Geradores e receptores elétricos

Quem já ficou com o carro parado numa manhã fria conhece a cena. A chave gira, o painel acende, o rádio toca, e o motor de partida responde com um estalo seco e um zumbido curto. O voltímetro do painel marcava 12 V um segundo antes. A bateria não está “sem energia”: ela acende tudo o que pede pouca corrente e falha exatamente no único aparelho que pede muita, o motor de partida, que puxa 150 A ou 200 A por alguns segundos. O mesmo acontece com a pilha esquecida na gaveta: acende o LED da lanterna, que precisa de 20 mA, e não move o carrinho de brinquedo, que precisa de 1 A. Nos dois casos a fonte tem a tensão da etiqueta enquanto ninguém pede corrente e a perde quando a corrente cresce. O responsável é uma resistência que mora dentro da própria fonte, no eletrólito, nos eletrodos, nos contatos, e que desconta um pedaço da tensão para cada ampère que sai pelos terminais. Toda pilha, bateria, dínamo ou painel solar de verdade carrega essa resistência interna, e é ela que separa o gerador dos livros, com tensão fixa, do gerador que existe.

Esta é a página do gerador real e do seu par, o receptor. Ela define a força eletromotriz como energia por carga, deduz a equação $U = \varepsilon - r\,i$, ensina a ler a curva característica $U \times i$ com seu intercepto e sua inclinação, faz o balanço de potência do gerador e do receptor, demonstra em que condição a potência entregue ao circuito é máxima e por que esse ponto não é o de melhor rendimento, resolve circuitos de uma malha com gerador, receptor e resistores pela lei de Pouillet, compara pilhas em série e em paralelo, e explica o que um amperímetro e um voltímetro reais fazem com o circuito que medem. No PAS/UnB o assunto é da 3.ª etapa: a fem lida com o circuito aberto e a condição de potência máxima (2011, itens 56 e 65), o motor real do bonde (2017, item 91), o gerador de 12 V com resistência interna de 2 Ω ligado a um termômetro (2013, item 110), a bateria de lítio de 20 V e 1 Ω (2020, itens 111 e 112), as pilhas do rádio em série e em paralelo (2021, itens 85 a 87), as baterias de 4 V em paralelo (2023, item 95) e o amperímetro de resistência infinita (2008, item 70). A página pressupõe a corrente elétrica, a resistência elétrica e as leis de Ohm, a associação de resistores e a potência elétrica. Circuitos com duas ou mais malhas e sistemas de equações ficam na página de leis de Kirchhoff, em construção; o capacitor ligado ao circuito, na de capacitores; de onde vem a energia que as usinas geram, em geração de energia elétrica.

Força eletromotriz é energia por carga, não força

Um resistor só sabe fazer uma coisa com a energia elétrica: transformá-la em calor. Se um circuito tivesse só resistores e fios, a corrente pararia no primeiro instante, porque nada reporia a energia que os elétrons perdem nas colisões. O que mantém a corrente é um dispositivo que faz o caminho inverso, converte alguma outra forma de energia em energia elétrica e a entrega às cargas: é o gerador. Na pilha e na bateria, a energia é química, liberada pelas reações nos eletrodos. No dínamo e no alternador, é mecânica, vinda do eixo que gira. No painel solar, é a luz. Na termopilha, o calor. O nome “gerador” é da eletrodinâmica e não tem a ver com tamanho: uma pilha AA e a usina de Itaipu são geradores no mesmo sentido, dispositivos que elevam a energia potencial das cargas que os atravessam.

A grandeza que mede essa capacidade é a força eletromotriz, escrita $\varepsilon$ e abreviada fem. Apesar do nome, herdado do século XIX, ela não é uma força: é a energia não elétrica convertida em elétrica por unidade de carga que atravessa o gerador,

$$\varepsilon = \frac{W_{\text{convertida}}}{q},$$

e por isso se mede em volts, joule por coulomb, como qualquer diferença de potencial. Uma pilha de 1,5 V entrega 1,5 J a cada coulomb que passa por dentro dela; uma bateria de carro de 12 V, 12 J por coulomb. Como a corrente é carga por segundo, a potência que o gerador converte é

$$P_{\text{gerada}} = \varepsilon\, i,$$

energia por carga vezes carga por segundo. É a mesma conta $P = Ui$ da página de potência elétrica, com a fem no lugar da tensão, e vale para qualquer gerador, químico, mecânico ou fotovoltaico.

Nos esquemas, o gerador aparece como duas barras paralelas, a longa e fina para o polo positivo e a curta e grossa para o negativo, e a fem ao lado. O sentido da corrente dentro dele é o que mais confunde quem começa: no circuito externo a corrente convencional sai do polo positivo, atravessa os resistores e volta ao negativo, descendo o potencial a cada resistor; dentro do gerador ela vai do negativo para o positivo, contra o que faria sozinha, e é justamente aí que a energia química ou mecânica é gasta para empurrá-la ladeira acima. Um gerador é uma bomba de carga, e a fem é a altura que a bomba consegue erguer cada coulomb.

Em potência elétrica apareceu o item 61 da 3.ª etapa de 2011, em que uma bateria de 12 V fornece 4 A por 5 minutos e diminui sua energia química em $12 \times 4 \times 300 = 14\,400$ J. Essa é a fem em ação: 12 J por coulomb, 1 200 C em cinco minutos, 14,4 kJ retirados da química da bateria. Repare que a conta usou a fem como se toda ela chegasse ao circuito. Se a bateria fosse real, uma fração desses 14,4 kJ nem sairia dela.

A resistência interna e a equação do gerador

Dentro de uma pilha, a corrente atravessa o eletrólito, uma pasta ou um líquido condutor bem pior do que o cobre; atravessa os eletrodos, porosos e de metais pouco condutores; passa pelos contatos entre as peças. Dentro de um dínamo, atravessa metros de fio enrolado. Tudo isso tem resistência, e a soma se chama resistência interna, $r$. Ela não é um componente separado que alguém colocou lá; é a resistência do próprio caminho da corrente dentro da fonte. Numa pilha AA nova, $r$ fica em torno de 0,15 a 0,3 Ω; numa bateria de carro nova, em alguns milésimos de ohm; numa pilha gasta, $r$ cresce para vários ohms, porque os reagentes se esgotam e o eletrólito seca.

O efeito de $r$ segue de um balanço de energia. Cada coulomb que atravessa o gerador ganha $\varepsilon$ joules da conversão e perde $r\,i$ joules em calor na resistência interna (é a lei de Ohm aplicada ao trecho interno: tensão $= r i$). O que sobra para o circuito externo, por coulomb, é a tensão entre os terminais:

$$U = \varepsilon - r\,i.$$

Volte ao carro. Uma bateria de 12,6 V com $r = 0{,}01$ Ω alimentando o painel e o rádio, uns 5 A, perde $0{,}01 \times 5 = 0{,}05$ V: o voltímetro marca 12,55 V, nem se nota. Na partida, o motor pede 200 A e a queda interna é $0{,}01 \times 200 = 2$ V: os terminais caem para 10,6 V, as luzes do painel diminuem por um instante e o motor gira. Agora envelheça a bateria até $r = 0{,}05$ Ω. Com 5 A, a queda é 0,25 V, e nada muda para o rádio. Com 200 A, a queda seria 10 V, sobrariam 2,6 V para o motor de partida, e ele não gira; a corrente real fica bem menor que 200 A, o estalo é o solenoide fechando e a partida falhando. A bateria “está com 12 V” e está morta para o único aparelho que importa. A pilha da gaveta é o mesmo caso em miniatura: com $\varepsilon = 1{,}4$ V e $r = 5$ Ω, ela entrega ao LED (20 mA) uma tensão $1{,}4 - 5 \times 0{,}02 = 1{,}3$ V, suficiente; ao motor do carrinho, que pediria 1 A, ela só consegue dar $i = 1{,}4/(5 + 1) \approx 0{,}23$ A se o motor tiver 1 Ω, e o motor não vence o atrito.

Uma consequência que a prova gosta: o gerador ideal é o caso $r = 0$. Entre os seus terminais a tensão é sempre a fem, independentemente do que esteja ligado ao resto do circuito, e a corrente que fornece é decidida pela resistência externa, sem limite. É o modelo usado sempre que o enunciado diz “bateria ideal” ou “sem resistência interna”, como a bateria de 24 V das dezesseis lâmpadas de 2023; um item que compare a tensão entre os terminais de uma fonte ideal em dois circuitos diferentes se julga sem conta nenhuma, porque ela é a fem nos dois. Quando o enunciado dá a resistência interna, ela entra na malha como um resistor a mais, em série com a fem, e esquecê-la é o erro mais comum do assunto.

A curva característica: uma reta que conta ε, r e a corrente de curto

A equação $U = \varepsilon - r\,i$ é a de uma reta, com $U$ no eixo vertical e $i$ no horizontal. É a curva característica do gerador, e cada elemento da reta tem um significado físico.

• O intercepto no eixo das tensões é $\varepsilon$: a tensão com corrente zero.
• A inclinação é $-r$: cada ampère a mais derruba a tensão em $r$ volts. Reta mais inclinada, gerador com mais resistência interna, pior sob carga.
• O intercepto no eixo das correntes é a corrente de curto-circuito, $i_{\text{cc}} = \varepsilon/r$: a corrente que zera a tensão nos terminais.

Como a reta é definida por dois pontos, dois pares $(i, U)$ medidos bastam para obter tudo. Suponha que uma pilha marque 1,50 V em circuito aberto e 1,20 V quando fornece 0,60 A. O intercepto dá $\varepsilon = 1{,}50$ V; a inclinação dá $r = (1{,}50 - 1{,}20)/0{,}60 = 0{,}50$ Ω; a corrente de curto é $1{,}50/0{,}50 = 3{,}0$ A. Se os dois pontos medidos não incluem o circuito aberto, a conta é a mesma com duas equações: com $U_1 = \varepsilon - r i_1$ e $U_2 = \varepsilon - r i_2$, a diferença dá $r = (U_1 - U_2)/(i_2 - i_1)$ e depois $\varepsilon = U_1 + r i_1$.

A pilha gasta tem uma curva reveladora. Sua fem quase não muda com o uso, porque ela depende da química dos eletrodos; o que cresce é $r$. A reta parte do mesmo intercepto e fica cada vez mais inclinada: a mesma tensão em aberto e uma tensão muito menor sob carga. Por isso medir a tensão de uma pilha solta com o voltímetro não diz se ela está boa: uma pilha que marca 1,45 V em aberto pode marcar 0,9 V dentro do brinquedo. Os testadores de pilha decentes fazem a medição com uma carga ligada, isto é, medem um ponto da reta longe do intercepto.

Potência e rendimento do gerador: quem fica com quanto

A equação $U = \varepsilon - ri$ vira um balanço de potência quando se multiplica tudo pela corrente:

$$\varepsilon\, i = U\, i + r\, i^{2}.$$

O lado esquerdo é a potência gerada (ou total), a taxa em que o gerador converte energia química ou mecânica em elétrica. O primeiro termo da direita é a potência útil, entregue ao circuito externo pelos terminais. O segundo é a potência dissipada na resistência interna, o calor que esquenta a pilha em uso. A energia se conserva: o que é gerado ou sai pelos terminais ou vira calor dentro.

Um exemplo completo. Uma bateria de $\varepsilon = 12$ V e $r = 1$ Ω alimenta um resistor de 5 Ω. A corrente é $i = 12/(5 + 1) = 2$ A. A tensão nos terminais é $U = 12 - 1 \times 2 = 10$ V, e também $U = 5 \times 2 = 10$ V pelo resistor: a malha fecha. Potência gerada: $12 \times 2 = 24$ W. Potência útil: $10 \times 2 = 20$ W, ou $5 \times 2^{2} = 20$ W. Potência dissipada dentro: $1 \times 2^{2} = 4$ W. Soma: $20 + 4 = 24$ W. Rendimento: $10/12 = 5/6 \approx 83\,\%$, ou $5/(5+1)$, o mesmo número. Dos 24 J que a bateria converte por segundo, 20 J chegam ao resistor e 4 J esquentam a própria bateria.

A prova cobrou o balanço com um gerador de 12 V e $r = 2$ Ω ligado a um termômetro de resistência, no item 110 da 3.ª etapa de 2013. O gráfico do caderno mostrava a resistência do termômetro crescendo linearmente com a temperatura, de 1 Ω a 0 °C até 21 Ω a 20 °C, um ohm por grau; a 19 °C, então, $R = 20$ Ω. A corrente é $i = 12/(20 + 2) = 6/11 \approx 0{,}545$ A, e a potência total fornecida pelo gerador é $\varepsilon i = 12 \times 6/11 = 72/11 \approx 6{,}55$ W, entre 6 W e 7 W, gabarito B. Quem esqueceu a resistência interna calculou $i = 0{,}6$ A e $P = 7{,}2$ W, caiu na opção C; quem usou $Ui$ com $U = 20 \times 6/11$ achou a potência útil, $5{,}95$ W, e caiu na A. O item testa se o candidato sabe que “potência total do gerador” é $\varepsilon i$ e que $r$ entra na corrente.

A potência máxima é entregue quando R = r, e isso não é o melhor rendimento

Volte à bateria de 12 V e 1 Ω e varie o resistor. Com $R = 5$ Ω, a potência útil foi 20 W. Com $R = 1$ Ω, igual a $r$: $i = 12/2 = 6$ A e $P = 1 \times 36 = 36$ W, mais. Com $R = 0{,}5$ Ω: $i = 12/1{,}5 = 8$ A e $P = 0{,}5 \times 64 = 32$ W, já caiu. Com $R = 0$, curto-circuito: 12 A de corrente e potência útil zero, porque $U = 0$; todos os 144 W gerados viram calor dentro da bateria. Com $R \to \infty$, circuito aberto, corrente zero e potência zero. Entre os dois zeros há um máximo, e ele fica em $R = r$.

A demonstração é curta. A potência útil em função de $R$ é

$$P_{\text{útil}} = R\,i^{2} = \frac{\varepsilon^{2} R}{(R + r)^{2}}.$$

Escreva o denominador como $(R + r)^{2} = (R - r)^{2} + 4Rr$. Então

$$P_{\text{útil}} = \frac{\varepsilon^{2} R}{(R - r)^{2} + 4Rr} = \frac{\varepsilon^{2}}{4r} \cdot \frac{4Rr}{(R - r)^{2} + 4Rr},$$

e a fração da direita é no máximo 1, quando $(R - r)^{2} = 0$, ou seja, $R = r$. Logo

$$P_{\text{máx}} = \frac{\varepsilon^{2}}{4r}, \qquad \text{em } R = r, \quad i = \frac{\varepsilon}{2r} = \frac{i_{\text{cc}}}{2}, \quad U = \frac{\varepsilon}{2}.$$

Para a bateria de 12 V e 1 Ω: $P_{\text{máx}} = 144/4 = 36$ W, com 6 A e 6 V nos terminais, os números encontrados acima. Em função da corrente, $P_{\text{útil}} = Ui = (\varepsilon - ri)\,i = \varepsilon i - r i^{2}$ é uma parábola com concavidade para baixo, zero em $i = 0$ e em $i = i_{\text{cc}}$, e vértice no meio, $i = i_{\text{cc}}/2$.

Uma leitura que vale guardar: no ponto de potência máxima o gerador está trabalhando a meia tensão e meia corrente de curto, e dissipando dentro de si tanto quanto entrega. Nenhuma pilha comercial é projetada para operar aí; os aparelhos são feitos para puxar correntes bem menores que $i_{\text{cc}}$, na região de rendimento alto. A condição $R = r$ aparece em telecomunicações e áudio, onde o que importa é extrair o máximo sinal de uma fonte fraca, e a energia perdida não custa nada.

O receptor é o gerador ao contrário: U = ε′ + r′i

Um motor elétrico, um carregador enchendo uma bateria, uma cuba eletrolítica: os três recebem energia elétrica e a convertem em alguma outra forma que não é calor, mecânica, química. Chamam-se receptores. O resistor não é receptor, porque tudo o que recebe vira calor; o receptor é o componente que tem uma parcela útil, não térmica, na conta. A grandeza que mede essa parcela é a força contraeletromotriz, $\varepsilon'$: a energia elétrica convertida em energia útil por unidade de carga que atravessa o receptor, em volts, exatamente como a fem do gerador, mas no sentido inverso. Um motor de $\varepsilon' = 10$ V converte 10 J em trabalho mecânico a cada coulomb que passa por ele.

O receptor também tem resistência interna, $r'$: o fio do enrolamento do motor, o eletrólito da bateria em carga. Cada coulomb que o atravessa entrega $\varepsilon'$ joules para a conversão útil e $r' i$ joules para o calor, e por isso a tensão que o circuito precisa aplicar nos seus terminais é a soma:

$$U = \varepsilon' + r'\,i.$$

Um exemplo com números. Um motor de $\varepsilon' = 10$ V e $r' = 2$ Ω é percorrido por 1,5 A. A tensão nos seus terminais é $U = 10 + 2 \times 1{,}5 = 13$ V. Ele consome $13 \times 1{,}5 = 19{,}5$ W; converte em trabalho mecânico $10 \times 1{,}5 = 15$ W; esquenta com $2 \times 1{,}5^{2} = 4{,}5$ W. Soma: $15 + 4{,}5 = 19{,}5$ W, fecha. Rendimento: $10/13 \approx 77\,\%$. Repare no paralelo com o gerador: lá o útil era $U i$ e o total $\varepsilon i$; aqui o total é $U i$ e o útil $\varepsilon' i$. As fórmulas são as mesmas com os papéis trocados, e trocar o sinal de $r' i$ é o erro que mais custa item neste assunto: no gerador a resistência interna tira tensão dos terminais ($U = \varepsilon - ri$), no receptor ela exige tensão a mais ($U = \varepsilon' + r'i$).

A bateria em carga é o segundo receptor que a prova conhece. Quando o carregador aplica nos terminais de uma célula de lítio uma tensão maior que a fem dela, a corrente entra pelo polo positivo, a reação química corre ao contrário e a bateria armazena energia: ela é um receptor de $\varepsilon'$ igual à sua fem e $r'$ igual à sua resistência interna. Uma célula de $\varepsilon' = 3{,}7$ V e $r' = 0{,}2$ Ω ligada a um carregador que impõe 4,2 V nos terminais recebe $i = (4{,}2 - 3{,}7)/0{,}2 = 2{,}5$ A; dos $4{,}2 \times 2{,}5 = 10{,}5$ W que entram, $3{,}7 \times 2{,}5 = 9{,}25$ W viram energia química e $0{,}2 \times 2{,}5^{2} = 1{,}25$ W viram calor, e o celular esquenta no carregador. A mesma célula, descarregando a 2,5 A, entregaria $3{,}7 - 0{,}2 \times 2{,}5 = 3{,}2$ V nos terminais: a resistência interna cobra na ida e na volta. O item 91 da 3.ª etapa de 2017 cobrou a ideia pelo lado do motor do bonde: se o motor não fosse ideal, “seria necessário inserir um resistor para representar a sua resistência interna” no esquema do circuito, e o gabarito é certo. Motor real é $\varepsilon'$ em série com $r'$, e o resistor a mais no desenho é esse $r'$.

A lei de Pouillet resolve a malha inteira numa linha

Com um gerador, um receptor e resistores numa única malha, a corrente é a mesma em todos, e a lei das malhas (a soma das tensões numa volta completa é zero) vira uma só equação. Percorra a malha no sentido da corrente: o gerador sobe $\varepsilon$ e desce $ri$; o receptor desce $\varepsilon'$ e desce $r'i$; cada resistor desce $Ri$. Somando e igualando a zero,

$$\varepsilon - r\,i - \varepsilon' - r'\,i - R\,i = 0 \quad\Longrightarrow\quad i = \frac{\varepsilon - \varepsilon'}{r + r' + R}.$$

Volte ao gerador de 12 V e 1 Ω e ligue a ele o motor de 10 V e 2 Ω em série com um resistor de 2 Ω. Pouillet: $i = (12 - 10)/(1 + 2 + 2) = 2/5 = 0{,}4$ A. É pouco, porque sobram só 2 V de “fem líquida” para empurrar a corrente por 5 Ω. Confira pela volta: $12 - 1 \times 0{,}4 - 10 - 2 \times 0{,}4 - 2 \times 0{,}4 = 12 - 0{,}4 - 10 - 0{,}8 - 0{,}8 = 0$. Fecha. Balanço: o gerador converte $12 \times 0{,}4 = 4{,}8$ W, perde $1 \times 0{,}16 = 0{,}16$ W dentro e entrega $4{,}64$ W; o motor recebe $(10 + 0{,}8) \times 0{,}4 = 4{,}32$ W, converte $4$ W em trabalho e esquenta $0{,}32$ W; o resistor dissipa $2 \times 0{,}16 = 0{,}32$ W. E $4{,}32 + 0{,}32 = 4{,}64$ W, o que o gerador entregou. Cada joule tem endereço.

Troque o motor por um de $\varepsilon' = 6$ V e $r' = 1$ Ω: $i = (12 - 6)/(1 + 1 + 2) = 1{,}5$ A, e a volta fecha de novo, $12 - 1{,}5 - 6 - 1{,}5 - 3 = 0$. Agora o motor converte $6 \times 1{,}5 = 9$ W em trabalho com rendimento $6/(6 + 1{,}5) = 80\,\%$, e o gerador trabalha com rendimento $(12 - 1{,}5)/12 = 87{,}5\,\%$. O rendimento do conjunto, do que a bateria converte ao que o motor entrega, é $9/18 = 50\,\%$: metade da energia química virou calor em algum lugar da malha.

O bloco de 2020 da 3.ª etapa é o caso em que a resistência interna decide a conta: a figura trazia uma bateria de lítio de 20 V, com $r = 1$ Ω, alimentando um resistor $R$ e, depois dele, dois resistores iguais de 20 Ω em paralelo ($R_1 = R_2$), cada um percorrido por 0,5 A. O par em paralelo tem corrente total de 1 A e tensão $20 \times 0{,}5 = 10$ V, equivalente a 10 Ω. Pouillet na malha reduzida: $20 = 1 \times (1 + R + 10)$, logo $R = 9$ Ω, a resposta 009 do item 112, tipo B. E a potência total dissipada nos resistores, item 111, é $9 \times 1^{2} + 10 = 19$ W, não os 10 W do enunciado, que contava só o par e esquecia $R$: errado. O degrau que separa esse bloco de uma conta de associação é o $r = 1$ Ω somado dentro do parêntese: quem o esquece acha $R = 10$ Ω e erra o tipo B por um. Malhas com duas fontes que não se reduzem a uma linha, como o circuito de três malhas da obra da UFPR cobrado em 2025 ou a malha com duas baterias em oposição de 2014, pedem as leis de Kirchhoff completas e ficam na página delas.

Pilhas em série ou em paralelo: tensão ou autonomia

Quatro pilhas de 1,5 V num controle remoto estão em série; duas baterias de carro ligadas para dar partida num caminhão estão em paralelo. Os dois arranjos resolvem problemas diferentes.

Pegue duas pilhas de 1,5 V, 0,3 Ω e 2 000 mAh. Em série: 3 V, 0,6 Ω, 2 000 mAh. Em paralelo: 1,5 V, 0,15 Ω, 4 000 mAh. A energia armazenada é a mesma nos dois arranjos, $3 \times 2 = 6$ Wh ou $1{,}5 \times 4 = 6$ Wh, como tem de ser, porque são as mesmas duas pilhas. O que muda é a forma: a série oferece tensão, o paralelo oferece corrente e autonomia. Um rádio que precisa de 3 V para funcionar só liga com a série; um LED de 1,5 V dura o dobro com o paralelo. Foi exatamente o par de circuitos do bloco de 2021 da 3.ª etapa: um rádio com tensão mínima de funcionamento de 3 V, alimentado no circuito I por duas pilhas de 1,5 V e 2 000 mAh em série entre os pontos $a$ e $b$, e no circuito II por duas iguais em paralelo entre $c$ e $d$. A capacidade total entre $c$ e $d$ é $2 \times 2\,000 = 4\,000$ mAh $= 4$ Ah (item 85, certo); a série do circuito I fornece 3 V, que é a tensão mínima do rádio, então afirmar que ela “não fornece a tensão mínima” é errado (item 86); e, no tipo C do item 87, $V_{dc} = 1{,}5$ V é menor que $V_{ba} = 3{,}0$ V, opção D, enquanto as outras trocam a tensão da série pela do paralelo ou vice-versa. Dois anos depois, em 2023, a banca repetiu a definição num item curto: três baterias de íons de lítio de 4 V em paralelo não equivalem a um gerador de 12 V (errado); paralelo mantém 4 V e triplica a capacidade, e 12 V exigiria as três em série.

Medidores reais: o que o amperímetro e o voltímetro fazem com o circuito

Todo medidor rouba um pouco do que mede, porque é um componente a mais no circuito. O amperímetro entra em série com o ramo cuja corrente se quer e tem resistência interna $R_A$ pequena, idealmente zero; se $R_A$ fosse grande, ele mesmo reduziria a corrente que veio medir. O voltímetro entra em paralelo com o trecho cuja tensão se quer e tem resistência interna $R_V$ grande, idealmente infinita; se $R_V$ fosse pequena, ele desviaria corrente por dentro de si e mudaria a tensão que veio medir. A definição decidiu o item 70 da 3.ª etapa de 2008, num circuito em que um amperímetro media a corrente de uma célula fotoelétrica: “uma das exigências para que o amperímetro não interfira na medida é que ele tenha resistência infinita” é errado, porque infinita é a do voltímetro; a do amperímetro tem de ser nula.

Com os dois medidores se mede o que uma pilha tem dentro. A reta $U = \varepsilon - ri$ fica definida por dois pontos, e o experimento clássico de laboratório é este:

1. Com a pilha em aberto, só o voltímetro ligado aos terminais, a corrente é praticamente zero ($R_V$ enorme) e a leitura é a fem: $\varepsilon = 1{,}58$ V, digamos.
2. Liga-se um resistor de 10 Ω aos terminais, com o amperímetro em série e o voltímetro ainda em paralelo com a pilha. O voltímetro cai para 1,50 V e o amperímetro marca 0,15 A (que é $1{,}50/10$, conferindo).
3. $r = (\varepsilon - U)/i = (1{,}58 - 1{,}50)/0{,}15 \approx 0{,}53$ Ω.

Com uma pilha gasta a mesma montagem dá, por exemplo, 1,45 V em aberto e 0,95 V com os 10 Ω: $i = 0{,}095$ A e $r = 0{,}50/0{,}095 \approx 5{,}3$ Ω, dez vezes a da pilha nova. É a medida que o testador de pilhas faz, e é a medida que o voltímetro sozinho, em aberto, não consegue fazer.

Quanto o medidor real atrapalha? Dá para estimar com as mesmas equações. Um voltímetro digital comum tem $R_V = 10$ MΩ; ligado à pilha de $r = 0{,}5$ Ω, puxa $1{,}58/(10^{7})$ A, menos de um microampère, e derruba a tensão em $0{,}5 \times 1{,}6 \times 10^{-7}$ V: nada mensurável. A leitura “em aberto” é a fem para todos os efeitos. Já um amperímetro com $R_A = 0{,}1$ Ω inserido na malha do gerador de 12 V e 1 Ω com o resistor de 5 Ω muda a corrente de $12/6 = 2$ A para $12/6{,}1 \approx 1{,}97$ A, 1,6 % a menos: tolerável. Mas o mesmo amperímetro ligado diretamente aos terminais de uma bateria de carro ($r = 0{,}01$ Ω), na tentativa de “medir a corrente de curto”, leria $12{,}6/(0{,}01 + 0{,}1) \approx 115$ A em vez dos 1 260 A reais, porque a resistência do medidor domina a malha, e provavelmente queimaria o fusível do aparelho no caminho. O medidor só não interfere quando sua resistência é desprezível diante das outras do ramo (amperímetro) ou enorme diante das do trecho (voltímetro).

Onde o modelo aparece: a partida do carro, o banco de baterias e o painel solar

A partida do carro. A bateria de 12 V (seis células de chumbo-ácido de 2,1 V em série, fem de 12,6 V) tem capacidade típica de 60 Ah e resistência interna de 5 a 20 mΩ quando nova. O motor de partida pede de 150 A a 300 A por dois ou três segundos. Com $r = 0{,}01$ Ω e 200 A, os terminais caem a 10,6 V, e tudo funciona. No frio, o eletrólito fica mais viscoso e a reação mais lenta, o que sobe $r$; numa bateria velha, as placas sulfatadas sobem $r$ de novo. Com $r = 0{,}05$ Ω, a queda a 200 A seria 10 V, e sobrariam 2,6 V para o motor: ele não gira, embora o voltímetro marcasse 12,35 V um segundo antes, com o painel puxando 5 A. É a cena da abertura, e é uma leitura direta de $U = \varepsilon - ri$: a mesma fonte serve ao aparelho de corrente pequena e falha no de corrente grande. O “chupeta” com outro carro liga uma segunda bateria em paralelo, que divide a corrente e, com a resistência interna do conjunto reduzida, devolve a tensão nos terminais.

O banco de baterias. Um nobreak, um sistema solar residencial ou um carro elétrico guardam dezenas ou centenas de células. Elas se organizam em série até a tensão desejada (um carro elétrico típico usa cerca de 96 células de lítio em série, 3,7 V cada, para chegar a uns 350 V) e em paralelo para somar capacidade e dividir a corrente em cada célula. A escolha da tensão alta tem a mesma razão da linha de transmissão: para a mesma potência, mais tensão é menos corrente, e menos corrente é menos perda $ri^{2}$ nos cabos, nos conectores e dentro das próprias células.

O painel solar. Uma célula fotovoltaica é um gerador cuja fonte de energia é a luz, e seu comportamento mostra o que acontece quando o modelo linear $U = \varepsilon - ri$ deixa de valer. A curva característica de um painel não é uma reta: a corrente fica quase constante, perto da corrente de curto-circuito $i_{\text{cc}}$, enquanto a tensão sobe, e só despenca perto da tensão de circuito aberto $U_{\text{ca}}$. O produto $U i$ tem um máximo no “joelho” da curva, o ponto de potência máxima, tipicamente com tensão em torno de 80 % de $U_{\text{ca}}$. Um painel de $U_{\text{ca}} = 40$ V e $i_{\text{cc}} = 10$ A entrega perto de $32 \times 9{,}4 \approx 300$ W nesse ponto, e muito menos tanto em curto (tensão zero) quanto em aberto (corrente zero), exatamente como o gerador da seção da potência máxima. A diferença é que o painel não tem um $r$ fixo: a inclinação da curva muda ao longo dela. Os controladores de carga chamados MPPT (rastreamento do ponto de potência máxima) ajustam a resistência que o painel enxerga para mantê-lo no joelho, porque a luz e a temperatura deslocam a curva o dia inteiro: mais luz sobe $i_{\text{cc}}$ quase proporcionalmente; mais calor baixa $U_{\text{ca}}$.

O carregador e o retificador. O carregador de celular é, visto da célula, o gerador que a carrega; visto da tomada, é um receptor que converte a corrente alternada de 127 V ou 220 V em contínua de 5 V. O primeiro passo dessa conversão é o retificador, feito de diodos, componentes que deixam a corrente passar num sentido e a bloqueiam no outro. Um diodo só, em série com a fonte alternada, corta as meias-ondas de um dos sinais e deixa passar as outras: o resultado é uma corrente que pulsa só para o lado positivo, com intervalos de zero entre os pulsos, a retificação de meia onda. Quatro diodos em ponte invertem as meias-ondas negativas em vez de cortá-las e produzem pulsos positivos sem intervalos, a retificação de onda completa. Foi o item 63 da 3.ª etapa de 2011, tipo C: a forma de onda da fonte era uma senoide, o enunciado definia o diodo como “dispositivo que permite a passagem de corrente elétrica em um sentido, mas não, no sentido oposto”, e a opção certa, A, era o gráfico com as meias-ondas positivas separadas por trechos nulos; a opção com todos os lobos positivos e sem intervalos é a onda completa, que um diodo sozinho não produz.

Como a banca pergunta

O gerador real e seus vizinhos renderam itens em sete provas da 3.ª etapa entre 2008 e 2023, quase sempre em bloco com figura, e nos três formatos: certo/errado, resposta numérica (2020) e múltipla escolha (2011, 2013, 2021). O bloco de 2025 sobre o circuito de três malhas, que também cobra a fonte ideal, fica inteiro na página de leis de Kirchhoff. Os itens estão na aba de exercícios, verbatim; aqui vai a leitura de cada um.

A fem em circuito aberto (2011, item 56). “A diferença de potencial entre os terminais de um gerador elétrico real, como uma bateria, é igual à sua força eletromotriz, caso ele não esteja ligado a um circuito e não haja corrente através dos seus terminais.” É $U = \varepsilon - ri$ com $i = 0$. Certo. A condição final é o que salva o item; sem ela, estaria errado.

A potência máxima (2011, item 65). “A potência fornecida por uma fonte de força eletromotriz a uma resistência é máxima quando o valor da resistência é o dobro do valor da resistência interna da fonte.” É quando $R = r$, não o dobro. Errado. O item testa se o candidato conhece a condição, não se sabe demonstrá-la; a demonstração está na seção da potência máxima para quem quiser.

O diodo retificador (2011, item 63, tipo C). Senoide na entrada, “passagem de corrente em um sentido, mas não no sentido oposto”: meias-ondas positivas com intervalos de zero, opção A. A opção com lobos positivos sem intervalo é a onda completa (ponte de quatro diodos); a de lobos negativos inverte o sentido; a trapezoidal é um ceifamento, não uma retificação.

O gerador de 12 V e 2 Ω (2013, item 110, tipo C). O gráfico do caderno dá a resistência do termômetro: 1 Ω a 0 °C, subindo 1 Ω por grau, 20 Ω a 19 °C. “Potência total fornecida pelo gerador” é $\varepsilon i$, com $i = 12/(20 + 2) = 6/11$ A: $72/11 \approx 6{,}5$ W, “superior a 6 W e inferior a 7 W”, opção B. Esquecer $r$ dá 7,2 W (opção C); calcular a potência útil $Ui$ dá 5,95 W (opção A). O mesmo gráfico serviu ao item 111 do bloco, tipo B, que pedia a resistência a 50 °C (51 Ω) e está na página de temperatura e calor.

O motor real do bonde (2017, item 91). “Se o motor não fosse considerado um sistema elétrico ideal, então, no circuito da figura III, seria necessário inserir um resistor para representar a sua resistência interna.” Receptor real é $\varepsilon'$ em série com $r'$. Certo. O item 89 do mesmo bloco, sobre o fusível em paralelo com o reostato, está na página de associação de resistores; o 90, sobre o raio do fio do reostato, na de resistência elétrica.

A bateria de lítio com r = 1 Ω (2020, itens 111 e 112). Par em paralelo de 20 Ω com 0,5 A em cada: 10 V e 1 A. Pouillet com a resistência interna: $20 = 1 \times (1 + R + 10)$, $R = 9$ Ω, marcação 009 (item 112). Potência total nos resistores: $9 + 10 = 19$ W, e não 10 W (item 111, errado). O item 114 do bloco, tipo D, pedia o esboço do potencial ao longo do circuito: sobe 20 na fem, desce 1 em $r$, desce 9 em $R$, desce 10 no par; é a lei das malhas desenhada, e fica na página de leis de Kirchhoff, em construção.

As pilhas do rádio (2021, itens 85 a 87). Circuito I: duas pilhas de 1,5 V e 2 000 mAh em série entre $a$ e $b$, negativo em $a$. Circuito II: duas iguais em paralelo entre $c$ e $d$, negativos em $c$. Item 85: capacidade entre $c$ e $d$ igual a 4 Ah: $2 \times 2\,000$ mAh. Certo. Item 86: “no circuito I, o conjunto não fornece a tensão mínima” de 3 V: fornece exatamente 3 V. Errado. Item 87, tipo C: $V_{dc} = 1{,}5$ V e $V_{ba} = 3{,}0$ V, logo $V_{dc} < V_{ba}$, opção D; as opções A e B trocam série por paralelo e a C dá 1,5 V à série.

As três baterias de 4 V (2023, item 95). “A associação em paralelo de três baterias de íons de lítio de 4 V cada é equivalente a um gerador de 12 V.” Em paralelo a tensão continua 4 V; para chegar a 12 V seria preciso ligá-las em série. Errado. Um item de uma linha, no meio de um bloco de Química e Português sobre o texto das baterias de Yoshino.

O amperímetro (2008, item 70). Resistência infinita é a do voltímetro; a do amperímetro tem de ser nula. Errado.

O padrão é nítido. A banca planta o erro na condição (fem igual à tensão só sem corrente; potência máxima só em $R = r$), na definição (série soma tensão, paralelo soma capacidade; amperímetro nulo, voltímetro infinito; motor real tem $r'$) e na omissão de r (o 1 Ω de 2020, os 2 Ω de 2013). A conta, quando existe, cabe numa linha, desde que a resistência interna esteja nela.

Os erros que mais custam item

O essencial em meia página

• Fem: $\varepsilon = W/q$, energia não elétrica convertida em elétrica por coulomb, em volts. Potência gerada $= \varepsilon i$. Propriedade do gerador, não do circuito.
• Gerador real: $U = \varepsilon - ri$. Aberto: $U = \varepsilon$. Curto: $i_{\text{cc}} = \varepsilon/r$. Ideal: $r = 0$, impõe $\varepsilon$ nos terminais sempre. Malha com $R$: $i = \varepsilon/(R + r)$.
• Curva característica: reta decrescente em $U \times i$; intercepto $\varepsilon$, inclinação $-r$, corte em $i_{\text{cc}}$. Dois pontos medidos dão $\varepsilon$ e $r$: $r = (U_1 - U_2)/(i_2 - i_1)$.
• Balanço do gerador: $\varepsilon i = Ui + ri^2$. Rendimento $\eta = U/\varepsilon = R/(R + r)$.
• Potência máxima: em $R = r$, $P_{\text{máx}} = \varepsilon^2/(4r)$, com $i = i_{\text{cc}}/2$, $U = \varepsilon/2$ e $\eta = 50\,\%$. Rendimento alto pede $R \gg r$.
• Receptor: $U = \varepsilon' + r'i$. $Ui = \varepsilon' i + r'i^2$. Rendimento $\eta' = \varepsilon'/U$. Curva sobe. Motor travado: $\varepsilon' = 0$, resistor $r'$, corrente alta. Bateria em carga: receptor com $\varepsilon' =$ fem.
• Pouillet (uma malha): $i = (\sum\varepsilon - \sum\varepsilon')/\sum R$, com todas as resistências, internas incluídas. Confira pela volta: soma das tensões zero.
• Geradores em série: $\varepsilon$ e $r$ se somam; capacidade de uma. Iguais em paralelo: mesma $\varepsilon$, $r/n$, capacidade $\times n$. Energia total igual nos dois arranjos. 1 Ah $= 3\,600$ C.
• Medidores: amperímetro em série, $R_A \to 0$; voltímetro em paralelo, $R_V \to \infty$. Voltímetro nos terminais com corrente lê $\varepsilon - ri$; em aberto, lê $\varepsilon$.
• Aplicações: partida do carro ($r$ sobe com frio e idade; falha só na corrente grande); banco de baterias (série para tensão, paralelo para capacidade); painel solar (curva não linear, potência máxima no joelho); diodo retifica meia onda.
• Fora daqui: malhas com duas fontes que não reduzem (Kirchhoff); capacitor no circuito (capacitores); Galvani, Volta e a invenção da pilha (história da eletricidade, fora do recorte desta página).