k$ com $k = \frac{D^2}{4} + \frac{E^2}{4} - F$. O que acontece depende do sinal de $k$:

• $k > 0$: circunferência de raio $\sqrt{k}$.
• $k = 0$: a soma de dois quadrados só é zero se os dois forem zero. O conjunto tem um único ponto, $(a, b)$. Chama-se circunferência degenerada, mas não é uma circunferência.
• $k < 0$: nenhum par real $(x, y)$ serve, porque uma soma de quadrados nunca é negativa. O conjunto é vazio.

Exemplo resolvido 4: para quais valores de $k$ existe a circunferência? Considere $x^2 + y^2 - 2x + 4y + k = 0$.

Resolução: $(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 1 + 4 - k = 5 - k$. Existe circunferência se $5 - k > 0$, ou seja, $k < 5$. Para $k = 5$, o conjunto é só o ponto $(1, -2)$; para $k > 5$, é vazio.

Conferência: com $k = 1$, $r^2 = 4$ e a curva tem raio 2; com $k = 9$, $r^2 = -4$, impossível.

Há um segundo teste de existência, anterior à conta: a forma da equação. $x^2 + 2y^2 - 25x + 10y = 45$ não é circunferência porque os coeficientes de $x^2$ e $y^2$ são diferentes (é uma elipse, assunto de Cônicas); $2x^2 - y^2 + 25x - 8y = 45$ tem sinais opostos (hipérbole). Num item de múltipla escolha que pede “a equação dessa circunferência”, eliminar as opções com coeficientes desiguais custa cinco segundos e costuma deixar duas candidatas.

Dentro, em cima ou fora: compare $d^2$ com $r^2$

Dado um ponto $P$ e a circunferência de centro $C$ e raio $r$, há três possibilidades, e todas se decidem pela distância $d = d(P, C)$:

Exemplo resolvido 5: três pontos e um pivô. Para a circunferência $(x - 3)^2 + (y + 1)^2 = 25$, classifique $P(7, 2)$, a origem $Q(0, 0)$ e $R(-2, 3)$.

Resolução: $P$: $4^2 + 3^2 = 25 = r^2$, sobre a curva. $Q$: $(-3)^2 + (1)^2 = 10 < 25$, interior. $R$: $(-5)^2 + (4)^2 = 41 > 25$, exterior.

Conferência: as distâncias são $5$, $\sqrt{10} \approx 3{,}2$ e $\sqrt{41} \approx 6{,}4$, comparadas com o raio 5. Nenhuma raiz precisou ser calculada para decidir.

Foi essa comparação que o PAS 3 de 2018 cobrou com o mapa do Rio Grande do Sul em quilômetros: Porto Alegre em $(200, 0)$, Pelotas em $(40, -220)$ e a circunferência $x^2 + y^2 - 400x - 35\,000 = 0$. Completando o quadrado, $(x - 200)^2 + y^2 = 75\,000$: o centro é a própria Porto Alegre, que portanto está dentro. Para Pelotas, $d^2 = 160^2 + 220^2 = 25\,600 + 48\,400 = 74\,000 < 75\,000$, também dentro, por uma margem pequena que só a conta exata enxerga. Item certo. Quem tentasse $\sqrt{75\,000}$ de cabeça perderia tempo e ganharia erro de arredondamento.

Reta e circunferência: a distância do centro à reta decide

Uma reta pode cortar a circunferência em dois pontos, encostar nela num ponto só, ou passar ao largo. A decisão também é uma comparação com o raio, só que agora a distância é do centro à reta, a menor possível, medida na perpendicular. A fórmula, deduzida em Distâncias na geometria analítica, exige a reta na forma geral $Ax + By + C = 0$:

$$d(C, s) = \frac{|A a + B b + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}.$$

Exemplo resolvido 6: classificar e achar o ponto de tangência. Qual é a posição da reta $4x - 3y + 10 = 0$ em relação à circunferência $(x - 3)^2 + (y + 1)^2 = 25$?

Estratégia: reta já na forma geral; calcular $d(C, s)$ com $C(3, -1)$ e comparar com $r = 5$.

Resolução: $d = \dfrac{|4 \cdot 3 - 3 \cdot (-1) + 10|}{\sqrt{16 + 9}} = \dfrac{|12 + 3 + 10|}{5} = \dfrac{25}{5} = 5 = r$. Tangente. O ponto de tangência é o pé da perpendicular baixada do centro: a perpendicular à reta tem a direção do vetor $(4, -3)$ e, partindo de $C$, anda $5$ unidades. Como $\sqrt{4^2 + 3^2} = 5$, o deslocamento é o próprio $(4, -3)$ ou o seu oposto; testando, $T = (3, -1) - (4, -3) = (-1, 2)$ satisfaz $4(-1) - 3(2) + 10 = 0$.

Conferência: $T$ está na circunferência, $(-1 - 3)^2 + (2 + 1)^2 = 16 + 9 = 25$; e $CT$ tem coeficiente angular $\frac{2 - (-1)}{-1 - 3} = -\frac{3}{4}$, enquanto a reta tem $m = \frac{4}{3}$; o produto é $-1$, perpendiculares.

Exemplo resolvido 7: os pontos de interseção por substituição. Onde a reta $y = x + 1$ corta a circunferência $x^2 + y^2 = 25$?

Estratégia: quando se querem os pontos, e não só a classificação, substitua a reta na circunferência e resolva a equação do 2.º grau; o discriminante repete a classificação ($\Delta > 0$ secante, $\Delta = 0$ tangente, $\Delta < 0$ exterior).

Resolução: $x^2 + (x + 1)^2 = 25 \Rightarrow 2x^2 + 2x - 24 = 0 \Rightarrow x^2 + x - 12 = 0$, com raízes $x = 3$ e $x = -4$. Os pontos são $(3, 4)$ e $(-4, -3)$.

Conferência: $3^2 + 4^2 = 25$ e $(-4)^2 + (-3)^2 = 25$; os dois satisfazem $y = x + 1$. Pela distância: $x - y + 1 = 0$ está a $\frac{|0 - 0 + 1|}{\sqrt{2}} \approx 0{,}71 < 5$ da origem, secante, como o $\Delta > 0$ já dizia.

O mesmo método responde onde a circunferência cruza os eixos coordenados: faça $y = 0$ para o eixo $x$ e $x = 0$ para o eixo $y$. Em $x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0$, o eixo $y$ dá $y^2 + 4y - 12 = 0$, raízes $2$ e $-6$: a curva passa por $(0, 2)$ e $(0, -6)$. O eixo $x$ dá $x^2 - 6x - 12 = 0$, raízes $3 \pm \sqrt{21}$. Um caso que merece reflexo: se o termo independente $F$ é zero, a origem satisfaz a equação, e a circunferência passa pela origem.

Em 2010, o PAS 3 usou a tangência no sistema de espelhos do Hubble: o espelho secundário era uma circunferência de centro $P(p, 0)$ e raio $0{,}16$ m, o ponto $B$ estava sobre ela, com $BC$ inclinado $120°$ em relação ao eixo $x$, e a reta $AB$, vinda de $A(0, -1{,}2)$, era tangente em $B$. Tangente em $B$ quer dizer $AB \perp PB$: com $B = (p + 0{,}08,\ -0{,}08\sqrt{3})$, o produto escalar de $PB = (0{,}08, -0{,}08\sqrt{3})$ por $AB = (p + 0{,}08,\ 1{,}2 - 0{,}08\sqrt{3})$ zera quando $p = 1{,}2\sqrt{3} - 0{,}32 \approx 1{,}76$, inferior a $2$ m, como o item afirmava. A conta inteira é o fato de que raio e tangente são perpendiculares.

Montar a circunferência a partir de condições

Até aqui a equação vinha pronta. Os itens mais trabalhosos dão condições e pedem a equação, ou perguntam se ela existe. Cada condição vira uma equação nas incógnitas $a$, $b$ e $r$ (ou $D$, $E$ e $F$).

Centro e um ponto. O raio é a distância entre eles. Antena em $C(5, 4)$ cujo alcance termina na antena $E(8, -2)$, como no PAS 3 de 2014: $r^2 = 3^2 + 6^2 = 45$ e $(x - 5)^2 + (y - 4)^2 = 45$, que expandida dá $x^2 + y^2 - 10x - 8y = 4$. Entre as quatro opções do item, duas nem eram circunferências.

Um diâmetro. O centro é o ponto médio dos extremos e o raio é metade da distância entre eles. Diâmetro de $(-1, 3)$ a $(5, -5)$: centro $(2, -1)$; a distância é $\sqrt{36 + 64} = 10$, logo $r = 5$ e a equação é $(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 25$.

Tangência aos eixos. Se a circunferência tangencia o eixo $x$, a distância do centro a esse eixo é o raio: $|b| = r$. Se tangencia o eixo $y$, $|a| = r$. Tangente aos dois eixos no primeiro quadrante com raio 3: centro $(3, 3)$, $(x - 3)^2 + (y - 3)^2 = 9$. O PAS 2 de 2022 pediu o arco de um entulho na foto de Cartier-Bresson: circunferência de diâmetro $2$ m tangente ao eixo $y$ na origem, com o arco do lado positivo de $x$. Raio $1$, centro a $1$ do eixo $y$ sobre o eixo $x$: $(1, 0)$, e a equação é $(x - 1)^2 + y^2 = 1$.

Centro sobre uma reta dada. A condição “centro em $(m, 4)$” ou “centro sobre $y = 2x$” fixa uma coordenada em função da outra; as demais condições fecham o sistema.

Três pontos não alinhados. Há exatamente uma circunferência por eles, e dois caminhos para achá-la. O geométrico: o centro equidista dos três, logo está na mediatriz de cada par; a interseção de duas mediatrizes é o centro. O algébrico: substituir os três pontos em $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$ dá um sistema linear 3 × 3 em $D$, $E$, $F$.

Exemplo resolvido 8: circunferência por três pontos, pelos dois caminhos. Encontre a circunferência que passa por $A(2, 1)$, $B(6, 3)$ e $C(4, 7)$.

Caminho das mediatrizes: ponto médio de $AB$ é $(4, 2)$ e o coeficiente angular de $AB$ é $\frac{2}{4} = \frac12$, logo a mediatriz tem $m = -2$: $y - 2 = -2(x - 4)$, ou $y = -2x + 10$. Ponto médio de $BC$ é $(5, 5)$, coeficiente angular de $BC$ é $\frac{4}{-2} = -2$, mediatriz com $m = \frac12$: $y = \frac{x}{2} + \frac{5}{2}$. Igualando, $-2x + 10 = \frac{x}{2} + \frac{5}{2}$, logo $\frac{5x}{2} = \frac{15}{2}$ e $x = 3$, $y = 4$. Centro $(3, 4)$; $r^2 = (2 - 3)^2 + (1 - 4)^2 = 10$.

Caminho do sistema: substituindo em $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$: $A$ dá $2D + E + F = -5$; $B$ dá $6D + 3E + F = -45$; $C$ dá $4D + 7E + F = -65$. Subtraindo a primeira das outras duas: $4D + 2E = -40$ e $2D + 6E = -60$, isto é, $2D + E = -20$ e $D + 3E = -30$. Da primeira, $E = -20 - 2D$; na segunda, $D - 60 - 6D = -30$, logo $D = -6$, $E = -8$ e $F = -5 + 12 + 8 = 15$. A equação é $x^2 + y^2 - 6x - 8y + 15 = 0$.

Conferência: completando quadrados, $(x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 9 + 16 - 15 = 10$, o mesmo centro e o mesmo raio do primeiro caminho. E $C(4, 7)$: $(1)^2 + (3)^2 = 10$.

Quando os pontos têm simetria, o trabalho encolhe. No PAS 3 de 2016, quatro caixas de som $A(-4, 7)$, $C(-5, 5)$, $A'(4, 7)$ e $C'(5, 5)$, simétricas em relação ao eixo $y$, estavam numa mesma circunferência: o centro tinha de estar no eixo de simetria, $(0, k)$, e bastou igualar as distâncias a $A$ e a $C$: $16 + (7 - k)^2 = 25 + (5 - k)^2$, que dá $k = \frac{15}{4}$, inferior a 4, como o item afirmava. Outra situação com reflexo pronto: quando a curva contém a origem e encontra os eixos nos pontos $(p, 0)$ e $(0, q)$, a forma geral fica com $F = 0$, $D = -p$ e $E = -q$. Foi o que o PAS 3 de 2010 escondeu no banhista da praia: a circunferência por $O$, $B$ e $N$, com $B$ no eixo $x$ e $N$ no eixo $y$ equidistantes de $O$, tinha, na forma geral, $a = b$.

E se não existir? O PAS 3 de 2019 perguntou se havia um número $m$ para que $E(m, 4)$ fosse o centro de uma circunferência por $O(0, 0)$, $C(4, 0)$ e $D(6, 3)$. Equidistar de $O$ e $C$ obriga o centro a estar na mediatriz $x = 2$, logo $m = 2$. Mas aí $d(E, O)^2 = 4 + 16 = 20$ e $d(E, D)^2 = 16 + 1 = 17$: distâncias diferentes, o centro não serve. A resposta é “não existe”, e o método é sempre o mesmo: imponha as condições uma a uma e veja se a última é compatível com as anteriores.

Duas circunferências: a distância entre os centros conta a história

Com duas circunferências de raios $r_1$ e $r_2$ e centros a uma distância $d$ um do outro, a posição relativa sai da comparação de $d$ com a soma e com a diferença dos raios:

Exemplo resolvido 9: dois pivôs vizinhos. As circunferências $x^2 + y^2 = 16$ e $(x - 5)^2 + y^2 = 9$ se cruzam? Onde?

Resolução: $r_1 = 4$, $r_2 = 3$, $d = 5$. Como $1 < 5 < 7$, são secantes. Subtraindo as formas gerais, $x^2 + y^2 - 16$ e $x^2 - 10x + 25 + y^2 - 9$: $10x - 25 - 16 + 9 = 0$, logo $x = 3{,}2$. Na primeira, $y^2 = 16 - 10{,}24 = 5{,}76$, $y = \pm 2{,}4$. Pontos comuns: $(3{,}2;\ 2{,}4)$ e $(3{,}2;\ -2{,}4)$.

Conferência: na segunda circunferência, $(3{,}2 - 5)^2 + 2{,}4^2 = 3{,}24 + 5{,}76 = 9$. Os dois pontos pertencem às duas curvas.

O item D do PAS 3 de 2024 pediu um esboço desse tipo com duas antenas de 5G de alcance 3 km: $A_1$ na origem e $A_2$ a $3\sqrt{2}$ km, no primeiro quadrante, a $45°$ do eixo $x$, o que dá $A_2(3, 3)$. Como $d = 3\sqrt{2} \approx 4{,}2$ é menor que $3 + 3 = 6$, as áreas de cobertura se sobrepõem; subtraindo $x^2 + y^2 = 9$ de $(x - 3)^2 + (y - 3)^2 = 9$ vem $x + y = 3$, e os pontos comuns são $(0, 3)$ e $(3, 0)$: as duas circunferências se cruzam exatamente sobre os eixos.

Ler a figura, respeitar a unidade, fazer a conta do tipo B

Quase todos os itens reais desta página vêm com uma figura: um mapa de estado, um campo de futebol, uma fachada, um telescópio, uma obra de arte com eixos desenhados por cima. A sequência que funciona é a mesma em todos:

1. Anote as coordenadas de cada ponto nomeado, lidas na figura ou na tabela, com a unidade (km, m, “unidades” sem dimensão).
2. Reconheça o papel de cada ponto: centro, ponto da curva, extremo de diâmetro, ponto de tangência.
3. Escreva a equação (ou complete quadrados na que foi dada) e só então julgue a afirmação ou calcule o número pedido.
4. Verifique a unidade e a instrução final do tipo B: “multiplique por 10”, “despreze a parte fracionária”, “em metros”.

No campo de futebol do PAS 3 de 2012, em metros, o ponto $F$ era o centro do campo, $(50, 0)$, e $H$ um ponto da circunferência central com $FH = 9$: $(x - 50)^2 + y^2 = 81$, isto é, $x^2 + y^2 - 100x + 2\,419 = 0$, exatamente a equação do item. No terreno de lavoura do PAS 3 de 2015, a circunferência $x^2 + y^2 - 4x - 8y = 80$ tinha centro $(p, q) = (2, 4)$ e raio 10, mas o item definia $R$ como a distância entre $E$ e $F$, extremos de um diâmetro: $R = 20$, e o produto pedido era $p \times q \times R = 2 \times 4 \times 20 = 160$. Quem usou o raio marcou 80 e errou por não ler a definição que o próprio item dava.

Em 2023, o PAS 3 desenhou eixos por cima da tela Navio de emigrantes (Lasar Segall), marcou $O(0, 0)$, $A(4, 3)$ e $C(8, -3)$, e o item dizia que o círculo de centro $O$ e raio $OA$ encontra o segmento $OC$ em $\left(\frac{40}{\sqrt{73}}, -\frac{15}{\sqrt{73}}\right)$. O raio é $OA = 5$ e $OC = \sqrt{64 + 9} = \sqrt{73}$; o ponto do segmento $OC$ a 5 unidades da origem é $\frac{5}{\sqrt{73}}$ do caminho de $O$ a $C$: $\frac{5}{\sqrt{73}}(8, -3) = \left(\frac{40}{\sqrt{73}}, -\frac{15}{\sqrt{73}}\right)$. Item certo, e a conferência é imediata: $\frac{1600 + 225}{73} = \frac{1825}{73} = 25 = 5^2$.

Como a banca pergunta

Os itens de circunferência no plano cartesiano têm poucos moldes:

• Extrair centro e raio de uma equação desarrumada (PAS 3 2024, 2015, 2018): completar quadrados e julgar uma afirmação sobre o centro, o raio ou a passagem por um ponto. Em 2024 a equação veio com os quadrados negativos; em 2015 o $R$ do item não era o raio.
• Posição de pontos (PAS 3 2018): cidades, antenas ou casas “no interior do círculo”. Compare $d^2$ com $r^2$; “interior” é estrito.
• Equação a partir de centro e ponto, ou de diâmetro, ou de tangência aos eixos (PAS 3 2014; PAS 2 2022; PAS 3 2008, anulado): múltipla escolha com opções que nem são circunferências; elimine pela forma antes de calcular.
• Existência e centro por condições (PAS 3 2019, 2016, 2010): “é possível encontrar $m$…”, “a ordenada do centro é inferior a 4”, “as constantes $a$ e $b$ são iguais”. Mediatrizes e simetria resolvem.
• Tangência (PAS 3 2010): raio perpendicular à tangente, ou distância do centro à reta igual ao raio.
• Interseção de círculo com segmento ou reta (PAS 3 2023): o ponto a distância $r$ do centro na direção dada.
• Esboço (PAS 3 2024, tipo D): posicionar centros e círculos numa malha e marcar os cruzamentos.

Todos vêm com um limiar ou com uma afirmação exata, e o limiar costuma ficar perto do valor verdadeiro (74 000 contra 75 000; 1,76 contra 2,0; 3,75 contra 4). Faça a conta exata, com quadrados em vez de raízes, e só compare no fim.

Os erros que custam o item

Nem todos vêm de um item real; são os deslizes que aparecem quando se corrige a lista de exercícios desta página.

• Ler o lado direito como raio. $= 9$ significa raio 3; $= 75\,000$ significa raio $\sqrt{75\,000} \approx 274$.
• Trocar o sinal do centro. $(x + 3)^2$ tem centro em $-3$; $x^2 + y^2 + 6x$ também ($-D/2 = -3$).
• Esquecer de compensar o quadrado. O $9$ somado para fechar $(x + 3)^2$ precisa aparecer do outro lado.
• Completar quadrados sem dividir pelo coeficiente comum. Em $2x^2 + 2y^2 - 4x + 8y - 8 = 0$, divida por 2 primeiro.
• Aceitar como circunferência o que não é. Coeficientes diferentes em $x^2$ e $y^2$, termo $xy$, ou $r^2 \le 0$.
• “Interior” com $d = r$. Sobre a linha não é dentro.
• Extrair raiz para comparar. Compare $d^2$ com $r^2$; evita arredondamento e ganha tempo.
• Usar a reta fora da forma geral na fórmula da distância. $y = 2x + 1$ vira $2x - y + 1 = 0$ antes de qualquer conta.
• Tangente paralela ao raio. A tangente é perpendicular ao raio no ponto de contato.
• Centro de um diâmetro como um dos extremos. O centro é o ponto médio; o raio é metade da distância entre os extremos.
• Tangente ao eixo $x$ com $|a| = r$. Tangência ao eixo $x$ usa a ordenada: $|b| = r$; ao eixo $y$, $|a| = r$.
• Usar o raio quando o item redefiniu $R$. Leia a definição do item (2015: $R$ era o diâmetro).
• Ignorar a unidade e a instrução final do tipo B. Multiplicar por 10 e desprezar a parte fracionária fazem parte da resposta.

O essencial em meia página

• Forma reduzida: centro $(a, b)$, raio $r$: $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$. O lado direito é $r^2$. Centro na origem: $x^2 + y^2 = r^2$.
• Forma geral: $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$, com coeficientes iguais em $x^2$ e $y^2$ e sem $xy$. Centro $\left(-\frac{D}{2}, -\frac{E}{2}\right)$; $r^2 = \frac{D^2}{4} + \frac{E^2}{4} - F$. Completar quadrados: some o quadrado da metade do coeficiente aos dois lados.
• Existência: $r^2 > 0$ circunferência; $r^2 = 0$ um ponto; $r^2 < 0$ vazio. $F = 0$ significa que passa pela origem.
• Ponto: compare $d^2 = (x_P - a)^2 + (y_P - b)^2$ com $r^2$: menor é interior, igual é sobre, maior é exterior. Círculo: $(x - a)^2 + (y - b)^2 \le r^2$.
• Reta: $d(C, s) = \frac{|Aa + Bb + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ (reta na forma geral) contra $r$: secante, tangente, exterior. Pontos comuns por substituição ($\Delta$ repete a classificação). Tangente em $T$: perpendicular a $CT$. Retas $x = k$ e $y = k$: distância $|k - a|$ e $|k - b|$.
• Montar: centro e ponto ($r$ = distância); diâmetro (centro = ponto médio, $r$ = metade); tangente ao eixo $x$: $|b| = r$, ao eixo $y$: $|a| = r$; três pontos: duas mediatrizes ou sistema em $D$, $E$, $F$; simetria põe o centro no eixo de simetria; se as condições se contradizem, a circunferência não existe.
• Duas circunferências: $d$ entre centros contra $r_1 + r_2$ e $|r_1 - r_2|$: exteriores, tangentes por fora, secantes, tangentes por dentro, interiores. Pontos comuns: subtraia as equações (reta) e substitua.
• Na prova: coordenadas lidas com unidade; equação antes do julgamento; quadrados em vez de raízes; “interior” estrito; a letra $R$ do item pode não ser o raio; no tipo B, escala e arredondamento são parte da resposta.