Posições relativas de retas

Em 2025, a prova do PAS 3 desenhou um canavial sobre um plano cartesiano em metros, pôs a linha central de uma estrada sobre a reta $3x + 4y = 800$, apresentou um segundo trajeto, $3y - 4x + 800 = 0$, e afirmou que os dois eram paralelos. Os mesmos números, 3 e 4 e 800, aparecem nas duas equações, e é fácil acreditar. Mas as duas retas têm coeficientes angulares $-\frac{3}{4}$ e $\frac{4}{3}$, cujo produto é $-1$: elas se cruzam em ângulo reto, o oposto exato de paralelas. Em 2023, quatro pontos foram marcados sobre a tela Navio de emigrantes, de Lasar Segall, e o item afirmou que os segmentos $OA$ e $OC$, com $O(0, 0)$, $A(4, 3)$ e $C(8, -3)$, eram perpendiculares; na pintura eles até parecem, mas $\frac{3}{4} \cdot \left(-\frac{3}{8}\right) = -\frac{9}{32}$, longe de $-1$. Em 2022, a banca deu os quatro cantos de uma mesa desenhada em perspectiva e pediu a ordenada do ponto de fuga, que é o lugar onde dois lados prolongados se encontram: um sistema de duas equações. Como decidir, só com as equações, se duas retas se cruzam, nunca se encontram ou são a mesma reta, e se o cruzamento é em ângulo reto?

Esta página responde a essa pergunta e ao que decorre dela. Ela supõe que você já sabe calcular o coeficiente angular $m$ de uma reta e ler $m$ e $n$ nas formas reduzida $y = mx + n$ e geral $ax + by = c$, assunto da página da equação da reta; e supõe o plano cartesiano com ponto médio e distância entre pontos. Daqui saem a classificação de duas retas (concorrentes, paralelas, coincidentes), o critério das perpendiculares, o teste do triângulo retângulo por coordenadas, a reta paralela ou perpendicular por um ponto, a mediatriz, o ponto de interseção e o ângulo entre retas. A distância de um ponto a uma reta e entre paralelas fica na página de distâncias; sistemas com três incógnitas, na página de sistemas lineares.

Duas retas no plano só podem fazer três coisas

Duas retas desenhadas na mesma folha têm exatamente um ponto em comum, nenhum ou todos. Não existe quarta opção: se duas retas compartilham dois pontos distintos, elas são a mesma reta, porque por dois pontos passa uma única reta. Os três casos têm nome e, em coordenadas, cada um tem uma assinatura nos coeficientes.

O critério da forma geral é o mesmo da forma reduzida, escrito sem dividir por $b$: de $ax + by = c$ vem $m = -\frac{a}{b}$ e $n = \frac{c}{b}$, e igualar os dois $m$ é o mesmo que exigir $\frac{a}{a'} = \frac{b}{b'}$. A vantagem de trabalhar na forma geral é que ela inclui as verticais ($b = 0$) sem caso à parte: $2x = 6$ e $5x = 15$ têm $\frac{2}{5} = \frac{6}{15}$ e são a mesma reta, $x = 3$.

Exemplo resolvido 1: três pares de retas. Classifique cada par. (a) $r\colon 3x - 5y = 15$ e $s\colon 6x - 10y = 7$. (b) $r\colon 5x + 2y = 9$ e $s\colon 10x + 4y = 18$. © $r\colon x + y = 4$ e $s\colon x - y = 4$.

(a) Razões dos coeficientes: $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ e $\frac{-5}{-10} = \frac{1}{2}$, iguais; a razão dos termos independentes é $\frac{15}{7} \neq \frac{1}{2}$. Mesma direção, retas diferentes: paralelas distintas. Conferindo com um ponto: $(5, 0)$ satisfaz $r$ ($15 - 0 = 15$) e não satisfaz $s$ ($30 - 0 = 30 \neq 7$). (b) $\frac{5}{10} = \frac{2}{4} = \frac{9}{18} = \frac{1}{2}$: a segunda equação é a primeira dobrada. Coincidentes; todo ponto de uma está na outra. © $\frac{1}{1} = 1$ e $\frac{1}{-1} = -1$, diferentes: concorrentes. Somando as equações, $2x = 8$, $x = 4$ e $y = 0$: o ponto comum é $(4, 0)$, e só ele. Conferência: em (a), $m_r = \frac{3}{5} = m_s$; em ©, $m_r = -1$ e $m_s = 1$.

Paralelas: o mesmo coeficiente angular e ordenadas na origem diferentes

Duas pistas de um aeroporto desenhadas em paralelo, as duas linhas de um corredor de ônibus, as margens de um canal retilíneo: cada par sobe e desce junto, e por isso nunca se encontra. Em coordenadas, “subir e descer junto” é ter o mesmo coeficiente angular, e “nunca se encontrar” exige, além disso, que as retas sejam duas. O segundo cuidado é o que a prova explora.

Dois itens do PAS 3 mostram o critério em uso. Em 2009, uma usina em $P(0, 8)$ e um consumidor em $Q(x_Q, 0)$ estavam ligados por uma linha de transmissão reta de 10 km (o caderno não dava $x_Q$; o triângulo $8$, $x_Q$, $10$ obriga $x_Q = 6$), e o item afirmou que a reta $8x + 6y = 1$ era paralela à reta $PQ$. O coeficiente angular de $PQ$ é $\frac{0 - 8}{6 - 0} = -\frac{4}{3}$; o da reta dada, $-\frac{8}{6} = -\frac{4}{3}$. Iguais. Resta ver que não é a mesma reta: $P(0, 8)$ dá $0 + 48 = 48 \neq 1$, logo $P$ não está em $8x + 6y = 1$. Paralelas distintas, certo. Em 2010, a banca escreveu a equação $\frac{x}{d} + \frac{y}{D} = 1$, com $D$ o diâmetro do espelho primário de um telescópio e $d$ o do secundário, e perguntou qual seria o raio do espelho secundário do James Webb se a equação descrevesse retas paralelas para ele e para o Hubble; a tabela dava $D = 2{,}4$ m e $d = 0{,}32$ m para o Hubble e $D = 6{,}5$ m para o James Webb. Isolando $y$: $y = -\frac{D}{d}x + D$, portanto $m = -\frac{D}{d}$. Paralelas significa $\frac{D}{d}$ igual nos dois telescópios: $\frac{2{,}4}{0{,}32} = 7{,}5 = \frac{6{,}5}{d}$, donde $d = \frac{6{,}5}{7{,}5} \approx 0{,}867$ m. O item pedia o raio, metade disso: cerca de $43{,}3$ cm, entre 40 e 45 cm. A reta $\frac{x}{d} + \frac{y}{D} = 1$ corta os eixos em $(d, 0)$ e $(0, D)$; o feixe de retas paralelas a ela é o conjunto das retas $\frac{x}{kd} + \frac{y}{kD} = 1$, todas com a mesma razão $\frac{D}{d}$ entre os cortes, e o James Webb era o membro do feixe com $kD = 6{,}5$.

Por que o produto dos coeficientes de retas perpendiculares é −1

Uma rua que cruza outra em ângulo reto, a lateral e a linha de fundo de uma quadra, o esquadro apoiado na régua. Em coordenadas, a perpendicularidade tem um teste de uma multiplicação, e vale a pena entender de onde ele vem, porque a regra decorada (“inverte e troca o sinal”) é exatamente a que os alunos aplicam pela metade.

Pense na reta $r$ como uma seta de deslocamento: andar 1 em $x$ obriga a andar $m$ em $y$, então o vetor $(1, m)$ aponta ao longo de $r$. Girar um vetor $(p, q)$ um quarto de volta no sentido anti-horário dá o vetor $(-q, p)$ (confira com $(1, 0)$, que vira $(0, 1)$). Girando $(1, m)$, obtém-se $(-m, 1)$, que aponta ao longo da perpendicular $s$. O coeficiente angular de $s$ é a razão entre a componente vertical e a horizontal desse vetor: $m' = \frac{1}{-m} = -\frac{1}{m}$. Logo $m \cdot m' = -1$. A mesma conclusão sai pela trigonometria: se $r$ faz ângulo $\alpha$ com o eixo $x$, então $m = \operatorname{tg}\alpha$; a perpendicular faz ângulo $\alpha + 90°$, e $\operatorname{tg}(\alpha + 90°) = -\operatorname{cotg}\alpha = -\frac{1}{\operatorname{tg}\alpha}$. Em qualquer dos dois caminhos, a fração se inverte e o sinal troca, as duas coisas juntas.

O teste em forma geral evita frações e inclui as verticais. Para $3x + 4y = 800$ e $-4x + 3y = -800$ (a reta $s$ do item de 2025, arrumada): $3 \cdot (-4) + 4 \cdot 3 = -12 + 12 = 0$, perpendiculares. Para $x = 2$ (isto é, $1x + 0y = 2$) e $y = 5$ ($0x + 1y = 5$): $1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 = 0$, perpendiculares, como se esperava da vertical com a horizontal.

Exemplo resolvido 2: a perpendicular por um ponto. Uma tubulação segue a reta $t\colon 2x - 5y = 10$ num plano em metros. Um ramal deve sair do ponto $P(4, 7)$ e encontrar a tubulação em ângulo reto. Qual é a equação do ramal e onde ele encontra $t$?

O coeficiente angular de $t$ é $m_t = -\frac{2}{-5} = \frac{2}{5}$. O do ramal é o inverso com o sinal trocado: $m = -\frac{5}{2}$. Reta por $P$: $y - 7 = -\frac{5}{2}(x - 4)$, ou $y = -\frac{5}{2}x + 17$, ou ainda $5x + 2y = 34$. O ponto de encontro satisfaz as duas equações: de $t$, $y = \frac{2}{5}x - 2$; igualando, $\frac{2}{5}x - 2 = -\frac{5}{2}x + 17$; multiplicando por 10, $4x - 20 = -25x + 170$, $29x = 190$, $x = \frac{190}{29} \approx 6{,}55$ e $y = \frac{2}{5} \cdot \frac{190}{29} - 2 = \frac{76}{29} - \frac{58}{29} = \frac{18}{29} \approx 0{,}62$. Conferência: na forma geral, $2 \cdot 5 + (-5) \cdot 2 = 0$, perpendiculares; e $5 \cdot \frac{190}{29} + 2 \cdot \frac{18}{29} = \frac{950 + 36}{29} = \frac{986}{29} = 34$, o ponto está no ramal.

O triângulo é retângulo? Teste os três vértices

Quando a prova dá três pontos e afirma “o triângulo é retângulo”, a pergunta é se algum par de lados é perpendicular. Com coordenadas, isso é calcular os coeficientes angulares dos lados e multiplicar os dois que saem de cada vértice. Se o enunciado diz em qual vértice está o ângulo reto, basta um produto; se não diz, são três.

Exemplo resolvido 3: o triângulo da figura. Com $A(1, 2)$, $B(7, 5)$ e $C(-1, 6)$: $m_{AB} = \frac{5 - 2}{7 - 1} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$; $m_{AC} = \frac{6 - 2}{-1 - 1} = \frac{4}{-2} = -2$; $m_{BC} = \frac{6 - 5}{-1 - 7} = -\frac{1}{8}$. Em $A$: $\frac{1}{2} \cdot (-2) = -1$. Retângulo em $A$. Conferência pela recíproca de Pitágoras: $AB^2 = 36 + 9 = 45$, $AC^2 = 4 + 16 = 20$, $BC^2 = 64 + 1 = 65$, e $45 + 20 = 65$. As duas ferramentas dizem a mesma coisa; a dos coeficientes angulares aponta o vértice sem calcular três quadrados, a de Pitágoras serve quando algum lado é vertical e não tem $m$.

Quatro itens do PAS 3 fizeram essa conta: três sobre um triângulo e um, de 2015, sobre uma diagonal e uma reta dada. Em 2019, um mapa do porto de Nova Iorque recebeu eixos com origem na Estátua da Liberdade; a tabela dava $A\left(\frac{1}{2}, 2\right)$ para Ellis Island e $B\left(-2, \frac{2}{3}\right)$ para Black Tom Island, e o item afirmou que o triângulo $OAB$ era retângulo na origem. $m_{OA} = \frac{2}{1/2} = 4$ e $m_{OB} = \frac{2/3}{-2} = -\frac{1}{3}$; produto $-\frac{4}{3}$. Errado. Em 2023, na tela de Segall, $m_{OA} = \frac{3}{4}$ e $m_{OC} = -\frac{3}{8}$, produto $-\frac{9}{32}$: errado, embora na imagem os dois segmentos pareçam formar um canto quadrado. Em 2015, o terreno de vértices $A(-2, 6)$, $B(8, 8)$, $C(10, -3)$ e $D(-5, -2)$ veio com a afirmação de que a reta $AC$ e a reta $3y - 5x = 8$ eram perpendiculares: $m_{AC} = \frac{-3 - 6}{10 + 2} = -\frac{3}{4}$ e, da equação, $y = \frac{5}{3}x + \frac{8}{3}$, $m = \frac{5}{3}$; produto $-\frac{5}{4}$. Perto de $-1$ o suficiente para enganar quem estima, e errado. Em 2018, num mapa gaúcho em quilômetros, três cidades ocupavam a origem (Cachoeira do Sul), o ponto $(-25, 40)$ (Agudo) e o ponto $(20, 35)$ (Candelária), e o item não apontou o vértice; os três produtos ($-\frac{8}{5} \cdot \frac{7}{4}$, $-\frac{8}{5} \cdot \left(-\frac{1}{9}\right)$ e $\frac{7}{4} \cdot \left(-\frac{1}{9}\right)$) dão $-\frac{14}{5}$, $\frac{8}{45}$ e $-\frac{7}{36}$, nenhum igual a $-1$. Errado. Repare que, nos quatro, a banca afirmou um ângulo reto que não existia; o padrão não é regra, mas avisa que “parece reto” não decide nada.

A reta paralela ou perpendicular que passa por um ponto dado

Com o coeficiente angular certo e um ponto, a equação sai da forma $y - y_0 = m(x - x_0)$. O trabalho desta página é escolher o $m$: igual ao da reta dada, se a pedida é paralela; inverso com sinal trocado, se é perpendicular. Depois, a reta se confere em dois passos, coeficiente angular e ponto.

O PAS 3 pediu esse coeficiente angular em formato numérico duas vezes, com os pontos lidos de uma figura. Em 2014, seis antenas de telefonia estavam marcadas num plano em quilômetros, entre elas $B(-8, -3)$, $C(5, 4)$ e $E(8, -2)$, e o comando pediu o $m$ da reta que sai de $B$ em ângulo reto com $CE$, vezes 200. $m_{CE} = \frac{-2 - 4}{8 - 5} = -2$; a perpendicular tem $m = \frac{1}{2}$; $\frac{1}{2} \times 200 = 100$. O ponto $B$ não entra na conta do coeficiente angular; ele só entraria se a pergunta fosse a equação. Em 2013, as estações do VLT de Brasília, num gráfico em u.c., incluíam $C(1, 3)$ e $D(5, -2)$, e o pedido foi o $m$ da reta em ângulo reto com $CD$, vezes 100: $m_{CD} = \frac{-2 - 3}{5 - 1} = -\frac{5}{4}$, perpendicular $\frac{4}{5}$, resposta 80.

Exemplo resolvido 4: paralela e perpendicular por um mesmo ponto. Uma avenida segue a reta $a\colon 3x - 4y = 12$. Pelo ponto $P(8, 1)$ passam uma rua paralela à avenida e uma transversal perpendicular a ela. Escreva as duas equações e diga onde a transversal encontra a avenida.

$m_a = -\frac{3}{-4} = \frac{3}{4}$. Paralela por $P$: $y - 1 = \frac{3}{4}(x - 8)$, isto é, $4y - 4 = 3x - 24$, ou $3x - 4y = 20$. Repare que a paralela tem os mesmos coeficientes de $x$ e $y$ que a avenida e só muda o termo independente, que se acha substituindo $P$: $3 \cdot 8 - 4 \cdot 1 = 20$. Perpendicular por $P$: $m = -\frac{4}{3}$, $y - 1 = -\frac{4}{3}(x - 8)$, ou $4x + 3y = 35$; de novo, os coeficientes $(4, 3)$ saem de trocar $(3, -4)$ de lugar e de sinal em um deles, e o 35 vem de $4 \cdot 8 + 3 \cdot 1$. Encontro da transversal com a avenida: de $3x - 4y = 12$ e $4x + 3y = 35$, multiplicando a primeira por 3 e a segunda por 4 e somando, $9x + 16x = 36 + 140$, $x = \frac{176}{25} = 7{,}04$ e $y = \frac{3 \cdot 7{,}04 - 12}{4} = 2{,}28$. Conferência: $4 \cdot 7{,}04 + 3 \cdot 2{,}28 = 28{,}16 + 6{,}84 = 35$.

A mediatriz é a perpendicular pelo ponto médio

A mediatriz de um segmento $AB$ é a reta dos pontos que ficam à mesma distância de $A$ e de $B$. Na página de construções ela nasce com régua e compasso; em coordenadas, ela é a reta perpendicular a $AB$ que passa pelo ponto médio de $AB$, e as duas ferramentas desta página bastam para escrevê-la.

Exemplo resolvido 5. Mediatriz do segmento de $A(1, 2)$ a $B(5, 6)$. Ponto médio: $M\left(\frac{1 + 5}{2}, \frac{2 + 6}{2}\right) = (3, 4)$. Coeficiente angular de $AB$: $\frac{6 - 2}{5 - 1} = 1$; o da mediatriz, $-1$. Equação: $y - 4 = -(x - 3)$, ou $x + y = 7$. Conferência pela definição: o ponto $Q(6, 1)$ está na reta ($6 + 1 = 7$); $QA^2 = 25 + 1 = 26$ e $QB^2 = 1 + 25 = 26$. Se $AB$ fosse horizontal, a mediatriz seria a vertical pelo ponto médio, $x = x_M$; se $AB$ fosse vertical, a horizontal $y = y_M$.

A mediatriz aparece em prova disfarçada: “a torre fica à mesma distância das duas cidades” é uma afirmação sobre a mediatriz; “o centro da circunferência que passa por $A$ e $B$” está sobre a mediatriz de $AB$ (e, se a circunferência também passa por $C$, o centro é o cruzamento de duas mediatrizes, assunto da página da circunferência).

Onde duas retas se cruzam: o sistema 2×2

Um ponto pertence a uma reta quando suas coordenadas tornam a equação dela verdadeira. Cruzamento é pertencer às duas: o par $(x, y)$ procurado tem de obedecer, de uma só vez, às equações de $r$ e de $s$, e essa exigência dupla é um sistema linear de duas equações e duas incógnitas. As três posições relativas são, exatamente, os três tipos de sistema.

A página de sistemas lineares trata o caso geral, com três incógnitas e a forma matricial; aqui o sistema é $2 \times 2$ e se resolve por substituição. O PAS 2 de 2009 usou a ponte ao contrário: dois campos de petróleo exportariam, juntos, 96,5 bilhões de barris ($x + y = 96{,}5$) por 9,587 trilhões de dólares, a 100 e a 82 dólares o barril ($100x + 82y = 9\,587$), e o item afirmou que as quantidades podiam ser determinadas pela interseção de duas retas, “uma com inclinação positiva e a outra com inclinação negativa”, desenhadas numa figura. As duas equações do sistema são retas de coeficientes angulares $-1$ e $-\frac{100}{82}$, ambos negativos; nenhuma reta de inclinação positiva representa o sistema, e o item era errado. A interseção existe ($x = 93$, $y = 3{,}5$), mas a figura descrevia outro par de retas.

Exemplo resolvido 6: o ponto de fuga (PAS 3 2022, tipo B). Uma mesa desenhada em perspectiva tem vértices $A(0, 0)$, $B(-2, 5)$, $C(4, 6)$ e $D(9, 2)$, em decímetros; o ponto de fuga $P$ é o encontro das retas $AB$ e $DC$. Calcule a ordenada de $P$ (desprezando a parte fracionária). Reta $AB$: passa pela origem com $m = \frac{5 - 0}{-2 - 0} = -\frac{5}{2}$, logo $y = -\frac{5}{2}x$. Reta $DC$: $m = \frac{6 - 2}{4 - 9} = -\frac{4}{5}$; por $D$: $y - 2 = -\frac{4}{5}(x - 9)$, ou $y = -\frac{4}{5}x + \frac{46}{5}$. Coeficientes angulares diferentes: há cruzamento. Igualando, $-\frac{5}{2}x = -\frac{4}{5}x + \frac{46}{5}$; vezes 10, $-25x = -8x + 92$, $-17x = 92$, $x = -\frac{92}{17}$. Então $y = -\frac{5}{2} \cdot \left(-\frac{92}{17}\right) = \frac{230}{17} = 13{,}53\ldots$ Resposta: 013. Conferência na reta $DC$: $-\frac{4}{5} \cdot \left(-\frac{92}{17}\right) + \frac{46}{5} = \frac{368}{85} + \frac{782}{85} = \frac{1150}{85} = \frac{230}{17}$. Fecha. O item pedia $y$; quem parou em $x = -5{,}4$ e marcou 005 (ou o módulo) errou por ter resolvido só metade.

Em 2017, o cruzamento foi combinado com a perpendicular. O caderno trouxe dois trajetos de bonde cariocas dos anos 1940 como poligonais num plano, com estações em vértices: Voluntários da Pátria em $(-3, 2)$, Botafogo em $(-2, 0)$, Presidente Vargas em $(5, -1)$, Maracanã em $(4, 4)$ e Tijuca em $(3, 8)$. A afirmação a julgar: a reta que sai de Botafogo em ângulo reto com o segmento Presidente Vargas–Voluntários da Pátria encontra o trajeto Lapa–Tijuca no trecho Maracanã–Tijuca. Coeficiente angular do segmento: $\frac{2 - (-1)}{-3 - 5} = -\frac{3}{8}$; o da reta pedida, $\frac{8}{3}$, com equação $y = \frac{8}{3}(x + 2)$. O trecho em questão ocupa $3 \le x \le 4$ com $4 \le y \le 8$; a reta, em $x = 3$, já está em $y = \frac{40}{3} \approx 13{,}3$, e em $x = 4$ em $y = 16$. Ela passa por cima do trecho inteiro, sem tocá-lo. Errado. Em 2010, num esquema do telescópio Hubble com o espelho primário sobre o eixo $y$ (pontos $A$ e $D$, com $AD = 2{,}4$ m) e o espelho secundário $BC$, de 0,32 m, centrado em $P$ sobre o eixo $x$ e inclinado a $120°$, o item afirmou que as retas $AB$ e $CD$ se cruzariam no primeiro quadrante. Com esses dados, $A(0, -1{,}2)$, $D(0, 1{,}2)$, $C$ um pouco à esquerda e acima de $P$ e $B$ um pouco à direita e abaixo; a reta $AB$ sobe menos do que a reta $CD$ desce, e o cruzamento cai à direita de $P$, com ordenada ligeiramente negativa, no quarto quadrante. Errado. Nos dois itens, a decisão exigiu saber onde fica o cruzamento, e não só que ele existe.

O ângulo entre duas retas

Duas retas concorrentes formam dois pares de ângulos opostos, um agudo e um obtuso (ou os quatro retos). O ângulo entre as retas é, por convenção, o agudo (ou o reto), e ele sai dos coeficientes angulares sem precisar desenhar.

Exemplo resolvido 7. Qual é o ângulo entre as retas $y = 3x - 1$ e $y = \frac{1}{2}x + 4$? $\operatorname{tg}\theta = \left|\frac{3 - \frac{1}{2}}{1 + 3 \cdot \frac{1}{2}}\right| = \frac{5/2}{5/2} = 1$, logo $\theta = 45°$. E entre $y = \sqrt{3}\,x$ e o eixo $x$ ($m = 0$)? $\operatorname{tg}\theta = \sqrt{3}$, $\theta = 60°$, como se espera de uma reta que faz $60°$ com a horizontal. Conferência do primeiro caso: as retas fazem com o eixo $x$ os ângulos $\operatorname{arctg} 3 \approx 71{,}6°$ e $\operatorname{arctg}\frac{1}{2} \approx 26{,}6°$, e a diferença é $45°$. Em prova, o ângulo entre retas só decide itens quando o resultado é um ângulo notável ($30°$, $45°$, $60°$, $90°$); fora isso, a pergunta útil é “são ou não perpendiculares”, que é o caso $1 + m_r m_s = 0$.

Feixes de paralelas: trilhos, pistas e espelhos

Um conjunto de retas com o mesmo coeficiente angular é um feixe de paralelas: $y = mx + n$ com $m$ fixo e $n$ variando. Trilhos de ferrovia, faixas de uma pista, linhas de um caderno. Duas retas do feixe estão a uma distância fixa uma da outra, a mesma em qualquer ponto; o cálculo dessa distância é assunto da página de distâncias, mas a ideia de que ela não muda ao longo das retas é o que define o paralelismo.

Reconhecer um feixe economiza contas. As retas $2x - 3y = 1$, $2x - 3y = 7$ e $4x - 6y = -5$ são paralelas entre si (a terceira é $2x - 3y = -\frac{5}{2}$), e qualquer reta que cruze uma delas cruza todas, com o mesmo ângulo, porque ângulos correspondentes em paralelas cortadas por uma transversal são iguais. É também por isso que um feixe decide alinhamentos: três pontos $A$, $B$ e $C$ estão alinhados quando $AB$ e $BC$ pertencem ao mesmo feixe (mesmo $m$) e têm o ponto $B$ em comum, o que força a coincidência.

Retas lidas em mapas e gráficos

Nos itens reais, as retas raramente chegam prontas em equação. Chegam como estações num gráfico, trechos de uma curva de preços, caixas de som numa sala. O método é o mesmo em todos: extrair as coordenadas dos pontos, calcular os coeficientes angulares e comparar.

Em 2013, as estações do VLT de Brasília foram marcadas num plano em u.c.: Aeroporto JK $A(-9, 2)$, Terminal Sul $B(-3, 6)$, 516 Sul $C(1, 3)$, Setor Comercial Sul $D(5, -2)$, Setor Comercial Norte $E(7, -3)$ e Terminal Norte $F(12, 1)$. O item afirmou que a reta $AE$ era paralela à reta $BF$. $m_{AE} = \frac{-3 - 2}{7 + 9} = -\frac{5}{16}$; $m_{BF} = \frac{1 - 6}{12 + 3} = -\frac{5}{15} = -\frac{1}{3}$. Perto, mas diferentes ($-0{,}3125$ e $-0{,}333\ldots$): concorrentes, item errado. No desenho, os dois segmentos parecem paralelos; a diferença entre $\frac{5}{16}$ e $\frac{5}{15}$ só aparece na conta.

Em 2009, um gráfico de linha mostrou os preços médios anuais do petróleo Brent e do WTI de 1999 a 2008, acompanhado de uma tabela: em 2007, Brent a 72,52 e WTI a 72,26 dólares por barril; em 2008, 99,04 e 98,58. O item afirmou que os segmentos de 2007 a 2008 das duas curvas eram paralelos. Num gráfico, cada segmento entre dois anos consecutivos é uma reta com $\Delta x = 1$ ano, e o coeficiente angular é a própria variação: $99{,}04 - 72{,}52 = 26{,}52$ para o Brent e $98{,}58 - 72{,}26 = 26{,}32$ para o WTI. Diferentes, logo não paralelos; errado. A lição é que “paralelos” num gráfico de linha significa “mesma variação por unidade de tempo”, um número lido da tabela, não uma impressão visual sobre dois traços quase sobrepostos.

Em 2008, o diagrama de um home theater pôs a TV em $A$, no topo de um semicírculo de centro $D(4, 0)$ e raio 4 m, com as caixas de som $B$ e $C$ à mesma altura, $B$ em $(1, y_B)$ e $C$ sobre a circunferência, e afirmou que a reta $BA$ era paralela à reta $CD$. Da figura, $A(4, 4)$; o arco tracejado passa também por $B$, de modo que $y_B = \sqrt{16 - 9} = \sqrt{7}$, e $C$, à mesma altura e sobre o mesmo arco, é o simétrico de $B$ em relação à vertical por $D$: $C(7, \sqrt{7})$. $m_{BA} = \frac{4 - \sqrt{7}}{3} \approx 0{,}45$ e $m_{CD} = \frac{0 - \sqrt{7}}{4 - 7} = \frac{\sqrt{7}}{3} \approx 0{,}88$. Não são paralelas; errado. Aqui a leitura da figura (a altura comum de $B$ e $C$, a simetria em relação a $D$) foi metade do trabalho.

Como a banca pergunta

Os dezesseis itens reais desta página, quinze do PAS 3 (2008 a 2025) e um do PAS 2 (2009), cabem em seis formatos.

1. Relação trocada entre duas equações, tipo A: $3x + 4y = 800$ e $3y - 4x + 800 = 0$ “são paralelas” (2025/24, E; são perpendiculares). Extrair os dois $m$ resolve em três linhas; julgar pela cara das equações derruba.
2. Paralelismo que exige o segundo passo, tipos A e C: $8x + 6y = 1$ paralela à reta $PQ$ (2009/105, C: mesmo $m$ e retas distintas); o raio do espelho do James Webb pela razão $\frac{D}{d}$ constante (2010/124, B).
3. Ângulo reto por coordenadas, tipo A: produto dos coeficientes angulares dos lados que saem do vértice apontado (2019/76, 2023/36, E), entre uma diagonal e uma reta dada (2015/116, E) ou em todos os vértices quando nenhum é apontado (2018/85, E).
4. Coeficiente angular da perpendicular, escalado, tipo B: perpendicular à reta $CE$, vezes 200 (2014/100, 100); perpendicular à reta $CD$, vezes 100 (2013/69, 80). Os pontos vêm de uma figura e a resposta tem três dígitos.
5. Interseção com destino, tipos A e B: a ordenada do ponto de fuga (2022/120, 013); a perpendicular por Botafogo cruza ou não um trecho (2017/87, E); o cruzamento das retas $AB$ e $CD$ do telescópio está ou não no primeiro quadrante (2010/127, E); as retas de um sistema têm ou não as inclinações da figura (PAS 2 2009/112, E).
6. Paralelismo lido de figura ou gráfico, tipo A: estações do VLT (2013/65, E), curvas de preço (2009/58, E), caixas de som (2008/57, E). Coordenadas extraídas, coeficientes comparados.

Dois avisos de formato. O tipo B desta página pede quase sempre um coeficiente angular multiplicado por 100 ou 200, e a resposta vai sem sinal e sem a parte fracionária; se o $m$ pedido for negativo, releia o comando, porque a folha só aceita 000 a 999. E, quando o item diz “retângulo em $O$” ou “perpendicular à reta $CE$”, a conta é uma; quando diz só “retângulo”, são três.

Os erros que mais derrubam

• Paralelas com o mesmo $n$. Mesmo $m$ e mesmo $n$ é a mesma reta. Equações proporcionais ($x - 2y = 3$ e $3x - 6y = 9$) descrevem uma reta só.
• Perpendicular “só com o sinal trocado”. De $m = \frac{2}{5}$, a perpendicular tem $-\frac{5}{2}$, não $-\frac{2}{5}$ nem $\frac{5}{2}$. Inverter e trocar o sinal.
• Aceitar “quase $-1$”. $-\frac{5}{4}$, $-\frac{9}{32}$, $-\frac{4}{3}$ não são $-1$. Perpendicularidade não tem margem.
• Dar coeficiente angular a reta vertical. $x = 4$ não tem $m$; sua perpendicular é horizontal e sua paralela é outra vertical, sem fórmula.
• Testar o vértice errado. “Retângulo em $A$” pede $m_{AB} \cdot m_{AC}$; “retângulo”, sem vértice, pede os três produtos.
• Confundir interseção com ponto médio. O ponto médio é a média dos extremos de um segmento; a interseção é a solução de um sistema. Nada garante que a interseção de duas retas esteja no meio de coisa alguma.
• Parar no $x$. Resolvido o sistema, volte para achar $y$, e confira o par nas duas equações. Se o item pede a ordenada, é o $y$.
• Julgar paralelismo pelo desenho. $-\frac{5}{16}$ e $-\frac{1}{3}$ parecem iguais num gráfico; na conta, não são.
• Ler $m$ como o coeficiente de $x$ na forma geral. Em $3y - 4x + 800 = 0$, $m = \frac{4}{3}$, não $-4$; arrume a equação antes de ler.
• Montar o sistema sem olhar os $m$. Se $m = m'$, o sistema ou não tem solução ou tem infinitas; não há ponto para achar.

O essencial em meia página

• Três posições: concorrentes ($m \neq m'$, um ponto comum), paralelas ($m = m'$, $n \neq n'$, nenhum), coincidentes ($m = m'$, $n = n'$, todos). Forma geral: $\frac{a}{a'} = \frac{b}{b'} \neq \frac{c}{c'}$ paralelas; as três razões iguais, coincidentes.
• Verticais: $x = k$ não tem $m$; duas verticais são paralelas (ou coincidentes); vertical $\perp$ horizontal.
• Perpendiculares: $m \cdot m' = -1$ (inverte e troca o sinal); na forma geral, $aa' + bb' = 0$. Por quê: girar o vetor $(1, m)$ um quarto de volta dá $(-m, 1)$.
• Triângulo retângulo: produto dos coeficientes angulares dos lados que saem do vértice $= -1$; sem vértice indicado, teste os três; conferência pela recíproca de Pitágoras.
• Paralela por $P$: mesmo $m$, $y - y_0 = m(x - x_0)$; atalho $ax + by = k$ com $k$ de $P$. Perpendicular por $P$: $m' = -\frac{1}{m}$; atalho $bx - ay = k$.
• Mediatriz de $AB$: perpendicular a $AB$ pelo ponto médio $M$; seus pontos equidistam de $A$ e $B$.
• Interseção: resolver o sistema $2 \times 2$ por substituição; concorrentes = uma solução, paralelas = nenhuma, coincidentes = infinitas. Conferir o par nas duas equações.
• Ângulo entre retas: $\operatorname{tg}\theta = \left|\frac{m - m'}{1 + mm'}\right|$; $1 + mm' = 0$ é $90°$.
• Feixe de paralelas: $y = mx + n$ com $m$ fixo; $\frac{x}{d} + \frac{y}{D} = 1$ com $\frac{D}{d}$ fixo; transversal corta todas no mesmo ângulo.
• Na prova: primeiro os dois coeficientes angulares, depois o julgamento; o produto se calcula, não se estima; tipo B pede $m$ da perpendicular vezes 100 ou 200; figuras enganam, números não.