Movimento circular uniforme

O ponteiro do velocímetro não sai dos 36 km/h enquanto o carro dá a volta numa rotatória de 25 m de raio. A 10 m/s, cada volta de $2\pi \times 25 \approx 157$ m leva uns 15,7 s, e durante todo esse tempo o carro está acelerando, embora o ponteiro não se mexa. O que muda a cada instante não é o tamanho da velocidade, e sim a sua direção, que gira com o carro; e um vetor que muda de direção é um vetor que mudou. Pela segunda lei de Newton, toda aceleração exige uma força, e aqui ela vem do atrito lateral entre pneus e asfalto, que aponta para o centro da curva e vale $mv^2/R = 1\,000 \times 100/25 = 4\,000$ N para um carro de 1 000 kg, 40% do peso. Numa pista molhada em que o atrito não alcance esse valor, nada “arremessa” o carro para fora da curva: a força que o fazia virar deixa de existir, e por inércia ele segue em frente, numa reta tangente à circunferência.

Esse é o movimento circular uniforme (MCU): trajetória circular, velocidade de módulo constante, aceleração apontada para o centro. Ele descreve a rotatória, a ponta da pá de um ventilador, a coroa e a roda de uma bicicleta, o carrinho no alto do loop, a cadeira da roda-gigante, um ponto da superfície da Terra e o satélite que fica parado no céu. Esta página constrói as grandezas do giro (período, frequência, velocidade angular), explica por que existe aceleração com velocidade constante e como calculá-la, mostra que “força centrípeta” é o nome de um papel, e não de uma força a mais, e percorre os casos que a prova cobra: curva plana com atrito, curva inclinada, pêndulo cônico, loop vertical, roda-gigante e transmissão por correias e eixos. Vetores e as três leis de Newton são pressupostos: estão nas páginas de vetores e leis de Newton. Órbitas e a gravitação como força centrípeta têm páginas próprias: gravitação universal e leis de Kepler e órbitas; aqui o satélite aparece só como exemplo.

Uma volta mede $2\pi R$: período, frequência e velocidade angular

Descrever um giro pede duas perguntas: quanto tempo leva uma volta e quantas voltas cabem em um segundo. O período $T$ é o tempo de uma volta completa, em segundos. A frequência $f$ é o número de voltas por segundo, em hertz (Hz), e é o inverso do período: $f = 1/T$. Um ventilador que dá 5 voltas por segundo tem $f = 5$ Hz e $T = 0{,}2$ s.

Em uma volta, o corpo percorre o comprimento da circunferência, $2\pi R$, e o raio que o liga ao centro varre um ângulo completo, $2\pi$ radianos. Dividindo os dois pelo tempo de uma volta nascem as duas velocidades do MCU: a escalar, $v = 2\pi R/T$, em metros por segundo, e a angular, $\omega = 2\pi/T$, em radianos por segundo. Como as duas vêm do mesmo $T$, elas se ligam pelo raio:

$$v = \omega R.$$

O radiano mede o ângulo pelo arco: um radiano é o ângulo cujo arco tem o comprimento do raio, e por isso $s = R\theta$ só funciona com $\theta$ em radianos. Uma volta são $2\pi \approx 6{,}28$ rad, ou seja, $360^\circ = 2\pi$ rad e $1$ rad $\approx 57^\circ$. Dizer que a rotatória tem $\omega = 0{,}4$ rad/s significa que o raio que vai do centro ao carro gira quatro décimos de radiano, uns $23^\circ$, a cada segundo.

Exemplo resolvido (a rotatória em números). $R = 25$ m e $v = 10$ m/s. Comece pela volta: $2\pi R = 157$ m. Período: $T = 157/10 = 15{,}7$ s. Frequência: $f = 1/15{,}7 \approx 0{,}064$ Hz, pouco mais de seis centésimos de volta por segundo. Velocidade angular: $\omega = v/R = 10/25 = 0{,}4$ rad/s; pelo período, $2\pi/15{,}7 = 0{,}4$ rad/s, o mesmo valor por outro caminho. Em 5 s o carro varre $0{,}4 \times 5 = 2$ rad (uns $115^\circ$) e percorre $10 \times 5 = 50$ m, que é $25 \times 2$: arco igual a raio vezes ângulo, como deve ser.

Velocímetro parado, velocidade mudando: a aceleração centrípeta

Velocidade é um vetor: tem módulo, direção e sentido. No MCU o módulo fica fixo, mas o vetor gira, e um vetor que gira está mudando. Aceleração é variação de velocidade por tempo, $\vec a = \Delta\vec v/\Delta t$, e existe sempre que $\vec v$ muda, seja no módulo, seja na direção. Por isso o carro na rotatória acelera com o velocímetro parado: a aceleração não está esticando a velocidade, está girando-a.

Para onde aponta essa aceleração? Desenhe a velocidade em dois instantes próximos, $\vec v_1$ e $\vec v_2$, ambas tangentes à circunferência e do mesmo tamanho. Coloque-as com a mesma origem: o vetor diferença $\Delta\vec v = \vec v_2 - \vec v_1$ liga a ponta de uma à ponta da outra e, como os dois vetores têm o mesmo módulo, ele é perpendicular à velocidade média entre eles, isto é, aponta para o centro da circunferência. Quanto ao tamanho, os dois triângulos, o das velocidades (lados $v$, $v$, $\Delta v$) e o das posições (lados $R$, $R$, $\Delta s$), são semelhantes, porque a velocidade gira exatamente o mesmo ângulo $\Delta\theta$ que o raio. Logo $\Delta v/v = \Delta s/R$, e dividindo por $\Delta t$, com $\Delta s/\Delta t = v$:

$$a_c = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{v}{R}\cdot\frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{v^2}{R}.$$

As três formas da mesma fórmula respondem a perguntas diferentes, e é aqui que a banca planta comparações. Com $v$ fixo, $a_c = v^2/R$: dobrar o raio reduz a aceleração à metade (curva mais aberta é mais suave). Com $\omega$ fixo, $a_c = \omega^2 R$: dobrar o raio dobra a aceleração, porque o ponto mais distante do eixo anda mais rápido. Com $R$ fixo, dobrar a velocidade quadruplica $a_c$: é o $v^2$ que decide quase todos os itens de curva. Antes de comparar, pergunte o que está sendo mantido constante.

Exemplo resolvido (mesma roda, dois pontos). Um disco gira a 2 Hz. Um ponto a 0,1 m do eixo e outro a 0,4 m têm a mesma $\omega = 2\pi \times 2 = 4\pi \approx 12{,}6$ rad/s e o mesmo período de 0,5 s. Velocidades: $v = \omega R$, ou seja, $1{,}26$ m/s e $5{,}03$ m/s; o ponto quatro vezes mais longe anda quatro vezes mais rápido. Acelerações: $a_c = \omega^2 R$, ou seja, $158 \times 0{,}1 \approx 15{,}8$ m/s² e $158 \times 0{,}4 \approx 63$ m/s²; quatro vezes mais longe, quatro vezes mais aceleração. Conferindo pelo $v^2/R$ do ponto externo: $5{,}03^2/0{,}4 = 25{,}3/0{,}4 \approx 63$ m/s². Foi exatamente essa conta que a banca fez em 2014 com a roda de uma bicicleta ($R = 0{,}40$ m, $T = 0{,}5$ s): a aceleração da periferia, $63$ m/s², não é inferior a 50 m/s².

Centrípeta é um papel, não uma força a mais

Se há aceleração, há força resultante, e ela tem a direção da aceleração: para o centro. A segunda lei no MCU se escreve

$$F_{\text{res}} = m\,a_c = \frac{m v^2}{R} = m\,\omega^2 R,$$

e essa resultante recebe o nome de força centrípeta. O nome engana muita gente: força centrípeta não é uma força nova que se acrescenta ao diagrama ao lado do peso, da normal e do atrito. É o papel que a resultante das forças reais desempenha quando o corpo faz curva. O método é sempre o mesmo: desenhe as forças que existem de verdade (peso, normal, tração, atrito, gravitação), escolha o eixo radial apontando para o centro, projete as forças nesse eixo e iguale a soma a $mv^2/R$.

Duas consequências imediatas. A primeira: um corpo em MCU não está em equilíbrio. Velocidade de módulo constante não é velocidade constante, e resultante nula produziria linha reta, não circunferência. Em 2017 a banca afirmou que um dançarino girando com velocidade constante “não estará submetido a nenhuma aceleração”: errado, cada ponto do corpo dele tem aceleração centrípeta. Em 2012, sobre um ciclista fazendo curva no plano horizontal, afirmou que “o ciclista e a bicicleta estão sujeitos a forças transversais ao deslocamento cuja resultante é diferente de zero”: certo, essa resultante transversal é a centrípeta. A segunda consequência: se a força que faz o papel de centrípeta desaparece (o fio arrebenta, o atrito acaba), não sobra nada apontando para o centro e o corpo segue pela tangente, em linha reta, com a velocidade que tinha, e não radialmente para fora.

Curva plana: o atrito decide a velocidade máxima

Em uma curva horizontal, sem inclinação lateral, peso e normal são verticais e se cancelam ($N = mg$). A única força horizontal é o atrito estático lateral entre pneus e piso, e é ele quem aponta para o centro: $F_{\text{at}} = mv^2/R$. Mas o atrito estático tem um teto, $F_{\text{at}} \le \mu N = \mu m g$ (página de atrito). Enquanto $mv^2/R$ ficar abaixo do teto, o carro curva; quando passa, derrapa. No limite,

$$\mu m g = \frac{m v_{\max}^2}{R} \quad\Longrightarrow\quad v_{\max} = \sqrt{\mu g R} \quad\text{ou}\quad R_{\min} = \frac{v^2}{\mu g}.$$

A massa cancelou: um caminhão e uma moto com os mesmos pneus fazem a mesma curva na mesma velocidade máxima. O que muda a velocidade limite é o raio (curva mais aberta permite mais) e o coeficiente de atrito (pista molhada permite menos).

Exemplo resolvido (rotatória do Distrito Federal). Rotatória plana de $R = 50$ m, pista seca com $\mu = 0{,}5$. $v_{\max} = \sqrt{0{,}5 \times 10 \times 50} = \sqrt{250} \approx 15{,}8$ m/s, uns 57 km/h. Com chuva, $\mu = 0{,}25$: $v_{\max} = \sqrt{125} \approx 11{,}2$ m/s, 40 km/h. Conferência: a 10 m/s (36 km/h) o carro de 1 000 kg precisa de $mv^2/R = 1\,000 \times 100/50 = 2\,000$ N de atrito; o teto na pista molhada é $0{,}25 \times 10\,000 = 2\,500$ N, e o carro passa; a 20 m/s precisaria de 8 000 N e derraparia até em pista seca ($5\,000$ N). Dobrar a velocidade quadruplica a força exigida, e é por isso que o excesso de velocidade em curva é tão mais grave que em reta.

Foi essa a física dos dois itens de 2013 sobre uma moto em curva: “a força de atrito desempenha o papel de força centrípeta” (certo) e “o raio da curva pode ser determinado por $r = v^2/(\mu g)$” (certo). Os dois estão resolvidos nos exercícios desta página.

Curva inclinada e pêndulo cônico: uma componente faz o serviço

Autódromos, velódromos e trevos rodoviários inclinam a pista para dentro da curva. Sem atrito, as forças sobre o carro são o peso (vertical) e a normal, agora inclinada de $\theta$ com a vertical, perpendicular à pista. A componente vertical da normal equilibra o peso, $N\cos\theta = mg$; a componente horizontal aponta para o centro e faz o papel de centrípeta, $N\operatorname{sen}\theta = mv^2/R$. Dividindo uma pela outra,

$$\tan\theta = \frac{v^2}{gR}.$$

Para cada inclinação existe uma velocidade que dispensa o atrito por completo; acima dela o atrito ajuda para dentro, abaixo dela, para fora. Uma curva de 100 m de raio projetada para 20 m/s (72 km/h) precisa de $\tan\theta = 400/1\,000 = 0{,}4$, uns $22^\circ$. Em 2014 a banca pediu, num item de resposta construída, que se desenhassem e nomeassem as forças que mantêm uma bicicleta em curva num plano inclinado com atrito: peso no centro de massa, normal perpendicular à pista e atrito ao longo dela.

O pêndulo cônico é a mesma geometria com uma tração no lugar da normal. Uma esfera presa a um fio gira em círculo horizontal de raio $R$, com o fio fazendo ângulo $\theta$ com a vertical. Vertical: $T\cos\theta = mg$. Radial: $T\operatorname{sen}\theta = mv^2/R$. Logo $v^2 = gR\tan\theta$, e a massa cancela de novo. Em 2021 o “chapéu mexicano” de um parque de diversões rendeu exatamente esse item: “a velocidade escalar $v$ que manterá a bola na situação ilustrada é tal que $v = \sqrt{Rg\tan\theta}$”, certo. Note o que não vale: a tração não é igual ao peso (é $mg/\cos\theta$, maior que ele), e o peso não faz papel de centrípeta (é vertical; o centro está na horizontal).

Loop, roda-gigante e o ponto alto: o peso ajuda ou atrapalha

Quando a circunferência está no plano vertical, o peso entra na conta radial e o resultado depende do ponto. Nos dois pontos mais cobrados, o topo e a base, peso e normal são ambos verticais, e basta uma soma com sinal, sempre tomando o sentido para o centro como positivo.

Roda-gigante (a pessoa está sentada, apoiada no banco, e a normal aponta para cima nos dois pontos). Na base, o centro está acima: $N - mg = mv^2/R$, logo $N = m(g + v^2/R)$, maior que o peso; a pessoa se sente mais pesada. No topo, o centro está abaixo: $mg - N = mv^2/R$, logo $N = m(g - v^2/R)$, menor que o peso; a pessoa se sente mais leve. A balança que ela levasse no colo marcaria a normal, o chamado peso aparente, e não o peso, que é $mg$ nos dois lugares. Se a velocidade crescesse até $v^2/R = g$, a normal no topo se anularia e a pessoa perderia contato com o banco: flutuaria por um instante. Uma roda-gigante de 10 m de raio a 5 m/s tem $v^2/R = 2{,}5$ m/s²: uma pessoa de 60 kg pesa 600 N e sente 450 N no topo e 750 N na base.

Loop vertical (o carrinho corre por dentro do trilho; no topo, a normal do trilho aponta para baixo, para o centro). No topo: $N + mg = mv^2/R$, logo $N = m(v^2/R - g)$. O carrinho só continua no trilho enquanto $N \ge 0$, isto é, enquanto $v^2 \ge gR$. A velocidade mínima no ponto alto é

$$v_{\min} = \sqrt{gR},$$

e nela a normal é zero: o peso sozinho faz o papel de centrípeta. Abaixo dessa velocidade o carrinho se desprende e cai em trajetória parabólica antes de completar o loop. Na base, como na roda-gigante, $N = m(g + v^2/R)$.

Exemplo resolvido (o loop do PAS 2009). Bloco de 100 g solto do repouso em A, a 1,0 m de altura, trilho sem atrito, loop de raio 0,25 m ($g = 10$ m/s²). Chegando ao topo D, a 0,5 m, a conservação de energia dá $v_D^2 = 2g(1{,}0 - 0{,}5) = 10$ m²/s², $v_D \approx 3{,}2$ m/s, maior que $\sqrt{gR} = \sqrt{2{,}5} \approx 1{,}6$ m/s: o bloco passa. Normal no topo: $N = m(v_D^2/R - g) = 0{,}1 \times (40 - 10) = 3$ N, apontando para baixo. Os quatro itens da banca: “para não despencar em D é necessário que a normal seja nula” (errado: nula é o caso-limite; o necessário é $N \ge 0$, e aqui $N = 3$ N); “o peso aparente no topo será necessariamente nulo” (errado, pelo mesmo motivo); “solto em A, chega a D com mais de 1,4 m/s” (certo, 3,2 m/s); “solto em B, a 0,5 m, passa por C com componente horizontal da força igual a 10 N” (errado: de B até C, na altura do centro, o bloco desce $0{,}5 - 0{,}25 = 0{,}25$ m, $v_C^2 = 5$ m²/s², e a normal, horizontal em C, vale $mv_C^2/R = 0{,}1 \times 5/0{,}25 = 2$ N). A altura mínima para completar o loop partindo do repouso sai da mesma conta: $v_D^2 = gR$ exige $2g(h - 2R) = gR$, logo $h_{\min} = 2{,}5R = 0{,}625$ m, e é por isso que o ponto B, a 0,5 m, não serve.

Rodas acopladas: correia iguala $v$, eixo iguala $\omega$

Motores, bicicletas, relógios e guindastes transmitem giro de uma roda a outra, e dois casos resolvem quase tudo.

Mesmo eixo (ou mesmo corpo rígido). Dois discos presos ao mesmo eixo, ou dois pontos do mesmo disco, giram juntos: dão o mesmo número de voltas no mesmo tempo, logo têm a mesma velocidade angular $\omega$ e o mesmo período. Suas velocidades escalares são proporcionais aos raios, $v = \omega R$: a borda anda mais rápido que o miolo. Em 2012 a banca afirmou que “em um disco que gira com velocidade angular constante, um ponto na borda tem velocidade escalar maior que um ponto próximo ao centro”: certo. Num carrossel, os cavalinhos da borda e do centro completam a volta no mesmo tempo, mas os da borda correm mais.

Correia, corrente ou contato direto. Duas polias ligadas por uma correia que não escorrega, duas engrenagens em contato ou a coroa e a catraca ligadas pela corrente da bicicleta compartilham a velocidade escalar da borda: a correia é uma só e não estica, então cada ponto dela anda com a mesma rapidez, e essa rapidez é a da borda das duas rodas. Assim $v_1 = v_2$, ou seja, $\omega_1 R_1 = \omega_2 R_2$: a roda menor gira mais depressa, na razão inversa dos raios. Em engrenagens e coroas dentadas, o número de dentes é proporcional ao raio, e a relação vira $\omega_1 Z_1 = \omega_2 Z_2$, ou $f_1 Z_1 = f_2 Z_2$: a cada volta da coroa de 44 dentes passam 44 elos de corrente, que fazem uma catraca de 11 dentes dar 4 voltas.

Exemplo resolvido (a bicicleta do PAS 2014). Coroa $r_a = 10$ cm, catraca $r_b = 5$ cm, roda $r_c = 40$ cm; o pedal gira $45^\circ$ (um oitavo de volta) em 0,1 s, sem deslizamento. Período da coroa: $T_a = 8 \times 0{,}1 = 0{,}8$ s, $\omega_a = 2\pi/0{,}8 \approx 7{,}85$ rad/s. Corrente: $\omega_a r_a = \omega_b r_b$, logo $\omega_b = 7{,}85 \times 10/5 = 15{,}7$ rad/s; com metade do raio, a catraca completa duas voltas para cada volta da coroa. Mesmo eixo: $\omega_c = \omega_b = 15{,}7$ rad/s, e o período da roda é $T_c = 2\pi/15{,}7 = 0{,}4$ s (o item que afirmava “superior a 0,5 s” estava errado). Velocidade da bicicleta: a da borda da roda, $v = \omega_c r_c = 15{,}7 \times 0{,}40 \approx 6{,}3$ m/s, uns 23 km/h. Conferência pela razão de dentes: a roda dá $r_a/r_b = 2$ voltas por pedalada, e $2 \times 2\pi \times 0{,}40 = 5{,}0$ m por pedalada, em 0,8 s, dá $6{,}3$ m/s. O tipo C do mesmo bloco pedia a relação correta entre $\omega_a$, $\omega_b$ e $\omega_c$: $\omega_b = \omega_c$; $\omega_a = \omega_b$ (mesma corrente não iguala $\omega$), $\omega_a = 4\omega_c$ e $\omega_c = 0{,}125\,\omega_b$ estão erradas. E um item de outro bloco de 2014 dizia que, para ganhar velocidade sem mudar o ritmo das pedaladas, o ciclista deveria passar para uma catraca com mais dentes: errado; catraca com mais dentes gira menos vezes por pedalada, e a bicicleta anda menos. Marcha “pesada” é catraca pequena.

Satélites e o giro que compartilha o período

Um satélite em órbita circular é um MCU cuja centrípeta é a gravitação; a conta de $v$ e $T$ a partir da massa do planeta fica para a página de gravitação universal. Mas duas ideias desta página bastam para muitos itens. A primeira: o raio da órbita se mede do centro do planeta, $r = R_{\text{Terra}} + h$. Em 2025 a banca afirmou que um satélite lançado para uma órbita a 800 km de altura, desde o lançamento até completar uma volta, percorre $800 + 1\,600\pi$ km: errado, porque a volta mede $2\pi(6\,400 + 800) = 14\,400\pi$ km, e não $2\pi \times 800$. A segunda: corpos que giram juntos compartilham o período, de modo que a velocidade de cada um é proporcional ao raio, $v = 2\pi r/T$, e o raio maior corresponde à velocidade maior. O telescópio James Webb fica “estacionado” no ponto L2, girando em torno do Sol com o mesmo período que a Terra, num raio 1 % maior; a banca pediu, em 2024, a razão entre as velocidades vezes 100: mesmo $T$, raios na razão $1{,}01$, marcação 101. Um satélite geoestacionário é o mesmo raciocínio com a Terra: $T = 24$ h, órbita no plano do equador, no sentido da rotação, $r \approx 42\,000$ km, e por isso as antenas parabólicas ficam fixas apontando para o mesmo ponto do céu; sua velocidade é $2\pi \times 4{,}2 \times 10^7/86\,400 \approx 3{,}1$ km/s. O que decide esse raio (a terceira lei de Kepler) está na página de leis de Kepler e órbitas.

Como ler a figura e os dados da prova

Itens de movimento circular vêm com figura ou com números em unidades cruzadas, e o primeiro minuto é de leitura.

1. Ache o centro e desenhe o eixo radial apontando para ele. No topo do loop o centro está abaixo; na base, acima; na curva plana, para o lado. A resultante tem de apontar para lá.
2. Identifique a ligação entre as rodas. Correia, corrente ou contato: mesma $v$ na borda. Mesmo eixo ou mesmo disco: mesma $\omega$. Na figura da bicicleta de 2014, a corrente liga $r_a$ a $r_b$, e $r_b$ e $r_c$ estão no mesmo eixo.
3. Converta antes de calcular. rpm dividido por 60 vira Hz; minutos vezes 60 viram segundos; km/h dividido por 3,6 vira m/s; centímetros divididos por 100 viram metros. A fórmula $a_c = \omega^2 R$ com $R$ em centímetros dá um resultado cem vezes maior que o certo.
4. Leia o ângulo como fração de volta. $45^\circ$ é $1/8$ de volta; $90^\circ$, $1/4$; $600\pi$ rad são 300 voltas. Em 2019 (PAS 2) as pás de um helicóptero giravam $600\pi$ rad por minuto, ou seja, 5 voltas por segundo: cada rotação dura 0,2 s e, a 90 km/h (25 m/s), o helicóptero avança 5 m por volta.
5. Gráfico de $\omega$ contra $t$: no MCU é uma reta horizontal. Se o eixo é puxado por um peso em queda livre (PAS 2020), $v = gt$ cresce linearmente e $\omega = v/R = gt/R$ também: uma reta que sai da origem.
6. Confira o limiar com folga. A banca costuma pedir “superior a” ou “inferior a”: 63 m/s² contra 50, 60 m/s contra 40, 0,4 s contra 0,5. Se a conta fechar em cima do limiar, refaça as conversões.

Como a banca cobra

Movimento circular rendeu perto de vinte itens no PAS 1 desde 2006, com intervalos de dois ou três anos entre uma aparição e a seguinte, e esteve nas duas últimas provas da janela vigente, 2024 e 2025. Quatro padrões cobrem quase tudo:

1. Transmissão (tipo A e C): mesma $v$ na corrente, mesma $\omega$ no eixo; períodos e acelerações de uma roda a partir da outra. O bloco da bicicleta de 2014 (itens 71, 72, 73 e 84) é o modelo; 2012/79 (borda do disco) é a versão de uma frase.
2. Grandezas do giro com conversão (tipo A e B): rpm e diâmetro do aerogerador (2015/71), radianos por minuto do helicóptero (PAS 2 2019/90), razão de velocidades com o mesmo período (2024/97, resposta 101), comprimento da órbita medido do centro (2025/42).
3. A resultante na curva (tipo A): atrito como centrípeta e $r = v^2/(\mu g)$ (2013/95 e 96); resultante transversal não nula (2012/78); giro com velocidade constante tem aceleração (2017/40); pêndulo cônico $v^2 = gR\tan\theta$ (2021/64); componente horizontal da força em trajetória circular (2009/112).
4. O ponto alto (tipo A): normal e peso aparente no topo do loop, condição para não despencar, velocidade mínima e altura de abandono (2009/109 a 111).

Os contextos vêm dos objetivos da matriz e das obras do triênio: rotatórias e curvas de estrada (mobilidade), bicicleta, ventiladores e aerogeradores (energia), parques de diversões, o James Webb e os satélites (espaço), o trem de Villa-Lobos e o fouetté do balé (arte). Quando uma obra do triênio tiver algo que gira, releia-a com esta página na cabeça: período, raio e velocidade viram dados de item.

Os sete erros que a prova planta

1. Achar que velocidade de módulo constante é aceleração zero. O vetor muda de direção; há $a_c = v^2/R$ e resultante $mv^2/R$ para o centro (2017/40, errado; 2012/78, certo).
2. Desenhar uma força centrífuga. No referencial do chão ela não existe; o corpo tende a seguir em linha reta e quem o segura na curva é a porta, o fio, o trilho, o atrito.
3. Igualar $\omega$ em rodas ligadas por correia. Correia e corrente igualam $v$ na borda; a roda menor gira mais depressa ($\omega_a r_a = \omega_b r_b$). Mesmo eixo iguala $\omega$ (2014/73: $\omega_b = \omega_c$).
4. Usar rpm como Hz e minuto como segundo. Divida rpm por 60; multiplique minutos por 60. Centímetros viram metros antes de $\omega^2 R$.
5. Confundir $v$ fixo com $\omega$ fixo ao comparar acelerações. Com $\omega$ fixo, $a_c \propto R$ (a borda acelera mais); com $v$ fixo, $a_c \propto 1/R$.
6. Achar que no topo do loop a normal tem de ser zero. Zero é o limite ($v = \sqrt{gR}$); acima disso $N = m(v^2/R - g) > 0$ e o carrinho passa com folga (2009/109 e 110, ambos errados). Na roda-gigante, a normal do topo é $m(g - v^2/R)$, menor que o peso, e a da base, $m(g + v^2/R)$.
7. Medir o raio da órbita da superfície. $r = R_{\text{Terra}} + h$ (2025/42, errado). E quem gira junto tem o mesmo $T$: a razão de velocidades é a razão de raios (2024/97).

O essencial em meia página

• Grandezas: $T$ (s), $f = 1/T$ (Hz), $\omega = 2\pi/T = 2\pi f$ (rad/s), $v = 2\pi R/T = \omega R$ (m/s). Uma volta $= 2\pi$ rad $= 2\pi R$ de arco. rpm ÷ 60 = Hz.
• Aceleração centrípeta: $a_c = v^2/R = \omega^2 R$, perpendicular a $\vec v$, para o centro; muda só a direção da velocidade. Dobrar $v$ quadruplica; com $\omega$ fixo, $a_c \propto R$; com $v$ fixo, $a_c \propto 1/R$.
• Força centrípeta: é a resultante radial, $F = mv^2/R$; não é força nova. Quem faz o papel: atrito (curva plana), tração (fio), componente horizontal da normal ou da tração (curva inclinada, pêndulo cônico), peso $\pm$ normal (topo e base), gravitação (órbita). Não existe centrífuga no referencial inercial. Sem centrípeta, sai pela tangente.
• Curva plana: $v_{\max} = \sqrt{\mu g R}$, $R_{\min} = v^2/(\mu g)$; a massa cancela. Rotatória de 50 m com $\mu = 0{,}5$: 15,8 m/s.
• Curva inclinada sem atrito e pêndulo cônico: $\tan\theta = v^2/(gR)$, ou $v = \sqrt{gR\tan\theta}$ (PAS 2021/64, certo).
• Topo do loop: $N + mg = mv^2/R$; não cai se $v^2 \ge gR$; $v_{\min} = \sqrt{gR}$ com $N = 0$; altura mínima de abandono $2{,}5R$. Roda-gigante: topo $N = m(g - v^2/R)$, base $N = m(g + v^2/R)$; peso aparente é a normal.
• Transmissão: correia/corrente/contato → mesma $v$ na borda, $\omega_1 R_1 = \omega_2 R_2$ (dentes: $f_1 Z_1 = f_2 Z_2$); mesmo eixo/mesmo disco → mesma $\omega$, $v \propto R$. Bicicleta 2014: $\omega_b = \omega_c$, $T_{\text{roda}} = 0{,}4$ s, $a_c$ da periferia $\approx 63$ m/s² para $T = 0{,}5$ s.
• Satélites: raio do centro, $r = R_{\text{T}} + h$ (2025/42: $14\,400\pi$ km, não $1\,600\pi$); mesmo período → $v \propto r$ (2024/97: 101). Geoestacionário: $T = 24$ h, equatorial, $\approx 42\,000$ km, $\approx 3{,}1$ km/s.
• Trabalho da centrípeta: zero, porque é perpendicular ao deslocamento (2024/92, certo).