Guia de estudo · Revisado em 04/10/2026
Uma loja cobra o mesmo por cada camisa e o mesmo por cada calça; Alberto pagou 160 reais por 3 camisas e 2 calças, e Junior, com 25 % de desconto em tudo, pagou 120 pelos mesmos 3 e 2. A prova do PAS 2 de 2020 afirmou que, com isso, é impossível descobrir o preço de qualquer das peças. Duas equações, duas incógnitas, e mesmo assim não dá? Quando um conjunto de frases numéricas determina as incógnitas, quando deixa infinitas respostas e quando se contradiz, e como se chega à resposta sem se perder quando há três letras?
Numa loja em que toda camisa custa o mesmo e toda calça custa o mesmo, Alberto levou 3 camisas e 2 calças por 160 reais. Junior levou as mesmas 3 camisas e 2 calças com um cupom de 25 % de desconto em tudo e pagou 120. A prova do PAS 2 de 2020 afirmou que, só com isso, “é impossível determinar o preço da camisa ou da calça”, e o gabarito foi certo. São duas equações e duas incógnitas, e mesmo assim as duas peças ficam sem preço. Em 2017, o mesmo exame deu três frases sobre o cerrado (35 % de 2 milhões de km² têm cobertura vegetal; as fisionomias florestal e savânica somam 500 000 km²; a campestre é o dobro da florestal) e afirmou que “não é possível determinar de maneira única” as três áreas: gabarito errado, porque as três frases determinam tudo. Mesmo número de letras e de equações nos dois casos, respostas opostas. O que faz um conjunto de frases numéricas determinar as incógnitas, deixá-las em aberto ou se contradizer, e como se chega à resposta sem se perder quando as letras são três?
Esta página responde em três movimentos. Primeiro, o que é uma equação linear e o que significa resolver várias ao mesmo tempo, com os dois métodos do caso de duas incógnitas e a sua leitura como duas retas. Depois, o escalonamento, o método que resolve três (ou mais) incógnitas eliminando uma de cada vez, e a classificação em determinado, indeterminado e impossível, que é o que a banca mais cobra. Por fim, a habilidade que está em quase todos os itens reais: montar o sistema a partir de um texto ou de uma tabela, inclusive quando o enunciado disfarça um sistema de preços, de áreas, de consumo ou de uma parábola por três pontos. Matrizes como objeto, determinantes e a regra de Cramer ficam nas páginas de matrizes e de determinantes; a física do circuito que virou sistema na prova de 2025 está na página das leis de Kirchhoff; desta página é só a álgebra.
Um ingresso inteiro custa reais e a meia-entrada custa . “Duas inteiras e três meias deram 95 reais” vira . A frase é uma equação linear: as incógnitas aparecem multiplicadas por números e somadas, nada mais. Não há , não há , não há nem . O par a satisfaz (), e também (), e também. Uma equação com duas incógnitas tem infinitas soluções, uma para cada valor que se escolha para ; é por isso que uma frase só não fecha o preço de nada.
Acrescente a segunda frase: “uma inteira e uma meia deram 40 reais”, . Agora o par tem de servir às duas ao mesmo tempo. serve à primeira e falha na segunda (); serve às duas. Esse par é a solução do sistema.
Uma equação linear nas incógnitas é uma igualdade da forma , com os coeficientes e o termo independente conhecidos. Um sistema linear é um conjunto de equações lineares nas mesmas incógnitas. Uma solução do sistema é uma lista de valores que torna todas as equações verdadeiras ao mesmo tempo. Resolver o sistema é encontrar todas as soluções; conferir uma solução é substituí-la em cada equação e ver se cada igualdade fecha. A conferência não depende do caminho que levou até ela, e por isso é a última linha de toda resolução nesta página.
Dois detalhes de leitura. Coeficiente negativo e coeficiente fracionário não tiram a linearidade: é linear. Incógnita que não aparece numa equação está lá com coeficiente zero: em , o existe e vale ; isso importa na hora de alinhar as equações em colunas. E a ordem das incógnitas é escolha de quem escreve, mas, uma vez escolhida, precisa ser a mesma em todas as linhas.
Há dois caminhos, e os dois servem para qualquer sistema . A escolha é de conveniência: substituição quando uma equação já isola (ou isola fácil) uma incógnita; adição quando os coeficientes de uma incógnita são iguais ou opostos nas duas equações, ou podem ficar assim com uma multiplicação.
Substituição, no sistema dos ingressos. De , . Na outra: , isto é, , logo e . Então . Conferência nas duas: e .
Adição, num sistema em que ela é natural. e . Os coeficientes de são e : somando as duas equações membro a membro, o desaparece: , . Na primeira, , . Conferência na segunda: .
Adição com preparo. Em e nenhum coeficiente cancela de imediato. Multiplique a primeira por 4 e a segunda por 3 (cada equação inteira, os dois lados): e . Somando, , ; voltando, , . Conferência: .
O primeiro é multiplicar só um lado da equação: vezes 4 é , não . O segundo é somar com sinal trocado: ao somar com , o cancela porque ; se as equações fossem e , somar não cancelaria nada (), e o movimento certo seria subtrair, . O terceiro é esquecer de voltar: achar e marcar a resposta sem calcular , ou calcular numa equação copiada errada. A defesa contra os três é a mesma: conferir o par final nas duas equações originais.
O item do PAS 2 de 2009 fez isso com números grandes. A estatal exportaria bilhões de barris de um campo a 100 dólares o barril e bilhões de outro a 82 dólares, num total de 96,5 bilhões de barris e 9,587 trilhões de dólares; o item afirmou que seriam exportados “mais de 90 bilhões de barris” do primeiro campo. Escolhendo as unidades antes de escrever (barris em bilhões, dinheiro em bilhões de dólares, para que seja “bilhões de dólares”): e . Substituição: ; ; ; . Certo. Quem esquece de alinhar as unidades escreve e recebe um número sem sentido.
Cada equação linear em e é a equação de uma reta. Resolver o sistema é procurar os pontos que estão nas duas retas ao mesmo tempo, e duas retas no plano só têm três posições possíveis: cruzam-se num ponto, coincidem ou são paralelas distintas. Cada posição é um tipo de sistema.
Para e , com coeficientes não nulos:
“Possível” quer dizer “tem pelo menos uma solução”; “determinado” quer dizer “só uma”. Um sistema indeterminado é possível: ele tem solução, tem até demais.
Os ingressos são o primeiro caso: , as retas se cruzam em . A loja de 2020 é o segundo: para Alberto e, para Junior, com 25 % de desconto em cada peça, , isto é, . Divida a segunda por : . É a primeira outra vez. Junior não trouxe informação nova, só a mesma conta com desconto; as duas “retas” são uma, e qualquer par sobre ela (camisa 40 e calça 20, camisa 20 e calça 50, camisa 50 e calça 5) serve. Certo: é impossível determinar os preços. O terceiro caso é o que o enunciado produz quando se contradiz: e exigem que valha e ao mesmo tempo.
Um item de trigonometria do PAS 2 de 2022 usou o cruzamento de passagem: a profundidade de uma poça era dada em cada ponto por centímetros, e o item afirmou que, no ponto que está sobre as retas e ao mesmo tempo, a profundidade é 3 cm. O ponto comum é a solução do sistema: , , , . Nele, , , e a profundidade é cm. Certo. O sistema era o degrau, não o assunto, e é assim que ele aparece na maioria das provas: dentro de outro problema.
Nos itens reais quase nunca vem um sistema pronto. Vem um texto com três ou quatro frases numéricas, e o trabalho começa antes de qualquer conta: dar nome às incógnitas, com unidade, e transformar cada frase numa equação. Esse é o passo em que a maioria dos erros acontece, e ele tem regras.
Exemplo resolvido 1: as três fisionomias do cerrado (PAS 2 2017, itens 79, 80 e 81). O texto-base informava que o cerrado tem 2 milhões de km², dos quais 35 % estão cobertos pelas três fisionomias (campestre, savânica e florestal); que a soma das áreas florestal e savânica é 500 000 km²; e que a área campestre é o dobro da florestal. Com , e as áreas florestal, savânica e campestre, em km²:
A primeira é de , e o item 79 afirmava exatamente : é a montagem, certo. Para resolver, a segunda equação já está dentro da primeira: , logo ; da terceira, ; da segunda, . Conferência na primeira: mil. O item 80 afirmava que a campestre é o dobro da savânica: , errado. O item 81 afirmava que não dá para determinar as áreas de maneira única: acabamos de determinar as três, errado. Três itens, uma montagem, e nenhuma conta difícil; o item que mais derruba é o 81, porque quem não resolve até o fim fica na dúvida de “três frases bastam?”. Bastaram porque nenhuma era consequência das outras.
Exemplo resolvido 2: os abacaxis da cesta (PAS 2 2023, item 12). Numa cesta há abacaxis dos tipos pérola, havaiano e rainha; metade é do tipo pérola; os havaianos são o dobro dos rainha; há quatro pérola a mais que rainha. A afirmação: o total passa de 10. Com , , e o total : , , . A outra metade da cesta é , e metade é ; logo . Com : , , , , . Certo, . Conferência: metade de 12 é 6 pérola; ; . Repare que a frase “metade dos abacaxis” introduz uma quarta letra, , que é a soma das outras três: o sistema parece ter mais incógnitas do que equações, mas não é independente.
Exemplo resolvido 3: o orçamento da dengue, com uma desigualdade (PAS 2 2014, itens 86 e 87). Um município gastou 500 mil reais em prevenção (), atendimento ambulatorial () e internações (), e o gasto com internações foi o triplo do gasto com prevenção mais o gasto ambulatorial. Duas equações para três incógnitas: e (em milhares de reais). Não dá para achar os três valores, e a banca sabe: o item 86 acrescentou “pelo menos 50 mil em e pelo menos 50 mil em ” e afirmou que pelo menos 40 % do total foi para internações. Da segunda equação, , e é exatamente de . Certo. O item 87 trocou a desigualdade por uma terceira equação, , e afirmou que passa de 73 mil. Como pela segunda equação, , . Errado. (Os outros valores, para quem quiser fechar o sistema: e dão , , ; conferência: .) O terceiro item do bloco, tipo D, pediu só a escrita do sistema na forma matricial, que é a seção de notação mais abaixo. Dois ensinamentos: um sistema com menos equações do que incógnitas ainda responde perguntas (uma relação, um mínimo), e uma frase a mais pode ser uma equação ou uma desigualdade.
Em “a quantidade de europeus era igual ao dobro da quantidade de africanos”, a equação é : o maior é o que recebe o “igual a”. Escrever inverte os papéis e troca a resposta. “A quantidade de indígenas era inferior à de europeus, sendo a diferença igual a 40” é , isto é, . E “metade de” multiplica por a quantidade de que se fala: “metade dos abacaxis é pérola” é , não . Leia a frase duas vezes, identifique quem é o maior e substitua um número de teste: se africanos, “o dobro” dá europeus; a equação que você escreveu produz isso?
O bloco do PAS 2 de 2022 cobrou exatamente essa leitura. Uma comunidade de 300 pessoas em 1600 tinha europeus em dobro dos africanos e indígenas 40 a menos que os europeus: , , . Substituindo e na primeira: , , , . O item 94 afirmou que os indígenas eram menos que os africanos: , errado. Conferência: e .
Com três letras, “substituir” ainda funciona, mas vira uma floresta de parênteses. O método que organiza o trabalho é o escalonamento (ou eliminação de Gauss): usar uma equação para eliminar uma incógnita das outras, depois usar uma das restantes para eliminar uma segunda incógnita da última, até restar uma única equação numa só incógnita. O sistema fica em forma de escada, e a escada se desce de baixo para cima.
Três operações transformam um sistema em outro com as mesmas soluções (são as únicas de que o método precisa):
Nenhuma delas perde ou inventa solução, porque cada uma pode ser desfeita (a terceira, somando de volta). Um sistema está escalonado quando cada equação começa numa incógnita mais à direita do que a equação anterior: a primeira tem , e ; a segunda começa em ; a terceira só tem . O primeiro coeficiente não nulo de cada linha é o pivô. Da escada, resolve-se por substituição regressiva: a última equação dá ; a do meio, com conhecido, dá ; a primeira dá .
Exemplo resolvido 4: um 3×3 do começo ao fim.
Passo 1, eliminar das linhas 2 e 3 usando . : , isto é, . : . O sistema agora é ; ; .
Passo 2, eliminar da linha 3 usando a nova . Os coeficientes de são e : dá . Escada pronta: ; ; .
Passo 3, descer a escada. . Na do meio: , . Na primeira: , .
Passo 4, conferir numa equação original que não foi usada no fecho. : . Fecha. (E : .) Solução única: , sistema possível e determinado.
Três hábitos tornam o método seguro. Escolha o pivô mais cômodo: se alguma equação tem coeficiente 1 numa incógnita, ponha-a em cima e elimine essa incógnita; evita frações. Escreva a operação ao lado da linha (), porque o erro mais comum é aplicar a combinação a dois termos e esquecer o terceiro, ou o termo independente. Simplifique a linha nova quando todos os coeficientes tiverem fator comum: pode virar (operação 2), e a conta seguinte fica menor.
Exemplo resolvido 5: o depósito de carvão, com um parâmetro que vira número (PAS 2 2015, itens 99 e 100). Três negociações: na primeira, três caminhões de cerâmica mais 4 t de concreto mais 5 placas metálicas custaram 148 mil reais; na segunda, 2 caminhões, 7 t e 2 placas custaram 166 mil; na terceira, 4 caminhões e 7 placas, com toneladas de concreto devolvidas e abatidas do total, custaram 68 mil. Com , , os preços, em milhares de reais, do caminhão, da tonelada e da placa, o sistema é , e . O item 99 afirmou que “ é uma das equações do sistema”: o total da primeira negociação é 148, não 166; errado sem conta nenhuma, e é um item de leitura, não de álgebra. O item 100 fixou e perguntou o preço do caminhão entre quatro opções (10, 11, 12 ou 15 mil).
Escalonamento. Nenhum coeficiente de é 1; use como pivô mesmo assim, eliminando por combinações inteiras: : , isto é, . : , isto é, . Da última, ; na anterior, , , , . Então e, em , , . Conferência em : ; em : . Caminhão: 12 mil reais, opção C. O item 98 do mesmo bloco perguntou se o sistema é determinado para todo ; a resposta passa pelo determinante e está na página de determinantes.
Exemplo resolvido 6: o consumo dos aparelhos, com decimais (PAS 2 2008, item 88). Uma tabela deu as horas de uso de ferro elétrico, micro-ondas e máquina de lavar em três meses e o consumo total de cada mês: abril, 8 h, 5 h, 10 h e 18 kWh; maio, 4 h, 10 h, 15 h e 17 kWh; junho, 2 h, 0 h, 10 h e 5 kWh. Com , , os consumos por hora, em kWh, de cada aparelho: , , . O item afirmou que o ferro consome 1,6 kWh por hora. A terceira equação é a mais magra (não tem ): . Na primeira: , logo , . Na segunda: , , . Então e . O ferro consome 1,5 kWh por hora, não 1,6: errado. Conferência: ; ; . A banca escolheu 1,6 porque está perto de 1,5: um sistema não se julga por estimativa, resolve-se até o fim.
O sistema que a prova do PAS 3 de 2025 imprimiu, vindo de um circuito com duas fontes e cinco resistores, é , e . O caminho é o mesmo: a segunda equação isola , as outras duas viram um em e , e a solução é , , . O item 82 afirmou que passa de 5: errado. A montagem dessas equações a partir do circuito e a resolução completa, inclusive por Cramer, estão na página das leis de Kirchhoff; aqui o que importa é que a banca pode entregar o sistema pronto e pedir só a álgebra.
O método de eliminar incógnitas combinando linhas aparece no capítulo oitavo dos Nove capítulos sobre a arte matemática, um tratado chinês compilado por volta do século I, em problemas sobre colheitas de três qualidades de cereal. Os coeficientes eram dispostos em colunas numa tábua de contar e eliminados com as mesmas operações desta página. O nome “eliminação de Gauss” é do século XIX, quando Carl Friedrich Gauss usou o procedimento, de forma sistemática, para ajustar órbitas e medições geodésicas com muitas equações. O método é antigo porque é inevitável: dada uma tabela de equações, não há maneira mais econômica de eliminar incógnitas uma a uma.
Um sistema escalonado tem uma propriedade que vale notar: só os coeficientes e os termos independentes mudam durante o processo. As letras , , ficam no mesmo lugar o tempo todo. Por isso é cômodo escrever só a tabela dos coeficientes, uma linha por equação e uma coluna por incógnita, e deixar as letras numa coluna à parte.
O sistema , , escreve-se
é a matriz dos coeficientes (linha = equação ; coluna = incógnita ; incógnita ausente entra com ), é a coluna das incógnitas e a coluna dos termos independentes. A regra de leitura é “cada linha de deitada sobre a coluna reproduz o lado esquerdo da equação”. A matriz ampliada cola como última coluna de e é a forma em que o escalonamento se faz com menos escrita: as operações elementares agem nas linhas inteiras, inclusive na coluna de .
Nesta página a escrita matricial é só isso, uma notação. O que uma matriz é como objeto, como se multiplica e o que significa cada entrada de um produto estão na página de matrizes; o número que decide, a partir de , se o sistema é determinado (o determinante) e a fórmula que dá cada incógnita por uma razão de determinantes (a regra de Cramer) estão na página de determinantes. Mas a banca cobra a escrita por si mesma. Em 2014, o item D pediu “escreva, na forma matricial, um sistema linear que envolva as variáveis , e ”: com as duas frases do texto, e ,
Duas equações, duas linhas; três incógnitas, três colunas; a segunda frase, , teve de ser arrumada como antes de virar linha. E em 2022 o item tipo C deu quatro escritas matriciais do sistema da comunidade e pediu a certa: com , e , a matriz tem linhas , e e coluna . As outras três opções traziam os mesmos números embaralhados; quem lê cada linha como uma frase (“um , um , um dão 300”) elimina as erradas sem conta.
A loja de 2020 e o cerrado de 2017 têm a mesma pergunta por trás: quantas das equações são informação nova? O escalonamento responde sozinho, porque ele descobre as repetições e as contradições ao tentar eliminar.
Escalone o sistema até o fim. Três coisas podem acontecer:
Uma equação que é soma, diferença ou múltiplo de outras é combinação linear delas e não acrescenta informação: acrescentá-la a um sistema não muda o conjunto solução; usá-la no lugar de uma equação independente deixa o sistema com uma informação a menos.
O indeterminado disfarçado. O sistema de Junior e Alberto, e , escalona-se em um passo: dá . Sobrou uma equação para duas incógnitas: é livre, , infinitas soluções. O disfarce estava no desconto: vezes a primeira equação é a segunda, mas isso só aparece quando se faz a divisão. Antes de escalonar um sistema com “ equações e incógnitas”, olhe se alguma linha é múltiplo de outra; na prova, o múltiplo costuma vir maquiado de porcentagem, de troca de unidade (litros numa equação, mililitros na outra) ou de “o mesmo pedido, numa segunda loja, com todos os preços dobrados”.
O impossível por contradição. Troque, no mesmo cenário, o pagamento de Junior por 130 reais com os 25 % de desconto: . Então exige , e a primeira equação diz . Linha : impossível. Nenhum par de preços satisfaz as duas compras; o texto se contradisse.
A quarta equação que não muda nada. Em 2025, a prova deu o sistema do circuito e acrescentou uma quarta equação, , obtida somando a primeira com a segunda; o item 84 afirmou que o sistema de quatro equações tem a mesma solução que o de três. Certo: toda solução das duas primeiras satisfaz automaticamente a soma delas, e o sistema ampliado não exclui nem ganha solução nenhuma. É a regra das operações elementares julgada como afirmação. O inverso também se cobra: se a quarta equação fosse (a mesma combinação com outro termo independente), o sistema ficaria impossível, porque a soma das duas primeiras já obriga aquele lado esquerdo a valer 1.
Quando o sistema a julgar não está impresso. O caderno do PAS 3 de 2025 trouxe um item que supunha dois pares ordenados distintos, e , soluções de um “sistema a seguir” com , e reais, e afirmava que seria também uma equação da reta do texto-base (); o sistema a que o enunciado se referia não foi impresso, e o item foi anulado. Fica a ideia por trás dele, que é desta página: se dois pontos distintos e satisfazem a mesma equação linear , então a reta dessa equação passa pelos dois, e, como dois pontos determinam uma reta, ela é a reta por eles. Duas soluções de uma equação linear em duas incógnitas são sempre dois pontos de uma mesma reta.
Um sistema com duas equações e três incógnitas pode ser indeterminado (o orçamento da dengue: infinitas distribuições de , e ) ou impossível (se as duas equações se contradisserem); o que ele não pode ser é determinado. Um sistema com três equações e três incógnitas pode ser qualquer um dos três: determinado (o cerrado), indeterminado (se uma equação repetir as outras) ou impossível (se contradisser). O número de equações diz quantas frases há; o escalonamento diz quantas delas são informação. O item 81 de 2017 e o item 95 de 2020 vivem dessa confusão, em sentidos opostos.
Dois casos que merecem menção, sem desenvolvimento aqui. Um sistema homogêneo (todos os termos independentes iguais a zero) nunca é impossível: a solução sempre serve, e a única pergunta é se há outras, o que o determinante decide, na página de determinantes. E a classificação pelos postos (número de pivôs de comparado com o de ) é a mesma regra desta seção com outro vocabulário; o nome não é cobrado, a ideia é.
Uma tabela numérica é um sistema esperando por incógnitas. A conversão tem uma pergunta central: qual direção da tabela vira equação? A resposta vem do que se soma. Se os totais conhecidos estão por linha, cada linha é uma equação; se estão por coluna, cada coluna é.
Exemplo resolvido 7: as armas de Londres (PAS 2 2012, itens 108 e 109). A polícia reaproveitou revólveres, pistolas e carabinas e obteve 8,8 t de fibra de carbono, 13,5 t de titânio e 43,3 t de aço. A tabela dá, em gramas por arma: revólver, 100 de fibra, 200 de titânio, 300 de aço; pistola, 100, 100 e 700; carabina, 200, 300 e 1 100. O item 108 afirmou que sete carabinas rendem o mesmo aço que quatro revólveres e nove pistolas: gramas contra . Errado, e é só leitura da tabela. O item 109 afirmou que foram confiscadas 36 mil pistolas. Aqui os totais conhecidos são por material, então cada coluna é uma equação, e as incógnitas são as quantidades , , de cada arma. Em gramas:
Divida tudo por 100 (operação 2 em cada linha): ; ; . : . : . Da primeira, ; na última, , ; então e . Certo. Conferência no titânio: milhões de gramas. As unidades decidiram a conta: toneladas viraram gramas antes da primeira linha.
Exemplo resolvido 8: os pacotes de café, arroz e açúcar (PAS 2 2013, item 107). A tabela registra pacotes comprados por mês: janeiro, 3 de café, 2 de arroz, 1 de açúcar; fevereiro, 2, 1 e 0; março, 2, 1 e 1. O item: se os preços não mudaram e o consumidor gastou 43, 22 e 27 reais nos três meses, então, segundo a afirmação a julgar, o café seria o mais barato dos três produtos, a 5 reais o pacote. Aqui os totais são por mês, isto é, por linha: com , e os preços, , , . A terceira menos a segunda dá na hora. Da segunda, ; na primeira, , , . Café 6, arroz 10, açúcar 5. O mais barato é o açúcar, e o café não custa 5: errado, duas vezes. Conferência em março: . O item planta o 5 (que é um preço de verdade, o do açúcar) na frente da palavra “café”; quem resolve até o fim não cai.
A nota fiscal de uma compra com vários produtos é uma equação; várias notas com os mesmos produtos, um sistema que recupera os preços unitários. O balanceamento de uma equação química (na síntese da amônia, , o nitrogênio dá e o hidrogênio dá ) é um sistema homogêneo nos coeficientes, uma equação por elemento, indeterminado de propósito: todas as proporções múltiplas servem, e escolhe-se a menor inteira (). O receptor de GPS resolve, a cada segundo, um sistema em que as incógnitas são as três coordenadas e o erro do relógio, uma equação por satélite. A mistura de rações, a dieta hospitalar, a tabela de horários de uma escola e as correntes de um circuito são a mesma álgebra com outros nomes nas colunas.
Uma parábola tem três coeficientes. Se ela passa por três pontos conhecidos, cada ponto dá uma equação linear em , e , porque e são números: o ponto dá ; o ponto dá . O que era quadrático em é linear nas incógnitas certas.
Foi o bloco do PAS 2 de 2021. O texto deu três pontos distintos , , , com , e disse ser possível determinar , , com . O item 58 afirmou que as constantes são a solução do sistema, nas variáveis , , ,
Certo: é exatamente com ; o enunciado só trocou os nomes das incógnitas para ver se o candidato reconhecia a estrutura. O item 60, tipo C, deu os pontos , e e pediu entre , , e . As equações: , , . Somando a primeira com a terceira, , logo ; subtraindo, , . . Conferência: e ; . Por eliminação direta também sai: o ponto obriga , o que descarta duas opções, e decide entre as outras duas.
Por que três pontos bastam, e quando não bastam? Se duas abscissas coincidem (dois pontos na mesma vertical), as equações correspondentes têm os mesmos coeficientes e termos independentes diferentes: o sistema é impossível, e de fato nenhuma função passa por dois pontos de mesma abscissa. Com as três abscissas distintas, o sistema é sempre determinado; a prova disso é o determinante da matriz dos coeficientes, que o item 59 do mesmo bloco cobrou e que a página de determinantes desenvolve. Aqui basta o escalonamento: subtraindo a primeira equação das outras duas, o some, sobra um em e , e o fator que aparece pode ser dividido porque não é zero.
Alguns itens deixam um coeficiente em aberto, uma letra (ou , ou ), e perguntam para quais valores o sistema é determinado, indeterminado ou impossível. No caso , a resposta é a comparação das razões da seção das duas retas; no , é o escalonamento feito com dentro.
Exemplo resolvido 9. Para que valores de o sistema , é determinado, indeterminado ou impossível? Razões: e . Elas são diferentes sempre que , isto é, : determinado. Em , a segunda equação é , e a primeira multiplicada por 2 é : lados esquerdos iguais, direitos diferentes, impossível. Não há valor de que torne o sistema indeterminado, porque para isso seria preciso também igual a , o que não acontece. Se o termo independente da segunda fosse 10, daria o indeterminado. Conferência pelo escalonamento: dá ; com , e o sistema é determinado; com , a linha vira .
Exemplo resolvido 10, com três incógnitas. ; ; . : . : . : . Se : , , , determinado (conferência: e ). Se : a linha é , fica livre, , , infinitas soluções, como , , . Não há que torne este sistema impossível, porque o termo independente da linha final é para qualquer ; bastaria trocar o por para que desse .
O método geral para o parâmetro é um só: escalone com a letra, chegue à última linha na forma e leia. Coeficiente diferente de zero: determinado. Coeficiente zero e lado direito zero: indeterminado. Coeficiente zero e lado direito diferente de zero: impossível. O item 98 de 2015 (“independentemente do valor positivo de , o sistema será sempre possível e determinado”) é essa leitura no depósito de carvão, e a página de determinantes a faz pelo caminho mais curto.
Os vinte e três itens reais desta página (vinte e um do PAS 2 e os dois de 2025 do PAS 3 que ela reusa) cabem em cinco formatos, com uma exceção que é só leitura de tabela (2012/108, E: sete carabinas não rendem o aço de quatro revólveres e nove pistolas).
E o formato que a 3.ª etapa reserva ao assunto: o tipo B, resposta numérica de três dígitos. O enunciado manda calcular uma incógnita, ou uma soma de incógnitas, e às vezes multiplicar por 10 ou por 100 antes de marcar. O cuidado é duplo: a solução precisa ser exata (uma fração mal arredondada muda o dígito) e a instrução final (“despreze a parte fracionária”) só se aplica depois de todas as operações.
Não foi possível consultar o banco de questões. O conteúdo da aula continua disponível.
Não foi possível consultar os cartões de revisão.
Os materiais abaixo contribuíram para a explicação e os exemplos deste assunto.
Recorte por assunto: equação linear, sistemas 2×2 e 3×3, escalonamento, classificação, montagem a partir de texto e tabela, parâmetro e parábola por três pontos. Fora: matrizes como objeto e produto (matematica/matrizes), determinantes, Cramer e sistemas homogêneos com det (matematica/determinantes), a física do circuito (fisica/leis-de-kirchhoff), transformações do plano. O capítulo foi fonte de fatos, de recorte e de itens reais; abertura, exemplos, números, figuras e ordem desta página são próprios. Correção feita no livro em 4/10/2026: o caderno do PAS 2 de 2016 traz os números 57, 58 e 59 impressos (conferido na imagem); só a extração de texto os perdeu — o livro dizia que o caderno 'saiu sem os números dos itens'.
O capítulo de Matemática 1 do PAS 2 é de trigonometria; os itens de sistemas lineares da 2.ª etapa estão reproduzidos no p2-mat.tex do PAS 3, de onde foram tomados.
Mapa vinculante; o item 2021/60 (parábola por três pontos com números, tipo C) não constava do mapa e foi acrescentado aqui por pertencer ao mesmo texto-base de 2021/58.
Itens reproduzidos verbatim; gabaritos lidos nos GAB oficiais (2008/88 E, 2009/111 C, 2012/108 E, 2012/109 C, 2013/107 E, 2014/86 C, 2014/87 E, 2015/99 E, 2015/100 C, 2016/57 C, 2016/58 E, 2016/59 C, 2017/79 C, 2017/80 E, 2017/81 E, 2020/95 C, 2020/96 C, 2021/58 C, 2021/60 B, 2022/94 E, 2023/12 C) e conferidos em classificacao-pas2/AAAA.json.
Páginas abertas a 200 dpi; todas as tabelas, matrizes e números usados na teoria e nas questões foram lidos na imagem.