Logaritmos e função logarítmica

Uma quantia dobra a cada ano. Quantos anos até R$ 1 000 passarem de R$ 1 000 000? A função exponencial responde à pergunta “quanto haverá depois de $x$ anos”: $1000 \cdot 2^x$. Aqui a pergunta é a outra, feita ao contrário: “quantos anos até chegar a um valor?”. Precisamos do expoente $x$ tal que $2^x = 1000$. Como $2^9 = 512$ e $2^{10} = 1024$, a resposta está entre 9 e 10: no décimo ano a quantia já passou do milhão. Esse expoente tem nome: logaritmo. Um sussurro a 30 dB e um show a 90 dB diferem em intensidade por um fator de um milhão, e a escala dos decibéis só cabe numa régua porque conta quantos fatores de 10 há entre os dois. Uma chuva de pH 4 é cem vezes mais ácida que uma de pH 6, porque cada unidade a menos de pH é uma concentração dez vezes maior. Nas três cenas, o número que se lê é um expoente.

Esta página constrói o logaritmo por inteiro: a definição como pergunta invertida, as condições em que ele existe, as consequências imediatas que valem como conferência, as quatro propriedades demonstradas a partir das potências, o logaritmo decimal e o natural com as constantes que a prova imprime, as equações exponenciais que só fecham com log, as equações e inequações logarítmicas e seu domínio, a função logarítmica como espelho da exponencial, as escalas logarítmicas (pH, Richter, decibéis, carbono-14) e a leitura de eixos em escala log, e os erros que já viraram item. O milhão, o show e a chuva ácida voltam ao longo das seções, com os mesmos números.

A pergunta feita ao contrário: que expoente?

Toda potência junta três números: base, expoente e resultado. $2^5 = 32$. Conhecidos dois deles, o terceiro se recupera. Conhecidos base e expoente, o resultado é a potência ($2^5 = ?$). Conhecidos expoente e resultado, a base é a raiz ($?^5 = 32$, e a resposta é $\sqrt[5]{32} = 2$). Conhecidos base e resultado, o expoente é o logaritmo ($2^{?} = 32$, e a resposta é 5). As três operações são a mesma igualdade lida por três lados.

O logaritmo não é um símbolo novo com regras próprias: é a mesma tabela de potências consultada de trás para a frente. Quem sabe as fileiras de $2^n$, $3^n$ e $10^n$ da página de função exponencial já sabe dezenas de logaritmos. $\log_3 81$? Procure 81 na fileira do 3: $3^4 = 81$, logo 4. $\log_2 (1/8)$? $1/8 = 2^{-3}$, logo $-3$. $\log_{10} 0{,}01$? $0{,}01 = 10^{-2}$, logo $-2$.

Exemplo resolvido 1 (o milhão). Uma quantia dobra a cada ano. Em quantos anos R$ 1 000 passam de R$ 1 000 000? A pergunta é $1000 \cdot 2^x = 10^6$, isto é, $2^x = 1000$, e a resposta é $x = \log_2 1000$. Sem tabela, o sanduíche entre potências vizinhas: $2^9 = 512 < 1000 < 1024 = 2^{10}$, logo $9 < x < 10$; para um item que pergunte “em menos de 10 anos?”, isso basta. Com a propriedade da potência (que a seção seguinte demonstra): $\log_2 1000 = \log_2 10^3 = 3 \log_2 10$; se o enunciado der $\log_2 10 \approx 3{,}32$, então $x \approx 9{,}96$ anos. Conferência: 9,96 está entre 9 e 10, como o sanduíche mandava, e bem perto de 10, o que faz sentido porque 1 000 está bem perto de 1 024.

Quando o logaritmo existe, e o que ele vale de graça

As três condições da definição não são capricho: cada uma tapa um buraco.

• Logaritmando positivo ($y > 0$). Uma potência de base positiva nunca dá zero nem número negativo: $2^x$ é positivo para todo $x$ real. Logo $\log_2 0$ e $\log_2(-8)$ não existem. Pergunta sem resposta não recebe símbolo.
• Base positiva ($b > 0$). Com base negativa, a potência nem está definida para todo expoente ($(-2)^{1/2}$ não é real), e nos inteiros o sinal alterna: não há como inverter a operação de forma limpa.
• Base diferente de 1 ($b \neq 1$). Todas as potências de 1 valem 1: $1^x = 1$. A pergunta “$1^{?} = 5$” não tem resposta, e “$1^{?} = 1$” tem infinitas. A base 1 não distingue nada.

Duas consequências servem de conferência instantânea. Como $\log_{10} 100 = 2$ e $\log_{10} 1000 = 3$, o logaritmo decimal de qualquer número entre 100 e 1 000 está entre 2 e 3: $\log_{10} 200$, $\log_{10} 500$ e $\log_{10} 999$ começam todos com “2,”. Quem calcula $\log_{10} 200$ e acha 1,3 ou 3,3 errou antes de arredondar. Do mesmo modo, $\log_{10} 1000 = 3$, e não 4: conta-se o número de zeros, isto é, de fatores 10, não o número de algarismos.

Em expressões com variável, a condição de existência vira uma inequação a resolver antes de qualquer transformação. $\log_3(x - 2)$ exige $x - 2 > 0$, isto é, $x > 2$. $\log_2(x - 1) + \log_2(x - 3)$ exige as duas ao mesmo tempo, $x > 1$ e $x > 3$, logo $x > 3$. Uma solução da equação transformada que não pertença ao domínio original não é solução: é o tropeço mais frequente das equações logarítmicas, tratado adiante.

As quatro propriedades vêm das potências, e por isso multiplicar vira somar

Cada propriedade do logaritmo é uma propriedade da potência lida ao contrário. Chame $u = \log_b x$ e $v = \log_b y$, isto é, $x = b^u$ e $y = b^v$.

Produto. $x \cdot y = b^u \cdot b^v = b^{u+v}$. Logo o expoente que dá $xy$ é $u + v$:

$$\log_b(x \cdot y) = \log_b x + \log_b y.$$

Quociente. $\dfrac{x}{y} = \dfrac{b^u}{b^v} = b^{u-v}$, logo

$$\log_b\left(\frac{x}{y}\right) = \log_b x - \log_b y.$$

Potência. $x^k = (b^u)^k = b^{ku}$, logo

$$\log_b\left(x^{k}\right) = k \cdot \log_b x.$$

Um caso particular útil: $\log_b \sqrt[n]{x} = \dfrac{1}{n}\log_b x$, porque raiz é expoente $1/n$.

Mudança de base. Quando a base disponível não é a que o problema pede, qualquer base $c$ admissível serve de ponte. Se $x = b^u$, aplique $\log_c$ aos dois lados: $\log_c x = u \cdot \log_c b$, e então

$$\log_b x = \frac{\log_c x}{\log_c b}.$$

Como $b \neq 1$, o denominador nunca é zero. Assim $\log_2 5 = \dfrac{\log 5}{\log 2} = \dfrac{\ln 5}{\ln 2}$: a razão entre dois logaritmos na mesma base não depende de qual base foi usada. Um caso especial: $\log_b a = \dfrac{1}{\log_a b}$.

Leia-as no sentido dos exemplos: $\log_2 (8 \cdot 4) = \log_2 8 + \log_2 4 = 3 + 2 = 5$, e de fato $2^5 = 32 = 8 \cdot 4$. $\log_2 (32/4) = 5 - 2 = 3$, e $2^3 = 8$. $\log_2 8^3 = 3 \cdot 3 = 9$, e $2^9 = 512 = 8^3$. Nas três, o logaritmo transformou uma operação em outra mais simples um degrau abaixo: produto em soma, quociente em diferença, potência em produto. Foi para isso que ele nasceu, no século XVII, quando multiplicar números de sete algarismos à mão custava horas e as tábuas de logaritmos trocavam a multiplicação por uma soma e uma consulta.

Uma consequência com nome: aplicar log aos termos de uma progressão geométrica produz uma progressão aritmética. Se $a_n = a_1 q^{n-1}$, então $\log a_n = \log a_1 + (n-1)\log q$: os termos viram uma sequência que anda somando $\log q$. Multiplicar pela razão virou somar o log da razão. Uma PG de razão 100 vira, em log decimal, uma PA de razão 2.

Exemplo resolvido 2 (constantes impressas). Com $\log 2 = 0{,}30$ e $\log 3 = 0{,}48$, calcule $\log 72$, $\log 5$ e $\log 0{,}15$. Fatore: $72 = 2^3 \cdot 3^2$, logo $\log 72 = 3 \log 2 + 2 \log 3 = 0{,}90 + 0{,}96 = 1{,}86$. Conferência: 72 está entre 10 e 100, e 1,86 está entre 1 e 2. Para o 5, não há fator 5 na tabela, mas $5 = 10/2$: $\log 5 = \log 10 - \log 2 = 1 - 0{,}30 = 0{,}70$. E $0{,}15 = 15/100 = 3 \cdot 5 / 100$: $\log 0{,}15 = 0{,}48 + 0{,}70 - 2 = -0{,}82$, negativo como todo logaritmo de número entre 0 e 1. Com apenas $\log 2$ e $\log 3$ decorados, alcançam-se os logaritmos de 4, 5, 6, 8, 9, 12, 15, 16, 18, 20, 24, 25, 27 e de todo número cujos fatores primos são 2, 3 e 5.

Duas bases especiais: o 10 da nossa escrita e o e dos modelos contínuos

Quando a base não vem escrita, $\log y$ significa logaritmo decimal, base 10. É a base da nossa numeração: $\log 10 = 1$, $\log 100 = 2$, $\log 1\,000\,000 = 6$; o logaritmo decimal conta os fatores de 10, e sua parte inteira diz quantos algarismos o número tem antes da vírgula (um número com $\log$ entre 2 e 3 tem três algarismos). É a base do pH, dos decibéis e da escala Richter.

A segunda base é o número $e \approx 2{,}718$, e $\ln y = \log_e y$ é o logaritmo natural. Ele aparece sempre que um modelo é escrito como $N(t) = N_0 e^{kt}$: populações, epidemias, decaimento radioativo, juros contínuos. Nada muda no que você aprendeu: $e^{kt} = (e^k)^t$ é uma exponencial de fator $e^k$ por unidade de tempo, e $\ln$ é o logaritmo que a desfaz, $\ln e^{kt} = kt$. Uma leitura útil: $\ln(1 + i) \approx i$ para taxas pequenas ($\ln 1{,}1 \approx 0{,}095$), e é daí que sai a regra do 70 dos juros compostos.

Equações exponenciais que só fecham com logaritmo

Quando as duas bases conversam, não há logaritmo a calcular: $2^{0{,}0032h} = 4 = 2^2$ dá $h = 625$ km igualando expoentes, e $3^{2x-1} = 1/27$ dá $x = -1$. O logaritmo entra quando as bases não conversam: $2^x = 10$, $1{,}11^t = 2$, $e^{0{,}2t} = 3$. Aí o método é um só: aplicar o logaritmo (na base que a prova forneceu) aos dois lados e descer o expoente pela propriedade da potência.

Exemplo resolvido 3 (o tempo até um limiar). O volume de lixo de um depósito cresce 11% ao mês. Em quantos meses ele dobra? A equação é $1{,}11^t = 2$. Bases que não conversam. Com $\log 2 = 0{,}30$ e $\log 1{,}11 = 0{,}045$ (dados do enunciado): $t \cdot \log 1{,}11 = \log 2$, logo $t = 0{,}30/0{,}045 \approx 6{,}7$ meses: o volume dobra no sétimo mês. Conferência pelo sanduíche: $1{,}11^6 \approx 1{,}87 < 2 < 2{,}08 \approx 1{,}11^7$, logo $6 < t < 7$. E pela regra do 70: $70/11 \approx 6{,}4$, mesma vizinhança. As três rotas concordam.

Exemplo resolvido 4 (meia-vida com $\ln 2$). A atividade de um radiofármaco decai segundo $N(t) = N_0 e^{-0{,}014t}$, $t$ em horas. Com $\ln 2 = 0{,}7$, qual é a meia-vida? Meia-vida é o $t$ em que $N = N_0/2$: $e^{-0{,}014t} = 1/2$. Aplicando $\ln$: $-0{,}014t = \ln(1/2) = -\ln 2 = -0{,}7$, logo $t = 0{,}7/0{,}014 = 50$ horas. Conferência: em 100 horas restaria $(1/2)^2 = 1/4$, e $e^{-1{,}4} \approx 0{,}25$. Repare no padrão que vale para todo decaimento $N_0 e^{-kt}$: a meia-vida é $T = \dfrac{\ln 2}{k}$, e a constante $k$ é $\dfrac{\ln 2}{T}$. Foi exatamente essa relação, com $t_{1/2} = \ln 2 / \kappa$, que o PAS 2 de 2023 imprimiu no texto-base do item sobre o rádio-226 de Marie Curie.

Nos itens de 2.ª etapa, essa conta aparece de dois jeitos. Ou o modelo é dado e se pergunta quando ele atinge um valor ($e^{0{,}2t} = 3 \Rightarrow t = \ln 3 / 0{,}2 = 5{,}5$ anos, PAS 2 2019), ou dois valores são dados e se pergunta a constante ($e^{150k} = 17/16 \Rightarrow k = (\ln 17 - \ln 16)/150$, PAS 2 2023). Nos dois, o logaritmo é a ferramenta que tira o desconhecido do expoente.

Equações e inequações logarítmicas: domínio primeiro, base decide o sentido

Uma equação logarítmica tem a incógnita dentro do logaritmando. O roteiro tem três passos, e o primeiro é o que os alunos pulam: (1) escreva o domínio (condições de existência); (2) junte tudo num só logaritmo com as propriedades e volte à forma exponencial, ou iguale logaritmandos quando os dois lados são logaritmos na mesma base ($\log_b u = \log_b v \iff u = v$, porque a função é injetora); (3) descarte as soluções fora do domínio.

Exemplo resolvido 5 (a raiz que não serve). Resolva $\log_2(x - 1) + \log_2(x - 3) = 3$. Domínio: $x > 1$ e $x > 3$, logo $x > 3$. Juntando: $\log_2[(x-1)(x-3)] = 3$, e pela definição $(x-1)(x-3) = 2^3 = 8$, isto é, $x^2 - 4x + 3 = 8$, ou $x^2 - 4x - 5 = 0$, cujas raízes são $x = 5$ e $x = -1$. A raiz $-1$ está fora do domínio ($\log_2(-2)$ não existe): descartada. Solução: $x = 5$. Conferência: $\log_2 4 + \log_2 2 = 2 + 1 = 3$. Quem pula o passo 1 apresenta duas respostas, e uma delas não é número nenhum.

Outros dois formatos frequentes. Logaritmo igual a logaritmo: $\log_3(2x + 1) = \log_3(x + 5)$ dá $2x + 1 = x + 5$, $x = 4$, e o domínio ($x > -1/2$) confirma. Incógnita na base: $\log_x 25 = 2$ dá $x^2 = 25$, e das raízes $\pm 5$ só $x = 5$ é base admissível.

Nas inequações, a base decide o sentido. Como $\log_b$ é crescente para $b > 1$, aplicar ou retirar o logaritmo mantém a desigualdade; para $0 < b < 1$ a função é decrescente e o sentido inverte. Sempre com o domínio junto:

• $\log_2 x > 3$: base maior que 1, logo $x > 2^3 = 8$.
• $\log_{1/2} x > 3$: base entre 0 e 1, logo $x < (1/2)^3 = 1/8$; com o domínio, $0 < x < 1/8$.
• $\log_3(x - 2) \leq 1$: domínio $x > 2$; base maior que 1, $x - 2 \leq 3$, logo $2 < x \leq 5$.

O mesmo cuidado vale ao passar da exponencial para o expoente: $(1/2)^x > (1/2)^5$ dá $x < 5$, não $x > 5$.

A função logarítmica é a exponencial vista no espelho

Fixe uma base $b > 1$, digamos 2. A exponencial $f(x) = 2^x$ leva cada expoente ao seu resultado: $3 \mapsto 8$. A função logarítmica $g(x) = \log_2 x$ faz o caminho de volta: $8 \mapsto 3$. Uma desfaz a outra, $g(f(x)) = \log_2 2^x = x$ e $f(g(x)) = 2^{\log_2 x} = x$: são funções inversas, no sentido da página de funções. E funções inversas têm gráficos simétricos em relação à reta $y = x$: o ponto $(3, 8)$ de uma é o ponto $(8, 3)$ da outra.

Tudo o que a exponencial tem no eixo $y$, o logaritmo tem no eixo $x$, e vice-versa. A imagem da exponencial ($y > 0$) vira o domínio do logaritmo ($x > 0$); o intercepto $(0, 1)$ vira $(1, 0)$; a assíntota horizontal $y = 0$ vira a assíntota vertical $x = 0$.

A última propriedade da lista é a alma das escalas logarítmicas. Numa reta comum, andar um passo soma uma unidade à grandeza. Numa escala logarítmica, andar um passo multiplica a grandeza por um fator fixo. É o que permite pôr na mesma régua de uma dezena de unidades um sussurro e uma turbina, um tremor imperceptível e um terremoto devastador.

As escalas logarítmicas: pH, Richter, decibéis e carbono-14

Um sussurro e um show de rock diferem em intensidade sonora por um fator de um milhão. Numa régua comum, o sussurro seria um risco invisível ao lado do show. A escala dos decibéis mede não a intensidade, mas quantos fatores de 10 ela contém: sussurro perto de 30 dB, show perto de 90 dB; os 60 dB de diferença são seis fatores de 10, um milhão. Acidez, terremotos e a idade de um sítio arqueológico se medem do mesmo jeito.

pH. A concentração de íons $\mathrm{H}^+$ numa solução vai de $10^{-14}$ a $1$ mol/L, catorze ordens de grandeza. O pH é o expoente com o sinal trocado: $[\mathrm{H}^+] = 10^{-5}$ mol/L é pH 5; $10^{-7}$ é pH 7 (neutro). O sinal de menos existe porque os expoentes são negativos e é mais cômodo ler números positivos; a consequência é que pH menor é mais ácido. Uma unidade de pH é um fator 10 na concentração; duas, um fator 100. Quando a concentração não é potência exata de 10, entram as propriedades: $[\mathrm{H}^+] = 2 \times 10^{-3}$ dá $\mathrm{pH} = -(\log 2 - 3) = 3 - 0{,}30 = 2{,}7$.

Exemplo resolvido 6 (calagem no Cerrado). Uma produtora corrigiu a acidez do solo com calcário, e o pH subiu de 5 para 6. O item a julgar: “a concentração de íons $\mathrm{H}^+$ passou a valer um décimo da inicial”. Traduza cada pH em concentração: pH 5 corresponde a $[\mathrm{H}^+] = 10^{-5}$ mol/L; pH 6, a $10^{-6}$ mol/L. A razão entre os dois valores é 10, com o valor final menor; dividir por 10 é ficar com um décimo. Certo. O passo de uma unidade na escala esconde uma queda de dez vezes na grandeza medida: é assim que o logaritmo comprime.

Decibéis. O nível sonoro compara a intensidade $I$ com o limiar da audição $I_0 = 10^{-12}$ W/m²: $L = 10\log(I/I_0)$. O próprio limiar vale 0 dB ($\log 1 = 0$); o limiar da dor, $I = 1$ W/m², vale $10 \log 10^{12} = 120$ dB. Cada 10 dB a mais multiplicam a intensidade por 10; 3 dB a mais quase a dobram ($10^{0{,}3} = 2$). Foi essa conta que o PAS 2 de 2015 pediu num tipo B: um amplificador que multiplica a intensidade por $72 \times 10^9$ adiciona $10\log(72 \times 10^9) = 10(3\log 2 + 2\log 3 + 9) \approx 108$ dB.

Richter. A magnitude é o logaritmo decimal da amplitude registrada no sismógrafo (com uma correção pela distância). Uma unidade a mais é amplitude dez vezes maior; em energia liberada, cada unidade multiplica por cerca de 32 ($10^{1{,}5}$), e duas unidades, por cerca de 1 000. Amplitude e energia são grandezas diferentes na mesma escala, e trocar uma pela outra é distrator clássico. A tabela impressa no PAS 1 de 2016 dizia isso em massa de TNT: magnitude 2,0 equivale a 6 kg, 3,0 a 181 kg, 4,0 a 6 t e 5,0 a 199 t, cerca de 32 vezes por degrau (a última linha da tabela, 1 270 t para a magnitude 6,0, foge ao padrão das anteriores, mas era o dado impresso, e o item usava a tabela como estava).

Carbono-14. Todo ser vivo repõe carbono-14 enquanto vive; morto, o isótopo só decai, com meia-vida de 5 730 anos. Medir a fração restante e perguntar “quantas meias-vidas se passaram?” é a pergunta invertida desta página: $(1/2)^{t/5730} = f$ dá $t = 5730 \cdot \log_{1/2} f = 5730 \cdot \dfrac{\log f}{\log(1/2)}$. Com fração $1/8$, são três meias-vidas, 17 190 anos, sem log nenhum. Com fração 20%, $t = 5730 \cdot \dfrac{\log 0{,}2}{-\log 2} = 5730 \cdot \dfrac{0{,}70}{0{,}30} \approx 13\,370$ anos. O PAS 2 de 2018 cobrou a versão sem log: 320 desintegrações por minuto no material vivo contra 5 no derivado de petróleo é uma razão 64 $= 2^6$, seis meias-vidas, cerca de 34 mil anos.

Ler o item como a banca escreve

O item de logaritmo raramente diz “logaritmo”. Ele imprime um modelo com $e^{kt}$ ou $2^{t/T}$ e pergunta quando; ou imprime uma fórmula de escala ($L = 10\log(I/I_0)$, $\mathrm{pH} = -\log[\mathrm{H}^+]$) e afirma um degrau como fator; ou fornece “$\log 2 = 0{,}30$ e $\log 3 = 0{,}48$” e pede um número que só se alcança fatorando. O protocolo:

1. Iguale bases antes de chamar o log. $2^{0{,}0032h} = 4$ não precisa de logaritmo. Só quando as bases não conversam ($1{,}11^t = 2$, $e^{0{,}2t} = 3$) o log entra.
2. Sanduíche primeiro, em item de julgamento. “$\log 200$ está entre 2 e 3?” se decide com $100 < 200 < 1000$. “$2^x = 100$, então $6 < x < 7$?” se decide com $64 < 100 < 128$. Muitos itens do tipo A não pedem o valor, pedem a posição.
3. Trate a constante impressa como mapa. $\ln 2 = 0{,}7$, $\log_2 3 = 1{,}58$, $\ln 17 - \ln 16$: a constante indica a fatoração que a banca espera. Se a sua conta não a usou, a rota está errada.
4. Fatore o logaritmando. $\log 72 = 3\log 2 + 2\log 3$; $\log 5 = 1 - \log 2$; $\log 99 = 2\log 3 + \log 11$. A tabela da prova só tem primos pequenos.
5. Domínio antes, descarte depois. Toda equação logarítmica devolve candidatos; só os que respeitam $x > 0$ (ou $x - 1 > 0$, etc.) são soluções.
6. Escala → fator. Antes de julgar “dobra”, “dez vezes”, “inferior a”, converta o degrau da escala no fator da grandeza e compare o exato com o limiar.
7. Leia o gráfico pelos pontos certos. Numa curva logarítmica, o cruzamento com o eixo $x$ é $x = 1$, e o ponto onde $y = 1$ revela a base. Num eixo em escala log, uma reta é uma exponencial, e “estabilizar” exige um patamar que uma exponencial sobre um logaritmo nunca alcança (PAS 2 2018: população $\propto e^{0{,}005t}$ sobre área $\propto \ln t$ não estabiliza).

Os erros que a banca já transformou em item

• Log de soma. $\log_2(8 + 8) = 4$, não 6. Não há propriedade para soma nem para diferença.
• $\log_b(x^2)$ contra $(\log_b x)^2$. O primeiro é $2\log_b|x|$; o segundo, o quadrado do resultado. Teste com 1 000: 6 contra 9.
• Base esquecida. $\log 100 = 2$ é base 10; $\ln 100 \approx 4{,}6$ é base $e$; $\log_2 100 \approx 6{,}6$. Sem base escrita, é 10. Nos modelos com $e$, é $\ln$ que desfaz o expoente, e a banca imprime $\ln$, não $\log$.
• Logaritmando negativo aceito. $\log_2(x - 3)$ com $x = 1$ não é “$\log_2(-2) =$ algum número”: não existe. Raiz fora do domínio é descartada, não “resposta negativa”.
• “Dobrar o valor dobra o log”. $\log 200 \approx 2{,}30$ e $\log 400 \approx 2{,}60$: dobrar o número soma $\log 2 \approx 0{,}30$, não dobra o logaritmo. É a mesma confusão que faz alguém achar que 80 dB é “o dobro” de 40 dB.
• Contar algarismos em vez de zeros. $\log 1000 = 3$ (três fatores de 10), não 4. Ao contrário, um número com $\log$ entre 30 e 31 tem 31 algarismos, não 30.
• Inverter o sentido na base errada. $\log_{1/2} x > 3$ dá $x < 1/8$ (e $x > 0$), porque a função de base entre 0 e 1 é decrescente. Quem mantém o sentido acha $x > 1/8$.
• Amplitude por energia na Richter. $+1$ na magnitude é amplitude $\times 10$; em energia, $\times 32$. O item “uma unidade a mais multiplica por 10 a energia liberada” é Errado.
• Arredondar antes da hora. Com $\log 2 = 0{,}301$ e $\log 3 = 0{,}477$, o item 2015/83 dá $108{,}57$ dB: quem usa $0{,}3$ e $0{,}5$ acha $109$ e, no tipo B, marca errado. Carregue as casas fornecidas até o fim e só então despreze a parte fracionária.
• Ler decaimento como logaritmo. Uma massa que decai não é “função logaritmo $M_0\log(kt)$” (PAS 2 2011, item 46, Errado): a função logarítmica cresce sem teto e é negativa para $kt < 1$; o decaimento é exponencial, $M_0 e^{-kt}$, positivo e decrescente.

O essencial em meia página

• Definição: $\log_b y = x \iff b^x = y$, com $b > 0$, $b \neq 1$ e $y > 0$. Logaritmo é o expoente; é a tabela de potências lida ao contrário.
• Consequências: $\log_b 1 = 0$, $\log_b b = 1$, $\log_b b^k = k$, $b^{\log_b x} = x$; entre 0 e 1 o log é negativo. Sanduíche entre potências vizinhas localiza qualquer log sem tabela.
• Propriedades (das potências): $\log_b(xy) = \log_b x + \log_b y$; $\log_b(x/y) = \log_b x - \log_b y$; $\log_b x^k = k\log_b x$; $\log_b x = \dfrac{\log_c x}{\log_c b}$. Nada para soma. Log de PG é PA.
• Bases: $\log$ é base 10 (conta fatores de 10; pH, dB, Richter); $\ln$ é base $e \approx 2{,}718$ (modelos $e^{kt}$; meia-vida $T = \ln 2 / k$). Valores: $\log 2 \approx 0{,}30$, $\log 3 \approx 0{,}48$, $\ln 2 \approx 0{,}69$; a prova imprime os que usa.
• Equação exponencial com bases que não conversam: log nos dois lados, expoente desce, $x = \log y / \log b$. Bases que conversam: iguale expoentes, sem log.
• Equação logarítmica: domínio primeiro, junte num só log, volte à exponencial, descarte o que está fora do domínio. Inequação: base $> 1$ mantém o sentido; base entre 0 e 1 inverte.
• Função $\log_b x$: inversa de $b^x$, espelho na reta $y = x$; domínio $x > 0$, imagem $\mathbb{R}$, passa por $(1, 0)$ e $(b, 1)$, assíntota vertical $x = 0$, crescente se $b > 1$; multiplicar $x$ por $b$ soma 1 a $y$.
• Escalas: $+1$ na escala $= \times$ fator. pH: $\times 10$ em $[\mathrm{H}^+]$ por unidade a menos. Decibéis: $+10$ dB $= \times 10$. Richter: $+1 = \times 10$ em amplitude, $\times 32$ em energia. C-14: meia-vida 5 730 anos, $(1/2)^{t/5730}$. Escala não é grandeza: traduza o degrau em fator antes de julgar.
• Eixo em escala log: exponencial vira reta; a inclinação é o log do fator.