Determinantes

A prova do PAS 3 de 2025 trouxe, impressa no texto-base, a matriz $3 \times 3$ dos coeficientes de um circuito elétrico e, no único item de resposta numérica do bloco, mandou calcular o determinante de $2A$. Quem fez a conta de $\det A$ chegou a 39; quem dobrou e marcou 78 errou, e quem respondeu 312 acertou, porque dobrar uma matriz de ordem 3 multiplica o determinante por $2^3 = 8$. Dois anos antes, a 2.ª etapa tinha dado uma matriz $2 \times 2$ com temperaturas da Amazônia, fixado o determinante em $-\frac{1}{2}$ e afirmado que a entrada desconhecida era menor que 3; a conta dá 3,75, e o item era errado. Em 2013, a mesma etapa afirmou que a matriz de compras de uma família “é inversível”, e em 2021, que o determinante de uma matriz feita com três abscissas distintas “é não nulo”. Quatro provas, quatro perguntas sobre o mesmo número. O que é o determinante de uma matriz quadrada, por que ele mede uma área, decide se um sistema tem solução única, fornece essa solução por uma razão de determinantes e se multiplica por 8 quando a matriz dobra?

Esta página responde em cinco movimentos. Primeiro, o determinante $2 \times 2$, $ad - bc$, lido como área de um paralelogramo com sinal, que é a origem de todas as propriedades. Depois, o $3 \times 3$ por duas receitas, Sarrus e cofatores, e as propriedades que permitem calcular sem calcular. Em seguida, as duas aplicações centrais: a matriz inversível (determinante diferente de zero) e a regra de Cramer, com a classificação de um sistema pelo determinante, inclusive quando há um parâmetro ou quando o sistema é homogêneo. Por fim, duas leituras geométricas que a prova cobra como álgebra: o determinante de Vandermonde, que explica por que três pontos determinam uma parábola, e o determinante com coordenadas, que decide se três pontos estão alinhados e mede a área do triângulo. As operações com matrizes e a inversa como objeto estão na página de matrizes; o escalonamento e a montagem de sistemas a partir de texto, na página de sistemas lineares; a matriz que gira e deforma figuras, na página de transformações no plano, onde o determinante reaparece como fator de área.

Quatro números viram um só: ad − bc é uma área com sinal

Uma matriz $2 \times 2$ guarda duas linhas, e a primeira pergunta que se faz a ela é se as duas linhas dizem coisas diferentes. Em $\begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 8 & 2 \end{pmatrix}$ não dizem: a segunda é o dobro da primeira, e quem conhece uma conhece a outra. Em $\begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ dizem. O teste algébrico é curto: as linhas $(a, b)$ e $(c, d)$ são proporcionais exatamente quando $\frac{a}{c} = \frac{b}{d}$, isto é, quando $ad = bc$, ou ainda quando $ad - bc = 0$. Esse número, $ad - bc$, “produto da diagonal que desce menos produto da diagonal que sobe”, é o determinante da matriz. Na segunda matriz ele vale $4 \cdot 3 - 1 \cdot 1 = 11$; na primeira, $4 \cdot 2 - 1 \cdot 8 = 0$.

O que o número mede quando não é zero aparece no desenho. Marque $(4, 1)$ e $(1, 3)$ como vetores a partir da origem e feche o paralelogramo; o quarto vértice é $(5, 4)$. O retângulo de $5$ por $4$ que o envolve tem área $20$, e dele ficam de fora do paralelogramo dois triângulos de catetos $4$ e $1$ (área $2$ cada), dois triângulos de catetos $1$ e $3$ (área $1{,}5$ cada) e dois quadradinhos de lado $1$ (área $1$ cada): $20 - 4 - 3 - 2 = 11$. Com letras, a mesma conta dá $(a + c)(b + d) - ab - cd - 2bc = ad - bc$. O determinante é a área do paralelogramo das duas linhas, e as linhas proporcionais são o caso em que o paralelogramo se achata num segmento.

Três consequências já aparecem no caso $2 \times 2$ e se repetem em toda ordem. Se as duas linhas são proporcionais, os vetores estão na mesma reta, não há paralelogramo e o determinante é zero, como em $(4, 1)$ e $(8, 2)$. Se as linhas são trocadas de lugar, a área é a mesma, mas a orientação inverte: $\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 4 & 1 \end{vmatrix} = 1 - 12 = -11$. E se uma linha é multiplicada por um número, a área é multiplicada pelo mesmo número: $\begin{vmatrix} 8 & 2 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = 24 - 2 = 22$, o dobro de 11. Guarde as três; elas são as propriedades da seção adiante, vistas no desenho.

O determinante de ordem 1 é o próprio número, $\det (a) = a$, e isso ajuda a ler a fórmula de ordem 2 como uma regra: $a$ vezes o que sobra quando se risca a linha e a coluna de $a$ (o número $d$), menos $b$ vezes o que sobra quando se risca a linha e a coluna de $b$ (o número $c$). É essa leitura, não a das diagonais, que se generaliza para a ordem 3 e além.

Exemplo resolvido 1. A matriz $\begin{pmatrix} 1{,}1 & 1{,}6 \\ x & 5 \end{pmatrix}$ tem determinante $-\frac{1}{2}$. Quanto vale $x$? Pela fórmula, $1{,}1 \cdot 5 - 1{,}6 \cdot x = -0{,}5$, isto é, $5{,}5 - 1{,}6x = -0{,}5$, logo $1{,}6x = 6$ e $x = 3{,}75$. Conferência: $5{,}5 - 1{,}6 \cdot 3{,}75 = 5{,}5 - 6 = -0{,}5$. Foi o item 61 do PAS 2 de 2023, que afirmava “$x$ será inferior a 3”: errado. O molde é o mais simples do assunto, uma equação do primeiro grau escondida num determinante, e o cuidado é de sinal: $-bc$ com $b = 1{,}6$ e $c = x$ dá $-1{,}6x$, e o $-\frac{1}{2}$ fica do outro lado da igualdade.

Três por três: Sarrus, as seis diagonais

Para ordem 3 a fórmula tem seis parcelas, três com sinal positivo e três com sinal negativo, e a regra de Sarrus é só um jeito de enxergá-las. Copie as duas primeiras colunas à direita da matriz. As três diagonais que descem da esquerda para a direita dão as parcelas positivas; as três que sobem, as negativas.

Exemplo resolvido 2. $M = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 0 & 4 & 1 \\ 5 & 2 & 1 \end{pmatrix}$. Diagonais que descem: $2 \cdot 4 \cdot 1 = 8$, $1 \cdot 1 \cdot 5 = 5$, $3 \cdot 0 \cdot 2 = 0$; soma 13. Diagonais que sobem: $3 \cdot 4 \cdot 5 = 60$, $2 \cdot 1 \cdot 2 = 4$, $1 \cdot 0 \cdot 1 = 0$; soma 64. $\det M = 13 - 64 = -51$. Um determinante negativo é tão comum quanto um positivo; o sinal só diz a orientação das três linhas como vetores do espaço. A conferência vem na próxima seção, por outro caminho.

Dois hábitos evitam a maior parte dos erros de Sarrus. Escreva as seis parcelas antes de somar, cada uma com seu sinal, em vez de tentar fazer tudo de cabeça: uma troca de sinal numa parcela muda o resultado inteiro. E procure zeros: cada zero numa linha ou coluna anula duas das seis parcelas, e uma matriz com uma linha de zeros nem precisa de conta.

Laplace: o determinante por cofatores, para qualquer ordem

A regra de Sarrus é um atalho para a ordem 3. O método geral, que vale para toda ordem e explica a fórmula de ordem 2, é o desenvolvimento de Laplace: escolha uma linha (ou coluna) e some cada elemento dela multiplicado pelo seu cofator.

Exemplo resolvido 3: a mesma matriz $M$ por Laplace. A primeira coluna de $M$ tem um zero, então o desenvolvimento por ela tem só duas parcelas. $\det M = 2 \cdot C_{11} + 0 \cdot C_{21} + 5 \cdot C_{31}$. O menor $M_{11}$ risca a linha 1 e a coluna 1: $\begin{vmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 4 - 2 = 2$, e o sinal da posição $(1, 1)$ é $+$, logo $C_{11} = 2$. O menor $M_{31}$ risca a linha 3 e a coluna 1: $\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 4 & 1 \end{vmatrix} = 1 - 12 = -11$; a posição $(3, 1)$ tem sinal $(-1)^{4} = +$, logo $C_{31} = -11$. Então $\det M = 2 \cdot 2 + 5 \cdot (-11) = 4 - 55 = -51$. O mesmo valor de Sarrus, por um caminho independente: é assim que se confere um determinante $3 \times 3$ na prova.

Exemplo resolvido 4: uma ordem 4, onde Sarrus não serve. $N = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$. A primeira linha tem dois zeros: $\det N = 1 \cdot C_{11} + 2 \cdot C_{13}$. O menor $M_{11}$ é $\begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{vmatrix}$; pela terceira linha (dois zeros), vale $2 \cdot (+1)\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot 1 = 2$, e $C_{11} = +2$. O menor $M_{13}$ é $\begin{vmatrix} 3 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \end{vmatrix}$; pela segunda linha, $2 \cdot (+1)\begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 2 \cdot 5 = 10$, e a posição $(1, 3)$ tem sinal $+$, logo $C_{13} = 10$. $\det N = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 10 = 22$. Cada determinante de ordem 4 vira uma soma de determinantes de ordem 3, cada um deles uma soma de ordem 2; com zeros bem escolhidos, a conta fica curta.

As propriedades que calculam por você

Quase nenhum item de prova pede um determinante grande feito na força. Pede-se, em geral, que se reconheça o que acontece com o determinante quando a matriz é alterada de um jeito simples. Cada propriedade abaixo é uma conta que você não precisa fazer.

Cada uma dessas regras tem uma leitura geométrica no caso $2 \times 2$. Linhas proporcionais são vetores na mesma reta (área zero). Trocar as linhas inverte a orientação (sinal). Multiplicar uma linha por $k$ estica um lado do paralelogramo (área vezes $k$). Multiplicar a matriz inteira por $k$ estica os dois lados (área vezes $k^2$); em ordem 3, as três arestas de um paralelepípedo (volume vezes $k^3$). Somar a uma linha um múltiplo da outra desliza um lado paralelamente ao outro, o que não muda a altura nem a área.

Exemplo resolvido 5: três propriedades de uma vez. Calcule $\begin{vmatrix} 2 & 4 & 6 \\ 1 & 3 & 5 \\ 1 & 1 & 2 \end{vmatrix}$. A primeira linha tem fator comum 2 (propriedade 4): o determinante é $2 \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 5 \\ 1 & 1 & 2 \end{vmatrix}$. Agora subtraia a primeira linha das outras duas (propriedade 9, que não altera nada): $2 \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & -1 & -1 \end{vmatrix}$. Pela primeira coluna (Laplace com dois zeros): $2 \cdot 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -1 & -1 \end{vmatrix} = 2 \cdot (-1 + 2) = 2$. Conferência por Sarrus na matriz original: $2 \cdot 3 \cdot 2 + 4 \cdot 5 \cdot 1 + 6 \cdot 1 \cdot 1 - 6 \cdot 3 \cdot 1 - 2 \cdot 5 \cdot 1 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 12 + 20 + 6 - 18 - 10 - 8 = 2$. O caminho das propriedades é o mesmo do escalonamento: zerar a primeira coluna abaixo do pivô e reduzir a ordem.

Exemplo resolvido 6: o determinante que é zero sem conta. $\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix}$. As linhas são progressões aritméticas, e a terceira é $2 \cdot (4, 5, 6) - (1, 2, 3)$: combinação das outras duas. Subtraindo da terceira linha o dobro da segunda e somando a primeira (propriedade 9), ela vira $(0, 0, 0)$, e o determinante é zero pela propriedade 1. Sarrus confirma: $45 + 84 + 96 - 105 - 48 - 72 = 0$. Sempre que uma linha for soma, diferença ou múltiplo de outras, o determinante é zero, e isso é exatamente o que “as equações não são independentes” quer dizer na linguagem dos sistemas.

Exemplo resolvido 7: o item de resposta numérica de 2025, com outra matriz. Se $A$ é de ordem 3 e $\det A = 21$, quanto vale $\det(2A)$? Pela propriedade 5, $\det(2A) = 2^3 \cdot 21 = 168$. Se a matriz fosse de ordem 2, seria $2^2 \cdot 21 = 84$; de ordem 4, $2^4 \cdot 21 = 336$. E se só uma linha fosse dobrada, o determinante seria $42$, pela propriedade 4. O item 85 do PAS 3 de 2025 foi este molde com $\det A = 39$ e resposta 312; quem aplicou a propriedade 4 no lugar da 5 chegou a 78. Numa resposta numérica ninguém mostra as duas opções lado a lado, então a defesa tem de vir antes da conta: contar as linhas da matriz e multiplicar uma vez por linha.

Inversível ou não: o determinante responde

Uma matriz quadrada $A$ é inversível quando existe $A^{-1}$ com $A \cdot A^{-1} = I$. Aplicando a regra do produto a essa igualdade, $\det A \cdot \det A^{-1} = \det I = 1$. Logo, se a inversa existe, $\det A$ não pode ser zero (zero vezes qualquer coisa nunca dá 1), e $\det A^{-1} = \frac{1}{\det A}$. A recíproca também vale, e é a razão de ser do determinante nos itens de prova.

Exemplo resolvido 8. $A = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ tem $\det A = 11 \neq 0$, logo é inversível, e $A^{-1} = \frac{1}{11} \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -1 & 4 \end{pmatrix}$. Conferência: $A \cdot A^{-1} = \frac{1}{11} \begin{pmatrix} 12 - 1 & -4 + 4 \\ 3 - 3 & -1 + 12 \end{pmatrix} = \frac{1}{11} \begin{pmatrix} 11 & 0 \\ 0 & 11 \end{pmatrix} = I$. E $\det A^{-1} = \frac{1}{121}(12 - 1) = \frac{1}{11}$, como a regra manda. Já $B = \begin{pmatrix} 4 & 6 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$ tem $\det B = 12 - 12 = 0$: não é inversível, e a receita da adjunta pediria uma divisão por zero.

Exemplo resolvido 9: a matriz das compras (PAS 2 2013, item 108). O caderno trouxe uma tabela com os pacotes de café, arroz e açúcar comprados em três meses, $A = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix}$, e o item afirmou: “a matriz $A$ é inversível”. Pela terceira coluna, que tem um zero: $\det A = 1 \cdot C_{13} + 0 + 1 \cdot C_{33}$. $C_{13} = +\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 0$ (linhas iguais) e $C_{33} = +\begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 3 - 4 = -1$. $\det A = -1 \neq 0$: inversível, certo. Conferência por Sarrus: $3 + 0 + 2 - 2 - 0 - 4 = -1$. Repare que a prova não pediu a inversa, só a sua existência; é sempre assim com ordem 3.

A mesma pergunta aparece disfarçada de outras maneiras: “o sistema $A \cdot X = B$ tem solução única” (sim, se $A$ é inversível, e a solução é $X = A^{-1} B$); “as colunas de $A$ são independentes”; “o sistema homogêneo $A \cdot X = 0$ só tem a solução nula”. Todas são a frase $\det A \neq 0$ em outra roupa.

Regra de Cramer: cada incógnita é uma razão de determinantes

Resolva o sistema $ax + by = e$, $cx + dy = f$ por adição: multiplique a primeira por $d$, a segunda por $b$ e subtraia. O $y$ some e fica $(ad - bc)x = ed - bf$. O coeficiente de $x$ é $\det A$, e o lado direito é o determinante da matriz em que a coluna de $x$ foi trocada pela coluna dos termos independentes: $\begin{vmatrix} e & b \\ f & d \end{vmatrix} = ed - bf$. Da mesma forma, eliminando $x$, $(ad - bc)y = af - ce = \begin{vmatrix} a & e \\ c & f \end{vmatrix}$. É a regra de Cramer, e ela vale em qualquer ordem.

Exemplo resolvido 10: um 2×2. $2x + 3y = 8$ e $x - y = -1$. $\det A = \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -2 - 3 = -5$. $\det A_x = \begin{vmatrix} 8 & 3 \\ -1 & -1 \end{vmatrix} = -8 + 3 = -5$, logo $x = \frac{-5}{-5} = 1$. $\det A_y = \begin{vmatrix} 2 & 8 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -2 - 8 = -10$, logo $y = \frac{-10}{-5} = 2$. Conferência: $2 + 6 = 8$ e $1 - 2 = -1$.

Exemplo resolvido 11: um 3×3.

$$\begin{cases} x + y + z = 4 \\ 3x - y + z = 10 \\ x + 2y - 2z = -6 \end{cases}, \qquad A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 3 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & -2 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 4 \\ 10 \\ -6 \end{pmatrix}.$$

Pela primeira linha: $\det A = 1 \cdot (2 - 2) - 1 \cdot (-6 - 1) + 1 \cdot (6 + 1) = 0 + 7 + 7 = 14$. Diferente de zero: Cramer se aplica. Troque a primeira coluna por $B$: $\det A_x = \begin{vmatrix} 4 & 1 & 1 \\ 10 & -1 & 1 \\ -6 & 2 & -2 \end{vmatrix} = 4(2 - 2) - 1(-20 + 6) + 1(20 - 6) = 0 + 14 + 14 = 28$, logo $x = 2$. Troque a segunda: $\det A_y = \begin{vmatrix} 1 & 4 & 1 \\ 3 & 10 & 1 \\ 1 & -6 & -2 \end{vmatrix} = 1(-20 + 6) - 4(-6 - 1) + 1(-18 - 10) = -14 + 28 - 28 = -14$, logo $y = -1$. Troque a terceira: $\det A_z = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 4 \\ 3 & -1 & 10 \\ 1 & 2 & -6 \end{vmatrix} = 1(6 - 20) - 1(-18 - 10) + 4(6 + 1) = -14 + 28 + 28 = 42$, logo $z = 3$. Conferência na segunda equação: $6 + 1 + 3 = 10$; na terceira: $2 - 2 - 6 = -6$. Quatro determinantes $3 \times 3$ para três incógnitas: Cramer é cômodo quando só uma incógnita interessa (um item que afirma “$z$ é maior que 2” pede só $\det A$ e $\det A_z$) e trabalhoso quando se quer a solução inteira, caso em que o escalonamento costuma ser mais curto.

Quando usar cada método, então? Cramer quando o sistema é $2 \times 2$, quando há um parâmetro nos coeficientes (o determinante vira uma expressão no parâmetro, e a discussão fica imediata) ou quando se quer uma única incógnita de um $3 \times 3$. Escalonamento quando se quer todas as incógnitas, quando o sistema é maior que $3 \times 3$ ou quando $\det A = 0$ e é preciso decidir entre indeterminado e impossível.

Classificar pelo determinante: det ≠ 0 é determinado; det = 0 é o resto

A regra de Cramer carrega a classificação dentro dela. Se $\det A \neq 0$, cada incógnita tem um valor e só um: o sistema é possível e determinado. Se $\det A = 0$, a fórmula divide por zero, e isso quer dizer que as equações não são independentes: alguma linha de $A$ é combinação das outras. Nesse caso o sistema é possível e indeterminado (se os termos independentes respeitam a mesma combinação) ou impossível (se a contradizem), e o determinante não distingue os dois casos.

Exemplo resolvido 12: os dois destinos do determinante zero. $x + 2y = 3$ e $2x + 4y = 6$: $\det A = 4 - 4 = 0$. A segunda equação é o dobro da primeira, inclusive no termo independente: linha $0 = 0$, indeterminado, infinitas soluções (toda a reta $x + 2y = 3$). Troque o 6 por 7: $\det A$ continua zero, mas o dobro da primeira equação diz $2x + 4y = 6$ e a segunda diz 7: linha $0 = 1$, impossível. Mesma matriz, mesmo determinante, respostas opostas. É por isso que “$\det A = 0$, logo o sistema é impossível” é uma frase falsa, e a banca sabe disso.

Exemplo resolvido 13: o sistema homogêneo dos aparelhos elétricos (PAS 2 2008, item 89). A tabela do caderno registrava quantas horas cada um de três aparelhos ficou ligado em cada mês, $A = \begin{pmatrix} 8 & 5 & 10 \\ 4 & 10 & 15 \\ 2 & 0 & 10 \end{pmatrix}$, e o item afirmou que o sistema homogêneo com essa matriz “possui solução $(x_0, y_0, z_0)$ em que $x_0 \neq 0$”. Pela terceira linha, que tem um zero: $\det A = 2 \cdot (+1)\begin{vmatrix} 5 & 10 \\ 10 & 15 \end{vmatrix} + 0 + 10 \cdot (+1)\begin{vmatrix} 8 & 5 \\ 4 & 10 \end{vmatrix} = 2(75 - 100) + 10(80 - 20) = -50 + 600 = 550$. Diferente de zero: a única solução do homogêneo é a nula, com $x_0 = 0$. Errado. Não foi preciso resolver sistema nenhum; o determinante respondeu sozinho. (Com uma linha em comum, o item anterior do mesmo bloco, que dizia que os consumos saíam de $A \cdot X = B$, estava certo pelo mesmo motivo: $\det A \neq 0$ garante solução única para qualquer $B$.)

Exemplo resolvido 14: um parâmetro na matriz. Para que valores de $m$ o sistema $x + y + z = 1$, $x + 2y + 3z = 2$, $x + 4y + mz = 3$ é determinado? Pela primeira linha, $\det A = 1(2m - 12) - 1(m - 3) + 1(4 - 2) = 2m - 12 - m + 3 + 2 = m - 7$. Para $m \neq 7$, SPD. Para $m = 7$, o determinante é zero e é preciso olhar o sistema: subtraindo a primeira equação das outras, $y + 2z = 1$ e $3y + 6z = 2$; a segunda é o triplo da primeira no lado esquerdo e não no direito ($3 \neq 2$): impossível. Então o sistema é determinado para todo $m \neq 7$ e impossível para $m = 7$; não há valor de $m$ que o torne indeterminado. Conferência de $\det A$ com $m = 7$ por Sarrus: $14 + 3 + 4 - 2 - 12 - 7 = 0$.

Exemplo resolvido 15: o depósito de carvão (PAS 2 2015, item 98). As três negociações do texto davam $3x + 4y + 5z = 148$, $2x + 7y + 2z = 166$ e $4x - Cy + 7z = 68$ ($C$ toneladas devolvidas entram com sinal negativo), e o item afirmou: “independentemente do valor positivo de $C$, o sistema será sempre possível e determinado”. A matriz dos coeficientes é $\begin{pmatrix} 3 & 4 & 5 \\ 2 & 7 & 2 \\ 4 & -C & 7 \end{pmatrix}$, e pela primeira linha: $\det A = 3(49 + 2C) - 4(14 - 8) + 5(-2C - 28) = 147 + 6C - 24 - 10C - 140 = -17 - 4C$. Esse número só é zero para $C = -\frac{17}{4}$, que é negativo. Para todo $C > 0$, $\det A = -17 - 4C < 0 \neq 0$: SPD, certo. Veja o que o determinante poupou: em vez de escalonar com uma letra dentro e discutir a última linha, bastou uma expressão do primeiro grau em $C$ e a pergunta “ela se anula para algum $C$ positivo?”.

Vandermonde: por que três pontos de abscissas distintas determinam a parábola

Uma parábola $y = ax^2 + bx + c$ que passa por $(x_0, y_0)$, $(x_1, y_1)$ e $(x_2, y_2)$ obedece a três equações lineares em $a$, $b$, $c$, uma por ponto: $a x_i^2 + b x_i + c = y_i$. A matriz dos coeficientes é $V = \begin{pmatrix} x_0^2 & x_0 & 1 \\ x_1^2 & x_1 & 1 \\ x_2^2 & x_2 & 1 \end{pmatrix}$, chamada de matriz de Vandermonde, e a pergunta “existe uma única parábola?” é a pergunta “$\det V \neq 0$?”. O PAS 2 de 2021 fez exatamente essa pergunta no item 59, com $x_0 < x_1 < x_2$, e a resposta é sim.

Para ver por quê, calcule $\det V$ com as propriedades. Subtraia a primeira linha das outras duas (propriedade 9): as duas novas linhas ficam $(x_1^2 - x_0^2,\ x_1 - x_0,\ 0)$ e $(x_2^2 - x_0^2,\ x_2 - x_0,\ 0)$. Desenvolva pela terceira coluna, que agora só tem o 1 da primeira linha, com sinal $(-1)^{1+3} = +$:

$$\det V = \begin{vmatrix} x_1^2 - x_0^2 & x_1 - x_0 \\ x_2^2 - x_0^2 & x_2 - x_0 \end{vmatrix}.$$

Cada linha tem um fator comum (propriedade 4): $x_1 - x_0$ na primeira, $x_2 - x_0$ na segunda, porque $x_1^2 - x_0^2 = (x_1 - x_0)(x_1 + x_0)$. Então

$$\det V = (x_1 - x_0)(x_2 - x_0) \begin{vmatrix} x_1 + x_0 & 1 \\ x_2 + x_0 & 1 \end{vmatrix} = (x_1 - x_0)(x_2 - x_0)(x_1 - x_2).$$

Um produto de diferenças entre as abscissas, duas a duas. Ele é zero se, e só se, duas abscissas coincidem. Com $x_0 < x_1 < x_2$, as três diferenças são não nulas e $\det V \neq 0$: certo, e a parábola é única. Conferência com números: para $x_0 = 1$, $x_1 = 2$, $x_2 = 4$, a fórmula dá $(2 - 1)(4 - 1)(2 - 4) = 1 \cdot 3 \cdot (-2) = -6$, e Sarrus na matriz $\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 4 & 2 & 1 \\ 16 & 4 & 1 \end{pmatrix}$ dá $2 + 16 + 16 - 32 - 4 - 4 = -6$.

O caso que falha é instrutivo. Se dois pontos têm a mesma abscissa, como $(1, 2)$ e $(1, 5)$, duas linhas de $V$ ficam iguais, $\det V = 0$, e de fato nenhuma função passa por dois pontos de mesma abscissa com ordenadas diferentes: o sistema é impossível. Se os dois pontos fossem iguais, o sistema seria indeterminado (infinitas parábolas pelos dois pontos restantes). O determinante avisa que algo deu errado; o sistema diz o quê. A resolução do sistema em $a$, $b$, $c$ por escalonamento, com números, está na página de sistemas lineares; o uso da parábola obtida, na de função quadrática.

Determinante e geometria: três pontos alinhados e a área do triângulo

A matriz de Vandermonde tem uma prima mais simples, com as coordenadas de três pontos e uma coluna de uns, que resolve duas perguntas clássicas do plano cartesiano.

A razão é a mesma do $2 \times 2$. Subtraindo a primeira linha das outras duas, $D$ vira o determinante $2 \times 2$ dos vetores $\vec{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A)$ e $\vec{AC} = (x_C - x_A, y_C - y_A)$, que é a área do paralelogramo formado por eles; o triângulo é a metade, e o paralelogramo degenera (área zero) exatamente quando $\vec{AB}$ e $\vec{AC}$ têm a mesma direção, isto é, quando $C$ está na reta $AB$.

Exemplo resolvido 16. $A(1, 1)$, $B(3, 2)$, $C(7, 4)$ estão alinhados? $D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ 7 & 4 & 1 \end{vmatrix} = 1(2 - 4) - 1(3 - 7) + 1(12 - 14) = -2 + 4 - 2 = 0$. Sim. Conferência pela inclinação: de $A$ a $B$, $\frac{2 - 1}{3 - 1} = \frac{1}{2}$; de $A$ a $C$, $\frac{4 - 1}{7 - 1} = \frac{1}{2}$. Troque $C$ por $C'(5, 6)$: $D = 1(2 - 6) - 1(3 - 5) + 1(18 - 10) = -4 + 2 + 8 = 6$, os pontos não estão alinhados e a área do triângulo $ABC'$ é $\frac{6}{2} = 3$. Conferência: os vetores $\vec{AB} = (2, 1)$ e $\vec{AC'} = (4, 5)$ dão $\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 5 \end{vmatrix} = 10 - 4 = 6$, o mesmo número.

Exemplo resolvido 17: um ponto desconhecido. Para que valor de $k$ os pontos $(2, 1)$, $(4, 5)$ e $(k, 9)$ estão alinhados? $D = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 4 & 5 & 1 \\ k & 9 & 1 \end{vmatrix} = 2(5 - 9) - 1(4 - k) + 1(36 - 5k) = -8 - 4 + k + 36 - 5k = 24 - 4k$. $D = 0$ dá $k = 6$. Conferência: a reta por $(2, 1)$ e $(4, 5)$ tem inclinação 2 e equação $y = 2x - 3$; em $x = 6$, $y = 9$. Para $k = 8$, por exemplo, $D = 24 - 32 = -8$, e o triângulo tem área 4.

Como a banca pergunta

Os seis itens reais desta página (cinco do PAS 2 e o de 2025 do PAS 3) cabem em quatro moldes, e cada um tem uma defesa própria.

1. Determinante como equação do primeiro grau (tipo A). “Se $\det A = -\frac{1}{2}$, então $x < 3$” (2023/61, E; $x = 3{,}75$). Escreva $ad - bc$, iguale ao valor e isole; o limiar fica perto do valor certo de propósito.
2. Existência: inversível, SPD, só a solução nula (tipo A). “A matriz $A$ é inversível” (2013/108, C; $\det A = -1$); “o sistema será sempre SPD para todo $C > 0$” (2015/98, C; $\det A = -17 - 4C$); “o homogêneo tem solução com $x_0 \neq 0$” (2008/89, E; $\det A = 550$); “o determinante de Vandermonde é não nulo” (2021/59, C). A pergunta é sempre $\det A \neq 0$; calcule o determinante, com Laplace pela linha de mais zeros, e traduza.
3. Propriedade embutida num número (tipo B). “Calcule o determinante de $2A$” (2025/85, 312). Dois passos: o determinante da matriz impressa e a propriedade $k^n$. O erro previsto pela banca é usar $k^1$, e nenhuma alternativa impressa o denuncia.
4. A matriz impressa no texto-base, com o item dependendo dela. A tabela de 2013, a tabela de horas de 2008, a matriz de Vandermonde de 2021 e a matriz $A$ de 2025 foram impressas no caderno; o item só faz sentido com a matriz à vista. Antes de julgar, copie a matriz para o rascunho conferindo linha a linha, porque uma entrada trocada muda o determinante e o gabarito.

O formato que a 3.ª etapa reserva ao assunto é o tipo B: um número inteiro de até três dígitos, com a instrução de desprezar a parte fracionária. Determinantes de ordem 3 com entradas pequenas e uma propriedade por cima ($kA$, $A^{\mathsf T}$, troca de linhas, $AB$) cabem nesse molde; áreas de triângulos e paralelogramos, multiplicadas por 10 ou 100 para virar inteiro, também. A mecânica é a mesma de qualquer item B: calcule exato, aplique a multiplicação pedida, só então despreze a fração.

Os erros que mais derrubam

• Sarrus fora da ordem 3. Em $2 \times 2$ é só $ad - bc$; em $4 \times 4$ Sarrus dá um número errado. Laplace vale sempre.
• Esquecer o sinal do cofator. $C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$: tabuleiro de xadrez com $+$ no canto superior esquerdo.
• $\det(kA) = k \det A$. É $k^n \det A$. Dobrar uma $3 \times 3$ multiplica o determinante por 8 (2025/85). Só uma linha dobrada multiplica por 2.
• Trocar linhas sem trocar o sinal. Cada troca inverte o sinal; duas trocas devolvem o original.
• Somar determinantes de matrizes somadas. $\det(A + B) \neq \det A + \det B$. O determinante é multiplicativo: $\det(AB) = \det A \det B$.
• “det = 0, logo impossível.” Zero só exclui a solução única; indeterminado ou impossível é decisão do escalonamento.
• “det ≠ 0, logo o homogêneo tem solução não nula.” É o contrário: só a nula (2008/89).
• Usar Cramer com $\det A = 0$. A fórmula divide por zero; a regra não se aplica.
• Errar a coluna trocada em Cramer. $A_j$ troca a coluna $j$ (a da incógnita que se quer) pela coluna $B$, não a linha.
• Perder sinal em entradas negativas no Sarrus. Escreva as seis parcelas com sinal antes de somar; confira por Laplace.
• Esquecer a metade na área do triângulo. $|D|$ é a área do paralelogramo; o triângulo é $\frac{1}{2}|D|$.
• Copiar a matriz impressa com uma entrada trocada. Confira linha a linha antes de qualquer conta.

O essencial em meia página

• Ordem 2: $\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$ = área (com sinal) do paralelogramo das linhas; triângulo = metade. Linhas proporcionais → 0.
• Ordem 3: Sarrus (repita duas colunas; três diagonais descendo positivas, três subindo negativas) ou Laplace (elemento × cofator ao longo de uma linha/coluna; $C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$; escolha a linha com mais zeros). Sarrus só em ordem 3.
• Propriedades: linha nula → 0; linhas iguais/proporcionais → 0; troca de linhas → sinal; fator $k$ numa linha → $k \det$; $\det(kA) = k^n \det A$; $\det A^{\mathsf T} = \det A$; $\det(AB) = \det A \det B$; $\det A^{-1} = 1/\det A$; triangular → produto da diagonal; $L_i \leftarrow L_i + kL_j$ não altera. Não vale: $\det(A + B) = \det A + \det B$.
• Inversível ⇔ $\det A \neq 0$. Inversa $2 \times 2$: troque a diagonal principal, troque o sinal da outra e divida por $ad - bc$ (2013/108: $\det = -1$, inversível).
• Cramer: $x_j = \det A_j / \det A$, com a coluna $j$ trocada por $B$; só com $\det A \neq 0$. Bom para $2 \times 2$, parâmetro e uma incógnita só.
• Classificação: $\det A \neq 0$ → SPD; $\det A = 0$ → SPI ou SI (escalone para decidir). Homogêneo: $\det \neq 0$ → só a nula (2008/89); $\det = 0$ → infinitas. Parâmetro: calcule $\det A$ como expressão e veja onde se anula (2015/98: $-17 - 4C$, nunca para $C > 0$).
• Vandermonde: $\det \begin{pmatrix} x_0^2 & x_0 & 1 \\ x_1^2 & x_1 & 1 \\ x_2^2 & x_2 & 1 \end{pmatrix} = (x_1 - x_0)(x_2 - x_0)(x_1 - x_2)$; zero só com abscissas repetidas; abscissas distintas → parábola única (2021/59).
• Coordenadas: $D = \begin{vmatrix} x_A & y_A & 1 \\ x_B & y_B & 1 \\ x_C & y_C & 1 \end{vmatrix}$; $D = 0$ ⇔ alinhados; área do triângulo $= \frac{1}{2}|D|$.
• Prova: equação escondida em $ad - bc$ (2023/61); “inversível / SPD / só a nula” = $\det \neq 0$; tipo B com propriedade ($2A$ em ordem 3 → $\times 8$, 2025/85); copie a matriz impressa conferindo.