Função quadrática (função do 2.º grau)

Dezesseis metros de tela e um canteiro retangular para fechar com eles. Com 1 m de largura sobram 7 m para o comprimento e a área é de 7 m²; com 2 m de largura, 12 m²; com 3 m, 15 m²; com 4 m, 16 m²; com 5 m, 15 m² outra vez, e a partir daí cada metro a mais de largura só faz a área diminuir. Uma bola chutada para o alto ganha altura, hesita e volta. Uma lanchonete que sobe o preço do copo de açaí arrecada mais por copo, até que o preço espante gente suficiente para o caixa do dia encolher. Cerca, bola e açaí não têm nada em comum à primeira vista, mas em cada caso há uma quantidade que cresce, culmina e cai, e a pergunta que interessa é a mesma: em que ponto está o máximo, e quanto ele vale?

Por trás das três situações há um só objeto, a função quadrática, e um só desenho, a parábola. Esta página percorre a parábola do começo ao fim: a marca que cada coeficiente deixa no gráfico, os cortes nos eixos, o vértice (onde está e quanto vale), o lado em que o trinômio é positivo, as outras escritas da mesma função e os disfarces que ela usa no PAS/UnB e no ENEM, do pequizeiro ao foguete. Canteiro, bola e açaí servem de fio condutor: cada seção retoma um deles, para que a ideia nova seja testada contra números que você já conhece.

Cinco contas do ensino fundamental que vão aparecer o tempo todo

Quadrado de um número é o produto dele por ele mesmo, e um número e seu oposto têm quadrados iguais: $5^2 = 25$ e $(-5)^2 = 25$. Dessa igualdade nasce a simetria da parábola. O sinal que vem antes da potência só entra depois dela: em $-3t^2$, com $t = 2$, primeiro $2^2 = 4$, depois $-3 \cdot 4 = -12$. Pelo mesmo motivo, $(-5)^2$ e $-5^2$ são números diferentes, $25$ e $-25$.

Para avaliar uma fórmula, ponha o número no lugar da letra. Com $f(x) = x^2 - 6x + 5$, $f(1) = 1 - 6 + 5 = 0$ e $f(4) = 16 - 24 + 5 = -3$. É a conferência mais barata que existe, e pega quase todo deslize de sinal antes que ele se propague.

Produto nulo, fator nulo. Se $x\,(x - 8) = 0$, então $x = 0$ ou $x - 8 = 0$, isto é, $x = 8$. Boa parte das equações do 2.º grau desta página se resolve assim, sem fórmula.

Distribuir e fatorar são operações inversas. $x\,(8 - x) = 8x - x^2$, que se costuma escrever $-x^2 + 8x$; no sentido contrário, pôr o fator comum $x$ para fora devolve $x\,(8 - x)$. Essa ida e volta aparece em quase toda seção.

O meio entre dois números é a média aritmética deles: entre 6 e 14 fica 10. Vai servir porque a parábola é simétrica: se dois pontos do gráfico estão na mesma altura, o eixo de simetria passa pela média das abscissas deles.

A função mais simples da família é $f(x) = x^2$:

Leve os sete pares ao plano cartesiano e una os pontos: aparece um U com o ponto mais baixo em $(0, 0)$ e os dois ramos refletidos um no outro, já que $f(-2) = f(2) = 4$. Observe como os valores mudam de uma coluna para a seguinte: as variações são $-5, -3, -1, +1, +3, +5$. Numa função afim a variação seria sempre a mesma e o gráfico, uma reta; aqui ela cresce a cada passo, e é essa aceleração que encurva o gráfico. Em $g(x) = -x^2$ a tabela inteira troca de sinal ($-9, -4, -1, 0, -1, -4, -9$) e o U fica de cabeça para baixo, com o ponto mais alto em $(0, 0)$. Quem decide entre fundo e topo é o sinal que acompanha o $x^2$.

O que cada coeficiente faz com a parábola

De volta à tela de 16 m. Chame a largura de $x$: largura e comprimento somados dão metade da tela, 8 m, então o comprimento é $8 - x$ e a área vale $A(x) = x\,(8 - x) = -x^2 + 8x$. A tabela da abertura mostrou essa área crescendo até 16 m² e recuando depois; o responsável pelo recuo é o termo $-x^2$, que acaba vencendo o termo $8x$ quando a largura passa de certo ponto.

No canteiro, $A(x) = -x^2 + 8x$ tem $a = -1$, $b = 8$ e $c = 0$. Sem calcular nada: $a$ é negativo, a parábola abre para baixo, e por isso a área tem um valor máximo (16 m², na largura 4 m, como a tabela mostrou); $c = 0$ significa que o gráfico passa pela origem: largura zero, área zero. Conferência com um ponto da tabela: $A(3) = -9 + 24 = 15$.

Agora o caminho inverso, com a figura acima. A parábola abre para cima: $a$ tem de ser positivo. Ela atravessa o eixo $y$ na altura 5: $c = 5$. A função desenhada é $f(x) = x^2 - 6x + 5$, com $a = 1$ e $c = 5$, de acordo com a leitura. A reta vertical tracejada é o eixo de simetria: ela atravessa o vértice, e cada ponto de um lado tem um gêmeo, na mesma altura, do outro lado.

Onde a parábola corta o eixo x: raízes, discriminante, soma e produto

Há duas larguras que deixam o canteiro sem área nenhuma: $x = 0$ (não há largura) e $x = 8$ (toda a metade da tela foi para a largura, e o comprimento ficou nulo). Na escrita fatorada $A(x) = x\,(8 - x)$ os dois valores saltam aos olhos, porque cada um anula um dos fatores. Esses valores de $x$ em que a função vale zero são as raízes da função, e no gráfico correspondem aos pontos em que a parábola encontra o eixo $x$. Nem sempre a fatoração está à mostra; para esses casos existe um procedimento que serve para qualquer trinômio.

Dois testes. No canteiro, $a = -1$, $b = 8$ e $c = 0$ dão $\Delta = 64 - 0 = 64$, $\sqrt{\Delta} = 8$ e $x = (-8 \pm 8)/(-2)$, ou seja, $x = 0$ e $x = 8$, as larguras já conhecidas. Soma $0 + 8 = 8 = -b/a$, produto $0 = c/a$. Forma fatorada: $-1 \cdot (x - 0)(x - 8) = -x\,(x - 8) = x\,(8 - x)$, a expressão original. Na parábola da figura, $f(x) = x^2 - 6x + 5$: $\Delta = 36 - 20 = 16$, $\sqrt{\Delta} = 4$, $x = (6 \pm 4)/2$, raízes 1 e 5. Por soma e produto chega-se ao mesmo sem a fórmula: procura-se um par de números com soma 6 e produto 5, e o par $\{1, 5\}$ é o único que serve.

Nos itens, a raiz tanto pode ser o pedido explícito (o instante em que algo volta ao chão, o ponto em que um arco toca o solo) quanto estar embutida numa equação que o contexto disfarça. A equação $x^2 - x - 1 = 0$, cuja raiz positiva é a razão áurea $\varphi = (1 + \sqrt{5})/2 \approx 1{,}618$, apareceu no PAS 1 em 2021 e em 2024, com pedidos diferentes. No item de 2021, ambientado nas pirâmides de Gizé, bastava a relação de produto: $\varphi \cdot \psi = c/a = -1$, de onde a raiz negativa é $\psi = -1/\varphi$, e ninguém precisou extrair raiz quadrada. No item de 2024, sobre as torres da Catedral de Reims, a afirmação era que $\varphi$ é menor que $1{,}5$; com $\sqrt{5} \approx 2{,}236$ vem $\varphi \approx 3{,}236/2 = 1{,}618$, e a afirmação é falsa. Já em 2019 o percurso foi de trás para a frente: dois grupos de pessoas somavam 162 e tinham produto 1 661, e a pergunta era quanto valia um deles. São as soluções de $x^2 - 162x + 1661 = 0$: $\Delta = 26\,244 - 6\,644 = 19\,600 = 140^2$, $x = (162 \pm 140)/2$, portanto 151 e 11.

Vértice: quando acontece o extremo e quanto ele vale

Na tabela do canteiro, a maior área foi 16 m², na largura 4 m. Olhe a tabela de novo e repare nas repetições: $A(3) = A(5) = 15$, $A(2) = A(6) = 12$, $A(1) = A(7) = 7$, $A(0) = A(8) = 0$. Cada par de larguras com a mesma área tem o 4 exatamente no meio. O ponto do gráfico que fica nesse meio, o mais alto quando a parábola abre para baixo e o mais baixo quando abre para cima, chama-se vértice. Dele saem as duas perguntas que a prova mais repete sobre este assunto: em que valor de $x$ o extremo acontece, e qual é o valor extremo.

A fórmula de $y_v$ sai da de $x_v$. Troque $x$ por $-b/(2a)$ em $ax^2 + bx + c$ e reduza ao denominador comum $4a$:

$$a \cdot \frac{b^2}{4a^2} - \frac{b^2}{2a} + c = \frac{b^2}{4a} - \frac{2b^2}{4a} + \frac{4ac}{4a} = \frac{-b^2 + 4ac}{4a} = -\frac{\Delta}{4a}.$$

No canteiro, $A(x) = -x^2 + 8x$, o vértice pode ser achado de quatro maneiras, e as quatro têm de concordar. Pela fórmula: $x_v = -8/(2 \cdot (-1)) = 4$ e $A(4) = -16 + 32 = 16$. Pelas raízes: $(0 + 8)/2 = 4$. Por duas alturas iguais: $A(3) = A(5) = 15$, e o meio entre 3 e 5 é 4. Pela expressão de $y_v$: $\Delta = 64$ e $-64/(4 \cdot (-1)) = 16$. Largura 4 m, comprimento 4 m: entre os retângulos de perímetro fixo, o de maior área é o quadrado. Agora suponha que, por causa de um muro ou de um caminho, só larguras entre 5 m e 7 m fossem permitidas. O vértice ($x = 4$) está fora desse intervalo; dentro dele a área só decresce, e o maior valor possível é $A(5) = 15$ m², na extremidade esquerda.

O PAS 1 de 2011 descreveu uma população de gaivotões por $g(t) = 50t^2 - 800t + 3\,250$, com $6 \leq t \leq 12$ ($t$ em meses), e afirmou num item que a população “atingiu valores menores que 50”. Como $a = 50 > 0$, o mínimo está no vértice: $t_v = 800/100 = 8$, que pertence ao intervalo, e $g(8) = 3\,200 - 6\,400 + 3\,250 = 50$. A população chega a 50 e não desce dali: a afirmação é falsa, e a distância entre o certo e o errado foi de zero indivíduo. Esse é o item de limiar, o molde que a banca mais usa com o vértice: em vez de perguntar o valor extremo, ela afirma que ele ultrapassa (ou não alcança) certo número, e cabe a você achar $x_v$, obter o valor e compará-lo. Outro exemplo é o pequizeiro de 2023, $Q(t) = -2t^2 + 108t - 576$ em $10 \leq t \leq 45$: $t_v = 27$ está no domínio, $Q(27) = -1\,458 + 2\,916 - 576 = 882$, e o item que dizia “mais de 800 frutos” está certo. Note como o limiar é escolhido rente ao valor real (800 para 882; “menos que 50” para exatamente 50): estimativas grosseiras não decidem o item, só a conta completa.

A mesma parábola, outra escrita: forma canônica e translações

$f(x) = x^2 - 6x + 5$ pode ser escrita como $(x - 3)^2 - 4$. Confira abrindo: $(x - 3)^2 - 4 = x^2 - 6x + 9 - 4 = x^2 - 6x + 5$. A nova escrita mostra o vértice por simples leitura: um quadrado nunca é negativo, então $(x - 3)^2 - 4 \geq -4$, com igualdade só em $x = 3$. Mínimo $-4$ em $x = 3$, sem fórmula.

Um exemplo com $a \neq 1$: $h(t) = -5t^2 + 20t$. Fator comum: $-5\,(t^2 - 4t)$. Metade de $-4$ é $-2$, e $(-2)^2 = 4$: $-5\,(t^2 - 4t + 4 - 4) = -5\,(t - 2)^2 + 20$. Vértice $(2, 20)$, máximo 20, imagem $(-\infty, 20]$, e o gráfico é $y = -5t^2$ deslocado 2 para a direita e 20 para cima. É a bola da seção do lançamento, mais adiante.

A prova já trouxe a quadrática nessa forma. No PAS 1 de 2022, a projeção de uma componente do déficit habitacional era $c(a) = \theta\,(a - 2016)^2 + \gamma$, com $\theta$ e $\gamma$ calculados a partir dos valores de 2016 e 2017 (2 800 000 e 3 000 000). Leitura: o vértice está em $a = 2016$, e $c(2016) = \gamma = 2\,800\,000$; então $c(2017) = \theta + \gamma = 3\,000\,000$ dá $\theta = 200\,000$; e $c(2021) = 200\,000 \cdot 25 + 2\,800\,000 = 7\,800\,000$, mais que o dobro de 2 800 000. Quem reconhece a forma canônica lê o vértice sem conta e usa um ponto para achar o único coeficiente que falta.

Para que lado o trinômio é positivo: sinal e inequações do 2.º grau

Em que larguras a fórmula $A(x) = -x^2 + 8x$ devolve uma área positiva? Só entre 0 e 8. Uma “largura” de 10 m, por exemplo, exigiria comprimento $8 - 10 = -2$ m e daria área $-20$ m², um número sem significado para o canteiro, mas que a função produz sem reclamar. Determinar onde uma função quadrática é positiva, onde é negativa e onde ultrapassa um valor dado é o estudo do sinal, e quase sempre um esboço com a concavidade e as raízes resolve.

Para o canteiro, $a = -1$ e raízes 0 e 8: a área é positiva apenas entre as raízes, $0 < x < 8$, exatamente o que a geometria exige. Uma pergunta mais fina: quais larguras dão mais de 12 m² de área? A condição $A(x) > 12$ equivale a $-x^2 + 8x - 12 > 0$, e esse é o trinômio $g$ do painel direito da figura. Suas raízes têm soma 8 e produto 12, logo são 2 e 6 (de fato, $A(2) = -4 + 16 = 12$). Com $a < 0$, o trinômio é positivo entre as raízes: $2 < x < 6$, o que inclui as larguras 3, 4 e 5 da tabela da abertura e exclui 2 e 6, em que a área é exatamente 12. E $A(x) > 20$? O trinômio $-x^2 + 8x - 20$ tem $\Delta = 64 - 80 = -16 < 0$, portanto conserva o sinal de $a$, negativo, para todo $x$: nenhuma largura serve. Coerente, porque a maior área possível é 16 m².

Um item do PAS 1 de 2018 modelava a chuva diária de maio por $I(x) = -0{,}1x^2 + 3x + 10$, com $x$ o dia do mês ($1 \leq x \leq 31$), e afirmava que o índice passou de 30 mm em menos de dez dias. É uma inequação disfarçada: $I(x) > 30$, ou $-0{,}1x^2 + 3x - 20 > 0$. Multiplicar por $-10$ troca o sentido da desigualdade e limpa os decimais: $x^2 - 30x + 200 < 0$. As raízes são 10 e 20 (soma 30, produto 200), a parábola abre para cima, e o trinômio é negativo entre elas: $10 < x < 20$. Os dias inteiros nesse intervalo vão de 11 a 19, nove ao todo. Menos de dez: item certo. Em 2019 veio o caso oposto: uma das condições de um item era $x^2 - x + 12 \leq 0$, mas $\Delta = 1 - 48 < 0$ com $a > 0$ torna esse trinômio positivo para qualquer $x$ real, e a condição não pode ser satisfeita por número nenhum. Nenhuma alternativa sobrevivia, e a banca anulou o item. Quem domina o sinal do trinômio percebe a falha ainda na leitura.

Da tabela à fórmula: coeficiente desconhecido e segundas diferenças

A prova raramente dá os três coeficientes. Ela dá uma tabela, ou dois ou três pontos, e pergunta algo que depende de um coeficiente que você precisa achar. O método é sempre o mesmo: substitua um ponto conhecido na fórmula e resolva a equação do 1.º grau que sobra.

No pequizeiro de 2023, a tabela dava a produção de frutos de um pequizeiro por ano após o plantio: 80, 117, 152, 185, 216, 245 para $t = 10, 11, \ldots, 15$. Um item propunha $Q(t) = -t^2 + bt - 400$ e afirmava que $b > 80$. O ponto $Q(10) = 80$ resolve: $-100 + 10b - 400 = 80$, logo $10b = 580$ e $b = 58$, muito aquém de 80. Item errado. Um segundo ponto da tabela serve de prova dos nove: $Q(11) = -121 + 638 - 400 = 117$, igual ao valor impresso.

Há um teste que diz, antes de qualquer fórmula, se uma tabela com passos iguais em $x$ é quadrática. Na função afim, as diferenças entre valores consecutivos são constantes. Na quadrática, são as segundas diferenças: as diferenças das diferenças. No pequizeiro: $117 - 80 = 37$, $152 - 117 = 35$, $185 - 152 = 33$, $216 - 185 = 31$, $245 - 216 = 29$. As primeiras diferenças formam uma progressão aritmética de razão $-2$; e, quando o passo em $x$ é 1, a segunda diferença vale $2a$. Aqui $2a = -2$, $a = -1$: a banca não escolheu $-t^2$ por acaso. Com $a = -1$ e dois pontos, $Q(10) = 80$ e $Q(11) = 117$, o sistema $-100 + 10b + c = 80$ e $-121 + 11b + c = 117$ dá, subtraindo, $-21 + b = 37$, $b = 58$ e $c = -400$: a fórmula inteira sai da tabela.

Quando os pontos vêm sem tabela, a simetria costuma ser o caminho curto. No PAS 1 de 2021, uma partícula de ar em convecção tinha posição $p(t) = at^2 + bt + c$ (km, $t$ em horas): 3 km em $t = 0$, 11 km após 10 minutos e de volta a 3 km após mais 20 minutos. Mesma altura em $t = 0$ e $t = 0{,}5$ h: vértice em $t = 0{,}25$. Uma função que vale 3 nesses dois instantes pode ser escrita como $p(t) = 3 + k\,t\,(t - 0{,}5)$, para alguma constante $k$, porque a parcela $k\,t\,(t - 0{,}5)$ se anula em ambos. O terceiro dado fixa $k$: $p(1/6) = 11$ dá $k \cdot \tfrac{1}{6} \cdot (-\tfrac{1}{3}) = 8$, isto é, $-k/18 = 8$ e $k = -144$. No vértice, $p(0{,}25) = 3 + (-144)(0{,}25)(-0{,}25) = 3 + 9 = 12$ km. O item dizia “altura máxima de 12 km”: certo. Três pontos, nenhum sistema 3×3.

A parábola do tempo: lançamento vertical

Uma bola é chutada verticalmente para cima a 20 m/s. Um segundo depois está a 15 m do chão; aos 2 s, a 20 m, e nesse instante sua velocidade é zero; aos 3 s, de novo a 15 m, agora descendo; aos 4 s, de volta ao chão. A altura cresce, culmina e decresce, e a curva que registra a altura ao longo do tempo é um arco de parábola com a abertura voltada para baixo. A razão está na gravidade: a cada segundo ela retira da velocidade a mesma quantidade (cerca de 10 m/s), e uma velocidade que decresce em linha reta produz uma altura que depende do quadrado do tempo.

Bola a 20 m/s, do chão ($h_0 = 0$), com $g = 10$ m/s²: $h(t) = 20t - 5t^2$. Instante do topo: $t_v = 20/10 = 2$ s. Altura máxima: $h(2) = 40 - 20 = 20$ m, que coincide com $v_0^2/(2g) = 400/20 = 20$. Zeros: $20t - 5t^2 = 5t\,(4 - t) = 0$ dá $t = 0$ e $t = 4$; quatro segundos no ar, dois subindo e dois descendo. Os valores da abertura conferem: $h(1) = 20 - 5 = 15$ e $h(3) = 60 - 45 = 15$. É a parábola da figura (lá, um foguete de garrafa PET com a mesma função), e os pontos $(1, 15)$ e $(3, 15)$ marcados nela são esse par de alturas iguais. Mude agora o ponto de partida: a mesma bola, lançada de uma sacada a 25 m, tem $h(t) = 25 + 20t - 5t^2$. O instante do topo não muda ($t_v$ depende só de $v_0$ e $g$), e a altura máxima passa a $25 + 20 = 45$ m; mas o retorno ao solo é a raiz positiva de $25 + 20t - 5t^2 = 0$, ou $t^2 - 4t - 5 = 0$, cujas raízes são $-1$ e 5: a bola chega ao chão em $t = 5$ s, e não em 4. Subida e descida só duram o mesmo quando o ponto de chegada está na altura do ponto de partida.

No PAS 1 de 2025 a pergunta veio em letras. A subida de um foguete era $h(t) = v_{LF}\,t - g\,t^2/2$, e o item pedia a altura máxima entre quatro opções: $v_{LF}^2/g$, $v_{LF}/g$, $v_{LF}^2/(2g)$ e $v_{LF}/(2g)$. Vértice em símbolos: $t_v = v_{LF}/g$, que é a opção B, o instante do topo e não a altura, posta ali para quem troca $x_v$ por $y_v$; e $h(t_v) = v_{LF}^2/g - v_{LF}^2/(2g) = v_{LF}^2/(2g)$, opção C. Dá para decidir antes da conta: velocidade ao quadrado dividida por aceleração tem dimensão de comprimento; velocidade dividida por aceleração dá tempo, o que elimina B e D de saída. E dá para conferir depois, com números: $v = 20$ e $g = 10$ é a bola desta seção, altura máxima 20 m, e das quatro expressões só $v^2/(2g) = 400/20$ dá 20 (as outras dão 40, 2 e 1).

A parábola do dinheiro e do terreno: receita, lucro e área máxima

Uma lanchonete vende açaí no copo e já testou vários preços. A 10 reais o copo, saem 100 copos por dia: 1 000 reais de caixa. A 20 reais, 80 copos e 1 600 reais. A 30 reais, 60 copos e 1 800 reais. A 40 reais, 40 copos e 1 600 reais. A 50 reais, só 20 copos e 1 000 reais. Cada 10 reais a mais no preço afastam 20 clientes; o caixa cresce até 1 800 e depois recua. Subir o preço aumenta o que entra por copo e reduz o número de copos, e a disputa entre as duas coisas tem um vencedor que muda de lado.

Para o açaí, $\alpha = 120$ e $\beta = 2$: $q(p) = 120 - 2p$ e $R(p) = 120p - 2p^2$. Zeros em $p = 0$ e $p = 60$, vértice em $p^* = 30$ e $R(30) = 30 \cdot 60 = 1\,800$ reais, o maior valor da tabela. Agora o custo: se cada copo custa 2 reais para preparar, o custo diário é $2q = 240 - 4p$ e o lucro vale $L(p) = 120p - 2p^2 - (240 - 4p) = -2p^2 + 124p - 240$, com vértice em $p = 124/4 = 31$ e $L(31) = -1\,922 + 3\,844 - 240 = 1\,682$ reais. O preço de lucro máximo ficou acima do de receita máxima: vender um pouco menos também significa gastar menos com matéria-prima. A tabela confirma a posição do vértice: a 30 reais o lucro é $1\,800 - 120 = 1\,680$; a 32 reais, $R(32) = 32 \cdot 56 = 1\,792$ e o custo é $2 \cdot 56 = 112$, lucro $1\,680$ de novo. Alturas iguais em 30 e 32, vértice em 31.

O mesmo molde vale para terreno. Com 30 m de tela e um canteiro encostado num muro (o lado junto ao muro não leva tela), chame de $x$ cada um dos dois lados perpendiculares ao muro: sobram $30 - 2x$ para o lado paralelo, e $A(x) = x\,(30 - 2x) = -2x^2 + 30x$. Zeros em 0 e 15, vértice em $x = 7{,}5$, área máxima $A(7{,}5) = 7{,}5 \cdot 15 = 112{,}5$ m². O pomar do PAS 1 de 2008 tem a mesma estrutura: com 60 pés de maçã, cada pé dava 400 maçãs, e cada árvore acrescentada ao terreno reduzia em 4 a produção de cada pé. Com $x$ árvores a mais, a produção total é $(60 + x)(400 - 4x)$, produto de uma afim crescente por uma afim decrescente, com zeros em $x = -60$ e $x = 100$; o vértice está no meio, $x = 20$, isto é, 80 árvores, e a produção máxima é $80 \cdot 320 = 25\,600$ maçãs. O item que afirmava produção máxima “inferior a 25 000” era errado.

Os erros que a banca já transformou em item

• Trocar $x_v$ por $y_v$. Quando se pergunta quanto, a resposta é a ordenada do vértice, não o instante em que ela ocorre. No foguete de 2025, $v/g$ é um tempo; a altura é $v^2/(2g)$.
• Ler o sinal de $b$ sozinho. Só $-b/(2a)$ posiciona o vértice; leia $a$ na boca primeiro.
• “$\Delta < 0$, então não existe.” Existe a função, existe o vértice, existe o sinal constante; só não existem raízes reais.
• Confundir raiz com vértice. Raiz é onde a função vale zero; vértice é onde ela é máxima ou mínima. Num lançamento do solo, as raízes são a saída e a chegada, e o vértice é o topo, no meio delas.
• Esquecer o domínio. Vértice fora do intervalo de validade manda o extremo para a ponta; boca para baixo tem o mínimo na ponta, nunca no vértice.
• Confundir altura contra tempo com trajetória. A bola lançada para cima sobe e desce na mesma vertical; a parábola do gráfico $h \times t$ não é o desenho do voo. Quando a prova dá $y$ em função da distância horizontal $x$, aí sim a curva é a trajetória.
• Estimar num item de limiar. O limiar é posto rente ao valor exato: faça a conta até o fim.

O essencial em meia página

• Forma e gráfico: $f(x) = ax^2 + bx + c$, $a \neq 0$, parábola. $a > 0$: abre para cima, mínimo; $a < 0$: abre para baixo, máximo. $c = f(0)$ é a altura do corte no eixo $y$. $b$ só posiciona o vértice em parceria com $a$.
• Raízes: $x = (-b \pm \sqrt{\Delta})/(2a)$, $\Delta = b^2 - 4ac$. $\Delta > 0$: duas; $\Delta = 0$: uma dupla (tangencia); $\Delta < 0$: nenhuma real. Soma das raízes $-b/a$ e produto $c/a$; forma fatorada $a(x - x_1)(x - x_2)$.
• Vértice: $x_v = -b/(2a)$; é também o meio entre as raízes e o meio entre dois $x$ de imagens iguais. $y_v = f(x_v) = -\Delta/(4a)$. Pedem $x_v$ ou $y_v$? O vértice está no domínio?
• Forma canônica: $f(x) = a(x - x_v)^2 + y_v$; imagem $[y_v, +\infty)$ ou $(-\infty, y_v]$; gráfico de $ax^2$ transladado.
• Sinal: fora das raízes, sinal de $a$; entre elas, o oposto; $\Delta < 0$: sinal de $a$ em toda a reta. Inequação do 2.º grau: leve tudo para um lado e estude o sinal do trinômio que sobra.
• Tabela: coeficiente desconhecido sai de um ponto impresso; segundas diferenças constantes ($= 2a$ para passo 1) denunciam a quadrática.
• Lançamento: $h(t) = h_0 + v_0 t - \tfrac{1}{2}gt^2$; topo em $t_v = v_0/g$, altura $h_0 + v_0^2/(2g)$; do solo, subida e descida com a mesma duração.
• Receita: $q = \alpha - \beta p$ dá $R = \alpha p - \beta p^2$, máxima em $p^* = \alpha/(2\beta)$; lucro máximo em outro preço quando produzir custa.

E a pergunta da abertura? Cerca, bola e açaí são a mesma conta porque cada um é um produto de duas grandezas que se movem em sentidos opostos: largura vezes um comprimento que encolhe, tempo vezes uma velocidade que a gravidade consome, preço vezes uma quantidade que o preço afasta. O produto de uma afim crescente por uma afim decrescente é uma quadrática com $a < 0$, e seu máximo fica a meio caminho entre os dois zeros: onde uma das grandezas ainda não é zero e a outra já não é tudo.