Curso · Matemática

Matemática PAS 2: trigonometria, sólidos e dados

A 2.ª etapa do PAS/UnB em Matemática, capítulo a capítulo: do triângulo ao ciclo e às funções trigonométricas; sólidos, cônicas, poliedros e a esfera; volumes com Cavalieri; e a leitura de dados — contagem, probabilidade, tabelas e gráficos, medidas de centro e dispersão.

1 Trigonometria no triângulo A norma de acessibilidade diz que uma rampa não pode subir mais de 1 metro a cada 12 de avanço, e a prova do PAS transformou isso em três itens sem citar a palavra tangente. Como um ângulo vira uma razão entre dois comprimentos, e como essa razão devolve uma altura, uma distância ou um ângulo que ninguém pode medir diretamente? Conteúdo e materiais de estudo
2 Ciclo trigonométrico A prova do PAS disse que as pás de um helicóptero giram 600π radianos por minuto e perguntou quantos metros ele avança por rotação; em outro ano, deu cos(t² − 36t + 260) = 1 e pediu a temperatura. O que é, afinal, um radiano, e como um único círculo de raio 1 dá seno, cosseno e tangente de qualquer ângulo, de 0° a milhares de graus, negativos inclusive? Conteúdo e materiais de estudo
3 Funções trigonométricas A prova do PAS 2 escreveu a intensidade de uma orquestra como 80 − 20·cos(πt/4), a posição de um pistão como (21/5)·sen(200πt) e o ar nos pulmões de um animal como a·sen(bt) + c, e em cada caso perguntou por um máximo, um período ou um instante. Como três ou quatro números escritos numa fórmula descrevem por completo tudo o que sobe e desce, e como se leem sem calculadora? Conteúdo e materiais de estudo
4 Geometria espacial A prova descreve um tanque, um silo ou um tronco de árvore só com palavras, posiciona um plano e afirma qual figura aparece no corte; depois pede quanto metal, concreto ou papel reveste cada parte. Como enxergar a figura plana escondida dentro do sólido, ao cortar ou ao desenrolar, e medi-la sem ver o objeto? Conteúdo e materiais de estudo
5 Cônicas A ponta de um lápis apontado, cortada por uma lâmina, mostra um círculo, um oval ou uma curva aberta conforme a inclinação do corte; a antena de Arecibo tem 305 m de boca e 51 m de fundo, e o receptor fica a 114 m do fundo; Netuno dá a volta no Sol numa curva que nem parece achatada. O que essas três situações têm em comum, e como se calcula onde fica o foco? Conteúdo e materiais de estudo
6 Poliedros Uma bola de futebol tem 32 gomos, um cristal de granada tem 30 arestas e 20 vértices, um vírus tem casca de 20 triângulos: quantas costuras, quantas faces, quantos cantos cada um tem? Como contar os elementos de um sólido sem desenhá-lo, e por que só existem cinco poliedros regulares? Conteúdo e materiais de estudo
7 Geometria da esfera Uma bola de basquete tem 24 cm de diâmetro: quanta borracha reveste a casca e quanto ar cabe dentro? A rota de um voo entre Brasília e Lisboa aparece no mapa como uma curva que sobe para o norte: por que o avião não vai em linha reta? E por que a Groenlândia parece maior que a África no mapa-múndi pendurado na parede, se a África tem catorze vezes a área dela? As três perguntas têm a mesma resposta: a geometria da esfera. Conteúdo e materiais de estudo
8 Volume de prismas e cilindros Uma caixa-d'água de 1 000 litros é um cubo de 1 metro de lado; a lata de refrigerante tem 350 mL; a chuva de ontem foi de 30 milímetros. Como esses três números são o mesmo tipo de medida, como se passa de um para o outro sem errar por mil, e por que cortar o diâmetro de uma lata pela metade não deixa a lata com metade do refrigerante? Conteúdo e materiais de estudo
9 Princípio de Cavalieri Um pão de forma inteiro e o mesmo pão com as fatias escorregadas para o lado têm a mesma quantidade de miolo; um vaso em forma de parábola não tem fórmula de volume em livro nenhum. Como se compara o volume de dois sólidos de formas diferentes sem calcular nenhum dos dois, o que exatamente precisa ser conferido para a comparação valer, e por que saber que dois sólidos têm o mesmo volume não diz nada sobre as suas fatias? Conteúdo e materiais de estudo
10 Volume de pirâmides e cones Um funil cheio de água até a borda despeja só um terço do que despeja a lata cilíndrica de mesma boca e mesma altura, e a Pirâmide do Sol, com 225 metros de lado, guarda menos pedra do que parece. De onde vem exatamente o fator um terço, por que ele vale para qualquer base e para pirâmides tortas, por que cortar a ponta de um cone a meia altura tira só um oitavo do volume, e como se calcula o que sobra, o tronco, sem decorar fórmula nenhuma? Conteúdo e materiais de estudo
11 Volumes de sólidos compostos Uma manilha de concreto, um silo com chapéu de cone, uma cápsula de remédio, um bloco de alumínio com um furo, uma caixa de laranjas: nenhum deles é um sólido só. Como se decide o que somar e o que subtrair, por que a parede de um tubo não é "área vezes espessura", quanto do cubo uma bola ocupa de verdade e o que o nível da água revela quando um objeto afunda? Conteúdo e materiais de estudo
12 Análise combinatória A prova do PAS 2 de 2025 deu uma tabela com os 336 municípios do MATOPIBA, mandou escolher dois ao acaso e perguntou se havia mais de 50 000 maneiras de fazer isso; um ano antes, pediu para separar 3 pessoas entre 35 e 2 entre 5 e julgar se as maneiras eram menos de 6 000. Ninguém enumera 56 280 pares nem 65 450 seleções. Como se conta o que não dá para listar, e como se sabe quando trocar a ordem cria uma escolha nova ou repete a mesma? Conteúdo e materiais de estudo
13 Probabilidade A prova do PAS 2 de 2024 descreveu um teste de vacina com 100 pessoas, 40 delas com sintomas, sorteou duas e perguntou se a chance de pelo menos uma ter sintomas ficava abaixo de 0,6; depois mandou preencher uma tabela com as chances de 0, 1 e 2 sintomáticos entre os dois sorteados e desenhar um gráfico de pizza. Um ano depois, mandou comparar a chance de dois municípios do MATOPIBA saírem "do Maranhão ou da Bahia" com a de saírem "do Tocantins ou do Piauí" e acabou anulando o item. O que é, afinal, a probabilidade de um evento, como se calcula quando os casos são contados e quando vêm de uma tabela, e por que um "ou" mal lido derruba a conta inteira? Conteúdo e materiais de estudo
14 Probabilidade condicional A prova do PAS 2 de 2024 descreveu um teste de vacina com 100 pessoas, 50 vacinadas, 40 com sintomas (5 delas vacinadas), e afirmou que a probabilidade condicional P(A/B), com A = infectados e B = vacinados, valia 4/5; a resposta certa era 1/10. A prova do PAS 3 do mesmo ano deu que 89 % dos moradores de áreas urbanas e 72 % dos de áreas rurais têm celular e perguntou, de quem tem celular, qual a chance de morar na cidade. Por que uma informação nova muda a probabilidade, por que o denominador é o que muda, e como se inverte uma condicional sem nenhuma fórmula além de uma tabela de 1 000 pessoas? Conteúdo e materiais de estudo
15 Leitura de tabelas e gráficos A prova do PAS 2 de 2025 imprimiu a tabela do MATOPIBA, com o Tocantins dono de 38% do território da região e a Bahia de 18%, e afirmou que a tabela permitia inferir que o Tocantins, como estado, é maior que a Bahia; a de 2010 deu uma tabela de percentuais de estudantes vítimas de bullying ao lado da população de cada capital e afirmou que Curitiba (35,2%) tinha proporcionalmente mais casos que Goiânia (31,2%), apesar de Goiânia ter mais casos em número; e a de 2018 pôs lado a lado dois gráficos de chuva com escalas diferentes, um até 35 mm e outro até 12 mm, e perguntou se um mês choveu menos de 20% do outro. Nenhum dos três exige fórmula nova. O que é preciso ler numa tabela ou num gráfico antes de fazer qualquer conta, e quais leituras a banca sabe que o candidato erra? Conteúdo e materiais de estudo
16 Média, moda e mediana A prova do PAS 2 de 2025 deu a tabela do MATOPIBA (a Bahia com 18% do território e 30 municípios) e perguntou que área, "em média", cada município baiano ocupa; a de 2011 misturou 25 g de um material com 50 g de outro e pediu o percentual de urânio da mistura, em resposta numérica; no PAS 3, a banca deu a frota de veículos por 100 habitantes em treze anos, avisou que a média era 26,2 e afirmou que a mediana era superior a ela; e, com cinco vacinas em quantidades 16, 36, 17, 14 e 17, afirmou que a moda era 36 porque a Tembulax era a mais frequente. Quando um único número tem de falar por muitos, qual escolher, como calculá-lo e o que ele esconde? Conteúdo e materiais de estudo
17 Variância e desvio padrão A prova do PAS 3 de 2018 deu quatro barras com o número de mulheres eleitas vereadoras (6,6; 6,5; 7,5 e 7,8 mil) e afirmou que o desvio padrão era inferior a 0,70; a de 2013 pediu, em resposta numérica, a variância de quatro barras da frota de veículos multiplicada por 100 (gabarito 135); a de 2023 falou em "variância amostral" e só fechava com o divisor n − 1; a de 2008 afirmou que três valores em progressão aritmética têm desvio padrão zero. Quanto os dados se afastam do centro, como medir esse afastamento com um número e o que ele permite concluir? Conteúdo e materiais de estudo