Vetores

Duas pessoas puxam uma caixa com forças de 30 N e 40 N. Isso basta para dizer qual é a força resultante? Não: se puxarem no mesmo sentido, os efeitos se reforçam; em sentidos contrários, parte de um efeito compensa o outro. Se as cordas formarem um ângulo reto, a resultante terá outra orientação e outro módulo.

Vetores representam grandezas para as quais o valor numérico e a unidade não bastam. Força, deslocamento, velocidade e aceleração precisam de orientação. Massa, tempo, temperatura e energia são escalares: não apontam para uma direção do espaço.

O que uma seta informa?

O comprimento da seta representa o módulo em uma escala escolhida. A reta que a contém indica a direção, como horizontal ou vertical. A ponta mostra o sentido, como direita ou esquerda. Duas forças horizontais podem ter a mesma direção e sentidos opostos.

A posição em que a seta é desenhada também pode importar. Ao estudar a translação de uma partícula, podemos transportar vetores paralelamente para somá-los. Ao estudar rotação de um corpo extenso, o ponto de aplicação de uma força influencia seu torque; não basta conservar módulo e orientação.

Como somar pelo desenho?

Na regra da ponta com origem, desenhe o segundo vetor começando onde o primeiro termina. A soma vai da origem do primeiro à ponta do segundo. Também é possível desenhar ambos com a mesma origem: a diagonal do paralelogramo formado por eles representa a resultante.

Para vetores de módulos $A$ e $B$, separados por um ângulo $\theta$ quando colocados com a mesma origem, vale:

$$R^2=A^2+B^2+2AB\cos\theta.$$

No mesmo sentido, $R=A+B$. Em sentidos opostos, $R=|A-B|$. Quando são perpendiculares, a relação vira $R=\sqrt{A^2+B^2}$. Esses casos também mostram que a soma dos módulos costuma ser diferente do módulo da soma.

Por que separar em componentes?

Escolha eixos perpendiculares x e y. Um vetor de módulo $A$, formando ângulo $\theta$ a partir do sentido positivo de x, possui componentes $A_x=A\cos\theta$ e $A_y=A\sin\theta$. Os sinais das componentes indicam para que lado cada projeção aponta.

Para somar vários vetores, some as componentes em cada eixo: $R_x=\sum A_x$ e $R_y=\sum A_y$. Depois calcule $R=\sqrt{R_x^2+R_y^2}$. Essa estratégia funciona mesmo quando um desenho com muitas setas fica difícil de interpretar.

Por exemplo, um deslocamento de 6 m para leste seguido de 8 m para norte tem componentes (6, 8) e módulo 10 m. A distância percorrida é 14 m, pois soma os comprimentos do caminho. O deslocamento liga apenas a posição inicial à final.

Como subtrair vetores?

Subtrair $\vec B$ equivale a somar $-\vec B$: mesmo módulo e direção, com sentido invertido. Assim, a variação de velocidade é $\Delta\vec v=\vec v_f-\vec v_i$. É preciso subtrair as componentes ou inverter a seta inicial antes de somar.

Se uma bola chega a uma parede com velocidade de 5 m/s para a direita e volta a 5 m/s para a esquerda, adotando direita positiva, a variação vale $-5-5=-10$ m/s. A rapidez inicial e final é igual, mas a velocidade mudou bastante.

Pode haver aceleração com rapidez constante?

Sim. Em uma curva, a seta velocidade muda de direção. Como aceleração mede a variação do vetor velocidade por tempo, essa mudança produz aceleração mesmo quando o velocímetro mantém a indicação. No movimento circular uniforme, a aceleração aponta para o centro.

Para resolver uma situação vetorial, comece declarando os eixos e sentidos positivos. Registre os sinais, faça a soma por eixo e interprete o resultado no espaço. Um sinal negativo não significa módulo negativo: significa orientação oposta ao sentido positivo escolhido.