Equação da reta

O item D da prova do PAS 3 de 2018 desenhou dois eixos sobre o mapa gaúcho, pôs a origem em Cachoeira do Sul e o quilômetro como unidade, deu uma tabela com oito cidades e mandou esboçar a reta de equação $8x - 21y = 1\,600$, “indicando se essa reta passa por alguma das cidades incluídas no mapa”. Em 2019, com a origem na Estátua da Liberdade e as ilhas Ellis e Black Tom nos pontos $A\left(\frac{1}{2}, 2\right)$ e $B\left(-2, \frac{2}{3}\right)$, a banca afirmou que, se um museu de coordenadas $(z, w)$ estivesse sobre a reta por $A$ e $B$, então $\frac{w}{8} - \frac{z}{15} = \frac{13}{60}$. Em 2010, o espelho secundário do telescópio Hubble, um segmento que forma $120°$ com o sentido positivo do eixo $x$ e passa por $P(50, 0)$, teria equação $y = -\sqrt{3}\,(x - 50)$. Nos três itens a reta não é um desenho: é uma condição sobre $x$ e $y$. Que condição algébrica descreve uma reta inteira, e como se passa dela ao desenho e do desenho a ela?

Esta página responde a isso em duas partes. A primeira é o número que separa duas retas que se cruzam num mesmo ponto, o coeficiente angular: como se calcula a partir de dois pontos, o que o sinal diz, por que a reta vertical não o tem e como ele se liga ao ângulo com o eixo $x$. A segunda é a equação nas suas quatro escritas (ponto-declive, reduzida, geral e segmentária), a passagem de uma para outra, a reta por dois pontos, a conferência de uma equação pronta e a pertinência de um ponto. O que já ficou na página do plano cartesiano (ponto médio, distância, alinhamento de três pontos) é usado aqui sem repetição; o que a função afim já fez (a reta como gráfico de $f(x) = ax + b$, taxa e valor inicial, modelos de tarifa e movimento) é só remetido. Paralelas, perpendiculares e o cruzamento de duas retas são a página seguinte; quanto um ponto dista de uma reta fica na página de distâncias.

Uma reta é o conjunto dos pontos que obedecem a uma condição

Pegue a condição $x + y = 10$. Os pontos $(3, 7)$, $(10, 0)$, $(-2, 12)$ e $(6{,}5;\ 3{,}5)$ a satisfazem; o ponto $(4, 5)$ não, porque $4 + 5 = 9$. Marcando no plano todos os pares que fecham a igualdade, aparece uma reta, e nada fora dela: a condição funciona como um filtro que deixa passar exatamente os pontos da reta. É nesse sentido que se diz que a equação descreve a reta, ou que a reta é o lugar geométrico dos pontos cujas coordenadas satisfazem a equação.

Duas consequências vão aparecer o tempo todo. A primeira: uma equação com duas incógnitas tem infinitas soluções, e são essas soluções, uma para cada valor de $x$, que formam a reta. A segunda: a reta vertical, formada pelos pontos de abscissa fixa (todos os $(4, y)$, por exemplo), tem equação $x = 4$, uma equação em que $y$ nem aparece. Ela é uma reta como qualquer outra, mas não é gráfico de função nenhuma (a um único $x$ correspondem todos os $y$), e por isso a geometria analítica precisa de uma escrita mais geral do que o $y = ax + b$ da função afim. Essa escrita é a forma geral, que chega daqui a algumas seções.

O coeficiente angular mede quanto y varia por unidade de x

Tome dois pontos de uma reta, $A(1, 2)$ e $B(7, 5)$. De $A$ a $B$, a abscissa avança $\Delta x = 7 - 1 = 6$ e a ordenada sobe $\Delta y = 5 - 2 = 3$. A razão $\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ diz que, nessa reta, cada unidade andada em $x$ custa meia unidade em $y$. Tome agora outros dois pontos da mesma reta, $(3, 3)$ e $(5, 4)$: $\Delta x = 2$, $\Delta y = 1$, razão $\frac{1}{2}$ outra vez. Não é coincidência: os dois triângulos de catetos formados pelos deslocamentos horizontal e vertical são semelhantes (têm os mesmos ângulos, porque a hipotenusa de ambos é a mesma reta), e triângulos semelhantes têm catetos proporcionais. A razão é uma propriedade da reta, não dos pontos escolhidos.

O coeficiente angular tem unidade quando os eixos têm unidade: num plano em que $x$ e $y$ estão ambos em metros, $m$ é um número puro (metros por metro); num gráfico de volume contra tempo, $m$ é litros por minuto, e aí ele se chama taxa de variação, assunto da função afim. Uma tubulação enterrada que desce 2 m a cada 50 m percorridos na horizontal tem declive $m = -\frac{2}{50} = -0{,}04$; uma estrada que sobe 6 m em 100 m tem $m = 0{,}06$, o que os engenheiros chamam de rampa de 6 %. É a mesma ideia com outro nome.

Dois casos que derrubam por descuido. A reta pelos pontos $(-2, 5)$ e $(6, 5)$ tem $m = \frac{0}{8} = 0$: ela é horizontal, e o seu coeficiente angular existe e vale zero. A reta pelos pontos $(5, 1)$ e $(5, 8)$ tem $\Delta x = 0$: é a vertical $x = 5$, e não tem coeficiente angular. Diante de uma afirmação como “a reta $y = 5$ não possui coeficiente angular”, julgue errado; a mesma frase sobre a reta $x = 5$ é verdadeira. Zero e “não existe” são coisas diferentes.

Comparar o declive com um limiar: o que a banca faz com figuras

Os itens de coeficiente angular do PAS 3 nunca pedem “calcule $m$”. Eles dão dois pontos (numa tabela ou numa figura impressa) e afirmam uma desigualdade: “$m$ é menor que $-1$”, “$m$ é inferior a $-0{,}6$”, “$m$ é superior a $\operatorname{tg}\frac{3\pi}{4}$”. O trabalho é fechar a fração e comparar.

Em 2014, seis antenas de telefonia estavam marcadas numa malha em quilômetros, com as coordenadas lidas nas linhas tracejadas da figura: $E(8, -2)$ e $F(12, -5)$ eram duas delas, e o item afirmou que “a equação da reta que passa pelas antenas nas posições E e F tem coeficiente angular menor que −1”. De $E$ a $F$: $\Delta x = 12 - 8 = 4$, $\Delta y = -5 - (-2) = -3$, $m = -\frac{3}{4} = -0{,}75$. A reta desce, mas devagar: $-0{,}75$ está à direita de $-1$ na reta numérica, isto é, é maior que $-1$. Errado. O item conta com a confusão entre “$m < -1$” (reta que desce mais inclinada que a diagonal a $135°$) e “$|m| < 1$” (reta mais deitada que a diagonal): $-\frac{3}{4}$ satisfaz a segunda e não a primeira.

Em 2008, o desenho era um home theater visto de cima: a TV em $A$, no ponto mais alto de uma semicircunferência de centro $D(4, 0)$ e raio 4 m, e duas caixas de som $B$ e $C$ na mesma altura, com $B$ de abscissa 1. O texto garante que $A$ e $C$ estão sobre a circunferência; que $B$ também está sobre ela é leitura da figura, em que o arco tracejado passa por $B$ e um segmento horizontal liga $B$ a $C$. Isso basta para ter todas as coordenadas: $A(4, 4)$ (o topo fica 4 m acima do centro); $B(1, y_B)$ com $(1 - 4)^2 + y_B^2 = 16$, logo $y_B = \sqrt{7}$; e $C(7, \sqrt{7})$, o espelho de $B$ em relação à vertical pelo centro. O item afirmou que “o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos onde estão posicionadas a TV e a caixa de som $C$ é inferior a $-0{,}6$”. De $A$ a $C$: $m = \frac{\sqrt{7} - 4}{7 - 4} = \frac{\sqrt{7} - 4}{3}$. Para comparar com $-0{,}6$ sem calculadora: $m < -0{,}6$ equivale a $\sqrt{7} - 4 < -1{,}8$, isto é, $\sqrt{7} < 2{,}2$, isto é, $7 < 4{,}84$. Falso. Errado; o valor é $\approx -0{,}45$. A raiz assusta, mas a comparação por quadrados, a mesma da distância entre pontos, resolve sem aproximar nada.

O ângulo com o eixo x entra pela tangente: m = tg α

Há uma segunda maneira de ler $\frac{\Delta y}{\Delta x}$. No triângulo de catetos $\Delta x$ (horizontal) e $\Delta y$ (vertical), a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente ao ângulo que a reta forma com a horizontal é, por definição, a tangente desse ângulo. Chamando de $\alpha$ o ângulo entre o sentido positivo do eixo $x$ e a reta, medido no sentido anti-horário, vale $m = \operatorname{tg}\alpha$.

Exemplo resolvido 1: a reta do espelho secundário (PAS 3 2010). O esquema do Hubble vinha num plano em metros: o espelho primário era uma parábola com o vértice $V$ no eixo $x$, à esquerda da origem, e os pontos $A$ e $D$ sobre o eixo $y$; o espelho secundário era o segmento $BC$, com o centro $P$ sobre o eixo $x$, e “o ângulo obtuso entre $BC$ e a direção positiva de $Ox$ é igual a $120°$”. O item: “Se $P = (50, 0)$, então a reta que contém o segmento $BC$ pode ser corretamente representada pela equação $y = -\sqrt{3}(x - 50)$.” A reta é determinada por um ponto, $P(50, 0)$, e um ângulo, $120°$. Seu coeficiente angular é $m = \operatorname{tg} 120° = -\sqrt{3}$ (obtuso, logo negativo; o suplementar é $60°$, de tangente $\sqrt{3}$). A equação da reta que passa por $(50, 0)$ com esse $m$ é $y - 0 = -\sqrt{3}(x - 50)$, exatamente a afirmada. Certo. Conferência pelo desenho: um ponto da reta com $x = 49$ tem $y = \sqrt{3} \approx 1{,}7 > 0$, acima do eixo e à esquerda de $P$, onde a figura põe $C$; um ponto com $x = 51$ tem $y \approx -1{,}7$, embaixo e à direita, onde está $B$. A reta desce para a direita, como uma inclinação de $120°$ exige.

Em 2009 o mesmo teste veio disfarçado de número complexo. As três raízes de $z^3 + i = 0$ foram marcadas numa circunferência de raio 1 e nomeadas $A$, $B$ e $C$ em ordem crescente de argumento: $A$ no alto do eixo $y$, $B$ embaixo à esquerda, $C$ embaixo à direita. Como $z^3 = -i$ tem argumento $\frac{3\pi}{2}$, as raízes têm argumentos $\frac{\pi}{2}$, $\frac{7\pi}{6}$ e $\frac{11\pi}{6}$: $A(0, 1)$, $B\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2}\right)$ e $C\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2}\right)$. O item afirmou que “o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos $A$ e $C$ é superior a $\operatorname{tg}\frac{3\pi}{4}$”. De $A$ a $C$: $m = \dfrac{-\frac{1}{2} - 1}{\frac{\sqrt{3}}{2} - 0} = \dfrac{-\frac{3}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = -\frac{3}{\sqrt{3}} = -\sqrt{3}$. O limiar: $\operatorname{tg}\frac{3\pi}{4} = \operatorname{tg} 135° = -1$. Como $-\sqrt{3} \approx -1{,}73 < -1$, a afirmação é falsa. Errado. Lido em ângulos: a reta $AC$ faz $120°$ com o eixo $x$ (desce mais inclinada que a diagonal); a reta de $m = -1$ faz $135°$. A banca escolheu o limiar na forma de tangente para que o candidato tivesse de saber que $\operatorname{tg}\frac{3\pi}{4} = -1$ antes de comparar.

Ponto-declive: um ponto e um coeficiente angular determinam a reta

Se uma reta passa por $A(x_0, y_0)$ e tem coeficiente angular $m$, qualquer outro ponto $P(x, y)$ dela forma com $A$ um deslocamento cuja razão é $m$: $\frac{y - y_0}{x - x_0} = m$. Multiplicando pelo denominador, fica uma equação sem fração, válida para todos os pontos da reta (inclusive o próprio $A$, que a satisfaz com $0 = 0$).

Reta por $(3, -1)$ com $m = 2$: $y - (-1) = 2(x - 3)$, isto é, $y + 1 = 2x - 6$, ou $y = 2x - 7$. Conferência: em $x = 3$, $y = -1$; em $x = 5$, $y = 3$, e de $(3, -1)$ a $(5, 3)$ a razão é $\frac{4}{2} = 2$. Reta por $(-4, 6)$ com $m = -\frac{1}{2}$: $y - 6 = -\frac{1}{2}(x + 4)$, logo $y = -\frac{1}{2}x + 4$. Repare no cuidado com os sinais: $x - (-4)$ é $x + 4$, e o $-\frac{1}{2}$ multiplica o parêntese inteiro.

Forma reduzida y = mx + n: n é a altura em que a reta corta o eixo y

Distribuindo e isolando $y$ na forma ponto-declive, chega-se a $y = mx + n$, em que $n = y_0 - m x_0$ é um número. O significado de $n$ se lê fazendo $x = 0$: $y = n$. Logo $n$ é a ordenada do ponto $(0, n)$ em que a reta atravessa o eixo $y$, o coeficiente linear ou intercepto. Na função afim, os mesmos dois números se chamam $a$ (taxa) e $b$ (valor inicial): $y = mx + n$ e $f(x) = ax + b$ são a mesma reta com letras diferentes.

Em $y = 3x - 6$: $m = 3$, a reta sobe; $n = -6$, ela atravessa o eixo $y$ no ponto $(0, -6)$; cruza o eixo $x$ onde $3x - 6 = 0$, $x = 2$, no ponto $(2, 0)$. Em $y = -\frac{2}{3}x + 4$ a reta desce; os cruzamentos são $(0, 4)$ no eixo vertical e $(6, 0)$ no horizontal.

Forma geral ax + by + c = 0: a única escrita que cobre todas as retas

Passe tudo para um lado em $y = \frac{3}{4}x + 2$ e elimine o denominador: $4y = 3x + 8$, logo $3x - 4y + 8 = 0$. Essa é a forma geral. Ela aceita também a reta vertical, que a reduzida não aceita: $x = 4$ é $1 \cdot x + 0 \cdot y - 4 = 0$. E tem uma propriedade que a torna a preferida das provas: a mesma reta admite infinitas formas gerais, uma para cada número pelo qual se multiplique a equação inteira. $3x - 4y + 8 = 0$, $6x - 8y + 16 = 0$ e $-\frac{3}{2}x + 2y - 4 = 0$ são a mesma reta.

A passagem entre as formas é a habilidade mais cobrada. Da geral para a reduzida: isole $y$. Em $2x + 5y - 10 = 0$, $5y = -2x + 10$, $y = -\frac{2}{5}x + 2$: $m = -\frac{2}{5}$, $n = 2$. Da reduzida para a geral: elimine denominadores e passe tudo para um lado. De $y = \frac{2}{3}x - 1$: $3y = 2x - 3$, logo $2x - 3y - 3 = 0$. Se a equação chegar desordenada, ponha-a em ordem antes de identificar $a$ e $b$: $5y = 2x - 10$ é $2x - 5y - 10 = 0$, com $a = 2$, $b = -5$, $m = -\frac{2}{-5} = \frac{2}{5}$ e $n = -\frac{-10}{-5} = -2$. A estrada do canavial da prova de 2025, $3x + 4y = 800$, tem $m = -\frac{3}{4}$ e atravessa os eixos em $(0, 200)$ e em $\left(\frac{800}{3}, 0\right)$; o $800$ está do lado direito, e por isso os interceptos saem sem troca de sinal.

Exemplo resolvido 2: o esboço da reta no mapa (PAS 3 2018, tipo D). Com Cachoeira do Sul na origem e as cidades em quilômetros (Porto Alegre $(200, 0)$, Candelária $(20, 35)$, Agudo $(-25, 40)$, Santa Maria $(-80, 30)$, Pelotas $(40, -220)$, Santana do Livramento $(-280, -90)$, Cruz Alta $(-84, 187)$, Caxias do Sul $(210, 80)$), o item pediu: “Esboce, no sistema de coordenadas a seguir, o gráfico da reta de equação $8x - 21y = 1\,600$, indicando se essa reta passa por alguma das cidades incluídas no mapa.” Para esboçar uma reta bastam dois pontos, e os mais fáceis são os cortes nos eixos. Com $y = 0$: $8x = 1\,600$, $x = 200$; a reta corta o eixo $x$ em $(200, 0)$. Com $x = 0$: $-21y = 1\,600$, $y = -\frac{1\,600}{21} \approx -76{,}2$; corta o eixo $y$ em $(0, -76{,}2)$. O coeficiente angular, $m = -\frac{8}{-21} = \frac{8}{21} \approx 0{,}38$, confirma uma reta que sobe devagar da esquerda para a direita, passando abaixo da origem. Por quais cidades ela passa? O ponto $(200, 0)$ é Porto Alegre: $8 \cdot 200 - 21 \cdot 0 = 1\,600$. Para as outras, substitua: Caxias do Sul dá $8 \cdot 210 - 21 \cdot 80 = 1\,680 - 1\,680 = 0$; Pelotas dá $320 + 4\,620 = 4\,940$; Candelária, $160 - 735 = -575$; Agudo, $-200 - 840 = -1\,040$; Santa Maria, $-640 - 630 = -1\,270$; Santana do Livramento, $-2\,240 + 1\,890 = -350$; Cruz Alta, $-672 - 3\,927 = -4\,599$; Cachoeira do Sul, $0$. Nenhuma dessas chega a $1\,600$: a reta passa só por Porto Alegre. Conferência do esboço: a reta deve cruzar o eixo $x$ exatamente sobre o ponto da capital e descer até cerca de $-76$ km no eixo $y$; qualquer traçado que passe por cima de Caxias ou de Pelotas está errado.

Forma segmentária x/p + y/q = 1: os interceptos à vista

Se a reta atravessa o eixo $x$ no ponto $(p, 0)$ e o eixo $y$ no ponto $(0, q)$, com $p$ e $q$ não nulos, seu coeficiente angular é $m = \frac{q - 0}{0 - p} = -\frac{q}{p}$ e sua forma reduzida é $y = -\frac{q}{p}x + q$. Dividindo tudo por $q$ e arrumando, $\frac{x}{p} + \frac{y}{q} = 1$. Os dois denominadores são, na ordem, o corte no eixo $x$ e o corte no eixo $y$.

Exemplo resolvido 3: a linha de transmissão (PAS 3 2009). Numa figura em quilômetros, a usina estava em $P(0, 8)$, sobre o eixo $y$, e o consumidor em $Q$, sobre o eixo $x$, a 10 km da usina em linha reta; o item anterior do bloco já tinha estabelecido que $Q$ fica a 6 km da origem, isto é, $Q(6, 0)$. A afirmação a julgar: “A reta que passa pelos pontos P e Q é representada pela equação $\frac{x}{8} + \frac{y}{6} = 1$.” Os cruzamentos da reta com os eixos são $Q(6, 0)$ no eixo $x$ e $P(0, 8)$ no eixo $y$, logo sua forma segmentária é $\frac{x}{6} + \frac{y}{8} = 1$: o $6$ embaixo do $x$, o $8$ embaixo do $y$. A equação afirmada tem os denominadores trocados e descreve a reta por $(8, 0)$ e $(0, 6)$. Errado. Conferência por substituição: $P(0, 8)$ na equação do item dá $0 + \frac{8}{6} = \frac{4}{3} \neq 1$. Na forma geral, a reta correta é $4x + 3y = 24$ (multiplicando por 24), ou qualquer múltipla, como $8x + 6y = 48$, e tem $m = -\frac{4}{3}$.

A forma segmentária é a melhor para ler a equação num gráfico quando os dois cortes nos eixos estão marcados. No PAS 1 de 2019, um gráfico em metros mostrava duas regiões triangulares com vértices em $(0, 300)$ no eixo $y$ e $(200, 0)$ no eixo $x$, separadas pelo segmento entre esses dois pontos; o item afirmou que “a equação da reta que contém o segmento que separa as porções $A_1$ e $A_2$ é $3x + 2y = 600$”. Os interceptos estão na figura: $p = 200$, $q = 300$. Então $\frac{x}{200} + \frac{y}{300} = 1$, e, multiplicando por $600$, $3x + 2y = 600$. Certo. Sem a forma segmentária, o caminho é o mesmo com um passo a mais: $m = \frac{0 - 300}{200 - 0} = -\frac{3}{2}$, $y = -\frac{3}{2}x + 300$, $2y = -3x + 600$.

Reta por dois pontos: pelo coeficiente angular ou pelo determinante

Dois pontos determinam uma reta, e a equação sai em dois passos: o coeficiente angular pelos dois pontos, depois a forma ponto-declive com qualquer um deles. Com $P(-2, 1)$ e $Q(4, 4)$: $m = \frac{4 - 1}{4 - (-2)} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$; por $P$: $y - 1 = \frac{1}{2}(x + 2)$; reduzida: $y = \frac{1}{2}x + 2$; geral, multiplicando por 2: $x - 2y + 4 = 0$. Conferência obrigatória com o ponto que não foi usado: $Q(4, 4)$ dá $4 - 8 + 4 = 0$. Usar $Q$ em vez de $P$ no segundo passo leva à mesma reta: $y - 4 = \frac{1}{2}(x - 4)$ também vira $y = \frac{1}{2}x + 2$.

Com $P(-2, 1)$ e $Q(4, 4)$ no determinante: $x(1 \cdot 1 - 1 \cdot 4) - y(-2 \cdot 1 - 1 \cdot 4) + 1 \cdot (-2 \cdot 4 - 1 \cdot 4) = -3x + 6y - 12 = 0$, que dividido por $-3$ é $x - 2y + 4 = 0$. A mesma reta, sem nenhuma divisão no caminho, e com a vantagem de funcionar para os pontos $(3, 1)$ e $(3, 8)$, em que o método do coeficiente angular trava: o determinante dá $-7x + 21 = 0$, isto é, $x = 3$.

Exemplo resolvido 4: a reta por duas ilhas e um museu desconhecido (PAS 3 2019). Com as ilhas Ellis e Black Tom nos pontos $A\left(\frac{1}{2}, 2\right)$ e $B\left(-2, \frac{2}{3}\right)$, o item afirmou: “Se o Museum of Jewish Heritage estiver sobre reta que contém os pontos $A$ e $B$, então $\frac{w}{8} - \frac{z}{15} = \frac{13}{60}$”, em que $(z, w)$ são as coordenadas do museu. Coeficiente angular: $m = \dfrac{\frac{2}{3} - 2}{-2 - \frac{1}{2}} = \dfrac{-\frac{4}{3}}{-\frac{5}{2}} = \frac{4}{3} \cdot \frac{2}{5} = \frac{8}{15}$. Ponto-declive por $A$: $y - 2 = \frac{8}{15}\left(x - \frac{1}{2}\right)$. Multiplicando por 30 para limpar as frações: $30y - 60 = 16x - 8$, logo $16x - 30y + 52 = 0$, ou, dividindo por 2, $8x - 15y + 26 = 0$. Conferência com $B$: $8 \cdot (-2) - 15 \cdot \frac{2}{3} + 26 = -16 - 10 + 26 = 0$. Se o museu está na reta, $8z - 15w + 26 = 0$, isto é, $15w - 8z = 26$. Dividindo por $120$: $\frac{w}{8} - \frac{z}{15} = \frac{26}{120} = \frac{13}{60}$. É a afirmação do item. Certo. O item não pede o museu: pede a equação da reta escrita de um jeito pouco usual, e a única maneira de reconhecê-la é obter a equação e dividir pelos números certos. A pertinência de um ponto desconhecido vira uma relação entre suas coordenadas.

Conferir uma equação pronta: o coeficiente angular e um ponto

Muitos itens não pedem a equação; afirmam uma e perguntam se está certa. Uma equação de reta carrega duas informações, a direção ($m$) e a posição (um ponto), e uma equação falsa pode acertar uma e errar a outra. Por isso a conferência tem dois passos: compare o coeficiente angular da equação proposta com o dos pontos dados, depois substitua um dos pontos. Se a equação afirmada e a reta dos pontos têm o mesmo $m$ e um ponto em comum, são a mesma reta; se qualquer dos dois testes falha, não são. A alternativa, mais curta e tão segura quanto, é substituir os dois pontos na equação proposta: a reta por dois pontos é única, e uma equação do primeiro grau satisfeita pelos dois é a dela.

Em 2016, as catorze caixas de som da orquestra de laptops ocupavam um plano em metros, as de $A$ a $G$ à esquerda do eixo $y$ e as de $A'$ a $G'$ à direita, simétricas, com as ordenadas numa tabela: $B$ tinha ordenada 7 e $F$, ordenada 3. O item: “Se as abscissas dos pontos $F$ e $B$ forem, respectivamente, iguais a $-3$ e $-2$, então a equação da reta que passa por esses pontos será $y - 4x + 13 = 0$.” Os pontos são $F(-3, 3)$ e $B(-2, 7)$. Primeiro passo, o coeficiente angular: $m = \frac{7 - 3}{-2 - (-3)} = \frac{4}{1} = 4$; a equação proposta, isolando $y$, é $y = 4x - 13$, também com $m = 4$. Bate. Segundo passo, um ponto: $B(-2, 7)$ na proposta dá $7 - 4 \cdot (-2) + 13 = 7 + 8 + 13 = 28 \neq 0$. Falha. Errado. A reta verdadeira é $y - 7 = 4(x + 2)$, isto é, $y = 4x + 15$: a proposta acertou a direção e errou o coeficiente linear em 28 unidades. Quem conferiu só o $m$ marcou certo e perdeu o item.

No PAS 1 de 2014, com um raio de luz saindo de $A(-12, 0)$ e refletindo em $B(0, 3)$, o item afirmou que “a equação da reta que passa por $A$ e $B$ é $12y + 3x + 3 = 0$”. Pelos dois pontos: $m = \frac{3 - 0}{0 - (-12)} = \frac{1}{4}$ e, como $B$ está no eixo $y$, $n = 3$: $y = \frac{1}{4}x + 3$, ou $x - 4y + 12 = 0$. A proposta tem $m = -\frac{3}{12} = -\frac{1}{4}$ (sinal trocado) e corta o eixo $y$ em $-\frac{1}{4}$, não em 3. Basta um ponto para derrubar: $A(-12, 0)$ dá $0 - 36 + 3 = -33 \neq 0$. Errado.

Pertinência, cortes nos eixos e pontos de coordenadas inteiras

Três perguntas de prova se respondem com a equação pronta e nenhuma conta nova. O ponto está na reta? Substitua. Em $2x - 3y + 1 = 0$, o ponto $(4, 3)$ dá $8 - 9 + 1 = 0$: está; o ponto $(2, 2)$ dá $4 - 6 + 1 = -1$: não está. Onde a reta corta os eixos? Faça $y = 0$ para o eixo $x$ e $x = 0$ para o eixo $y$. Em $2x - 3y + 1 = 0$: $\left(-\frac{1}{2}, 0\right)$ e $\left(0, \frac{1}{3}\right)$. Existe ponto de coordenadas inteiras na reta? A resposta sai de um argumento de paridade ou de divisibilidade, e a banca já o cobrou.

Em 2009, no mesmo bloco da usina, o item afirmou: “Existem números inteiros $x_0$ e $y_0$, tais que o ponto $R = (x_0, y_0)$ pertence à reta de equação $8x + 6y = 1$.” Se $x_0$ e $y_0$ são inteiros, $8x_0 + 6y_0 = 2(4x_0 + 3y_0)$ é um número par; o lado direito é $1$, ímpar. Um número par nunca é igual a 1: não existe tal ponto. Errado. A reta $8x + 6y = 1$ existe, tem infinitos pontos (como $\left(\frac{1}{8}, 0\right)$ e $\left(0, \frac{1}{6}\right)$), mas passa “entre” todos os pontos de coordenadas inteiras do plano. O critério geral, para $ax + by = c$ com $a$, $b$ e $c$ inteiros, é que a reta tem ponto inteiro exatamente quando o máximo divisor comum de $a$ e $b$ divide $c$: $\operatorname{mdc}(8, 6) = 2$ não divide $1$. Já $3x + 5y = 7$ tem o ponto $(4, -1)$, e $4x + 6y = 9$ não tem nenhum (lado esquerdo par, direito ímpar).

Da equação ao esboço, do gráfico à equação, do texto à equação

Esboçar uma reta a partir da equação pede dois pontos. Os mais rápidos são os interceptos, $x = 0$ e $y = 0$; quando eles ficam fora do papel ou dão frações feias, escolha dois valores cômodos de $x$. Em $y = \frac{1}{2}x + 2$, os pontos $(0, 2)$ e $(4, 4)$ bastam; um terceiro, $(-4, 0)$, confere. Os dois itens de resposta construída da década pediram exatamente isso: o esboço de $8x - 21y = 1\,600$ no mapa (2018, exemplo resolvido 2) e, em 2024, o esboço de um plano com uma antena na origem e outra a $3\sqrt{2}$ km dela, “no primeiro quadrante, formando $45°$ com o sentido positivo do eixo das abscissas”. A reta pela origem a $45°$ tem $m = \operatorname{tg} 45° = 1$ e equação $y = x$; o ponto dela que dista $3\sqrt{2}$ da origem é $(3, 3)$, já que $3^2 + 3^2 = 18 = (3\sqrt{2})^2$. Os círculos de alcance ficam com a página da circunferência.

Ler a equação num gráfico é o caminho inverso: escolha dois pontos de leitura limpa (cruzamentos de linhas da grade, pontos rotulados, os cortes nos eixos), calcule $m$, escreva a forma ponto-declive e arrume. Se os dois interceptos estão visíveis, a forma segmentária dá a equação de uma vez, como no gráfico das regiões $A_1$ e $A_2$ de 2019: $\frac{x}{200} + \frac{y}{300} = 1$. Se o gráfico passa por $(1, 5)$ e $(3, 1)$: $m = \frac{1 - 5}{3 - 1} = -2$, $y - 5 = -2(x - 1)$, $y = -2x + 7$. Cuidado com as escalas: os dois eixos do gráfico podem ter unidades diferentes, e nesse caso o ângulo que se vê no papel não é $\alpha$ e $m$ não é a tangente de nada visível; só as coordenadas lidas contam.

Ler a equação num texto é o terreno da função afim: “taxa constante” vira $m$ e “valor inicial” vira $n$. Um reservatório com 300 L que esvazia a 20 L por minuto tem, no plano (tempo, volume), a reta $V = 300 - 20t$, com $m = -20$ L/min e $n = 300$ L; a página da afim trata do domínio, do sinal e das comparações de planos, e não há por que repetir aqui.

Retas em mapas: a geometria do quilômetro

Quando um mapa recebe um sistema de eixos, cada cidade vira um par de números e cada estrada retilínea vira uma equação, e as perguntas de prova são as desta página com cenário: “a reta passa por tal cidade?”, “qual é a equação da reta que liga as duas?”, “qual é a inclinação do trecho?”. Com a tabela gaúcha de 2018, a reta que liga Santa Maria $(-80, 30)$ a Pelotas $(40, -220)$ tem $m = \frac{-220 - 30}{40 - (-80)} = -\frac{250}{120} = -\frac{25}{12}$ e, por Santa Maria, $y - 30 = -\frac{25}{12}(x + 80)$. Ela passa por Cachoeira do Sul, a origem? Em $x = 0$: $y = 30 - \frac{25}{12} \cdot 80 = 30 - 166{,}7 = -136{,}7 \neq 0$. Não passa: a estrada reta entre as duas cidades cruzaria o eixo $y$ a 137 km ao sul de Cachoeira. E o trecho de Cachoeira $(0, 0)$ a Cruz Alta $(-84, 187)$ tem $m = \frac{187}{-84} \approx -2{,}23$: sobe para a esquerda com inclinação forte, um ângulo de cerca de $114°$ com o eixo $x$, o que no mapa se lê como “norte-noroeste”.

A unidade importa duas vezes. Nas coordenadas, porque $(200, 0)$ está a 200 km, não a 200 m, da origem; e no coeficiente angular, que num mapa com a mesma unidade nos dois eixos é um número puro e corresponde a um ângulo real no terreno. Num gráfico em que os eixos têm unidades diferentes (horas e quilômetros), o $m$ continua sendo $\frac{\Delta y}{\Delta x}$, mas vira uma velocidade, e o ângulo no papel deixa de ter significado geométrico.

Como a banca pergunta

Os onze itens reais desta página (nove do PAS 3 e dois do PAS 1) cabem em seis formatos.

1. Uma equação pronta para conferir, tipo A: a reta por $F(-3, 3)$ e $B(-2, 7)$ seria $y - 4x + 13 = 0$ (2016/65, E: $m$ bate, o ponto falha); a reta do espelho por $(50, 0)$ a $120°$ seria $y = -\sqrt{3}(x - 50)$ (2010/126, C); a reta da usina seria $\frac{x}{8} + \frac{y}{6} = 1$ (2009/104, E: interceptos trocados); a reta por $(-12, 0)$ e $(0, 3)$ seria $12y + 3x + 3 = 0$ (PAS 1 2014/89, E); a reta que separa as regiões seria $3x + 2y = 600$ (PAS 1 2019/53, C). O método é um só: coeficiente angular e um ponto, ou os dois pontos substituídos.
2. A equação escrita como relação entre coordenadas desconhecidas, tipo A: $\frac{w}{8} - \frac{z}{15} = \frac{13}{60}$ para um ponto $(z, w)$ da reta $AB$ (2019/78, C). Obtenha a forma geral e divida pelo número que faz aparecer os denominadores do item.
3. O coeficiente angular comparado com um limiar, tipo A, com os pontos lidos numa figura: $m_{EF} < -1$ (2014/96, E; $m = -\frac{3}{4}$), $m_{AC} < -0{,}6$ (2008/56, E; $m \approx -0{,}45$), $m_{AC} > \operatorname{tg}\frac{3\pi}{4}$ (2009/16, E; $m = -\sqrt{3}$). Os três gabaritos são E, e os três limiares foram postos perto do valor para punir a estimativa “no olho”.
4. Existência de ponto inteiro, tipo A: $8x + 6y = 1$ (2009/106, E). Paridade.
5. Esboço, tipo D: $8x - 21y = 1\,600$ no mapa (2018/89), as antenas a $45°$ (2024/98). Interceptos, dois pontos, teste das cidades por substituição.
6. Múltipla escolha com a reta por dois pontos calculados, tipo C: a reta pelos pontos médios $\left(-\frac{7}{2}, 2\right)$ e $\left(9, \frac{5}{2}\right)$ entre quatro equações gerais (2015/120, C). Substituir os dois pontos em cada opção é mais rápido do que montar a equação.

Dois avisos de leitura. Primeiro, os dados vêm espalhados: as coordenadas numa tabela, a figura noutra página, o ângulo no texto-base; copie os pares ordenados e o que se sabe da reta (um ponto, um ângulo, dois pontos) antes de qualquer conta. Segundo, a equação da banca quase nunca vem como $y = mx + n$: vem como $8x - 21y = 1\,600$, $\frac{x}{8} + \frac{y}{6} = 1$, $y - 4x + 13 = 0$, $\frac{w}{8} - \frac{z}{15} = \frac{13}{60}$. Arrume para a forma que você domina, leia $m$ como $-\frac{a}{b}$ e só então julgue.

Os erros que mais derrubam

• Inverter a razão. $m = \frac{\Delta y}{\Delta x}$, subida sobre avanço; $\frac{\Delta x}{\Delta y}$ é outro número.
• Subtrair em ordens diferentes. Numerador e denominador na mesma ordem; senão o sinal de $m$ inverte.
• “Zero” e “não existe”. Horizontal: $m = 0$. Vertical: sem $m$. São afirmações diferentes.
• Ler $m$ como o coeficiente de $x$ na forma geral. Em $ax + by + c = 0$, $m = -\frac{a}{b}$; em $3x + 4y = 800$, $m = -\frac{3}{4}$.
• Confundir $n$ com a raiz. $n$ é o corte no eixo $y$; a raiz, $-\frac{n}{m}$, é o corte no eixo $x$.
• Interceptos trocados na segmentária. O denominador de $x$ é o corte no eixo $x$: $\frac{x}{6} + \frac{y}{8} = 1$ passa por $(6, 0)$ e $(0, 8)$.
• Conferir só o coeficiente angular. Equação pronta exige $m$ e um ponto; a banca fabrica equações com o $m$ certo e o $n$ errado.
• “$m < -1$” lido como “$|m| < 1$”. $-\frac{3}{4}$ é maior que $-1$. Pense na reta a $135°$ como divisor: mais inclinada que ela, $m < -1$; mais deitada, $-1 < m < 0$.
• Dizer que a reta vertical “tem $m$ infinito”. Não tem coeficiente angular; sua equação é $x = k$, e ela só existe na forma geral.
• Esquecer o sinal no ponto-declive. $x - (-4)$ é $x + 4$; o $m$ multiplica o parêntese inteiro.
• Julgar pertinência pelo desenho. Pertencer é fechar a igualdade por substituição.
• Multiplicar a equação e achar que mudou a reta. $3x - 4y + 8 = 0$ e $6x - 8y + 16 = 0$ são a mesma reta.

O essencial em meia página

• Reta = condição sobre $(x, y)$: equação do primeiro grau em $x$ e $y$; o ponto pertence quando a igualdade fecha por substituição.
• Coeficiente angular: $m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$, mesma ordem nas duas subtrações; não depende do par de pontos. $m > 0$ sobe, $m < 0$ desce, $m = 0$ horizontal; vertical ($\Delta x = 0$) não tem $m$.
• Ângulo: $m = \operatorname{tg}\alpha$, $0° \le \alpha < 180°$; $45° \to 1$, $60° \to \sqrt{3}$, $120° \to -\sqrt{3}$, $135° \to -1$; obtuso dá $m < 0$.
• Ponto-declive: $y - y_0 = m(x - x_0)$.
• Reduzida: $y = mx + n$; $n$ é o corte no eixo $y$; raiz em $x = -\frac{n}{m}$; horizontal $y = n$; pela origem $y = mx$.
• Geral: $ax + by + c = 0$; $m = -\frac{a}{b}$; cortes $\left(-\frac{c}{a}, 0\right)$ e $\left(0, -\frac{c}{b}\right)$; $b = 0$ vertical $x = -\frac{c}{a}$; múltiplos da equação são a mesma reta. Com $ax + by = c$: cortes $\frac{c}{a}$ e $\frac{c}{b}$.
• Segmentária: $\frac{x}{p} + \frac{y}{q} = 1$, $p$ corte em $x$, $q$ corte em $y$; não serve pela origem nem paralela a eixo.
• Dois pontos: $m$, depois ponto-declive com um deles, conferência com o outro; ou determinante $\begin{vmatrix} x & y & 1 \\ x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \end{vmatrix} = 0$.
• Conferir equação pronta: $m$ e um ponto, ou os dois pontos substituídos.
• Ponto inteiro em $ax + by = c$: só se $\operatorname{mdc}(a, b)$ divide $c$ ($8x + 6y = 1$ não tem).
• Esboço: interceptos ($x = 0$, $y = 0$) ou dois valores cômodos de $x$; teste de cidade/ponto por substituição.
• Gráfico → equação: dois pontos limpos, de preferência os interceptos (segmentária); texto → equação: taxa $= m$, valor inicial $= n$ (função afim).
• Limiar de $m$: compare o número fechado, não o desenho; $-\frac{3}{4} > -1$; raízes comparam-se por quadrados.