Leis de Kepler e órbitas

As leis de Kepler relacionam a forma das órbitas, a variação da velocidade ao longo delas e o tempo necessário para completar uma volta. Na formulação newtoniana, descrevem o problema ideal de dois corpos sob atração gravitacional. Para os exemplos, adotaremos um corpo central muito mais massivo que o orbitante, desprezando resistência e perturbações de outros corpos.

Primeira lei: elipse e foco

Uma órbita ligada do modelo gravitacional pode ser uma elipse, com o corpo central em um dos focos, não necessariamente no centro geométrico. O semieixo maior é a; a distância entre centro e foco é c; a excentricidade é $e=c/a$, com $0\le e<1$.

A circunferência é o caso e=0. Quanto maior e, mais alongada é a elipse. A distância mínima ao foco é $r_p=a(1-e)$ e a máxima, $r_a=a(1+e)$. Seus nomes dependem do corpo central: periélio e afélio para o Sol, perigeu e apogeu para a Terra.

Se a=10 unidades de distância e e=0,20, as distâncias extremas são 8 e 12. A soma é 20=2a, e não 2c. O desenho deve identificar qual ponto é o foco ocupado pelo astro para não trocar distância ao centro da elipse com distância ao corpo central.

Segunda lei: áreas iguais em tempos iguais

O segmento que liga o corpo central ao orbitante varre áreas iguais em intervalos de tempo iguais. Perto do periastro, o corpo percorre um trecho maior da trajetória no mesmo tempo e se move mais rapidamente; perto do apoastro, mais lentamente.

Essa lei não afirma que arcos iguais são percorridos em tempos iguais em uma elipse. No periastro e no apoastro, a velocidade é perpendicular ao raio focal, e vale $r_pv_p=r_av_a$. No exemplo com distâncias 8 e 12, $v_p/v_a=12/8=1{,}5$.

A constância da velocidade areolar expressa a conservação do momento angular quando a força é central. Em uma órbita circular, a distância ao centro é constante e a rapidez também, recuperando o MCU.

Terceira lei: período e semieixo maior

Para corpos de massa desprezível orbitando o mesmo astro de massa M, $T^2=4\pi^2a^3/(GM)$. Assim, $T^2/a^3$ é constante nesse conjunto de órbitas. Na elipse, use o semieixo maior, não uma distância instantânea ou a altitude.

Se uma órbita tem semieixo maior quatro vezes o de outra em torno do mesmo astro, a razão dos períodos é $4^{3/2}=8$. Não é quatro nem dezesseis. Para comparar órbitas ao redor de astros diferentes, considere também a massa central.

No problema de dois corpos com massas comparáveis, a forma exata usa $G(M+m)$ e o semieixo maior da órbita relativa; os dois corpos se movem em torno do centro de massa. A afirmação de independência da massa do satélite é uma aproximação quando $m\ll M$.

Órbita circular: gravidade é centrípeta

Igualar $GMm/r^2=mv^2/r$ fornece $v=\sqrt{GM/r}$ para a órbita circular no modelo de massa central dominante. Seu período é $T=2\pi r/v$. Aumentar r reduz a rapidez e aumenta o período; não se aplica essa relação de rapidez a uma elipse inteira como se r fosse fixo.

Se $GM=4{,}0\times10^{14}$ m³/s² e r=$10^7$ m, a rapidez é $\sqrt{4\times10^7}$ m/s, aproximadamente 6325 m/s. Se o raio do planeta é $6\times10^6$ m, a altitude dessa órbita é $4\times10^6$ m. Usar a altitude na raiz forneceria outra rapidez, incorreta para essa órbita.

Geoestacionário exige mais que período

No modelo ideal terrestre, um satélite geoestacionário tem órbita circular no plano equatorial, sentido igual ao da rotação da Terra e período igual ao dia sideral. Essas condições fazem sua posição aparente permanecer fixa em relação ao solo.

Ter apenas o mesmo período não basta: uma órbita inclinada ou excêntrica pode fazer o satélite mudar de posição no céu durante o ciclo. É importante distinguir “mesmo período” de “mesma posição aparente”. O dia sideral é aproximadamente 23 h 56 min; 24 h é uma aproximação escolar que deve ser explicitada quando usada.

Queda contínua e hipóteses do modelo

Orbitar significa curvar continuamente a trajetória pela gravidade. No modelo sem resistência, não é necessário empuxo contínuo de motor para manter a órbita ideal. Isso não transforma órbitas reais em trajetórias eternamente imutáveis: perturbações e interações podem exigir outro tratamento.