Plano cartesiano

Em 2012, a prova do PAS 3 desenhou um campo de futebol sobre dois eixos, com a linha de um dos gols coincidindo com o eixo $y$ (postes em $(0, -73/20)$ e $(0, 73/20)$), parou uma bola de 22 cm de diâmetro com o centro no ponto $(-3/25 \text{ m}, 0 \text{ m})$ e perguntou se o juiz devia receber o sinal de gol. Em 2023, quatro pontos foram marcados sobre uma reprodução de Navio de emigrantes (Lasar Segall): $O(0, 0)$, $A(4, 3)$, $B(11, 2)$ e $C(8, -3)$; o item afirmou que o quadrilátero formado por eles tinha 36 unidades de área. Em 2015, um terreno de lavoura veio com os quatro vértices escritos, $A(-2, 6)$, $B(8, 8)$, $C(10, -3)$ e $D(-5, -2)$, e o candidato tinha de escolher, entre quatro equações, a da reta pelos pontos médios de dois lados. Nos três itens não existe fórmula nova nem figura que resolva sozinha: existe um par de números por ponto, e tudo o que a banca pergunta (a bola passou?, a área é 36?, onde fica o meio do lado?) sai de contas com esses números. Como transformar uma posição em dois números e, a partir deles, calcular tudo o que o desenho só sugere?

Esta página é a base de toda a geometria analítica: o que é um par ordenado, o que os sinais dizem, como se lê um ponto numa malha ou num mapa com escala, e as seis operações que se fazem com pontos sem escrever a equação de nenhuma reta: ponto médio, distância, simetria, translação, teste de alinhamento e área por coordenadas. Fecham a página a leitura de gráficos com escalas diferentes nos eixos e a descrição de regiões por desigualdades. O que vem depois, com página própria, é a reta: coeficiente angular e equação, paralelas e perpendiculares, e as distâncias de ponto a reta e entre retas.

Dois eixos, uma origem, dois números por ponto

Uma planilha localiza cada célula por uma letra e um número, “B3”; um tabuleiro de xadrez, por “e4”; um robô aspirador guarda o mapa da sala como uma grade de quadradinhos, e sabe que a base de carregamento está “12 quadrados para a direita e 5 para cima” do canto em que começou. Nos três casos há um canto de partida combinado e, para cada lugar, duas informações numa ordem fixa. O plano cartesiano formaliza esse hábito: duas retas numeradas, perpendiculares, cruzadas no zero de ambas, e cada lugar descrito pelo par de leituras que se faz sobre elas.

A frase “em ordem” é o que a palavra ordenado significa, e é também a origem do erro mais comum da página. $(3, 5)$ está 3 unidades à direita da origem e 5 acima; $(5, 3)$ está 5 à direita e 3 acima. Os dois pontos são simétricos em relação à diagonal $y = x$ (a seção das simetrias volta a isso), mas não são o mesmo ponto, e um item que descreva “o ponto que está 5 para a direita e 3 para cima” como $(3, 5)$ está errado.

Os pontos que ficam sobre os eixos têm uma coordenada nula. Todo ponto do eixo $x$ tem ordenada zero: $(4, 0)$, $(-7, 0)$, $(0, 0)$. Todo ponto do eixo $y$ tem abscissa zero: $(0, 6)$, $(0, -2)$. A origem é o único ponto que pertence aos dois eixos. Isso dá um reflexo útil: para saber onde uma curva corta o eixo $x$, impõe-se $y = 0$; para saber onde corta o eixo $y$, impõe-se $x = 0$.

As unidades fazem parte das coordenadas. Num plano “com unidades em metros”, o ponto $(200, 50)$ está a 200 m da origem na horizontal; num mapa “em quilômetros”, $(200, 50)$ está a 200 km. Quando o enunciado mistura unidades, a conversão vem antes de qualquer comparação. No item do gol de 2012, o plano estava em metros e o diâmetro da bola em centímetros; quem não converteu 22 cm em 0,22 m não tinha como decidir se a bola passou.

Os sinais das coordenadas nomeiam o quadrante

Os dois eixos dividem o plano em quatro regiões, os quadrantes, numerados no sentido anti-horário a partir da região em que as duas coordenadas são positivas. O número do quadrante é informação sobre sinais, e só sobre sinais.

A prova do PAS 3 de 2018 sobrepôs eixos a um mapa do Rio Grande do Sul, pôs a origem em Cachoeira do Sul e listou, numa tabela em quilômetros, as outras cidades: Porto Alegre $(200, 0)$, Candelária $(20, 35)$, Agudo $(-25, 40)$, Santa Maria $(-80, 30)$, Pelotas $(40, -220)$, Santana do Livramento $(-280, -90)$, Cruz Alta $(-84, 187)$ e Caxias do Sul $(210, 80)$. A tabela é um exercício completo de sinais: Candelária e Caxias do Sul estão no primeiro quadrante (nordeste de Cachoeira); Agudo, Santa Maria e Cruz Alta no segundo (noroeste); Santana do Livramento no terceiro (sudoeste); Pelotas no quarto (sudeste); e Porto Alegre, com ordenada zero, está exatamente sobre o eixo $x$, a leste da origem, em quadrante nenhum. Os itens daquele bloco usaram essas coordenadas para circunferências, regiões e retas; o sinal foi a porta de entrada de todos.

Quando o item dá uma regra, execute e leia os sinais. Em 2025, o PAS 3 definiu, para cada ponto $P(x, y)$, um ponto $Q(a, b)$ obtido por um produto de matrizes que, feito, dá $a = y$ e $b = -x$, e afirmou que, se $P$ percorresse um segmento do primeiro quadrante, $Q$ percorreria um segmento do quarto. Não é preciso saber o que a matriz representa (é um giro de um quarto de volta, assunto da página de transformações): com $x > 0$ e $y > 0$, a nova abscissa $y$ é positiva e a nova ordenada $-x$ é negativa; sinal $(+, -)$ é quarto quadrante. Certo. O item inteiro se decide na tabela de sinais.

Ler um ponto numa malha, num mapa, numa planta

Na prova, o ponto quase nunca chega sozinho: ele está marcado numa malha quadriculada, num mapa com um sistema de eixos desenhado por cima ou numa planta com escala. Ler bem a figura é metade do item.

Numa malha, cada linha da grade é uma coordenada inteira (ou um múltiplo da unidade da grade). Para ler um ponto, desça dele até o eixo $x$ e leia o número; depois vá até o eixo $y$ e leia o outro. Quando a grade tem passo diferente de 1 (cada quadradinho vale 2, ou 0,5), a leitura exige contar quadradinhos e multiplicar pelo passo. O PAS 2 de 2019 marcou cinco ninhos de formigas numa malha em metros, $A(-4, 5)$, $B(-5, 0)$, $C(0, 5)$, $D(-2, -5)$ e $E(1, 0)$: $B$ e $E$ estão sobre o eixo $x$, $C$ sobre o eixo $y$, $A$ no segundo quadrante e $D$ no terceiro, tudo lido da posição dos pontos em relação às duas linhas mais grossas.

Num mapa, o sistema de eixos é colocado sobre a imagem com uma origem escolhida (a Estátua da Liberdade em 2019, Cachoeira do Sul em 2018) e uma unidade (o quilômetro). Feito isso, cada ponto do mapa passa a ter um par de coordenadas. A relação com as coordenadas geográficas é direta e serve como ponte: latitude e longitude são as duas coordenadas de um ponto da superfície da Terra, e um receptor de GPS mostra exatamente esse par. A diferença é que a Terra é uma esfera: para uma cidade, o mapa plano é uma aproximação ótima; para um continente, as distâncias “em linha reta” sobre o mapa já não coincidem com as reais. Dentro de uma prova, o mapa que vira plano cartesiano é sempre tratado como plano, e é assim que se deve lê-lo.

Numa planta ou num desenho com escala, a escala converte centímetros de papel em metros de terreno. Com escala 1 : 500, 1 cm no desenho são 500 cm, isto é, 5 m, no terreno; um ponto que está a 3,2 cm da margem esquerda e 1,5 cm da margem inferior tem coordenadas $(16, 7{,}5)$ em metros. A escala muda os números, não as relações: pontos alinhados continuam alinhados, o ponto médio continua no meio.

Exemplo resolvido 1: a bola e a linha do gol (PAS 3 2012). O campo foi representado num sistema $xOy$ em metros, com o segmento $MN$, sobre o eixo $y$, identificando um dos gols, e o campo estendendo-se para a direita, até $K(100, 36)$; o gol fica em $x < 0$. O item: “Considere que uma bola de futebol cujo diâmetro é igual a 22 cm, após ser chutada a partir do ponto $E$, tenha parado em uma posição tal que seu centro coincida com o ponto $(-3/25 \text{ m}, 0 \text{ m})$. Nessa situação, o juiz, utilizando o mencionado dispositivo eletrônico, deve receber um sinal eletrônico e confirmar o gol.” O gol é computado quando a bola ultrapassa totalmente a linha, isto é, quando a bola inteira está em $x < 0$. O centro está em $x = -3/25 = -0{,}12$ m, do lado do gol. Metade do diâmetro, $11 \text{ cm} = 0{,}11$ m, é o raio; somado à abscissa do centro, ele dá a borda da bola voltada para o campo, em $x = -0{,}12 + 0{,}11 = -0{,}01$ m. Essa borda também tem abscissa negativa, portanto nenhum ponto da bola toca o campo: ela cruzou a linha por completo, com 1 cm de sobra. Certo. Conferência: o diâmetro inteiro, 0,22 m, cabe entre $x = -0{,}23$ e $x = -0{,}01$, sem tocar o zero. O item testa três coisas, e nenhuma delas é fórmula: ler uma abscissa negativa como “do lado do gol”, converter centímetros em metros e entender que “ultrapassar totalmente” é uma condição sobre a borda, não sobre o centro.

O ponto médio é a média das coordenadas

Dois amigos moram em $A(-3, 1)$ e $B(7, -5)$, em quarteirões, e querem se encontrar no meio do caminho em linha reta. “Meio do caminho” na horizontal é a média das abscissas, $\frac{-3 + 7}{2} = 2$; na vertical, a média das ordenadas, $\frac{1 + (-5)}{2} = -2$. O ponto de encontro é $M(2, -2)$.

Três consequências práticas da fórmula aparecem em prova.

O ponto médio pode ter coordenadas fracionárias. Uma soma ímpar dividida por 2 termina em meio, e o meio fica onde a conta mandar. Entre $(-5, -2)$ e $(-2, 6)$, o meio é $\left(-\frac{7}{2}, 2\right)$. Entre $(8, 8)$ e $(10, -3)$, é $\left(9, \frac{5}{2}\right)$.

Conhecidos o ponto médio e um extremo, o outro extremo sai por subtração. Se $M$ é o meio de $AB$, então $x_B = 2x_M - x_A$ e $y_B = 2y_M - y_A$. Com $A(1, 4)$ e $M(3, 1)$: $B = (2 \cdot 3 - 1, 2 \cdot 1 - 4) = (5, -2)$. É o mesmo que dizer que $B$ é o simétrico de $A$ em relação a $M$; a seção das simetrias usa isso de novo.

Nas diagonais de um paralelogramo, os pontos médios coincidem. Um quadrilátero $ABCD$ é paralelogramo exatamente quando o meio de $AC$ é o meio de $BD$. Com $A(0, 0)$, $B(4, 1)$, $C(6, 4)$ e $D(2, 3)$: o meio de $AC$ é $(3, 2)$ e o de $BD$ é $(3, 2)$; paralelogramo. Essa é a maneira mais barata de testar a forma de um quadrilátero dado pelos vértices.

Exemplo resolvido 2: a reta pelos pontos médios (PAS 3 2015, tipo C). O terreno tinha vértices $A(-2, 6)$, $B(8, 8)$, $C(10, -3)$ e $D(-5, -2)$, e a pergunta era qual das quatro equações abaixo descreve a reta pelos pontos médios dos lados $AD$ e $BC$: $2y + 10x = 14$; $25y - x = 225$; $50y - 2x = 107$; $60y + 7x = 126$. Os pontos médios primeiro: $M_{AD} = \left(\frac{-2 - 5}{2}, \frac{6 - 2}{2}\right) = \left(-\frac{7}{2}, 2\right)$ e $M_{BC} = \left(\frac{8 + 10}{2}, \frac{8 - 3}{2}\right) = \left(9, \frac{5}{2}\right)$. Com os dois pontos em mãos, a equação da reta é assunto da página seguinte, mas aqui basta o teste de pertinência que a seção de alinhamento vai formalizar: a opção certa é a única satisfeita pelos dois pontos. Em $50y - 2x = 107$: com $M_{AD}$, $50 \cdot 2 - 2 \cdot \left(-\frac{7}{2}\right) = 100 + 7 = 107$; com $M_{BC}$, $50 \cdot \frac{5}{2} - 2 \cdot 9 = 125 - 18 = 107$. As duas fecham: opção C. Conferência por eliminação: em $25y - x = 225$, $M_{AD}$ dá $50 + 3{,}5 = 53{,}5$; em $2y + 10x = 14$, dá $4 - 35 = -31$; em $60y + 7x = 126$, dá $120 - 24{,}5 = 95{,}5$. Nenhuma das três chega perto. O item não exige escrever a equação: exige calcular os dois pontos médios sem medo das frações e substituir.

A distância entre dois pontos é Pitágoras nas coordenadas

De $P(1, 2)$ a $Q(13, 7)$, um caminho pelas ruas de uma cidade em grade anda 12 quarteirões para leste e 5 para norte. O caminho reto é a hipotenusa do triângulo retângulo de catetos 12 e 5: $\sqrt{144 + 25} = 13$ quarteirões. Toda distância no plano cartesiano é isso, o teorema de Pitágoras aplicado às diferenças de coordenadas.

Nesta página a distância entra pela porta da frente, como aplicação direta da fórmula; a página de distâncias desenvolve o resto (distância de ponto a reta, entre retas paralelas, lugares geométricos). Três itens reais mostram o uso básico.

Em 2009, o PAS 3 pôs uma usina em $P(0, 8)$ e, em $Q(x_q, 0)$, um consumidor; a linha de transmissão reta entre os dois media 10 km, num plano em quilômetros, e o item afirmou que $Q$ fica a exatamente 6 km da origem. $P$ está no eixo $y$ e $Q$ no eixo $x$, logo $OPQ$ é retângulo em $O$, com hipotenusa $PQ = 10$ e cateto $OP = 8$. O outro cateto é $OQ = \sqrt{100 - 64} = 6$. Certo. É o trio 6-8-10, e a distância de $Q$ à origem é simplesmente $|x_q|$.

Em 2013, o bloco do VLT de Brasília deu as estações como pontos do plano: o Aeroporto JK ficava em $A(-9, 2)$ e, em $E(7, -3)$, o Setor Comercial Norte; o item afirmou que a distância entre eles era “superior a $5\sqrt{10}$ u.c.”. $\Delta x = 16$, $\Delta y = -5$, $d^2 = 256 + 25 = 281$. Do outro lado, $(5\sqrt{10})^2 = 250$. Como $281 > 250$, certo; e ninguém extraiu raiz.

Exemplo resolvido 3: duas casas e um limiar irracional (PAS 3 2021). Numa área rural dividida em lotes, com as distâncias em quilômetros, duas casas estavam em $(2, 3)$ e $(4, 2)$. O item afirmou que “as duas casas estão em lotes diferentes e a distância entre elas é menor que $\pi$ km”. Comece pela segunda parte, que é a fórmula: $\Delta x = 2$, $\Delta y = -1$, $d = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$. Para comparar com $\pi \approx 3{,}14$, compare os quadrados: $5 < 9{,}86$, logo $\sqrt{5} < \pi$. A primeira parte é leitura de região, assunto da última seção: os lotes eram separados pelas retas verticais $x = 1$ e $x = 3$ e, à direita de $x = 3$, pela horizontal $y = 1$; a casa $(2, 3)$ tem $1 < x < 3$ e está no lote do meio (ela fica exatamente no ponto mais alto do arco que fecha os lotes por cima, na fronteira superior desse lote, e a banca a contou como dele); a casa $(4, 2)$ tem $x > 3$ e $y > 1$ e está no lote de cima, à direita. Lotes diferentes, distância menor que $\pi$: certo. Conferência: $\sqrt{5} \approx 2{,}24$, confortavelmente abaixo de 3,14.

Simetrias: espelhar um ponto num eixo, na origem ou na diagonal

Em 2016, a prova do PAS 3 descreveu 14 caixas de som de uma orquestra de laptops num plano em metros: as caixas $A$ a $G$ ficavam em “pontos simétricos, em relação ao eixo $y$”, aos pontos das caixas $A'$ a $G'$. Se a caixa $A$ está em $(-4, 7)$, a caixa $A'$ está em $(4, 7)$: mesma altura, abscissa com o sinal trocado. O enunciado não precisou dar as 14 coordenadas, porque a simetria fornece metade delas.

Os pontos que são iguais ao seu próprio simétrico são os que estão sobre o espelho. Isso dá uma leitura útil da reta $y = x$: ela é o conjunto dos pontos com abscissa igual à ordenada, $(1, 1)$, $(-3, -3)$, $(8, 8)$, e é a reta que passa pela origem fazendo $45°$ com o eixo $x$, porque sobe exatamente o que avança. Em 2015, com o terreno de vértices $A(-2, 6)$, $B(8, 8)$, $C(10, -3)$ e $D(-5, -2)$, o PAS 3 afirmou que “o ponto $B$ está sobre a reta que passa pela origem $O$ do sistema de coordenadas e forma um ângulo de $45°$ com o eixo $x$”. Essa descrição corresponde à bissetriz $y = x$; $B(8, 8)$ tem abscissa igual à ordenada: está. Certo. Nenhum dos outros três vértices estaria.

Uma figura inteira se espelha espelhando os vértices. O triângulo $(1, 1)$, $(5, 2)$, $(2, 4)$, refletido no eixo $y$, vira $(-1, 1)$, $(-5, 2)$, $(-2, 4)$; refletido na origem, $(-1, -1)$, $(-5, -2)$, $(-2, -4)$. As distâncias entre os vértices não mudam (reflexão é uma isometria), e por isso a área também não.

Translação: somar o mesmo deslocamento a todos os pontos

Mover uma figura sem girar nem deformar é somar o mesmo par de números a cada um de seus pontos. Se a mesa de vértices $A(0, 0)$, $B(-2, 5)$, $C(4, 6)$ e $D(9, 2)$ for empurrada 3 unidades para a direita e 1 para baixo, cada vértice recebe $(+3, -1)$: $A'(3, -1)$, $B'(1, 4)$, $C'(7, 5)$, $D'(12, 1)$. O par $(3, -1)$ é o vetor da translação, a mesma ideia que a Física usa para deslocamentos (vetores).

Translação e simetria são as duas transformações que esta página resolve com coordenadas e sinais. Giros por ângulos quaisquer e as matrizes que os representam, como a do item de 2025, ficam com a página de transformações; o que vale guardar daqui é o método que serve para qualquer regra dada no enunciado: aplique a regra a um ponto genérico $(x, y)$, escreva o ponto novo e leia os sinais. A regra $(x, y) \mapsto (y, -x)$ leva o primeiro quadrante ao quarto; a regra $(x, y) \mapsto (-y, x)$ leva o primeiro ao segundo; a regra $(x, y) \mapsto (-x, -y)$ leva o primeiro ao terceiro. Cada uma é uma linha da tabela de sinais.

Três pontos estão na mesma reta? O teste do alinhamento

Um aplicativo registra três posições sucessivas de um veículo numa estrada reta: $(-2, -1)$, $(2, 1)$ e $(8, 4)$. Os três pontos estão mesmo sobre uma reta? Olhar o desenho não decide; uma razão decide. De $(-2, -1)$ a $(2, 1)$, o veículo avançou $\Delta x = 4$ e subiu $\Delta y = 2$: razão $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$. De $(2, 1)$ a $(8, 4)$, $\Delta x = 6$ e $\Delta y = 3$: razão $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$. Mesmo ritmo de subida nos dois trechos, com um ponto em comum: os três estão alinhados. Se a terceira posição fosse $(8, 5)$, a segunda razão seria $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$, e o veículo teria saído da reta.

A razão $\Delta y / \Delta x$ de dois pontos de uma reta é o coeficiente angular da reta, e é ele que a página seguinte estuda; o que está aqui é o uso que não precisa de equação: decidir se um ponto dado pertence à reta por outros dois. A forma por determinante serve para qualquer trio, inclusive com trechos verticais, e tem a vantagem de não dividir.

Exemplo resolvido 4: o ponto está na rota? Um barco sai de $A(-3, 2)$ e segue em linha reta por $B(1, 5)$. Uma boia está em $C(9, 11)$ e uma segunda boia em $D(9, 10)$. Qual delas está exatamente na rota? Por razões: de $A$ a $B$, $\Delta x = 4$, $\Delta y = 3$, razão $\frac{3}{4}$. De $B$ a $C$: $\Delta x = 8$, $\Delta y = 6$, razão $\frac{6}{8} = \frac{3}{4}$. Alinhados: a boia $C$ está na rota. De $B$ a $D$: $\Delta x = 8$, $\Delta y = 5$, razão $\frac{5}{8} \neq \frac{3}{4}$; $D$ está fora. Conferência pelo determinante: com $\overrightarrow{AB} = (4, 3)$ e $\overrightarrow{AC} = (12, 9)$, $4 \cdot 9 - 12 \cdot 3 = 0$; com $\overrightarrow{AD} = (12, 8)$, $4 \cdot 8 - 12 \cdot 3 = -4 \neq 0$. A segunda conta ainda diz mais: o triângulo $ABD$ tem área $\frac{|-4|}{2} = 2$, assunto da próxima seção.

Um caso que derruba por descuido: os pontos $(3, 1)$, $(3, 4)$ e $(3, -7)$ estão alinhados (todos têm abscissa 3, estão sobre a reta vertical $x = 3$), mas a razão $\Delta y / \Delta x$ não existe para nenhum trecho. Quem insiste na divisão trava; quem olha as abscissas responde na hora.

Área de um triângulo e de um polígono pelos vértices

O determinante da seção anterior já carrega a área. Para um triângulo de vértices $A$, $B$ e $C$, o número $(x_B - x_A)(y_C - y_A) - (x_C - x_A)(y_B - y_A)$ é o dobro da área, com sinal (positivo se $A$, $B$, $C$ estão em sentido anti-horário, negativo no sentido horário). Quando um dos vértices é a origem, a conta encolhe.

Para o triângulo $(1, 1)$, $(7, 2)$, $(4, 6)$ da figura, pela regra do cadarço: $1 \cdot 2 - 7 \cdot 1 = -5$; $7 \cdot 6 - 4 \cdot 2 = 34$; $4 \cdot 1 - 1 \cdot 6 = -2$; soma $27$; área $13{,}5$. Pelo retângulo envolvente (de $x = 1$ a $7$ e de $y = 1$ a $6$, área 30) menos os três triângulos dos cantos ($\frac{6 \cdot 1}{2} = 3$, $\frac{3 \cdot 4}{2} = 6$ e $\frac{3 \cdot 5}{2} = 7{,}5$): $30 - 16{,}5 = 13{,}5$. Fecha.

Exemplo resolvido 5: o quadrilátero sobre a tela de Segall (PAS 3 2023). Com $O(0, 0)$, $A(4, 3)$, $B(11, 2)$ e $C(8, -3)$, o item afirmou que “o quadrilátero $OABC$ tem 36 unidades de área”. Pela diagonal $OB$, o quadrilátero se parte em dois triângulos com um vértice na origem. $OAB$: $\frac{1}{2}|4 \cdot 2 - 11 \cdot 3| = \frac{1}{2}|8 - 33| = \frac{25}{2}$. $OBC$: $\frac{1}{2}|11 \cdot (-3) - 8 \cdot 2| = \frac{1}{2}|-33 - 16| = \frac{49}{2}$. Soma: $37$. Não é 36: errado, por uma unidade. Conferência pela regra do cadarço com os quatro vértices em ordem ($O$, $A$, $B$, $C$): $0 \cdot 3 - 4 \cdot 0 = 0$; $4 \cdot 2 - 11 \cdot 3 = -25$; $11 \cdot (-3) - 8 \cdot 2 = -49$; $8 \cdot 0 - 0 \cdot (-3) = 0$; soma $-74$; metade do módulo, $37$. O limiar foi posto a uma unidade do valor certo para que só a conta fechada decida; estimativa pelo desenho não separa 36 de 37.

Em 2022, a mesma banca fez a pergunta em formato de resposta numérica: a mesa de uma ilustração tinha vértices $A(0, 0)$, $B(-2, 5)$, $C(4, 6)$ e $D(9, 2)$, em decímetros, e o item pedia a área em dm². Cadarço em ordem $A$, $B$, $C$, $D$: $0 \cdot 5 - (-2) \cdot 0 = 0$; $(-2) \cdot 6 - 4 \cdot 5 = -32$; $4 \cdot 2 - 9 \cdot 6 = -46$; $9 \cdot 0 - 0 \cdot 2 = 0$; soma $-78$; área $39$ dm². Por dois triângulos pela diagonal $AC$: $ABC$ dá $\frac{1}{2}|(-2) \cdot 6 - 4 \cdot 5| = 16$ e $ACD$ dá $\frac{1}{2}|4 \cdot 2 - 9 \cdot 6| = 23$; $16 + 23 = 39$. A resposta marcada era 039.

Ler um gráfico cartesiano: cada eixo tem a sua escala

Um gráfico de duas variáveis é um plano cartesiano em que cada eixo tem unidade própria: tempo em horas num, distância em quilômetros no outro; ano num, produção em toneladas no outro. Ler um ponto do gráfico é ler as duas coordenadas na escala de cada eixo, e as três perguntas de sempre valem: onde está a origem (o eixo começa em zero?), quanto vale cada divisão e qual é a unidade.

Num gráfico tempo × distância, por exemplo, os pontos $(1, 60)$ e $(2, 120)$ dizem que um carro percorreu 60 km na primeira hora e estava a 120 km da origem ao fim da segunda: a inclinação do segmento entre eles, $\frac{120 - 60}{2 - 1} = 60$ km/h, é a velocidade. Essa inclinação é um número lido das coordenadas; o ângulo que o segmento faz no papel depende de quanto espaço o desenhista deu a cada eixo e pode ser qualquer um. Dois gráficos com os mesmos dados, um com o eixo vertical “esticado” e outro “comprimido”, mostram a mesma reta ora íngreme, ora deitada.

A regra prática para um item de leitura de gráfico é não confiar na aparência: localize dois pontos pelas coordenadas, calcule o que o item pede (diferença, razão, inclinação) e compare com o limiar. Se o item fala em “pontos alinhados” ou “mesma inclinação” num gráfico de unidades diferentes, a decisão é pelas razões $\Delta y / \Delta x$ da seção de alinhamento, nunca pelo ângulo que se vê.

Regiões do plano descritas por desigualdades

Uma coordenada fixada ($x = 3$) descreve uma reta vertical; uma desigualdade numa coordenada ($x > 3$) descreve tudo o que está de um lado dessa reta: um semiplano. Combinando desigualdades descrevem-se faixas, retângulos, quadrantes e os lotes de um terreno.

Os lotes de 2021 são o exemplo de prova: no primeiro quadrante, abaixo de um arco, o lote $A$ era a faixa $0 < x < 1$; o lote $B$, a faixa $1 < x < 3$; à direita de $x = 3$, a reta horizontal $y = 1$ separava o lote $C$ (acima, $y > 1$) do lote $D$ (abaixo, $0 < y < 1$). A casa $(2, 3)$ satisfaz $1 < 2 < 3$: lote $B$ (o arco de cima passa por esse ponto, que é o seu ponto mais alto; a casa está na borda do lote, não fora dele). A casa $(4, 2)$ satisfaz $x > 3$ e $y > 1$: lote $C$. É o que o exemplo resolvido 3 usou.

Uma região descrita por uma desigualdade que mistura $x$ e $y$, como $y > x$ ou $2x + 3y \leq 12$, é também um semiplano, agora limitado por uma reta inclinada; a fronteira é a reta $y = x$ ou $2x + 3y = 12$, e o lado certo se descobre testando um ponto (a origem, se ela não estiver sobre a reta). A página da equação da reta retoma o caso inclinado; aqui, o reflexo que importa é o mesmo: região é um conjunto de desigualdades, e pertencer é satisfazê-las todas.

Como a banca pergunta

Os sete itens reais desta página, todos do PAS 3, mais o item de 2013 reaproveitado da página de Pitágoras, cabem em cinco formatos.

1. Leitura de coordenada com sinal e unidade, tipo A: a bola com o centro em $(-3/25, 0)$ m e raio 11 cm, inteira além da linha (2012/80, C). O cenário é um campo, um mapa ou uma tela; a decisão é um sinal e uma conversão.
2. Ponto sobre uma reta descrita em palavras, tipo A: $B(8, 8)$ sobre a reta pela origem a $45°$, isto é, $y = x$ (2015/118, C). A reta vem descrita, não equacionada; a pergunta é se a abscissa é igual à ordenada.
3. Ponto médio como porta de entrada, tipo C: os meios de $AD$ e $BC$, $\left(-\frac{7}{2}, 2\right)$ e $\left(9, \frac{5}{2}\right)$, e a opção que os dois satisfazem (2015/120, C). Sem os dois pontos médios escritos, frações incluídas, não há o que substituir nas opções.
4. Distância como Pitágoras direto, tipo A: $OQ = 6$ km pelo trio 6-8-10 (2009/103, C); $\sqrt{281}$ contra $\sqrt{250}$ (2013/64, C); $\sqrt{5}$ contra $\pi$ e os lotes por desigualdades (2021/28, C). O limiar vem perto e muitas vezes irracional; compare os quadrados.
5. Área pelos vértices, tipos A e B: o quadrilátero de Segall, 37 e não 36 (2023/37, E); a mesa de 39 dm² (2022/119, resposta 039). Dois triângulos por uma diagonal ou a regra do cadarço; a diferença entre certo e errado é uma unidade.

Três avisos de formato. Primeiro, as coordenadas chegam numa tabela ou numa figura com rótulos, no meio de um texto de outra disciplina (futebol, pintura, lavoura, ninhos de formiga); copie os pares para o rascunho antes de qualquer conta, na ordem $(x, y)$. Segundo, quando o item dá uma regra (uma matriz, uma troca de coordenadas), o julgamento é sobre sinais: aplique a regra a $(x, y)$ e leia. Terceiro, os itens tipo B pedem o número já na unidade e com o fator de escala do comando; a área da mesa era em dm² porque a unidade dos eixos era o decímetro.

Os erros que mais derrubam

• Trocar a ordem do par. O primeiro número é a abscissa (horizontal), sempre. $(3, 5) \neq (5, 3)$.
• Confundir sinal com lado. $x < 0$ é esquerda; $y < 0$ é abaixo. O segundo quadrante é $(-, +)$, não $(+, -)$.
• Dar quadrante a ponto do eixo. $(0, -8)$ está sobre o eixo $y$; $(200, 0)$, sobre o eixo $x$; nenhum dos dois tem quadrante.
• Ignorar a unidade. Centímetros de uma bola num plano em metros; decímetros na área da mesa. Converta antes.
• Ponto médio pela metade. As duas médias, uma por eixo; frações são resultado normal ($-\frac{7}{2}$).
• Extrair raiz para comparar. $d > 5$ é $\Delta x^2 + \Delta y^2 > 25$. $\sqrt{281} > \sqrt{250}$ porque $281 > 250$.
• “Superior” lido como “maior ou igual”. Se a distância dá exatamente o limiar, a afirmação “superior” é falsa.
• Simétrico com o sinal errado. No eixo $x$ troca o $y$; no eixo $y$ troca o $x$; na origem trocam os dois; em $y = x$ trocam de lugar.
• Alinhamento “no olho”. Compare as razões $\Delta y / \Delta x$ ou zere o determinante; com trecho vertical, compare as abscissas.
• Vértices fora de ordem na regra do cadarço. Liste em ordem ao longo do contorno; na dúvida, corte em triângulos.
• Ler ângulo ou distância num gráfico de escalas diferentes. Só as coordenadas valem; a inclinação visual não.
• Região com a borda errada. $x > 3$ exclui a reta $x = 3$; $x \geq 3$ inclui. Teste o ponto em todas as desigualdades.

O essencial em meia página

• Par ordenado: $P(x, y)$, abscissa primeiro. Eixos: $y = 0$ é o eixo $x$; $x = 0$ é o eixo $y$. Unidade do plano vale para as duas coordenadas.
• Quadrantes (sinais): I $(+, +)$, II $(-, +)$, III $(-, -)$, IV $(+, -)$, no sentido anti-horário; ponto de eixo não tem quadrante. Regra dada no item: aplique a $(x, y)$ e leia os sinais.
• Leitura: malha (conte o passo da grade), mapa (origem e unidade do enunciado), planta (escala converte cm em m). Latitude e longitude são as coordenadas da Terra.
• Ponto médio: $M = \left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}\right)$; extremo a partir do meio: $B = 2M - A$; baricentro: média dos três vértices; paralelogramo: meios das diagonais coincidem.
• Distância: $d = \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}$; horizontal ou vertical, módulo da diferença; compare quadrados, não raízes.
• Simetrias: eixo $x$: $(x, -y)$; eixo $y$: $(-x, y)$; origem: $(-x, -y)$; reta $y = x$: $(y, x)$. A reta $y = x$ é a dos pontos com $x = y$, a $45°$ pela origem.
• Translação: $(x, y) \mapsto (x + a, y + b)$, o mesmo vetor para todos os pontos; preserva tudo.
• Alinhamento: mesma razão $\Delta y / \Delta x$ nos dois trechos, ou $(x_B - x_A)(y_C - y_A) - (x_C - x_A)(y_B - y_A) = 0$; trecho vertical: abscissas iguais.
• Área: triângulo com vértice na origem, $\frac{1}{2}|x_1 y_2 - x_2 y_1|$; triângulo ou polígono qualquer, regra do cadarço com os vértices em ordem; ou diagonais e retângulo envolvente.
• Gráficos: leia as coordenadas na escala de cada eixo; inclinação é $\Delta y / \Delta x$ numérico, não ângulo no papel; eixo cortado distorce.
• Regiões: $x > a$ semiplano, $a < x < b$ faixa, duas faixas retângulo; pertencer é satisfazer todas as desigualdades.