Matrizes

Uma padaria tem duas lojas, uma no centro e outra num bairro, e vende três coisas que importam para o caixa: pão francês, bolo e café. Na última semana, a loja do centro vendeu 120 pães, 15 bolos e 60 cafés; a do bairro, 80 pães, 10 bolos e 45 cafés. O pão custa R$ 0,80, o bolo R$ 25 e o café R$ 4. O dono quer duas coisas da planilha: o faturamento de cada loja hoje e, se os preços mudarem amanhã, o faturamento novo sem redigitar as vendas. Isso obriga a separar o que foi vendido (uma tabela de duas linhas, as lojas, por três colunas, os produtos) do que cada coisa vale (uma coluna com três preços). O faturamento do centro é $120 \cdot 0{,}8 + 15 \cdot 25 + 60 \cdot 4 = 96 + 375 + 240 = 711$ reais; o do bairro, $80 \cdot 0{,}8 + 10 \cdot 25 + 45 \cdot 4 = 64 + 250 + 180 = 494$ reais. Repare no formato das duas contas: cada uma percorre uma linha da tabela de vendas e a coluna de preços em paralelo, multiplica os pares que se correspondem (pão com preço do pão, bolo com preço do bolo) e soma. A matemática dá nome a esse formato e o transforma numa operação única entre as duas tabelas, o produto de matrizes; trocar a coluna de preços e repetir a operação é o que a planilha faz quando os preços mudam. Foi essa operação, e não uma conta pesada, que o PAS 2 pediu para interpretar em 2013 (pacotes de café, arroz e açúcar por mês), em 2008 (horas de uso de aparelhos elétricos) e em 2022 (três frases sobre uma comunidade colonial). Por que uma tabela de números vira um objeto que se soma, se multiplica e resolve sistemas, e o que exatamente cada entrada do produto está dizendo?

Esta página responde a essa pergunta. Ela trata a matriz como objeto: endereço das entradas, tipos, igualdade e transposta, soma e multiplicação por número, o produto linha por coluna com sua condição de existência, o sistema linear escrito como $A \cdot X = B$, a ideia de matriz inversa no caso $2 \times 2$, a matriz $2 \times 2$ como regra que move pontos do plano, e as matrizes que aparecem em grafos, imagens e planilhas. Ela supõe que você sabe o que é um sistema linear e como resolvê-lo por substituição ou escalonamento; a forma matricial aparece lá como notação, e aqui ela ganha a operação. O determinante, que decide se a inversa existe, tem página própria, assim como as rotações e demais transformações do plano, que aqui só se apresentam.

Uma matriz é uma tabela com endereço

Toda tabela de dupla entrada, com linhas e colunas, já é uma matriz em potencial: a tabela de classificação de um campeonato, a grade de horários da escola, a planilha de gastos do mês. O que a matemática acrescenta é um sistema de endereços e um conjunto de operações. O endereço é o par (linha, coluna), sempre nessa ordem, e ele é tão importante que ganha notação própria.

Alguns formatos têm nome. Uma matriz linha tem uma só linha ($1 \times n$); uma matriz coluna, uma só coluna ($m \times 1$); a coluna dos preços da padaria é $3 \times 1$. Uma matriz quadrada tem $m = n$, e nela a diagonal principal vai de $a_{11}$ a $a_{nn}$ (a outra diagonal, de $a_{1n}$ a $a_{n1}$, é a secundária). A matriz nula tem todas as entradas iguais a zero. A matriz identidade $I_n$ é quadrada, com 1 na diagonal principal e 0 fora dela:

$$I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad I_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$$

Uma matriz quadrada é diagonal quando tudo fora da diagonal principal é zero (a identidade é o caso particular com uns), e triangular quando tudo de um lado da diagonal é zero; esses dois formatos reaparecem na página de determinantes, porque neles o determinante é só o produto da diagonal.

Uma matriz pode ser dada pela tabela ou por uma lei de formação, uma fórmula que diz quanto vale $a_{ij}$ em função de $i$ e $j$. Nesse caso o trabalho é só preencher as casas.

Exemplo resolvido 1: ler e construir pela lei. Seja $A = (a_{ij})_{3 \times 2}$ com $a_{ij} = 2i - j$. Escreva $A$, diga quanto vale $a_{32}$ e some as entradas da diagonal principal.

Três linhas ($i = 1, 2, 3$), duas colunas ($j = 1, 2$). Linha 1: $a_{11} = 2 - 1 = 1$, $a_{12} = 2 - 2 = 0$. Linha 2: $a_{21} = 4 - 1 = 3$, $a_{22} = 4 - 2 = 2$. Linha 3: $a_{31} = 6 - 1 = 5$, $a_{32} = 6 - 2 = 4$.

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 2 \\ 5 & 4 \end{pmatrix}.$$

Logo $a_{32} = 4$. A matriz não é quadrada, mas a diagonal principal existe enquanto $i = j$ fizer sentido: $a_{11} + a_{22} = 1 + 2 = 3$. Conferência: a lei dá valores que crescem de 2 em 2 ao descer uma coluna e caem de 1 ao avançar uma coluna; a tabela faz exatamente isso.

Igualdade e transposta: a mesma tabela virada

Duas matrizes são iguais quando têm a mesma ordem e cada entrada de uma é igual à entrada de mesmo endereço da outra. Não basta ter os mesmos números: $\begin{pmatrix} 1 & 2 \end{pmatrix}$ e $\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ guardam os mesmos valores em ordens diferentes ($1 \times 2$ e $2 \times 1$) e não são iguais. Em prova, a igualdade aparece com incógnitas: igualar duas matrizes é escrever uma equação por entrada.

Exemplo resolvido 2. Determine $x$ e $y$ para que $\begin{pmatrix} x + y & 3 \\ 0 & 2x \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & 3 \\ 0 & 10 \end{pmatrix}$. As entradas $a_{12}$ e $a_{21}$ já coincidem. De $a_{22}$: $2x = 10$, $x = 5$. De $a_{11}$: $5 + y = 7$, $y = 2$. Conferência: as quatro casas batem, $(7, 3; 0, 10)$.

A transposta de $A$, escrita $A^t$ (ou $A^T$), é a matriz obtida trocando linhas por colunas: a linha 1 de $A$ vira a coluna 1 de $A^t$, e assim por diante. Se $A$ é $m \times n$, $A^t$ é $n \times m$, e $(A^t)_{ij} = a_{ji}$. Na padaria, a tabela de vendas é “lojas × produtos”; a transposta é a mesma informação organizada como “produtos × lojas”, útil quando se quer ler a coluna de um produto como uma linha.

$$A = \begin{pmatrix} 120 & 15 & 60 \\ 80 & 10 & 45 \end{pmatrix}_{2 \times 3}, \qquad A^t = \begin{pmatrix} 120 & 80 \\ 15 & 10 \\ 60 & 45 \end{pmatrix}_{3 \times 2}.$$

Cuidado com o reflexo de chamar $A^t$ de “$3 \times 1$” só porque virou mais alta que larga: ela tem duas colunas, uma por loja. Uma matriz quadrada que coincide com a própria transposta ($a_{ij} = a_{ji}$ para todos os índices) chama-se simétrica: as entradas se espelham na diagonal principal. A matriz de distâncias entre cidades é simétrica (a distância de A a B é a de B a A); a matriz de um grafo sem sentido nas arestas também, como se verá adiante. A transposição interage com as operações de um jeito que vale guardar: $(A + B)^t = A^t + B^t$, $(kA)^t = kA^t$ e, para o produto, $(AB)^t = B^t A^t$, com a ordem invertida.

Somar tabelas e multiplicar por um número

Somar duas matrizes é somar entrada a entrada, e isso só faz sentido se as duas têm a mesma ordem e as mesmas categorias nas linhas e colunas. A loja tinha um estoque, recebeu uma remessa e vendeu durante o dia: o estoque novo é a tabela inicial mais a remessa menos as vendas, casa por casa.

Exemplo resolvido 3: estoque e reajuste. Duas filiais de uma loja de uniformes guardam camisas, canecas e bonés. Estoque na segunda de manhã, filial Norte na linha 1 e filial Sul na linha 2: $E = \begin{pmatrix} 12 & 30 & 8 \\ 5 & 22 & 14 \end{pmatrix}$. Chegou uma remessa $R = \begin{pmatrix} 10 & 10 & 10 \\ 0 & 20 & 6 \end{pmatrix}$ e, até a noite, foi vendido $V = \begin{pmatrix} 4 & 9 & 2 \\ 1 & 7 & 5 \end{pmatrix}$. (a) Qual é o estoque no fim do dia? (b) Os preços unitários, na linha $P = \begin{pmatrix} 35 & 20 & 25 \end{pmatrix}$, serão reajustados em 10 %; escreva a nova linha de preços.

(a) $E + R - V$, casa por casa. Linha 1: $12 + 10 - 4 = 18$; $30 + 10 - 9 = 31$; $8 + 10 - 2 = 16$. Linha 2: $5 + 0 - 1 = 4$; $22 + 20 - 7 = 35$; $14 + 6 - 5 = 15$.

$$E + R - V = \begin{pmatrix} 18 & 31 & 16 \\ 4 & 35 & 15 \end{pmatrix}.$$

(b) Reajuste de 10 % é multiplicar por $1{,}1$: $1{,}1 \cdot P = \begin{pmatrix} 38{,}5 & 22 & 27{,}5 \end{pmatrix}$. Conferência: a soma total de peças antes era $12 + 30 + 8 + 5 + 22 + 14 = 91$; entraram $56$ e saíram $28$; $91 + 56 - 28 = 119$, e a tabela final soma $18 + 31 + 16 + 4 + 35 + 15 = 119$.

Repare na diferença entre multiplicar uma matriz por um número e multiplicar duas matrizes: na primeira, cada casa é multiplicada sozinha pelo mesmo fator; na segunda, que vem a seguir, linhas e colunas se combinam.

O produto: linha vezes coluna, e só quando os tamanhos permitem

Volte à padaria. A tabela de vendas $A$ é $2 \times 3$ (lojas × produtos) e a coluna de preços $B$ é $3 \times 1$ (produtos × 1). O faturamento da loja do centro saiu da linha 1 de $A$ combinada com a única coluna de $B$: $120 \cdot 0{,}8 + 15 \cdot 25 + 60 \cdot 4$. A combinação só funciona porque a linha tem três números e a coluna tem três números, um para cada produto. Essa exigência é a condição de existência do produto.

Exemplo resolvido 4: receita e custo de uma vez. Com o estoque final do exemplo 3 vendido por completo, $Q = \begin{pmatrix} 18 & 31 & 16 \\ 4 & 35 & 15 \end{pmatrix}$ (filiais × produtos), e uma tabela $B$ com o preço de venda e o custo unitário de cada produto nas colunas, $B = \begin{pmatrix} 35 & 20 \\ 20 & 8 \\ 25 & 10 \end{pmatrix}$ (produtos × {preço, custo}), calcule $Q \cdot B$ e interprete cada entrada.

Ordens: $Q$ tem três colunas e $B$ tem três linhas; o produto existe e, com as duas linhas de $Q$ e as duas colunas de $B$, é $2 \times 2$. Linha 1 de $Q$ com a coluna 1 de $B$: $18 \cdot 35 + 31 \cdot 20 + 16 \cdot 25 = 630 + 620 + 400 = 1650$. Linha 1 com a coluna 2: $18 \cdot 20 + 31 \cdot 8 + 16 \cdot 10 = 360 + 248 + 160 = 768$. Linha 2 com a coluna 1: $4 \cdot 35 + 35 \cdot 20 + 15 \cdot 25 = 140 + 700 + 375 = 1215$. Linha 2 com a coluna 2: $4 \cdot 20 + 35 \cdot 8 + 15 \cdot 10 = 80 + 280 + 150 = 510$.

$$Q \cdot B = \begin{pmatrix} 1650 & 768 \\ 1215 & 510 \end{pmatrix}.$$

A linha é a filial, a coluna é o tipo de valor: a filial Norte fatura R$ 1 650 com custo R$ 768 (lucro R$ 882); a Sul fatura R$ 1 215 com custo R$ 510 (lucro R$ 705). Os rótulos do resultado vêm das linhas do primeiro fator e das colunas do segundo; o rótulo comum (produtos) foi “consumido” pela soma. Conferência: $B \cdot Q$ seria $3 \times 2$ vezes $2 \times 3$, existe e é $3 \times 3$, mas suas entradas somariam “preço × quantidade da filial” por produto cruzado, sem significado aqui. A existência não garante o sentido.

O produto de uma tabela de quantidades por uma coluna de valores unitários é a forma mais frequente em prova, e foi exatamente o que o PAS 2 de 2013 fez. A tabela do caderno trazia, por mês (linhas 1, 2 e 3 = janeiro, fevereiro, março) e produto (colunas 1, 2 e 3 = café, arroz, açúcar), os pacotes comprados: 3, 2 e 1 em janeiro; 2, 1 e 0 em fevereiro; 2, 1 e 1 em março. O item 106 deu os preços R$ 8, R$ 12 e R$ 6 como a coluna $B$, definiu $C = A \times B$ e afirmou que $c_{11} - c_{31} = 20$ “representa a diferença, em reais, entre a quantia total gasta com esses produtos nos meses de janeiro e março”. O item exige duas verificações independentes, e quem faz só uma delas erra: a conta e a leitura. $c_{11}$ é a linha de janeiro sobre a coluna de preços, $3 \cdot 8 + 2 \cdot 12 + 1 \cdot 6 = 54$; $c_{31}$ é a de março, $2 \cdot 8 + 1 \cdot 12 + 1 \cdot 6 = 34$; a diferença é $20$. E $c_{i1}$ é, de fato, o gasto total do mês $i$, porque cada linha de $A$ guarda as quantidades de um mês. Número e significado conferem: certo. O item não pedia a matriz $C$ inteira; pedia que o candidato soubesse o que cada entrada do produto significa.

Multiplicar uma matriz quadrada por ela mesma também faz sentido: $A^2 = A \cdot A$, $A^3 = A \cdot A \cdot A$. Em grafos, as potências contam caminhos, como se verá adiante.

A ordem dos fatores altera o produto

Com números, $3 \cdot 5 = 5 \cdot 3$. Com matrizes, $A \cdot B$ e $B \cdot A$ são, em geral, matrizes diferentes, e pode acontecer de só uma das duas existir. Veja com duas matrizes $2 \times 2$ escolhidas para mostrar o fenômeno:

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad A \cdot B = \begin{pmatrix} 1 \cdot 0 + 2 \cdot 1 & 1 \cdot 1 + 2 \cdot 0 \\ 3 \cdot 0 + 4 \cdot 1 & 3 \cdot 1 + 4 \cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}, \quad B \cdot A = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}.$$

A matriz $B$ é uma “troca”: multiplicada à direita, ela troca as colunas de $A$; multiplicada à esquerda, troca as linhas. Resultados diferentes, e os dois com significado. Esse exemplo é um bom modelo mental: multiplicar à direita mexe nas colunas, multiplicar à esquerda mexe nas linhas.

Há casos em que a ordem não importa: toda matriz comuta com a identidade ($AI = IA = A$), com a nula, com as suas próprias potências, e as rotações do plano comutam entre si (girar $30°$ e depois $60°$ é o mesmo que o contrário). São exceções com motivo; a regra é não trocar.

Um sistema é um produto de matrizes

Pegue o sistema $3x + 2y - z = 4$, $y + 5z = -2$, $2x - 7z = 9$ e olhe para o lado esquerdo de cada equação como “a linha dos coeficientes vezes a coluna das incógnitas”: $3 \cdot x + 2 \cdot y + (-1) \cdot z$ é a linha $(3, 2, -1)$ multiplicada, par a par, pela coluna $(x, y, z)$. As três equações juntas são, então, o produto de uma matriz $3 \times 3$ pela coluna $3 \times 1$ das incógnitas, igualado à coluna dos termos independentes.

Os itens do PAS 2 sobre forma matricial cobraram os dois sentidos. Em 2008, o texto-base trazia uma tabela com as horas de uso de um ferro elétrico, um forno de micro-ondas e uma máquina de lavar ao longo de três meses: o ferro ficou ligado 8, 4 e 2 horas em abril, maio e junho; o micro-ondas, 5, 10 e 0 horas; a máquina, 10, 15 e 10 horas; e os totais mensais de energia foram 18, 17 e 5 kWh. O texto chamava de $A$ a matriz das horas (linha = mês, coluna = aparelho), de $X$ a coluna dos consumos por hora $x$, $y$, $z$ e de $B$ a coluna $(18, 17, 5)$; e o item 87 afirmou que o consumo horário de cada aparelho “pode ser obtido resolvendo-se a equação matricial $AX = B$”. A linha de abril de $A$ sobre $X$ dá $8x + 5y + 10z$, que é o consumo total de abril, $18$; o mesmo para maio e junho. Então $A \cdot X = B$ é o sistema das três contas de luz, e resolvê-lo dá $x$, $y$ e $z$: certo. Não é preciso resolver para julgar; o item seguinte, que afirmava $x = 1{,}6$, exigia a conta (dá $x = 1{,}5$, errado) e fica na página de sistemas.

Em 2014, veio o único item tipo D do assunto. O texto dizia que um município gastou R$ 500 mil em três atividades contra a dengue, medidas preventivas ($P$), atendimento ambulatorial ($A$) e internações ($I$), e que o total com internações foi o triplo do total com prevenção somado ao total ambulatorial. O comando: “escreva, na forma matricial, um sistema linear que envolva as variáveis I, P e A”. Duas frases, duas equações. A primeira: $I + P + A = 500$ (em milhares de reais). A segunda: $I = 3P + A$, que arrumada fica $I - 3P - A = 0$. Fixando a ordem $(I, P, A)$ das incógnitas, a matriz dos coeficientes tem duas linhas e três colunas:

$$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -3 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} I \\ P \\ A \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 500 \\ 0 \end{pmatrix}.$$

Um sistema com duas equações e três incógnitas não determina os três valores (é indeterminado), e a questão não pedia que determinasse; pedia a tradução. Numa resposta construída, escreva a ordem das incógnitas, a unidade (milhares de reais) e confira cada linha lendo-a de volta como frase: “$1 \cdot I + 1 \cdot P + 1 \cdot A = 500$: a soma dos três gastos é 500 mil”; “$1 \cdot I - 3 \cdot P - 1 \cdot A = 0$: internações menos o triplo da prevenção menos o ambulatorial dá zero”. Se a ordem das incógnitas fosse $(P, A, I)$, as colunas mudariam de lugar e a matriz seria outra, igualmente correta; o que não pode é a coluna e a incógnita se desencontrarem.

Em 2022, o tipo C fez o candidato reconhecer a escrita certa. O texto-base: uma comunidade formada em 1600 tinha 300 indivíduos entre indígenas ($i$), europeus ($e$) e africanos ($a$); os europeus eram o dobro dos africanos, e os indígenas eram 40 a menos que os europeus. Três frases: $i + e + a = 300$; $e = 2a$, ou seja, $e - 2a = 0$; $e - i = 40$, ou seja, $-i + e = 40$. O item 93 imprimiu quatro produtos de matrizes, todos com a coluna $(i, e, a)$, e perguntou qual deles era o sistema. A leitura linha a linha decide: na opção B, a primeira linha da matriz é toda de uns e se iguala a 300 (a soma dos três grupos); a segunda tem coeficiente 1 em $e$ e $-2$ em $a$, igualada a 0 (europeus menos o dobro dos africanos); a terceira tem $-1$ em $i$ e $1$ em $e$, igualada a 40 (europeus menos indígenas). São exatamente as três frases. A opção A tinha a linha $(1, 0, 1)$ igualada a 40 ($i + a = 40$, que o texto não diz); a C era uma matriz quase identidade com $-40$ dentro dela e três 300 à direita, sem sentido; a D repetia a linha $(1, 1, 1)$ mas trazia $(0, 1, 2)$ igualada a zero ($e + 2a = 0$, impossível com quantidades positivas). Traduzir cada linha de volta para o português derruba as três erradas antes de qualquer conta.

E em 2009 o item 110 imprimiu uma forma matricial e afirmou que ela resolvia o problema. O texto: a Petrobras exportaria $x$ bilhões de barris do campo de Tupi a US$ 100 o barril e $y$ bilhões do campo de Iara a US$ 82, num total de 96,5 bilhões de barris e 9,587 trilhões de dólares. O sistema correto é $x + y = 96{,}5$ e $100x + 82y = 9\,587$. O caderno trazia a matriz de coeficientes $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -18 \end{pmatrix}$, a coluna $(x, y)$ e a coluna $(96{,}5;\ -37{,}0)$. A primeira linha é $x + y = 96{,}5$, correta. A segunda, $-18y = -37$, teria de ser a segunda equação depois de uma operação legítima: tirar da segunda equação 100 vezes a primeira dá $100x + 82y - 100x - 100y = 9\,587 - 9\,650$, isto é, $-18y = -63$, não $-37$. A matriz impressa descreve outro sistema (com $y \approx 2{,}06$ em vez de $3{,}5$): errado. A lição é a mesma de 2022, no sentido contrário: cada linha de uma forma matricial é uma frase, e a frase tem de ser verdadeira.

Exemplo resolvido 5: ler uma forma matricial. Escreva por extenso o sistema $\begin{pmatrix} 2 & 0 & -3 \\ 1 & 4 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} p \\ q \\ r \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \end{pmatrix}$ e diga se $(p, q, r) = (1, -1, -1)$ é solução. Linha 1: $2p + 0q - 3r = 5$, ou $2p - 3r = 5$. Linha 2: $p + 4q + r = 0$. Teste: $2 \cdot 1 - 3 \cdot (-1) = 5$, confere; $1 - 4 - 1 = -4 \neq 0$, falha. Não é solução. Conferência: o teste de uma solução é exatamente o produto $A \cdot X$ feito com números, comparado com $B$; aqui ele devolveu $(5, -4)$ em vez de $(5, 0)$.

A inversa: a matriz que desfaz o produto

Com números, a equação $5x = 20$ se resolve multiplicando os dois lados por $\frac{1}{5}$, o inverso de 5, porque $\frac{1}{5} \cdot 5 = 1$. Com matrizes, a equação $A \cdot X = B$ pede uma matriz que, multiplicada por $A$, dê a identidade, o “1” das matrizes. Essa matriz, quando existe, é a inversa de $A$.

No caso $2 \times 2$ a inversa sai da própria definição. Procure $A^{-1} = \begin{pmatrix} p & q \\ r & s \end{pmatrix}$ para $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$, exigindo $A \cdot A^{-1} = I_2$. O produto dá quatro equações: $ap + br = 1$ e $cp + dr = 0$ (primeira coluna) e $aq + bs = 0$ e $cq + ds = 1$ (segunda coluna). Dois sistemas $2 \times 2$ nas incógnitas $(p, r)$ e $(q, s)$. Resolvendo o primeiro, $p = \dfrac{d}{ad - bc}$ e $r = \dfrac{-c}{ad - bc}$; o segundo dá $q = \dfrac{-b}{ad - bc}$ e $s = \dfrac{a}{ad - bc}$. Logo

$$A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}, \qquad \text{desde que } ad - bc \neq 0.$$

A receita cabe numa frase: troque os dois da diagonal principal de lugar, troque o sinal dos outros dois e divida tudo por $ad - bc$. O número $ad - bc$ é o determinante de $A$, assunto da próxima página; aqui basta saber que, se ele é zero, a divisão é impossível e a inversa não existe. É por isso que o PAS 2 de 2013, no item 108, pôde afirmar que a matriz dos pacotes de café, arroz e açúcar “é inversível”: o determinante dela não é zero. E é por isso também que um sistema $A \cdot X = B$ com $A$ quadrada tem solução única exatamente quando $A$ é inversível: a solução é $A^{-1} B$.

Exemplo resolvido 6: sistema pela inversa. Resolva $2x + y = 7$, $5x + 3y = 18$ pela inversa da matriz dos coeficientes. $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{pmatrix}$, $ad - bc = 6 - 5 = 1$. Inversa: $A^{-1} = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -5 & 2 \end{pmatrix}$. Então

$$X = A^{-1} B = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -5 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 7 \\ 18 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 21 - 18 \\ -35 + 36 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}.$$

Conferência: $2 \cdot 3 + 1 = 7$ e $5 \cdot 3 + 3 \cdot 1 = 18$. E $A \cdot A^{-1} = \begin{pmatrix} 6 - 5 & -2 + 2 \\ 15 - 15 & -5 + 6 \end{pmatrix} = I_2$. Compare com $A' = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$: $ad - bc = 4 - 4 = 0$, não há inversa, e de fato o sistema $2x + 4y = b_1$, $x + 2y = b_2$ tem a segunda linha proporcional à primeira, sem solução única para nenhum $B$.

Para matrizes $3 \times 3$ o cálculo da inversa é trabalhoso e a banca não o pede; ela pergunta se a inversa existe, o que é a pergunta sobre o determinante. A escrita $X = A^{-1}B$, porém, é cobrada como ideia: “a solução pode ser obtida multiplicando-se $B$ pela inversa de $A$” é uma afirmação correta se $A$ é inversível e a multiplicação é feita à esquerda.

Quatro números que movem o plano

Até aqui as colunas guardavam preços e incógnitas. Elas também podem guardar coordenadas: o ponto $P(x, y)$ é a coluna $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$, e multiplicar uma matriz $2 \times 2$ por essa coluna devolve outra coluna, isto é, outro ponto. Uma matriz $2 \times 2$ é, assim, uma regra que move todos os pontos do plano de uma vez.

Exemplo resolvido 7. Aplique $M = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ e depois $R = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ ao triângulo de vértices $(1, 1)$, $(4, 1)$ e $(1, 3)$. Com $M$: $(1, 1) \mapsto (2, 1)$, $(4, 1) \mapsto (8, 1)$, $(1, 3) \mapsto (2, 3)$; o triângulo ficou duas vezes mais largo e com a mesma altura. Com $R$ sobre esses três: $(2, 1) \mapsto (-1, 2)$, $(8, 1) \mapsto (-1, 8)$, $(2, 3) \mapsto (-3, 2)$; os três foram do primeiro para o segundo quadrante, girados. Conferência pela matriz composta: $R \cdot M = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$, e aplicada a $(1, 1)$ dá $(-1, 2)$, o mesmo ponto; note que $M \cdot R = \begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ levaria $(1, 1)$ em $(-2, 1)$, outro ponto, porque a ordem das transformações importa tanto quanto a dos fatores. A página de transformações trata as rotações de ângulo qualquer, a composição e os itens do PAS 3 que usaram essa regra; aqui o que fica é a tradução: para saber em que região do plano uma matriz $2 \times 2$ joga os pontos, aplique-a a $(x, y)$ com letras e observe o sinal de $x'$ e de $y'$.

Onde as matrizes moram: grafos, pixels e planilhas

Fora da sala de aula, a matriz aparece sempre que uma informação depende de dois índices. Três casos aparecem em prova e em qualquer área técnica.

Grafos e a matriz de adjacência. Um grafo é um conjunto de vértices (cidades, pessoas, páginas da web) ligados por arestas (estradas, amizades, links). Sua matriz de adjacência $M$ tem $m_{ij} = 1$ se há aresta entre os vértices $i$ e $j$, e $0$ se não há. Se as arestas não têm sentido, $m_{ij} = m_{ji}$ e a matriz é simétrica; a diagonal é zero quando não há laço de um vértice nele mesmo.

Com $M$ do diagrama, a soma da linha de $B$ é $1 + 0 + 1 + 1 = 3$: $B$ tem três vizinhos. E $M^2$ conta caminhos de comprimento 2: a entrada $(A, D)$ de $M \cdot M$ é a linha $A$ sobre a coluna $D$, $0 \cdot 0 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 = 2$, os caminhos $A \to B \to D$ e $A \to C \to D$. A entrada $(A, A)$ de $M^2$ é $0 + 1 + 1 + 0 = 2$, que é o grau de $A$: ir e voltar por cada aresta. É o mesmo princípio que um buscador usa para medir a importância de uma página pela das páginas que apontam para ela, com uma matriz de bilhões de linhas.

Quando as ligações têm sentido ou valor, a matriz deixa de ser simétrica e as somas ganham leituras diferentes. O ENEM de 2018 deu a matriz $5 \times 5$ dos valores transferidos entre cinco bancos, com $a_{ij}$ o total enviado do banco $i$ ao banco $j$: a soma da linha $i$ é tudo o que o banco $i$ enviou, e o banco que mais transferiu é o da linha de maior soma. O de 2021 fez o inverso com famílias que mudaram da região $i$ para a região $j$: o destino mais procurado é a coluna de maior soma, porque a coluna reúne tudo o que chegou a uma região. Decidir se a pergunta é sobre linha ou sobre coluna é a habilidade inteira dessas questões.

Imagens em pixels. Uma foto em tons de cinza é uma matriz: cada entrada é um pixel, com um número de 0 (preto) a 255 (branco). Uma imagem de 1 920 × 1 080 pixels é uma matriz $1080 \times 1920$ (linhas são as fileiras horizontais). Clarear a imagem é somar uma constante a todas as entradas (até o teto 255); aumentar o contraste é multiplicar por um escalar maior que 1; espelhar é inverter a ordem das colunas; girar 90° é transpor e inverter linhas. Uma imagem colorida são três matrizes, uma por canal (vermelho, verde, azul).

Planilhas. Uma planilha é uma matriz com nomes nas linhas e colunas e, às vezes, fórmulas nas casas. Toda a contabilidade da padaria da abertura cabe numa planilha, e a função de “soma de produtos” (quantidades × preços) que ela oferece é o produto de uma linha por uma coluna. Tabelas de dupla entrada em geral, como a de contagens de análise combinatória (quantos elementos têm a característica da linha e a da coluna), também são matrizes, e as somas de linhas e colunas são as marginais.

Como a banca pergunta

Os itens de matriz do PAS vêm sempre pendurados num texto-base com uma tabela ou um sistema; a conta é curta e a pergunta é de leitura. Cinco itens reais do PAS 2, de onde o assunto migrou para a 3.ª etapa, e seis do ENEM cabem em quatro formatos.

1. Significado de uma entrada do produto, tipo A: a tabela de pacotes por mês vezes a coluna de preços, e a afirmação “$c_{11} - c_{31} = 20$ é a diferença de gasto entre janeiro e março” (2013/106, C). Refaça as duas linhas sobre a coluna e confira número e significado.
2. O sistema escrito como $AX = B$, tipos A e D: “o consumo por hora sai da equação $AX = B$” (2008/87, C); “escreva, na forma matricial, um sistema que envolva $I$, $P$ e $A$” (2014/88, resposta construída). Linha = equação, coluna = incógnita, ausente = zero.
3. Reconhecer ou derrubar uma forma matricial impressa, tipos C e A: qual das quatro expressões traduz as três frases sobre a comunidade (2022/93, B); a matriz $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -18 \end{pmatrix}$ com a coluna $(96{,}5; -37{,}0)$ resolve o problema dos barris (2009/110, E). Leia cada linha como uma frase e julgue a frase.
4. Soma de linha ou de coluna numa matriz de dados, múltipla escolha do ENEM: banco que mais enviou (linha, 2018), região que mais recebeu (coluna, 2021), dia com mais acertos (coluna, 2019), e produto por uma coluna de pesos (2012, 2023).

Dois avisos de formato. No tipo D, a resposta construída tem de trazer a ordem das incógnitas e a unidade, porque a correção lê a matriz com elas. E, no tipo C com quatro expressões matriciais, as opções reaproveitam os mesmos coeficientes em posições diferentes: em vez de procurar a que “parece certa”, traduza a primeira frase do texto numa linha e descarte as opções em que essa linha não está.

Os erros que mais derrubam

• Linha e coluna trocadas. $a_{23}$ está na linha 2, coluna 3. Se o texto define “$a_{ij}$ é a quantidade do produto $j$ no mês $i$”, a linha é o mês; ler ao contrário inverte a tabela inteira.
• Ordem “6” para uma matriz $2 \times 3$. A ordem é o par (linhas × colunas), não o número de entradas.
• Somar matrizes de ordens diferentes. Não existe; e mesmo com a mesma ordem, só faz sentido se as linhas e colunas representam as mesmas coisas.
• Multiplicar entrada a entrada. O produto combina a linha inteira de $A$ com a coluna inteira de $B$.
• Multiplicar sem olhar as ordens. Colunas do primeiro = linhas do segundo. $A_{4 \times 2} \cdot B_{4 \times 2}$ não existe; $A_{4 \times 2} \cdot B_{2 \times 5}$ existe e é $4 \times 5$; $B \cdot A$ não existe.
• Trocar a ordem dos fatores. $AB \neq BA$ em geral. Em $AX = B$, a incógnita fica à direita; a solução é $A^{-1}B$, não $BA^{-1}$.
• “Dividir por $A$”. Não há divisão de matrizes; há produto pela inversa, se ela existir.
• Inversa de matriz não quadrada, ou de quadrada com $ad - bc = 0$. Só matrizes quadradas podem ter inversa, e só as de determinante não nulo têm.
• Forma matricial com coluna desencontrada. Fixe a ordem das incógnitas antes de escrever $A$; incógnita que falta numa equação entra com $0$ na sua coluna, não some.
• Ler a entrada certa pelo total errado. Numa matriz de fluxos “de $i$ para $j$”, a linha é o que saiu de $i$ e a coluna é o que chegou a $j$; a pergunta diz qual dos dois quer.

O essencial em meia página

• Matriz $A = (a_{ij})_{m \times n}$: $m$ linhas, $n$ colunas; $a_{ij}$ na linha $i$, coluna $j$. Tipos: linha, coluna, quadrada (diagonal principal $a_{ii}$), nula, identidade $I_n$ (1 na diagonal, 0 fora), diagonal, triangular.
• Igualdade: mesma ordem e entradas iguais casa a casa. Transposta $A^t$: linhas viram colunas, $(A^t)_{ij} = a_{ji}$; simétrica se $A^t = A$; $(AB)^t = B^t A^t$.
• Soma e escalar: entrada a entrada, mesma ordem; $kA$ multiplica todas as entradas por $k$.
• Produto: com $A$ de ordem $m \times n$ e $B$ de ordem $n \times p$, o produto $A \cdot B$ existe (o meio bate) e tem ordem $m \times p$; $c_{ij} = \sum_k a_{ik} b_{kj}$ (linha $i$ de $A$ sobre coluna $j$ de $B$). Quantidades × coluna de preços = coluna de totais. $AB \neq BA$ em geral; $AI = IA = A$.
• Forma matricial: $A \cdot X = B$, linha = equação, coluna = incógnita, ausente = 0. Ler uma forma impressa é escrever cada linha como frase.
• Inversa: $A A^{-1} = A^{-1} A = I$; $X = A^{-1} B$ (à esquerda). Caso $2 \times 2$: $A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$, só se $ad - bc \neq 0$ (determinante não nulo = inversível = sistema com solução única).
• Transformação: $M \cdot (x, y)^t$ move o ponto; $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ gira $90°$ anti-horário; a origem não sai do lugar; compor é multiplicar.
• Aplicações: adjacência de grafo (simétrica, soma da linha = grau, $M^2$ conta caminhos de 2 passos); imagem = matriz de pixels (0 preto, 255 branco); planilha e tabela de dupla entrada; fluxos “de $i$ para $j$” (linha = saiu, coluna = chegou).
• Na prova: olhe as ordens antes de multiplicar; confira o número e o significado da entrada; leia linha a linha a forma matricial; no tipo D, declare a ordem das incógnitas e a unidade.