Números complexos

Um drone de entrega decola da base, avança 3 km rumo ao leste, depois 4 km rumo ao norte, e para. O controlador não guarda a posição como um par de números: guarda um só, $3 + 4i$. Quando precisa que o drone refaça a rota girada de $90°$ à esquerda, não mexe em seno nem em cosseno; multiplica a posição por $i$ e lê o resultado, $i(3 + 4i) = 3i + 4i^2 = -4 + 3i$, isto é, 4 km para oeste e 3 km para norte. A distância à base continua 5 km, como manda um giro. Para dizer “a 5 km, na direção de $53°$”, escreve o mesmo número como $5(\cos 53° + i\,\mathrm{sen}\,53°)$. Um único objeto guarda o ponto, soma como vetor, gira quando multiplicado e troca de roupa entre coordenadas e direção. Esse objeto é o número complexo, e esta página é o seu manual completo: a forma algébrica e as quatro operações, o conjugado, as equações do 2.º grau sem raízes reais, módulo e argumento, a forma trigonométrica e a exponencial de Euler, a multiplicação como giro, as potências de De Moivre, as raízes de $z^n = w$ arrumadas num polígono regular, as regiões do plano descritas por módulo e argumento e, por fim, os formatos com que a prova veste tudo isso: estações de bonde, cidades, esculturas, espirais, notas musicais e amostras de áudio.

Alguns vizinhos ficam em páginas próprias e entram aqui só como apoio: os quadrantes e a leitura de pontos estão no plano cartesiano; os ângulos, senos e cossenos da volta inteira, no ciclo trigonométrico; a equação $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$, na página de equação da circunferência; a fórmula de Bhaskara e o discriminante, na de função quadrática; e a matriz de rotação, com a qual a multiplicação por um complexo unitário se corresponde, na de transformações no plano.

Um número que guarda um ponto inteiro: a forma algébrica

Nos números reais, não há raiz quadrada de $-1$: todo quadrado é maior ou igual a zero. Os complexos nascem de uma decisão: criar um símbolo novo, $i$, com a única propriedade $i^2 = -1$, e exigir que todas as regras algébricas usuais (comutativa, associativa, distributiva) continuem valendo. A partir daí, qualquer expressão com $i$ se reduz, trocando $i^2$ por $-1$ sempre que ele aparecer, a uma soma de um número real com um múltiplo real de $i$.

As potências de $i$ são o primeiro cálculo a dominar, porque aparecem em toda multiplicação: $i^1 = i$, $i^2 = -1$, $i^3 = i^2 \cdot i = -i$, $i^4 = (i^2)^2 = 1$, e a partir daí o ciclo recomeça: $i^5 = i$, $i^6 = -1$, e assim por diante. Para calcular $i^n$, basta o resto da divisão de $n$ por 4: resto 0 dá $1$, resto 1 dá $i$, resto 2 dá $-1$, resto 3 dá $-i$. Em qualquer bloco de quatro potências consecutivas a soma é $i + (-1) + (-i) + 1 = 0$.

Exemplo resolvido 1: potências de $i$. Quanto vale $i^{2027}$? E a soma $i + i^2 + i^3 + \cdots + i^{100}$? Dividindo, $2027 = 4 \cdot 506 + 3$: o resto é 3, logo $i^{2027} = i^3 = -i$. A soma tem 100 parcelas, que formam 25 blocos de quatro potências consecutivas, cada bloco somando zero: o total é $0$. Conferência: o primeiro bloco é $i - 1 - i + 1 = 0$, e os outros 24 repetem o mesmo padrão. Vale ainda registrar $i^{-1} = \frac{1}{i}$: como $i \cdot (-i) = -i^2 = 1$, o inverso de $i$ é $-i$.

A ideia que transforma o símbolo em geometria é identificar $a + bi$ com o ponto $(a, b)$ do plano: o eixo horizontal recebe a parte real e o eixo vertical a parte imaginária. Esse plano é o plano de Argand-Gauss; o ponto que representa $z$ é o seu afixo. Como todo ponto do plano, $z$ também pode ser visto como o vetor que sai da origem e chega nele, e essa dupla leitura (ponto ou seta) será usada o tempo todo.

Somar é deslocar; multiplicar é distribuir

A soma e a subtração são feitas parte a parte: $(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i$. No plano, é a soma de vetores pela regra do paralelogramo; $z - w$ é a seta que vai do afixo de $w$ ao afixo de $z$, trazida para a origem. O produto usa a distributiva, como com binômios, e depois troca $i^2$ por $-1$:

$$(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bd\,i^2 = (ac - bd) + (ad + bc)i.$$

Não vale a pena decorar a fórmula final: basta distribuir e lembrar de trocar o $i^2$.

Exemplo resolvido 2: um produto com conferência. Calcule $(2 + 3i)(4 - i)$. Distribuindo: $8 - 2i + 12i - 3i^2 = 8 + 10i + 3 = 11 + 10i$. Conferência por uma propriedade que a seção do módulo vai justificar: o “tamanho ao quadrado” de um produto é o produto dos tamanhos ao quadrado. Para $2 + 3i$, $2^2 + 3^2 = 13$; para $4 - i$, $16 + 1 = 17$; produto $221$. Para $11 + 10i$, $121 + 100 = 221$. Bate.

Quando o problema dá significado às partes, a operação pedida costuma ser a mais simples de todas: ler. Uma editora registra as vendas mensais como $v = (\text{impressos}) + (\text{digitais})\,i$; em janeiro, $v_1 = 120 + 80i$; em fevereiro, $v_2 = 95 + 140i$. Quantos exemplares a mais vendeu fevereiro, no total? O total de um mês é a soma das duas partes: janeiro vendeu $200$, fevereiro $235$, e a diferença é $35$. A soma dos dois meses, $v_1 + v_2 = 215 + 220i$, diz que foram $435$ exemplares no bimestre. Já $|v_2 - v_1| = |{-25} + 60i| = \sqrt{625 + 3600} = 65$ é a distância entre os dois pontos no plano e não mede total nenhum. Em 2025, o PAS 3 cobrou exatamente esse reflexo num par de itens: uma divisão de complexos num item e, no item seguinte, com o mesmo texto-base, uma simples soma das duas partes para comparar colheitas totais.

O conjugado é o espelho que torna a divisão possível

O conjugado de $z = a + bi$ é $\bar{z} = a - bi$: mesmo ponto refletido no eixo real. Duas contas com ele são imediatas e aparecem o tempo todo:

$$z + \bar{z} = 2a = 2\,\mathrm{Re}(z), \qquad z \cdot \bar{z} = (a + bi)(a - bi) = a^2 - b^2 i^2 = a^2 + b^2.$$

A segunda é a que importa: o produto de um complexo pelo seu conjugado é um número real não negativo, e só é zero quando $z = 0$. Isso resolve a divisão. Dividir por $a + bi$ parece não ter sentido, mas multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do denominador transforma o denominador em $a^2 + b^2$, um real, e aí a divisão é a de sempre.

Exemplo resolvido 3: uma divisão completa. Calcule $\dfrac{7 + 4i}{2 - 3i}$. O conjugado do denominador é $2 + 3i$:

$$\frac{(7 + 4i)(2 + 3i)}{(2 - 3i)(2 + 3i)} = \frac{14 + 21i + 8i + 12i^2}{4 + 9} = \frac{2 + 29i}{13} = \frac{2}{13} + \frac{29}{13}i.$$

Conferência: multiplicando o resultado pelo divisor deve voltar o dividendo: $\left(\frac{2}{13} + \frac{29}{13}i\right)(2 - 3i) = \frac{4 - 6i + 58i - 87i^2}{13} = \frac{91 + 52i}{13} = 7 + 4i$. Um exemplo do inverso: $\frac{1}{3 + 4i} = \frac{3 - 4i}{25}$, e de fato $(3 + 4i)\cdot\frac{3 - 4i}{25} = \frac{25}{25} = 1$.

O conjugado também decide quando um quociente é real. $\frac{w}{z}$ é real quando a parte imaginária de $w\bar{z}$ é zero; geometricamente, isso acontece quando $w$ e $z$ estão sobre a mesma reta pela origem (mesma direção ou direções opostas). Assim, o conjunto dos $(x, y) \neq (0, 0)$ para os quais $\frac{z_0}{x + iy}$ é real, com $z_0 = p + qi$ fixo, é a reta pela origem e por $(p, q)$, de equação $qx - py = 0$. Foi esse o formato de um item do PAS 3 de 2012: o ponto era a pontuação de uma droga num gráfico de danos, e a resposta era a reta pela origem e por aquele ponto.

Exemplo resolvido 4: forçar um quociente real ou imaginário puro. Para que valor real de $k$ o quociente $\dfrac{k + 6i}{1 + 2i}$ é real? E para qual é imaginário puro? Multiplicando pelo conjugado: $\dfrac{(k + 6i)(1 - 2i)}{1 + 4} = \dfrac{k - 2ki + 6i - 12i^2}{5} = \dfrac{(k + 12) + (6 - 2k)i}{5}$. Quociente real: $6 - 2k = 0$, ou seja, $k = 3$, e o quociente vale $\frac{15}{5} = 3$ (conferência: $3(1 + 2i) = 3 + 6i$). Imaginário puro: $k + 12 = 0$, ou seja, $k = -12$, e o quociente vale $\frac{30i}{5} = 6i$ (conferência: $6i(1 + 2i) = 6i + 12i^2 = -12 + 6i$).

Toda equação do 2.º grau tem duas raízes: Bhaskara em $\mathbb{C}$

Nos reais, $z^2 - 4z + 29 = 0$ não tem solução, porque o discriminante $\Delta = 16 - 116 = -100$ é negativo. Em $\mathbb{C}$, a raiz quadrada de um negativo existe: $\sqrt{-100}$ é um número cujo quadrado é $-100$, e $(10i)^2 = 100i^2 = -100$. A fórmula de Bhaskara funciona sem nenhuma mudança:

$$z = \frac{4 \pm 10i}{2} = 2 \pm 5i.$$

As duas raízes são conjugadas uma da outra. Isso não é coincidência: quando os coeficientes $a$, $b$, $c$ são reais e $\Delta < 0$, as raízes são $\frac{-b}{2a} \pm \frac{\sqrt{|\Delta|}}{2a}i$, sempre um par conjugado. O par carrega duas identidades que dispensam Bhaskara para testar se dois números são raízes de uma equação dada:

Exemplo resolvido 5: raízes como pontos do plano. As raízes de $z^2 - 4z + 29 = 0$, já calculadas, são $2 + 5i$ e $2 - 5i$: os pontos $(2, 5)$ e $(2, -5)$. Teste pela soma e pelo produto: soma $4 = -(-4)$, produto $4 + 25 = 29$. A distância entre os dois afixos é $|{(2 + 5i)} - {(2 - 5i)}| = |10i| = 10$, e cada um está a $\sqrt{29} \approx 5{,}39$ da origem. Um item do PAS 3 de 2019 pôs um aeroporto na origem e dois prédios nas raízes de uma equação como essa, e pediu para julgar o comprimento do trajeto fechado pelos três pontos: é um triângulo isósceles cujos lados se leem direto das coordenadas. No sentido inverso, a equação cujas raízes são $1 \pm 3i$ é $z^2 - 2z + 10 = 0$ (soma $2$, produto $1 + 9 = 10$).

A ressalva dos coeficientes reais é cobrada. A equação $z^2 - 2iz - 1 = 0$ tem o coeficiente $-2i$ não real; ela se fatora como $(z - i)^2 = 0$ e tem a raiz dupla $z = i$, sem nenhuma raiz $-i$: de fato, $(-i)^2 - 2i(-i) - 1 = -1 - 2 - 1 = -4 \neq 0$. O PAS 3 de 2009 cobrou o mesmo cuidado com $z^3 + i = 0$: duas de suas raízes são o reflexo uma da outra no eixo imaginário (e não no real), e o item que as chamava de conjugadas estava errado.

Módulo e argumento: o endereço polar

Um ponto do plano pode ser localizado por duas coordenadas ou por uma distância e um ângulo. A distância do afixo de $z = a + bi$ à origem é o módulo, $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$, a hipotenusa do triângulo retângulo de catetos $|a|$ e $|b|$. O ângulo que a seta de $z$ faz com o semieixo real positivo, medido no sentido anti-horário, é o argumento $\theta$. Lendo o triângulo, $a = |z|\cos\theta$ e $b = |z|\,\mathrm{sen}\,\theta$, o que dá a forma trigonométrica (ou polar):

$$z = |z|\,(\cos\theta + i\,\mathrm{sen}\,\theta) = |z|\,\mathrm{cis}\,\theta,$$

em que $\mathrm{cis}\,\theta$ é só uma abreviatura de $\cos\theta + i\,\mathrm{sen}\,\theta$. Repare que $|z|^2 = a^2 + b^2 = z\bar{z}$: o produto pelo conjugado é o quadrado do módulo, e foi isso que a conferência do exemplo 2 usou ($|zw| = |z|\,|w|$).

Exemplo resolvido 6: duas conversões, ida e volta. Escreva $-3 + 3i$ e $2 - 2\sqrt{3}\,i$ na forma trigonométrica; depois volte $6\,\mathrm{cis}\,210°$ para a forma algébrica. Para $-3 + 3i$: módulo $\sqrt{9 + 9} = 3\sqrt{2}$; segundo quadrante; $\cos\theta = -\frac{3}{3\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ e $\mathrm{sen}\,\theta = \frac{\sqrt{2}}{2}$, logo $\theta = 135°$ e $-3 + 3i = 3\sqrt{2}\,\mathrm{cis}\,135°$. Para $2 - 2\sqrt{3}\,i$: módulo $\sqrt{4 + 12} = 4$; quarto quadrante; $\cos\theta = \frac{1}{2}$ e $\mathrm{sen}\,\theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, logo $\theta = 300°$ e o número é $4\,\mathrm{cis}\,300°$. Volta: $6\,\mathrm{cis}\,210° = 6\left(-\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i\right) = -3\sqrt{3} - 3i$. Conferência: $(3\sqrt{3})^2 + 3^2 = 27 + 9 = 36 = 6^2$, e o ponto $(-3\sqrt{3}, -3)$ está no terceiro quadrante, como $210°$ exige.

Muitos itens da prova não pedem o ângulo: pedem só uma comparação, e o quadrante mais uma desigualdade resolvem. Exemplo resolvido 7: julgar sem calcular o ângulo. O argumento de $-7 + 2i$ é maior ou menor que $135°$? O ponto está no segundo quadrante, então o argumento está entre $90°$ e $180°$. A bissetriz desse quadrante, a $135°$, é a reta $y = -x$; nela, $|a| = b$. Como $|{-7}| = 7 > 2$, o ponto está mais perto do eixo real negativo do que da bissetriz: o argumento está entre $135°$ e $180°$, logo é maior que $135°$. (Se alguém quiser o valor: $\mathrm{tg}\,\alpha = \frac{2}{7}$ dá $\alpha \approx 16°$ e $\theta \approx 164°$.) O PAS 3 de 2013 pediu só o quadrante de uma estação de VLT escrita na forma trigonométrica; o de 2015, se o argumento de $(5, 5\sqrt{3})$ ficava abaixo de $50°$ (a razão $\frac{b}{a} = \sqrt{3}$ dá $60°$, logo não); o de 2017, se o argumento da estação Jardim Botânico, em $(-5, 7)$, passava de $135°$ (não passa: $|{-5}| < 7$ põe o ponto acima da bissetriz).

Duas consequências geométricas do módulo valem uma seção inteira de equação da circunferência escrita numa linha: $|z_1 - z_2|$ é a distância entre os afixos de $z_1$ e $z_2$ (é a fórmula da distância entre pontos, letra por letra: $|(x_1 - x_2) + (y_1 - y_2)i| = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2}$); e $|z - z_0| = R$ é a circunferência de centro no afixo de $z_0$ e raio $R$. Por exemplo, $|z - (2 - i)| = 3$ é a circunferência de centro $(2, -1)$ e raio $3$, e $|z + 4i| = |z - (-4i)| = 1$ é a de centro $(0, -4)$ e raio $1$. A distância entre $1 + 5i$ e $4 + i$ é $|{-3} + 4i| = 5$.

$e^{i\theta}$: a forma polar numa letra

Há uma terceira roupa para o mesmo número, e a prova já a usou em 2022 e 2023. A fórmula de Euler define a exponencial de um imaginário puro por

$$e^{i\theta} = \cos\theta + i\,\mathrm{sen}\,\theta,$$

de modo que $e^{i\theta}$ é o ponto do círculo unitário no ângulo $\theta$ (em radianos), e qualquer complexo se escreve $z = |z|\,e^{i\theta}$: a forma exponencial. Os casos que mais aparecem: $e^{i\pi/2} = i$, $e^{i\pi} = -1$, $e^{i3\pi/2} = -i$, $e^{2\pi i} = 1$. A notação não é um capricho: ela obedece à regra das potências, $e^{i\alpha}\,e^{i\beta} = e^{i(\alpha + \beta)}$, que é exatamente a regra “argumentos se somam” da próxima seção, e $(e^{i\theta})^n = e^{in\theta}$, que é De Moivre.

Exemplo resolvido 8: localizar e reescrever. (a) Onde está $e^{i\,5\pi/6}$? Em $150°$: $\cos 150° + i\,\mathrm{sen}\,150° = -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i$, segundo quadrante. Compare com $e^{i\,7\pi/6}$, em $210°$: $-\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i$. Um item do PAS 3 de 2022 marcava num gráfico o ponto $\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2}\right)$ e afirmava que ele era $e^{\frac{4\pi}{3}i}$; mas $\frac{4\pi}{3}$ é $240°$, cujo ponto é $\left(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$, com as coordenadas trocadas. (b) Escreva $w(t) = \mathrm{sen}(100\pi t) + \mathrm{sen}(140\pi t)$ como exponenciais. Aplicando a fórmula do seno a cada parcela e pondo $e^{\pm i\,100\pi t}$ em evidência:

$$w(t) = \frac{i}{2}\,e^{-i\,100\pi t}\left(1 + e^{-i\,40\pi t}\right) - \frac{i}{2}\,e^{i\,100\pi t}\left(1 + e^{i\,40\pi t}\right),$$

porque $140 - 100 = 40$. Conferência: expandindo o primeiro produto, $\frac{i}{2}e^{-i\,100\pi t} + \frac{i}{2}e^{-i\,140\pi t}$, e o segundo, $-\frac{i}{2}e^{i\,100\pi t} - \frac{i}{2}e^{i\,140\pi t}$; agrupando por frequência, sobram $\frac{i}{2}(e^{-i\,100\pi t} - e^{i\,100\pi t}) = \mathrm{sen}(100\pi t)$ e o mesmo com $140$. Num item desse tipo, o trabalho é conferir as diferenças de frequência dentro dos parênteses e os sinais dos dois fatores $\pm\frac{i}{2}$.

Multiplicar é girar e escalar

A forma polar torna a multiplicação transparente. Se $z_1 = r_1\,\mathrm{cis}\,\alpha$ e $z_2 = r_2\,\mathrm{cis}\,\beta$, então

$$z_1 z_2 = r_1 r_2\,[(\cos\alpha\cos\beta - \mathrm{sen}\,\alpha\,\mathrm{sen}\,\beta) + i(\mathrm{sen}\,\alpha\cos\beta + \cos\alpha\,\mathrm{sen}\,\beta)] = r_1 r_2\,\mathrm{cis}(\alpha + \beta),$$

pelas identidades de adição de arcos, $\cos(\alpha + \beta)$ e $\mathrm{sen}(\alpha + \beta)$. Em palavras: os módulos se multiplicam e os argumentos se somam. Para a divisão, módulos se dividem e argumentos se subtraem: $\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2}\,\mathrm{cis}(\alpha - \beta)$; por exemplo, $\frac{\mathrm{cis}\,50°}{\mathrm{cis}\,20°} = \mathrm{cis}\,30°$.

Exemplo resolvido 9: girar um ponto, em torno da origem e em torno de outro centro. (a) Gire o ponto $(4, 1)$ de $60°$ em torno da origem. Em complexos, $z = 4 + i$ e $u = \mathrm{cis}\,60° = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$:

$$uz = (4 + i)\left(\tfrac{1}{2} + \tfrac{\sqrt{3}}{2}i\right) = 2 + 2\sqrt{3}\,i + \tfrac{1}{2}i + \tfrac{\sqrt{3}}{2}i^2 = \left(2 - \tfrac{\sqrt{3}}{2}\right) + \left(2\sqrt{3} + \tfrac{1}{2}\right)i \approx 1{,}13 + 3{,}96i.$$

Conferência: $|z|^2 = 17$ e $1{,}13^2 + 3{,}96^2 \approx 1{,}28 + 15{,}68 \approx 17$; o módulo foi preservado. (b) Gire $z = 3 + 2i$ de $90°$ em torno de $z_0 = 1 + i$. Deslocar: $z - z_0 = 2 + i$. Girar: $i(2 + i) = 2i + i^2 = -1 + 2i$. Voltar: $z_0 + (-1 + 2i) = 3i$, o ponto $(0, 3)$. Conferência: a distância ao centro era $|2 + i| = \sqrt{5}$ e passou a ser $|3i - (1 + i)| = |{-1} + 2i| = \sqrt{5}$.

A mesma ideia tem outra língua: a matriz de rotação $R(\theta)$ aplicada à coluna $(x, y)$ dá $(x\cos\theta - y\,\mathrm{sen}\,\theta,\ x\,\mathrm{sen}\,\theta + y\cos\theta)$, que são exatamente as partes real e imaginária de $(x + yi)(\cos\theta + i\,\mathrm{sen}\,\theta)$. Multiplicar por $\mathrm{cis}\,\theta$ e aplicar $R(\theta)$ são a mesma operação; compor duas rotações é somar ângulos nas duas línguas. A prova já cobrou a versão em complexos duas vezes com a mesma pergunta: “para girar a figura de tanto em torno da origem, basta multiplicar todos os seus pontos por tal número?”. Em 2016, o número era $i$ e o ângulo $\frac{\pi}{2}$ (certo); em 2021, o número era $\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$ e o ângulo $60°$ (certo, porque o módulo é $1$ e o argumento é $60°$). Se o item trouxesse $1 + \sqrt{3}\,i$ no lugar, o argumento seria o mesmo, mas o módulo $2$ dobraria a figura, e a afirmação cairia.

Potências: De Moivre e o que acontece ao iterar

Multiplicar $z$ por ele mesmo $n$ vezes multiplica o módulo $n$ vezes e soma o argumento $n$ vezes:

A forma algébrica seria impraticável para expoentes altos; a polar resolve em duas linhas. Exemplo resolvido 10: uma potência alta. Calcule $(1 + i\sqrt{3})^9$. Módulo $\sqrt{1 + 3} = 2$, argumento $60°$ (primeiro quadrante, $\mathrm{tg} = \sqrt{3}$). Então $(1 + i\sqrt{3})^9 = 2^9\,\mathrm{cis}(540°) = 512\,\mathrm{cis}\,180° = -512$. Conferência por um atalho: $(1 + i\sqrt{3})^3 = 8\,\mathrm{cis}\,180° = -8$, e $(-8)^3 = -512$. Outro clássico: $(1 + i)^{10}$ tem módulo $(\sqrt{2})^{10} = 32$ e argumento $450° = 90°$, logo vale $32i$; confira por $(1 + i)^2 = 2i$ e $(2i)^5 = 32i^5 = 32i$.

Elevar ao quadrado dobra o argumento e eleva o módulo ao quadrado: $z^2 = r^2\,\mathrm{cis}\,2\theta$. É esse o motor do conjunto de Mandelbrot, que o PAS 3 apresentou em 2011: para cada $c$ fixo, itera-se $f_c(z) = z^2 + c$ a partir de $0$, e $c$ pertence ao conjunto quando a sequência $f_c(0),\ f_c(f_c(0)),\ \ldots$ nunca sai do disco de raio $2$. Na forma polar, $f_c(z) = r^2\,\mathrm{cis}(2\theta) + c$, e esse foi o formato de um dos itens.

Exemplo resolvido 11: testar três valores de $c$ à mão. (a) $c = -1$: $0 \to -1 \to (-1)^2 - 1 = 0 \to -1 \to 0 \ldots$; a sequência oscila entre $0$ e $-1$, dentro do disco: $-1$ pertence ao conjunto. (b) $c = i$: $0 \to i \to i^2 + i = -1 + i \to (-1 + i)^2 + i = (1 - 2i + i^2) + i = -i \to (-i)^2 + i = -1 + i \to \ldots$; entra num ciclo entre $-1 + i$ e $-i$, com módulos $\sqrt{2}$ e $1$, ambos menores que $2$: $i$ pertence. © $c = 1$: $0 \to 1 \to 2 \to 5$; já o terceiro termo tem módulo $5 > 2$: $1$ não pertence. Repare que compor $f$ três vezes com $c = 0$ dá $((z^2)^2)^2 = z^8$, e não $(z^2)^3 = z^6$: a composição multiplica expoentes, a potência de $f(z)$ os multiplica por outro número; a prova de 2011 cobrou precisamente essa diferença.

Um último fato sobre potências que decide itens inteiros: se $\omega = \mathrm{cis}\,\frac{360°}{n}$, então $\omega^n = \mathrm{cis}\,360° = 1$, e os expoentes de $\omega$ podem ser reduzidos módulo $n$: $\omega^{n + k} = \omega^k$. Com $n = 4$, $\omega = i$ e $\omega^{13} = i^{13} = i$; com $n = 6$, $\omega^{20} = \omega^{2}$, porque $20 = 3 \cdot 6 + 2$. Essa redução é a conta inteira da transformada discreta da última seção.

Raízes de $z^n = w$: o polígono regular

Quantos números satisfazem $z^3 = -8$? Nos reais, um ($-2$). Em $\mathbb{C}$, três, e De Moivre diz quais. Escreva $w = -8 = 8\,\mathrm{cis}\,180°$ e procure $z = \rho\,\mathrm{cis}\,\varphi$ com $z^3 = \rho^3\,\mathrm{cis}\,3\varphi = 8\,\mathrm{cis}\,180°$. Os módulos obrigam $\rho^3 = 8$, logo $\rho = 2$. Os argumentos obrigam $3\varphi$ a ser $180°$ ou $180°$ mais um número inteiro de voltas: $3\varphi = 180° + 360°k$, isto é, $\varphi = 60° + 120°k$. Para $k = 0, 1, 2$ saem $60°$, $180°$, $300°$; $k = 3$ daria $420° = 60°$ de novo. As três raízes são $2\,\mathrm{cis}\,60° = 1 + i\sqrt{3}$, $2\,\mathrm{cis}\,180° = -2$ e $2\,\mathrm{cis}\,300° = 1 - i\sqrt{3}$.

Medidas do polígono que a prova pede, para raio $R$ e $n$ lados: o lado mede $2R\,\mathrm{sen}\frac{180°}{n}$; a distância entre dois vértices separados por $m$ passos mede $2R\,\mathrm{sen}\frac{180°\,m}{n}$ (a corda do ângulo central $\frac{360°\,m}{n}$); o triângulo de lados $R$, $R$ e ângulo central $\frac{360°}{n}$ (origem mais um lado do polígono) tem área $\frac{1}{2}R^2\,\mathrm{sen}\frac{360°}{n}$, e o polígono inteiro, $n$ vezes isso. Para o triângulo equilátero inscrito ($n = 3$), o lado é $R\sqrt{3}$; para o quadrado, $R\sqrt{2}$; para o hexágono, $R$.

Exemplo resolvido 12: o triângulo de $z^3 = -8$. Já achamos as raízes $1 \pm i\sqrt{3}$ e $-2$, no círculo de raio $2$. O lado do triângulo é $2 \cdot 2 \cdot \mathrm{sen}\,60° = 2\sqrt{3}$; conferência direta: de $(1, \sqrt{3})$ a $(-2, 0)$, $\sqrt{9 + 3} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$. A área, por ser equilátero, é $\frac{(2\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4} = 3\sqrt{3}$; pelo caminho dos triângulos centrais, $3 \cdot \frac{1}{2} \cdot 2^2 \cdot \mathrm{sen}\,120° = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$, o mesmo valor. A prova de 2009 fez a mesma pergunta para $z^3 = -i$ (triângulo de raio $1$, área $\frac{3\sqrt{3}}{4}$), e a de 2019 pôs urnas em vértices alternados do hexágono de $z^6 = -729i$ (raio $\sqrt[6]{729} = 3$, primeiro vértice a $45°$) e perguntou a distância entre duas urnas, $2 \cdot 3 \cdot \mathrm{sen}\,60° = 3\sqrt{3}$, e a área de cada seção.

Exemplo resolvido 13: o quadrado de $z^4 = -4$. $|w| = 4$ e $\varphi = 180°$: $R = \sqrt[4]{4} = \sqrt{2}$ e os argumentos são $45°, 135°, 225°, 315°$. As raízes são $\sqrt{2}\,\mathrm{cis}\,45° = 1 + i$, $-1 + i$, $-1 - i$ e $1 - i$: um quadrado de lado $2$ e área $4$. Conferência: $(1 + i)^2 = 2i$ e $(2i)^2 = -4$. Repare que nenhuma raiz está sobre os eixos: o polígono começa em $\frac{\varphi}{n} = 45°$, não em $0°$. Sobre o mesmo tema, um item do PAS 3 de 2021 afirmava que os vértices de uma forma eram as raízes de $z^4 - 16$ somadas a um ponto fixo; as raízes de $z^4 = 16$ são $\pm 2$ e $\pm 2i$, um quadrado com vértices nos eixos, e deslocá-lo pelo ponto dado levava dois vértices para fora do setor em que a forma estava desenhada.

Vértices numerados são outro formato: num polígono de $12$ vértices $z_1, \ldots, z_{12}$ sobre o círculo de raio $3$, com $z_1 = 3$ e numeração no sentido anti-horário, $z_k = 3\,\mathrm{cis}\,30°(k - 1)$; assim $z_5 = 3\,\mathrm{cis}\,120° = \frac{3}{2}(-1 + i\sqrt{3})$ e $z_8 = 3\,\mathrm{cis}\,210°$. Para comparar dois lados ou diagonais, compare os ângulos centrais: a corda entre $z_3$ ($60°$) e $z_8$ ($210°$) abrange $150°$; a corda entre $z_5$ ($120°$) e $z_{12}$ ($330°$) abrange $210°$ por um lado e $150°$ pelo outro, e cordas de mesmo ângulo central são iguais. Esse foi o bloco do polígono estrelado do PAS 3 de 2020, no qual também se anulou um item sobre os pontos $\frac{z_k}{3}$ (eles são as raízes de $z^{12} = 1$, as raízes da unidade sobre o círculo de raio $1$).

Regiões do plano escritas com módulo e argumento

Uma condição sobre $|z - z_0|$ é uma condição de distância ao ponto $z_0$; uma condição sobre o argumento é uma condição de direção. Combinando as duas, descrevem-se regiões sem escrever nenhuma equação em $x$ e $y$:

Condição	Região
$\lvert z - z_0 \rvert = R$	circunferência de centro $z_0$ e raio $R$
$\lvert z - z_0 \rvert < R$ (ou $\leq$)	interior do disco (com a fronteira, se $\leq$)
$R_1 \leq \lvert z - z_0 \rvert \leq R_2$	coroa circular entre os raios $R_1$ e $R_2$
$\alpha \leq \arg z \leq \beta$	setor angular (cunha) com vértice na origem
$R_1 \leq \lvert z \rvert \leq R_2$ e $\alpha \leq \arg z \leq \beta$	pedaço de coroa: dois arcos e dois segmentos radiais
$\lvert z - z_1 \rvert = \lvert z - z_2 \rvert$	mediatriz do segmento $z_1 z_2$
$\mathrm{Re}(z) \geq a$, $\mathrm{Im}(z) < b$	semiplanos à direita de $x = a$, abaixo de $y = b$

Para decidir se um ponto está dentro, fora ou na fronteira, teste cada condição separadamente: um ponto só pertence à região se satisfaz todas. “Interior” costuma ser estrito; a igualdade põe o ponto na fronteira.

Exemplo resolvido 14: três pontos contra uma região. Seja $\mathcal{R} = \{z : 1 \leq |z - i| \leq 2 \text{ e } \mathrm{Re}(z) \geq 0\}$: a metade direita de uma coroa centrada em $(0, 1)$. (a) $z = 2i$: $|2i - i| = 1$, na fronteira interna, e $\mathrm{Re} = 0 \geq 0$; pertence (na fronteira). (b) $z = 1 + 3i$: $|1 + 2i| = \sqrt{5} \approx 2{,}24 > 2$; fora, por distância. © $z = -1 + i$: $|{-1}| = 1$ está na faixa de distâncias, mas $\mathrm{Re} = -1 < 0$; fora, por posição. O item do PAS 3 de 2021 sobre a escultura Meteoro era desse tipo: a forma ficava entre as circunferências $|z - z_1| = 2$ e $|z - z_2| = 4$ e entre as semirretas de $60°$ e $120°$, e um ponto dado caía dentro do círculo menor, logo fora da forma.

Exemplo resolvido 15: desenhar a região de um item D. Desenhe $\{z = r\,\mathrm{cis}\,\theta : 2 \leq r \leq 4,\ 45° \leq \theta \leq 135°\}$ e dê os quatro cantos. É a figura acima: dois arcos centrados na origem, de raios $2$ e $4$, entre as direções $45°$ e $135°$, fechados por dois segmentos radiais. Os cantos são $2\,\mathrm{cis}\,45° = (\sqrt{2}, \sqrt{2}) \approx (1{,}41;\ 1{,}41)$, $4\,\mathrm{cis}\,45° = (2\sqrt{2}, 2\sqrt{2}) \approx (2{,}83;\ 2{,}83)$, $2\,\mathrm{cis}\,135° = (-\sqrt{2}, \sqrt{2})$ e $4\,\mathrm{cis}\,135° = (-2\sqrt{2}, 2\sqrt{2})$. A área, se for pedida, é a fração do anel: $\frac{90°}{360°}\,\pi(4^2 - 2^2) = 3\pi \approx 9{,}42$. Num item de resposta construída, escreva os cantos ao lado do desenho: eles mostram que os arcos e os segmentos estão nos lugares certos mesmo que o traço saia torto. Em 2021, o PAS 3 pediu exatamente um desenho assim, com raios $\sqrt{3}$ e $3$ entre $30°$ e $90°$, numa malha de $0$ a $4$.

Dois itens antigos de regiões merecem registro pelo método. No mapa gaúcho de 2018, Cruz Alta estava em $(-84, 187)$ e a região era um quarto de disco de raio $210$ no segundo quadrante: o quadrante confere, e $\sqrt{84^2 + 187^2} = \sqrt{7056 + 34969} = \sqrt{42025} = 205 \leq 210$; pertence. Em 2012, a região era a coroa $25 \leq |z| \leq 90$ e o item afirmava que todas as substâncias de um gráfico estavam nela; bastou um ponto, o álcool em $(56, 85)$, com $\sqrt{56^2 + 85^2} = \sqrt{10361} \approx 101{,}8 > 90$, para derrubar a afirmação. Também em 2012, a forma polar do crack, em $(80, 32)$, foi escrita com módulo $7424$; esse número é $80^2 + 32^2$, o quadrado do módulo, que vale $\sqrt{7424} \approx 86{,}2$.

Um lugar geométrico mais sofisticado, que a prova de 2009 cobrou, é o dos $z$ para os quais $z + \frac{1}{z}$ é real. Como $\frac{1}{z} = \frac{\bar{z}}{|z|^2}$, a parte imaginária de $z + \frac{1}{z}$ é $y - \frac{y}{x^2 + y^2} = y\left(1 - \frac{1}{x^2 + y^2}\right)$, que se anula quando $y = 0$ (com $z \neq 0$) ou quando $x^2 + y^2 = 1$: o eixo real sem a origem, unido ao círculo unitário.

Ler a figura: vértices, espirais, relógios e amostras

Os itens mais recentes do PAS 3 colocam os complexos dentro de uma figura ou de um contexto técnico, e a habilidade cobrada é traduzir a figura para a linguagem desta página. Quatro formatos já apareceram.

Vértices em posições complexas. Uma estrela de cinco pontas (2016) tinha as pontas nas raízes de $z^5 = L^5$ e os vértices internos nas raízes de $z^5 = -1$, sobre o círculo unitário. As raízes de $z^5 = -1$ têm argumentos $\frac{180° + 360°k}{5} = 36°, 108°, 180°, 252°, 324°$; o primeiro vértice interno está em $(\cos 36°, \mathrm{sen}\,36°)$, e um item que o colocava em $\frac{\pi}{10} = 18°$ estava errado. O mesmo bloco afirmava que todo ponto com $|z| < 1$ está no interior da estrela: certo, porque o disco unitário cabe inteiro dentro dela (os vértices internos estão sobre o círculo, e as arestas da estrela só tocam o círculo neles). Uma caixa de pizza hexagonal (2024) tinha os vértices nas raízes de $z^6 = z_0$, com $z_0 = r\,\mathrm{cis}\,\theta_0$: argumentos $\frac{\theta_0}{6} + \frac{k\pi}{3}$ e módulo $\sqrt[6]{r}$.

O relógio das raízes da unidade. As $12$ raízes de $z^{12} = 1$ ocupam as posições das horas de um relógio, a $30°$ uma da outra, com $\omega = \mathrm{cis}\,30°$. Se um rótulo é dado em cada posição (em 2023, as notas do ciclo das quintas: o mi ocupava o topo do círculo e a lista avançava no sentido horário), localizar $\omega^k$ é contar: $\omega^7$ tem argumento $210°$; partindo de $90°$ e descendo $30°$ por nota, $210°$ é a nona nota da lista (oito passos de $30°$ abaixo do topo: $90° - 240° = -150° = 210°$). Para treinar com um relógio comum: a posição das 4 horas está a $120°$ no sentido horário a partir das 12 (que ficam a $90°$), isto é, em $90° - 120° = -30° = 330°$, que é $\omega^{11}$.

Espirais parametrizadas. Uma curva pode ser dada como um complexo que depende de um parâmetro, $P(\theta) = \rho(\theta)\,\mathrm{cis}\,\theta$; se $\rho$ cresce com $\theta$, é uma espiral. Exemplo resolvido 16. Para $P(\theta) = \frac{\theta}{\pi}\,\mathrm{cis}\,\theta$, $0 \leq \theta \leq 2\pi$, onde está o ponto de $\theta = \frac{3\pi}{2}$? O módulo é $\frac{3}{2}$ e $\mathrm{cis}\,270° = -i$: $P = -\frac{3}{2}i$, o ponto $(0, -1{,}5)$. Em $\theta = \frac{\pi}{4}$: módulo $\frac{1}{4}$, $P = \frac{1}{4}\left(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i\right) = \frac{\sqrt{2}}{8}(1 + i)$. A escadaria do Itamaraty (2024) apareceu como $P = \left[\frac{2\theta}{\pi}\cos(\theta + \pi) - 1\right] - i\,\frac{2\theta}{\pi}\,\mathrm{sen}(\theta + \pi)$; o $+\pi$ dentro do cosseno e do seno troca o sinal dos dois ($\cos(\theta + \pi) = -\cos\theta$, $\mathrm{sen}(\theta + \pi) = -\mathrm{sen}\,\theta$), e o $-1$ desloca a espiral uma unidade para a esquerda. Em $\theta = \frac{5\pi}{4}$, $\frac{2\theta}{\pi} = \frac{5}{2}$ e $\cos\frac{9\pi}{4} = \mathrm{sen}\frac{9\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, de modo que $P = \left(\frac{5\sqrt{2}}{4} - 1\right) - \frac{5\sqrt{2}}{4}i$; o item afirmava $-\frac{5\sqrt{2}}{4}(1 + i)$, com a parte imaginária certa e a real errada, o padrão “metade certa” já visto na divisão.

A transformada de Fourier discreta com poucas amostras. Dadas $n$ amostras $x_0, \ldots, x_{n-1}$ de um sinal, a transformada produz $n$ números $f_k = \sum_{j=0}^{n-1} x_j\,\omega^{kj}$, com $\omega = e^{\frac{2\pi}{n}i} = \mathrm{cis}\frac{360°}{n}$, e $|f_k|$ mede quanto da frequência $k$ há no sinal. Parece assustador, mas com $n$ pequeno é só a potência de um unitário e a redução de expoentes módulo $n$. Exemplo resolvido 17. Para $n = 4$ amostras $x = (2, 0, -2, 0)$, $\omega = \mathrm{cis}\,90° = i$. Então $f_0 = 2 + 0 - 2 + 0 = 0$; $f_1 = 2 \cdot 1 + 0 \cdot i + (-2)\,i^2 + 0 \cdot i^3 = 2 + 2 = 4$; $f_2 = 2 + (-2)\,i^4 = 0$; $f_3 = 2 + (-2)\,i^6 = 2 + 2 = 4$. Leitura: as amostras são um cosseno que completa um ciclo em quatro amostras, e a transformada concentra tudo em $f_1$ (e no seu espelho $f_3$). Com $n = 6$, $\omega = \mathrm{cis}\,60°$ e $\omega^6 = 1$: em $f_2 = x_0 + x_1\omega^2 + x_2\omega^4 + x_3\omega^6 + x_4\omega^8 + x_5\omega^{10}$, os expoentes se reduzem a $0, 2, 4, 0, 2, 4$ e o resultado agrupa-se em $(x_0 + x_3) + (x_1 + x_4)\,\omega^2 + (x_2 + x_5)\,\omega^4$. O PAS 3 de 2022 cobrou os dois formatos: um $f_1$ numérico com quatro amostras (com um sinal plantado na parte imaginária) e a fórmula agrupada de $f_4$ com seis amostras.

Como a banca pergunta

Os números complexos renderam $40$ itens válidos em $15$ das $18$ provas do PAS 3 entre 2008 e 2025, quase sempre pendurados num texto-base de outra disciplina (um mapa, uma escultura, uma obra musical, um artigo de engenharia de áudio) seguido de um pressuposto curto que diz “cada ponto $(x, y)$ é identificado com o complexo $z = x + iy$”. Os formatos, do mais frequente ao mais raro:

• Módulo, argumento e regiões (tipo A, julgar): a forma trigonométrica de um ponto da figura com o quadrante do argumento (2013), um argumento comparado a um limiar (2015, 2017), um ponto dentro ou fora de uma região dada por $|z|$ e $\theta$ (2018, 2012, 2021), uma coroa que deveria conter todos os pontos (2012), uma forma polar com $|z|^2$ no lugar de $|z|$ (2012), o conjunto de Mandelbrot (2011) e, uma vez, um item D para desenhar um pedaço de coroa (2021).
• Forma algébrica e conjugado (tipos A, B e C): quocientes com o conjugado, com a parte real certa e a imaginária plantada (2025), a parte imaginária de um quociente em faixas (2015), o quociente de duas estações (2013), o módulo da parte imaginária de $\frac{z}{w}$ multiplicado por um fator que cancela $|w|^2$ (2017, tipo B, resposta $830$), a leitura das partes como quantidades (2025), um quociente real como reta pela origem (2012) e um par conjugado como raízes testado por soma e produto (2013, 2019).
• Raízes de $z^n = w$ (tipos A e C): a área do triângulo de $z^3 = -i$ (2009), a distância entre urnas e a área de seções no hexágono de $z^6 = -729i$ (2019), vértices numerados do polígono de $z^{12} = 3^{12}$ e a comparação de cordas (2020), $\omega^7$ no ciclo das quintas (2023), o módulo das raízes de $z^6 = z_0$ (2024), os vértices de uma forma como raízes deslocadas (2021), as coordenadas de um vértice de $z^5 = -1$ (2016).
• Multiplicar é girar e De Moivre (tipos A e C): girar uma figura multiplicando por $i$ (2016) ou por $\mathrm{cis}\,60°$ (2021), $f_c(z) = z^2 + c$ na forma polar e a composição de $f$ com $c = 0$ (2011), a transformada discreta com quatro e seis amostras (2022).
• Forma exponencial: um ponto da figura identificado com $e^{i\theta}$ (2022) e uma soma de senos reescrita com $e^{\pm i\theta}$ (2023).

Três reflexos cobrem a maior parte desses itens: marcar o ponto e ler o quadrante antes de qualquer conta; conferir as duas partes de qualquer resultado proposto (a banca costuma acertar uma e errar a outra); e, nas raízes, desenhar a circunferência com raio $\sqrt[n]{|w|}$ e o primeiro vértice em $\frac{\varphi}{n}$ antes de medir.

Os erros que mais derrubam

• Dividir parte por parte. $\frac{a + bi}{c + di}$ não é $\frac{a}{c} + \frac{b}{d}i$; é $\frac{(a + bi)(c - di)}{c^2 + d^2}$.
• Tomar $|z|^2$ por $|z|$. $80^2 + 32^2 = 7424$ é o quadrado do módulo; o módulo é $\sqrt{7424}$.
• Ler o argumento pela tangente sem o quadrante. $-1 + i$ está a $135°$, não a $45°$; $-2 - 2i$ está a $225°$.
• Trocar o sentido do giro. $i$ gira $90°$ anti-horário; $-i$ gira $90°$ horário; $-1$ dá meia-volta.
• Somar módulos ou multiplicar argumentos. No produto, módulos multiplicam e argumentos somam; em $z^n$, o módulo vai a $n$ e o argumento é multiplicado por $n$.
• Usar $|w|$ como raio das raízes. O raio é $\sqrt[n]{|w|}$: $3$ para $z^6 = -729i$, $\sqrt{2}$ para $z^4 = -4$.
• Supor que sempre há um vértice sobre o eixo real. O primeiro vértice fica em $\frac{\varphi}{n}$; para $z^6 = -729i$, em $45°$.
• Aplicar o par conjugado a coeficientes não reais. $z^3 + i$ e $z^2 - 2iz - 1$ não obedecem à regra.
• Confundir total com módulo. Quando as partes contam coisas, o total é $a + b$; o módulo é uma distância.
• Julgar uma região por uma condição só. Distância e direção; interior é estrito, igualdade é fronteira.

O essencial em meia página

• $z = a + bi$, $i^2 = -1$; $a = \mathrm{Re}(z)$, $b = \mathrm{Im}(z)$; igualdade = duas igualdades reais; $i^n$ pelo resto de $n$ por $4$.
• Afixo $(a, b)$ no plano de Argand-Gauss; soma = vetor (paralelogramo); produto pela distributiva com $i^2 = -1$.
• $\bar{z} = a - bi$; $z + \bar{z} = 2a$; $z\bar{z} = a^2 + b^2 = |z|^2$; $\dfrac{w}{z} = \dfrac{w\bar{z}}{|z|^2}$; $\dfrac{w}{z}$ real $\Leftrightarrow$ $w$ e $z$ na mesma reta pela origem.
• Bhaskara vale em $\mathbb{C}$: $\sqrt{-k} = i\sqrt{k}$; com coeficientes reais, raízes não reais vêm em pares conjugados; teste por soma $2p$ e produto $p^2 + q^2$.
• $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$; argumento pelo quadrante antes do ângulo; $z = |z|\,\mathrm{cis}\,\theta = |z|\,e^{i\theta}$; $|z_1 - z_2|$ = distância; $|z - z_0| = R$ = circunferência.
• $e^{i\theta} = \cos\theta + i\,\mathrm{sen}\,\theta$; $\mathrm{sen}\,\theta = \frac{i}{2}e^{-i\theta} - \frac{i}{2}e^{i\theta}$; $e^{i\pi} = -1$.
• No produto, os módulos se multiplicam e os argumentos se somam; um fator de módulo $1$ só gira ($i$: $+90°$; $-i$: $-90°$); girar em torno de $z_0$: $z_0 + u(z - z_0)$; mesma coisa que a matriz $R(\theta)$.
• De Moivre: $z^n = r^n\,\mathrm{cis}(n\theta)$; $z^2$ dobra o argumento; $\omega^n = 1$ reduz expoentes módulo $n$.
• $z^n = w$: $n$ raízes, módulo $\sqrt[n]{|w|}$, argumentos $\frac{\varphi + 360°k}{n}$; polígono regular; lado $2R\,\mathrm{sen}\frac{180°}{n}$; corda de $m$ passos $2R\,\mathrm{sen}\frac{180°m}{n}$; triângulo central $\frac{1}{2}R^2\,\mathrm{sen}\frac{360°}{n}$.
• Regiões: $|z - z_0| \lessgtr R$ (disco), $R_1 \leq |z| \leq R_2$ (coroa), $\alpha \leq \theta \leq \beta$ (setor); teste cada condição; cantos = raio vezes unitário do ângulo-limite.
• Figuras: vértices numerados $z_k = R\,\mathrm{cis}(\theta_1 + (k - 1)\frac{360°}{n})$; compare cordas por ângulos centrais; relógio das raízes da unidade; DFT = potências de $\omega$ reduzidas módulo $n$.