Progressão aritmética (PA)

Um ginásio vai receber arquibancadas de 25 filas: a primeira tem 18 assentos e cada fila seguinte tem 4 a mais que a de baixo. Quantos assentos cabem? Alguém começa a somar 18, 22, 26, 30 e desiste na sexta fila. Em dezembro de 2025, a prova do PAS 1 contou que o Templo Mayor, na Cidade do México, foi construído e depois reconstruído sete vezes, chegando a 60 metros na fase final e a 42 metros na terceira, e afirmou que, se a altura tivesse crescido em progressão aritmética, a diferença entre a primeira fase e a última seria de 29 metros. Não havia figura, não havia fórmula. Havia oito fases, duas alturas e uma palavra: aritmética.

As duas situações são o mesmo objeto: uma lista de números em que se soma sempre a mesma quantidade para passar de um ao seguinte. É a progressão aritmética, ou PA. Esta página é sobre como reconhecer uma PA, como chegar a qualquer termo sem escrever os anteriores, por que os termos de uma PA caem sobre uma reta, como somar centenas deles em uma linha e onde a banca planta o erro. A função afim que está por baixo, a progressão geométrica que cresce de outro jeito e os juros que se calculam com PA têm páginas próprias; aqui aparecem como vizinhos.

Uma sequência tem duas contas: a posição e o valor

Uma sequência numérica é uma lista ordenada: há um primeiro número, um segundo, um terceiro. Escreve-se $a_1, a_2, a_3, \ldots$, e o índice diz a posição, não o valor. Em $(7, 11, 15, 19, \ldots)$, o 19 é o valor do quarto termo: $a_4 = 19$. As duas perguntas “quanto vale o vigésimo termo?” e “em que posição aparece o 83?” são diferentes, e boa parte dos erros com PA nasce de responder uma quando se perguntou a outra.

O que define uma sequência é a regra que produz cada termo. A regra pode ser recursiva (cada termo a partir do anterior: “some 4”) ou fechada (cada termo a partir da posição: $a_n = 4n + 3$). A PA é a sequência em que as duas regras são as mais simples possíveis, e a passagem de uma para a outra é o assunto da terceira seção.

O que faz uma sequência ser aritmética

Para decidir se uma lista é PA, subtraia cada termo do seguinte e compare todas as diferenças. Em $(2, 5, 8, 12)$ as duas primeiras valem 3, mas a última vale 4: não é PA. Em $(1, 4, 9, 16)$ as diferenças são $3, 5, 7$: crescem, logo não é PA (é a lista dos quadrados, que vai voltar na prova de 2008). Um enunciado que diz “aumenta 5 a cada mês”, “diminui 0,05 m de um bloco para o de cima”, “cada fila tem 4 assentos a mais” está descrevendo uma PA sem usar o nome. Um que diz “aumenta 10% ao mês” ou “cai pela metade a cada sessão” não está: multiplicar sempre pelo mesmo número é progressão geométrica, e a conta é outra.

Termo geral: conte saltos, não termos

Da pilha de uma cadeira (45 cm) para a de duas (50 cm) há um acréscimo de 5 cm; para a de três, dois acréscimos; para a de dez, nove. É sempre um a menos que a posição, porque o primeiro termo não recebe acréscimo nenhum.

Exemplo resolvido 1: o Templo Mayor (PAS 1 2025, item 23). Oito fases de construção com alturas em PA; a terceira mede 42 m e a oitava, 60 m. A diferença entre a primeira e a última é de 29 m?

Estratégia: dois termos conhecidos dão a razão por $a_n - a_m = (n - m) r$; a pergunta pede $a_8 - a_1$, que é $7r$.

Resolução: de $a_3$ a $a_8$ há $8 - 3 = 5$ saltos: $5r = 60 - 42 = 18$, logo $r = 3{,}6$ m. De $a_1$ a $a_8$ há 7 saltos: $a_8 - a_1 = 7 \cdot 3{,}6 = 25{,}2$ m. Não são 29 m: o item é E.

Conferência: $a_1 = 42 - 2 \cdot 3{,}6 = 34{,}8$ e $a_8 = 34{,}8 + 7 \cdot 3{,}6 = 60$. Bate. De onde veio o 29? De quem contou oito saltos entre oito fases: $8 \cdot 3{,}6 = 28{,}8 \approx 29$. O valor falso foi escolhido para punir exatamente esse erro.

Quando o enunciado dá dois termos de posições distantes, não calcule $a_1$ por reflexo: use $a_n - a_m = (n - m) r$ para achar $r$ e ande a partir do termo mais próximo do que se pede. Se $a_3 = 14$ e $a_8 = 34$, então $5r = 20$, $r = 4$, e $a_{10} = a_8 + 2r = 42$. Voltar até $a_1 = 6$ é possível, mas é um passo a mais em que se pode errar.

A reta que pisa só nos inteiros

Escreva o termo geral de outro jeito: $a_n = a_1 + (n - 1) r = rn + (a_1 - r)$. Isso é $f(n) = rn + b$ com $b = a_1 - r$: uma função afim da posição, avaliada só em $n = 1, 2, 3, \ldots$ A razão da PA é a taxa da reta; o “valor inicial” $b$ é o termo que a PA teria na posição zero. Os pontos $(n, a_n)$ caem todos sobre uma reta, mas a PA só ocupa os pontos de abscissa inteira: é a reta que pisa só nos inteiros.

A tradução vale nos dois sentidos, e a banca cobrou os dois. De PA para reta: em 2011, caixas empilhadas no porão de um navio, a $i$-ésima pilha com $a_i$ caixas em PA; a opção correta do item tipo C dizia que “os centros da última caixa de cada pilha estão alinhados, para qualquer $n \ge 2$”. É a figura acima em palavras: alturas em PA são pontos sobre uma reta. De reta para PA: em 2012, a reta $f(t) = mt + h$ ajustada aos tempos dos 100 metros rasos, e o item afirmava que, se três instantes $t_1, t_2, t_3$ estão em PA, então as imagens $f(t_i)$ desses três instantes também estão. Certo: passos iguais na entrada ($r$) viram passos iguais na saída ($mr$). Função afim preserva PA, com a razão multiplicada pela taxa.

Uma consequência que a prova gosta de testar: a PA cresce em linha reta, o que é rápido para quem soma, mas lento perto de qualquer coisa que multiplica. Em 2023, o item dizia que idosos aumentando em PA de razão um milhão por ano “sempre” seriam mais numerosos que crianças crescendo em PG de razão $q > 1$. Errado: a exponencial acaba furando a reta, qualquer que seja $r$. Reta nenhuma segura uma exponencial, e a página de progressão geométrica desenvolve isso.

Termo médio, pares equidistantes e interpolação

Duas propriedades saem direto do termo geral e economizam contas.

A segunda propriedade é a semente da fórmula da soma, mas já vale por si. Em 2015, as áreas das três velas de uma caravela estavam em PA, e a prova deu as medidas (numa figura) de que saem a maior e a menor área: a soma das três é três vezes a do meio, e a do meio é a média das outras duas. Com valores redondos, se as áreas extremas fossem 12 m² e 36 m², a vela do meio teria 24 m² e a soma seria 72 m² (na prova, com as medidas da figura, o gabarito oficial foi 375 m²). Não é preciso calcular a razão.

Interpolar (ou inserir) meios aritméticos entre dois números é completar uma PA que os tenha como extremos. Inserir $k$ meios entre $a$ e $b$ cria uma PA de $k + 2$ termos, com $k + 1$ saltos: $r = \dfrac{b - a}{k + 1}$.

Exemplo resolvido 2: dividir um percurso em etapas iguais. Um ciclista quer sair do marco 4 km e chegar ao marco 20 km fazendo três paradas igualmente espaçadas. Em que marcos ele para, e qual é o comprimento de cada etapa?

Estratégia: três paradas entre dois extremos são três meios aritméticos; os saltos são $3 + 1 = 4$.

Resolução: $r = (20 - 4)/4 = 4$ km. As paradas ficam nos marcos $8$, $12$ e $16$ km. Cada etapa tem 4 km.

Conferência: $4, 8, 12, 16, 20$ tem cinco termos e quatro diferenças iguais a 4. Se alguém dividisse por 3 (o número de paradas), acharia etapas de $16/3 \approx 5{,}33$ km e a terceira parada cairia em $20$, que é a chegada, não uma parada.

Somar sem somar: o par de Gauss

Voltemos às arquibancadas: 25 filas, $18, 22, 26, \ldots$ Somar uma a uma é o caminho lento. O rápido usa a propriedade dos equidistantes. Escreva a soma duas vezes, a segunda de trás para a frente, e some coluna a coluna:

$$\begin{aligned} S_n &= a_1 + a_2 + \cdots + a_{n-1} + a_n \\ S_n &= a_n + a_{n-1} + \cdots + a_2 + a_1 \\ \hline 2S_n &= (a_1 + a_n) + (a_2 + a_{n-1}) + \cdots + (a_n + a_1) \end{aligned}$$

Cada parêntese vale $a_1 + a_n$, porque são pares equidistantes, e há $n$ parênteses. Logo $2S_n = n(a_1 + a_n)$.

Exemplo resolvido 3: a capacidade das arquibancadas. 25 filas; a primeira com 18 assentos, cada fila seguinte com 4 a mais. A capacidade total é superior a 1 600 assentos?

Estratégia: PA com $a_1 = 18$, $r = 4$, $n = 25$. Para a soma, preciso de $a_{25}$: $n - 1 = 24$ saltos.

Resolução: $a_{25} = 18 + 24 \cdot 4 = 114$. $S_{25} = (18 + 114) \cdot 25 / 2 = 132 \cdot 25 / 2 = 1\,650$. Superior a 1 600: item C.

Conferência: a média entre a primeira fila (18) e a última (114) é 66, e 25 filas de 66 em média dão $1\,650$. A folga é de só 50 assentos: se alguém tivesse contado 25 saltos, $a_{25} = 118$, $S = 1\,700$, e a resposta não mudaria; mas se tivesse usado $a_{25} = 18 + 4 \cdot 25 = 118$ e $n = 24$ por confusão, $S = 1\,632$, ainda C por sorte. Em itens de limiar apertado, a sorte acaba: faça a conta exata.

A soma esconde-se em figuras. Em 2008, o texto-base era O homem que calculava, de Malba Tahan, e Beremiz plantava árvores em arranjos triangulares $(1, 3, 6, 10, \ldots)$ e quadrados $(1, 4, 9, 16, \ldots)$. Os itens afirmavam que o número de árvores do arranjo triangular no $n$-ésimo dia é a soma dos $n$ primeiros termos da PA $(1, 2, 3, \ldots)$, e que o do arranjo quadrado é a soma dos $n$ primeiros ímpares. Ambos certos, e são a fórmula em duas roupas:

$$1 + 2 + \cdots + n = \frac{(1 + n)\,n}{2}, \qquad 1 + 3 + 5 + \cdots + (2n - 1) = \frac{(1 + 2n - 1)\,n}{2} = n^2.$$

Cada ímpar é a borda que transforma um quadrado $(n-1) \times (n-1)$ em $n \times n$; e os números triangulares $t_n = n(n+1)/2$ são a soma de Gauss com outro nome. O tipo B do mesmo bloco pedia $q_{12} - t_{12} = 144 - 78 = 66$.

A PA vestida de fenômeno

A PA quase nunca chega com o nome na frente. Ela vem como parcelas, filas, datas e dinheiro.

Nas parcelas e depósitos, a pergunta “quanto foi pago até o mês $n$?” é $S_n$, e “quanto foi pago no mês $n$?” é $a_n$: leia o enunciado para saber qual das duas ele quer. No calendário, datas que se repetem com intervalo fixo (toda semana, a cada 15 dias, a cada 3 meses) formam PA, e a pergunta “quantas vezes até o fim do ano?” é uma contagem de termos, assunto da próxima seção.

Ler uma tabela e contar termos num intervalo

Uma tabela é PA quando as diferenças entre linhas consecutivas são iguais, com uma condição: as posições também precisam avançar de um em um. Se a tabela mostra $n = 1, 2, 4, 7$ com valores $5, 8, 14, 23$, as diferenças $3, 6, 9$ não são iguais, mas $3/1 = 6/2 = 9/3 = 3$: é PA de razão 3, com termos pulados. Divida a diferença dos valores pela diferença das posições antes de concluir. E confira a razão em todos os pares que a tabela oferece; um enunciado que diz “os dados sugerem uma PA” está pedindo que você teste, não que aceite.

A pergunta inversa é “quantos termos?”. Dado um termo e a razão, a posição sai do termo geral: $a_n = a_1 + (n - 1) r \Rightarrow n = \dfrac{a_n - a_1}{r} + 1$. Se $n$ não for inteiro, o número não é termo da PA. Em $(7, 11, 15, \ldots)$, o 100 daria $n = 93/4 + 1 = 24{,}25$: não pertence, embora esteja entre $a_{24} = 99$ e $a_{25} = 103$.

Exemplo resolvido 4: múltiplos num intervalo. Quantos múltiplos de 7 existem entre 100 e 500? Qual é a soma deles?

Estratégia: os múltiplos de 7 formam uma PA de razão 7. Preciso do primeiro maior que 100 e do último menor que 500, e então da posição do último.

Resolução: $100 = 7 \cdot 14 + 2$, logo o primeiro múltiplo depois de 100 é $7 \cdot 15 = 105$. $500 = 7 \cdot 71 + 3$, logo o último antes de 500 é $7 \cdot 71 = 497$. Número de termos: $n = (497 - 105)/7 + 1 = 56 + 1 = 57$. Soma: $S_{57} = (105 + 497) \cdot 57 / 2 = 602 \cdot 57 / 2 = 301 \cdot 57 = 17\,157$.

Conferência: de $7 \cdot 15$ a $7 \cdot 71$ há $71 - 15 + 1 = 57$ múltiplos (contando os dois extremos), o que confirma $n$ sem a fórmula. E quem esquece o “$+1$” responde 56: entre as posições 15 e 71 há 56 saltos, mas 57 termos. É a mesma armadilha do $n - 1$, vista pelo outro lado.

Se os extremos fossem inclusivos e múltiplos (por exemplo, “de 105 a 497”), nada mudaria; se a pergunta fosse “múltiplos de 7 até 500”, $a_1 = 7$ e $n = 71$. A leitura do intervalo (aberto, fechado, a partir de onde) decide $a_1$ e $a_n$ antes de qualquer fórmula.

Os quatro erros que a banca planta

1. Confundir $n$ com $a_n$. “Qual é o vigésimo termo?” pede $a_{20}$; “em que posição está o 83?” pede $n$. Leia o índice como endereço, não como valor.
2. Multiplicar a razão por $n$ em vez de $n - 1$. Templo Mayor (2025), blocos de pedra (2020), pilha de cadeiras: entre o primeiro e o $n$-ésimo há $n - 1$ saltos. Ao interpolar $k$ meios, os saltos são $k + 1$. Ao contar termos, os termos são saltos $+ 1$.
3. Somar como se fosse PG, ou tratar percentual como acréscimo fixo. PA soma; PG multiplica. “Aumenta 10%” não é PA. E PA de razão enorme ainda perde da PG no longo prazo (2023).
4. Extrapolar o padrão sem confirmar a razão. Dois termos iguais de diferença não fazem PA; teste todas as diferenças, e, em tabelas com posições puladas, divida pela diferença das posições.

O essencial em meia página

• PA: sequência em que $a_{n+1} - a_n = r$ para todo $n$. Razão $r > 0$ crescente, $r < 0$ decrescente, $r = 0$ constante. Acréscimo fixo é PA; acréscimo percentual é PG.
• Termo geral: $a_n = a_1 + (n - 1) r$; entre dois termos, $a_n - a_m = (n - m) r$. Conte saltos: são um a menos que os termos.
• Reta: $a_n = rn + (a_1 - r)$ é uma função afim de domínio $\{1, 2, 3, \ldots\}$; a razão é a taxa. Pontos $(n, a_n)$ alinhados. Função afim preserva PA (razão vira $m r$).
• Propriedades: termo médio $a_n = (a_{n-1} + a_{n+1})/2$; três termos em PA são $x - r, x, x + r$ e somam $3x$; equidistantes dos extremos somam $a_1 + a_n$.
• Interpolação: inserir $k$ meios entre $a$ e $b$ é criar $k + 1$ saltos: $r = (b - a)/(k + 1)$.
• Soma: $S_n = (a_1 + a_n)\, n / 2$, número de termos vezes a média dos extremos; calcule $a_n$ antes, com $n - 1$ saltos. Casos: $1 + \cdots + n = n(n+1)/2$; soma dos $n$ primeiros ímpares $= n^2$.
• Contexto: parcelas e depósitos ($a_n$ = o do mês, $S_n$ = o acumulado), fileiras, blocos, datas com intervalo fixo, juros simples (saldos em PA de razão $C i$).
• Contar termos: $n = (a_n - a_1)/r + 1$; se não der inteiro, não é termo. Múltiplos num intervalo: ache o primeiro e o último dentro do intervalo, depois $n$.
• Tabelas: compare diferenças só com posições que avançam igual; divida pelo passo das posições quando houver termos pulados; confira todos os pares.
• Limiar: calcule o valor exato, depois compare (0,65 não é inferior a 0,60; 1 650 é superior a 1 600).