Média, moda e mediana

Em dezembro de 2025, a prova do PAS 2 colocou na mesa a tabela do MATOPIBA: quatro estados, a fatia de cada um no território da região e o número de municípios de cada um; a Bahia, com 18% da área e 30 municípios. O item de múltipla escolha perguntou que área, “em média”, cada município baiano ocupa, e as quatro opções eram quatro divisões possíveis com os números daquela tabela. Quinze anos antes, a mesma etapa tinha dado dois materiais com percentuais diferentes de dois isótopos de urânio, misturado 25 g de um com 50 g do outro e pedido, em resposta numérica, o percentual da mistura: quem fez a média simples dos percentuais marcou 450; quem pesou cada material pela sua massa marcou 480, o gabarito. No PAS 3, a banca deu a frota de veículos por 100 habitantes em treze anos seguidos, avisou que a média era 26,2 e afirmou que a mediana era maior; noutra prova, listou cinco vacinas em quantidades 16, 36, 17, 14 e 17 e afirmou que a moda era 36 “porque a Tembulax é a mais frequente”. Os quatro itens fazem a mesma pergunta por caminhos diferentes: quando um único número tem de falar por muitos, qual escolher, como calculá-lo e o que ele esconde?

Esta página responde com três números, cada um com uma definição, um modo de cálculo e um defeito. A média reparte o total em partes iguais e, por isso, é arrastada por qualquer valor muito grande ou muito pequeno. A mediana é o valor que fica no meio da fila ordenada e não se importa com o tamanho dos extremos. A moda é o valor que mais se repete, e é a única das três que funciona para categorias (cores, marcas, estados). As três se calculam a partir de uma lista de dados ou de uma tabela de frequências, reagem de maneiras previsíveis quando os dados mudam, e a diferença entre média e mediana conta uma história sobre a forma do conjunto. O que fica para a página seguinte é a outra metade do resumo, a dispersão: dois conjuntos podem ter a mesma média e nada mais em comum.

Um número no lugar de muitos: o que é resumir dados

Uma turma de 30 estudantes fez uma prova; a coordenação quer saber “como a turma foi”. A resposta completa são as 30 notas, e ninguém lê 30 notas numa reunião. A estatística descritiva troca a lista inteira por um ou dois números que capturam o que interessa: onde os dados se concentram (o centro) e quanto se espalham (a dispersão). Esta página é sobre o centro; as medidas que o descrevem chamam-se medidas de tendência central ou medidas de posição.

Antes de qualquer conta, três perguntas organizam o trabalho e evitam a maior parte dos erros de prova. Primeira: qual é a variável, isto é, o que foi medido em cada observação (a nota, o salário, o número de veículos por 100 habitantes, a cor preferida)? Segunda: quantas observações há ($n$)? Terceira: cada linha da tabela é um dado ou uma contagem de dados? Numa lista de 13 valores anuais, cada valor é um dado. Numa tabela que diz “nota 8: 5 estudantes”, a linha não é um dado, é a informação de que o dado 8 apareceu cinco vezes; a frequência é um peso, não um valor.

A distinção entre dado e frequência decide, por exemplo, o que fazer com uma tabela de vacinas em que a Tembulax aparece com quantidade 36: o 36 é um dado da variável “quantidade de doses”, e a palavra “frequente” do enunciado não se refere a ele. A seção da moda volta a esse item.

Média: repartir o total em partes iguais

Um estudante fez cinco provas e tirou 6,5; 7,0; 8,5; 5,0 e 9,0. Se as cinco notas fossem iguais, mantendo a soma, quanto valeria cada uma? A soma é $36$; dividida por 5, dá $7{,}2$. Esse é o significado da média aritmética: o valor que cada dado teria se o total fosse distribuído igualmente entre todos.

A fórmula é curta, e a maior parte do que a prova cobra sobre ela está em três leituras diferentes da mesma igualdade.

A média como total disfarçado. Como $n \cdot \bar{x}$ é a soma, qualquer afirmação sobre a média é uma afirmação sobre a soma, e vice-versa. Se o estudante quer fechar o semestre com média 7,5 em seis provas, precisa de soma $6 \times 7{,}5 = 45$; já tem 36, logo a sexta nota tem de ser $45 - 36 = 9{,}0$. É esse o mecanismo de todo item que dá a média e pede um dado que falta.

A média como ponto de equilíbrio. Calcule, para cada dado, a diferença $x_i - \bar{x}$, chamada desvio. Nos dados 4, 6, 6, 9 e 15, a média é $40 \div 5 = 8$ e os desvios são $-4, -2, -2, +1, +7$, cuja soma é zero. Isso vale sempre: a soma dos desvios em relação à média é nula, porque somar os $x_i$ dá $n\bar{x}$ e subtrair $n$ vezes $\bar{x}$ devolve zero. Geometricamente, se cada dado fosse um peso igual sobre uma régua, a média seria o ponto em que a régua equilibra. A imagem explica o defeito mais citado da média: um dado longe do grupo tem alavanca longa e desloca o apoio na sua direção.

A média como aproximação de um total pelo tamanho do grupo. Em 2008, o PAS 3 apresentou um gráfico de barras com a produção mundial de cereais, em milhões de toneladas: 1 573 em 1980, 1 718 em 1985, 1 903 em 1990, 1 930 em 1995, 2 100 em 2000 e 2 270 em 2005, e afirmou que “a média da produção mundial de cereais, no período de 1985 a 2000, foi superior a 1,8 bilhões de toneladas”. Quatro barras entram no período: $1\,718 + 1\,903 + 1\,930 + 2\,100 = 7\,651$; dividido por 4, $1\,912{,}75$ milhões de toneladas, acima de 1 800. Certo. O trabalho do item não é a divisão, é escolher as barras: “de 1985 a 2000” inclui as duas pontas, e o limiar foi posto onde quem esquece uma barra (ou inclui 1980) pode trocar o julgamento.

Exemplo resolvido 1: a média de uma série com limiar apertado. A prova do PAS 3 de 2023 trouxe um gráfico da população de imigrantes mexicanos nos Estados Unidos, em milhões, década a década: 0,22 em 1910; 0,48 em 1920; 0,64 em 1930; 0,35 em 1940; 0,45 em 1950; 0,57 em 1960 e 0,76 em 1970 (depois 2,19; 4,28; 9,16 e 11,73 até 2010). O item afirmou que, “entre 1910 e 1970, a média aritmética da imigração de mexicanos para os EUA foi inferior a 500 mil indivíduos”. Sete décadas, sete dados: a soma é $0{,}22 + 0{,}48 + 0{,}64 + 0{,}35 + 0{,}45 + 0{,}57 + 0{,}76 = 3{,}47$ milhões; dividida por 7, $\bar{x} \approx 0{,}496$ milhão, isto é, 496 mil. Inferior a 500 mil: certo, por 4 mil. Conferência: se a média fosse 0,5, a soma seria $7 \times 0{,}5 = 3{,}5$; a soma real é 3,47, menor, logo a média é menor que 0,5. Comparar a soma com $n$ vezes o limiar evita a divisão e é mais seguro quando o limiar está tão perto.

A média disfarçada de taxa: “por município”, “por ano”, “por dia”

“Cada município ocupa, em média, tantos por cento”; “em média, mais de 10 000 escravizados por ano”; “em média, mais de 300 blocos a cada dia”. Nenhuma dessas frases dá uma lista de dados para somar. Elas dão um total e um número de unidades, e a palavra “em média” pede a divisão de um pelo outro. É a mesma média aritmética vista pela igualdade $\bar{x} = \dfrac{\text{total}}{n}$, só que o total chega pronto e os dados individuais nem são conhecidos. Uma taxa (área por município, pessoas por ano, blocos por dia, quilômetros por litro) é uma média cujas observações individuais ninguém listou.

Exemplo resolvido 2: a tabela do MATOPIBA (PAS 2 2025). A tabela impressa na prova:

“É correto concluir dos dados da tabela que cada município do estado da Bahia ocupa, em média, uma área equivalente a: A) 0,12%; B) 0,16%; C) 0,60%; D) 0,89% da área total do MATOPIBA.” O total é a fatia da Bahia, 18% da região; as unidades são os 30 municípios baianos. $18\% \div 30 = 0{,}6\%$: opção C. Conferência pelo total: 30 municípios de 0,6% cada somam $30 \times 0{,}6\% = 18\%$, a linha da tabela. As outras três opções não saem de nenhuma divisão natural da tabela (a fatia da Bahia pelo total de municípios da região, $18\% \div 336$, daria $0{,}05\%$; a área média de um município qualquer da região, $100\% \div 336$, daria $0{,}30\%$): elas funcionam como distratores de ordem de grandeza, e a única conta que responde à frase é a linha inteira da Bahia, 18% por 30. O item não exige fórmula nova, exige decidir o que dividir por o quê.

Em 2015, o PAS 1 fez o mesmo com um documentário sobre o tráfico atlântico: “se, ao longo de 350 anos, o tráfico trouxe mais de 4 milhões de seres humanos da África para o Brasil, então, em média, mais de 10.000 escravos foram trazidos anualmente para o Brasil”. $4\,000\,000 \div 350 \approx 11\,429$ por ano, mais de 10 000. Certo. E se o total é “mais de 4 milhões”, a média é “mais de 11 429”, o que só reforça o julgamento. Em 2021, com a grande pirâmide de Gizé (“possui 2.300.000 blocos […] e levou 20 anos para ser construída”), o item afirmou que “foram colocados, em média, mais de 300 blocos a cada dia”. Vinte anos têm $20 \times 365 = 7\,300$ dias; $2\,300\,000 \div 7\,300 \approx 315$ blocos por dia, mais de 300. Certo. (Com anos bissextos, 7 305 dias e 314,9 blocos por dia; o julgamento não muda.)

A taxa também aparece como variação média por período. Em 2010, o PAS 2 descreveu uma manada de renas numa ilha: 29 animais introduzidos em 1944, 1 350 em 1957, 6 000 em 1963. “A média anual de nascimentos de renas na Ilha St. Matthew, entre 1957 e 1963, foi superior a sete vezes a média de nascimentos aferida entre 1944 e 1957.” Tomando o crescimento da população como o número de nascimentos (é a hipótese que o item precisa), de 1957 a 1963 nasceram $6\,000 - 1\,350 = 4\,650$ renas em 6 anos, $775$ por ano; de 1944 a 1957, $1\,350 - 29 = 1\,321$ em 13 anos, cerca de $101{,}6$ por ano. Sete vezes 101,6 dá 711,3, e 775 supera isso. Certo. Repare na estrutura: dois totais (as diferenças), dois números de anos, duas divisões, uma comparação.

Média ponderada: cada valor pesa o que vale

Um curso dá peso 1 à primeira prova, peso 2 ao trabalho e peso 3 à prova final. Um estudante tirou 6,0; 8,0 e 7,0. A média simples das três notas é 7,0, mas o regulamento não trata as três igualmente: a final conta três vezes. O que se faz é multiplicar cada nota pelo seu peso, somar e dividir pela soma dos pesos: $\dfrac{1 \times 6 + 2 \times 8 + 3 \times 7}{1 + 2 + 3} = \dfrac{6 + 16 + 21}{6} = \dfrac{43}{6} \approx 7{,}17$.

Exemplo resolvido 3: a mistura de isótopos (PAS 2 2011). A tabela: material X com 16% de urânio-235 e 20% de urânio-238, em massa; material Y com 22% e 32%. O item pediu, “na forma decimal, a soma do percentual em massa do isótopo $^{235}\mathrm{U}$ com o percentual em massa do isótopo $^{238}\mathrm{U}$ referente a uma mistura composta por 25 g do material X e 50 g do material Y”, multiplicada por 1 000. A mistura tem 75 g. Urânio-235: $0{,}16 \times 25 + 0{,}22 \times 50 = 4 + 11 = 15$ g, que em 75 g são $0{,}20$. Urânio-238: $0{,}20 \times 25 + 0{,}32 \times 50 = 5 + 16 = 21$ g, ou $0{,}28$. Soma $0{,}48$; vezes 1 000, 480. Conferência: os dois percentuais da mistura são médias ponderadas dos percentuais de X e Y com pesos 25 e 50, isto é, 1 e 2: $\dfrac{16 + 2 \times 22}{3} = 20$ e $\dfrac{20 + 2 \times 32}{3} = 28$. Quem faz a média simples ($19\%$ e $26\%$, soma 0,45) marca 450 e erra; o item existe para separar quem viu o peso $2:1$ de quem não viu.

A mesma ideia com áreas como pesos abriu a série em 2007, numa tabela de viveiro com três culturas (soja, milho e cana), em que a eficiência no uso de água, em gramas de CO$_2$ absorvido por metro quadrado irrigado, era 300 para a soja e 200 para as outras duas. “Considere-se que todo o terreno do viveiro seja uniformemente irrigado. Para se obter uma taxa de eficiência do uso de água na absorção de CO$_2$ igual a 250 g/m², pelo conjunto das plantas desse viveiro, é suficiente que a área plantada de soja seja igual à soma das áreas plantadas de milho e de cana.” Se a soja ocupa metade do terreno e milho mais cana ocupam a outra metade, a eficiência do conjunto é a média de 300 e 200 com pesos iguais, 250. Certo. O item vizinho, com a taxa horária de absorção por metro quadrado de área foliar (3, 5 e 6 g por m² por hora) e áreas plantadas de 500, 200 e 100 m², perguntava se o conjunto ficaria entre 4 e 5; a média ponderada pelas áreas plantadas dá $\dfrac{3 \times 500 + 5 \times 200 + 6 \times 100}{800} = 3{,}875$, e a ponderada pelas áreas foliares (a tabela dava a proporção entre área cultivada e foliar: 1/20, 1/12 e 1/8, logo 10 000, 2 400 e 800 m² de folhas) dá $\dfrac{30\,000 + 12\,000 + 4\,800}{13\,200} \approx 3{,}55$. Nas duas leituras fica abaixo de 4: errado. A lição é que, numa média ponderada, o peso é a grandeza em cujo nome a taxa é medida: por metro quadrado irrigado, o peso é a área irrigada; por metro quadrado de folha, o peso é a área foliar.

Em 2013, o PAS 1 deu uma tabela de oleaginosas com o rendimento médio em óleo: soja 0,4 t/ha, girassol 1,0, dendê 4,5, mamona 0,75. “Se, em uma área de 50 ha, 20% são de cultivo de mamona, 50%, de soja e 30%, de dendê, então a expectativa é que esse cultivo resulte em rendimento médio em óleo superior a 2,0 t/ha.” Pesos 0,2; 0,5 e 0,3 (os 50 ha nem precisam entrar): $0{,}2 \times 0{,}75 + 0{,}5 \times 0{,}4 + 0{,}3 \times 4{,}5 = 0{,}15 + 0{,}20 + 1{,}35 = 1{,}70$ t/ha. Errado. O dendê rende muito, mas ocupa só 30% da área; a média simples das três culturas ($1{,}88$) também fica abaixo de 2, e ainda assim é a conta errada, porque ignora que metade do terreno é soja.

Anos como pesos. Em 2011, o PAS 3 descreveu a oferta de derivados de petróleo crescendo 5% ao ano de 2005 a 2010, com estimativas de 3,6% ao ano de 2011 a 2020 e 3,4% ao ano de 2021 a 2030, e perguntou, em múltipla escolha, o “crescimento médio anual da oferta de derivados de petróleo, para os 26 anos analisados”: A) 3,6%; B) 3,8%; C) 4,0%; D) 4,2%. São três taxas com durações 5, 10 e 10 anos: $\dfrac{5 \times 5 + 10 \times 3{,}6 + 10 \times 3{,}4}{5 + 10 + 10} = \dfrac{25 + 36 + 34}{25} = 3{,}8\%$, opção B. O enunciado fala em “26 anos” porque conta os anos de 2005 a 2030 inclusive (6, 10 e 10); com esses pesos a conta dá $\dfrac{6 \times 5 + 10 \times 3{,}6 + 10 \times 3{,}4}{26} = \dfrac{100}{26} \approx 3{,}85\%$, que arredonda para os mesmos 3,8%: as duas leituras fecham na opção B, e a diferença entre elas é menor que a distância entre duas opções. A média simples das três taxas, $4{,}0\%$, é o distrator C: ela trata os cinco anos do primeiro período como se valessem tanto quanto os dez de cada um dos outros.

Coordenadas como pesos. Em 2016, com uma tabela de sete pares de caixas de som (frequências predominantes 60, 170, 310, 7 500, 2 200, 1 550 e 5 100 Hz, nas alturas $y$ iguais a 7, 7, 5, 5, 3, 3 e 3 m), o PAS 3 pediu “a média ponderada das frequências predominantes, considerando como peso suas respectivas coordenadas $y$”, dividida por 10. Produtos: $60 \times 7 = 420$; $170 \times 7 = 1\,190$; $310 \times 5 = 1\,550$; $7\,500 \times 5 = 37\,500$; $2\,200 \times 3 = 6\,600$; $1\,550 \times 3 = 4\,650$; $5\,100 \times 3 = 15\,300$; soma $67\,210$. Pesos: $7 + 7 + 5 + 5 + 3 + 3 + 3 = 33$. Média $67\,210 \div 33 \approx 2\,036{,}7$; dividida por 10, 203. Os pesos vieram de uma coluna da tabela que nada tem de estatístico; o item só testa se você executa a fórmula com os pesos que o enunciado mandou.

Tabela de frequências: a média sem a lista

Pergunte a 25 estudantes quantos livros leram no ano e organize as respostas numa tabela: 4 leram nenhum, 7 leram um, 8 leram dois, 4 leram três e 2 leram cinco. A lista completa tem 25 números (quatro zeros, sete uns, …), e ninguém precisa escrevê-la: a tabela já diz quantas vezes cada valor entra na soma.

Exemplo resolvido 4: os livros lidos. Média: $\dfrac{4 \times 0 + 7 \times 1 + 8 \times 2 + 4 \times 3 + 2 \times 5}{25} = \dfrac{0 + 7 + 16 + 12 + 10}{25} = \dfrac{45}{25} = 1{,}8$ livro por estudante. Conferência: a soma dos produtos, 45, é o total de livros lidos pela turma, e $25 \times 1{,}8 = 45$. Moda: 2 livros (frequência 8, a maior). Mediana: $n = 25$, posição central $13$; a frequência acumulada é 4 (até o valor 0), 11 (até o 1), 19 (até o 2): a 13.ª resposta está na linha do 2, logo a mediana é 2. Repare que somar os valores da primeira coluna e dividir por 5 ($\dfrac{0 + 1 + 2 + 3 + 5}{5} = 2{,}2$) seria a média de cinco números que não são os dados: é o erro de tratar linha como observação.

Em 2016, a tabela das 14 caixas de som é uma tabela de frequências disfarçada: cada frequência sonora aparece em duas caixas (A e A’ com 60 Hz, B e B’ com 170 Hz, e assim por diante). O item afirmou que “a média das frequências predominantes das 14 caixas de som é igual à média das frequências das caixas posicionadas no primeiro quadrante”. As sete caixas do primeiro quadrante têm as sete frequências, uma de cada; as 14 têm as mesmas sete, cada uma duas vezes. Dobrar todas as frequências de uma tabela multiplica a soma e o $n$ por 2 e não muda a média: $\dfrac{16\,890}{7} = \dfrac{33\,780}{14} \approx 2\,413$ Hz. Certo.

Mediana: o valor do meio exige fila

Num posto de saúde, sete pessoas esperaram 12, 7, 25, 9, 14, 8 e 60 minutos. A média é $135 \div 7 \approx 19{,}3$ minutos, e seis das sete pessoas esperaram menos que isso: o 60 puxou a média para longe do grupo. Para dizer “quanto esperou a pessoa típica”, ordene: 7, 8, 9, 12, 14, 25, 60. O valor do meio é 12 minutos; três esperaram menos, três esperaram mais, e o 60 poderia ser 600 sem mudar nada.

Acrescente ao posto uma oitava pessoa, com 10 minutos: 7, 8, 9, 10, 12, 14, 25, 60. Agora $n = 8$, os centrais são o 4.º e o 5.º, e a mediana é $\dfrac{10 + 12}{2} = 11$. Note que a nova mediana não é tempo de ninguém.

A prova gosta de dar os dados fora de ordem. Em 2020, com as cinco vacinas em quantidades 16, 36, 17, 14 e 17, o PAS 3 afirmou que “a distribuição das quantidades de vacina na tabela tem mediana igual a 16,5”. Ordenando: 14, 16, 17, 17, 36. Cinco dados, o 3.º é 17. Errado. O 16,5 é a média do 16 e do 17, isto é, a mediana que sairia se a tabela tivesse quatro vacinas, ou se alguém tomasse os dois valores do meio da tabela sem ordenar (16 e 17, na ordem impressa). Em 2021, com refugiados de cinco países em quantidades 60, 25, 10, 25 e 30, o item afirmou mediana 10; ordenando, 10, 25, 25, 30, 60, a mediana é 25. Errado. O 10 é o menor valor, que estava no meio da tabela impressa. Nos dois itens, o erro embutido é o mesmo: ler a mediana na ordem em que a tabela foi impressa.

Dados em ordem cronológica não estão em ordem crescente. Em 2017, a produção mundial de etanol, em bilhões de litros, foi 76,8 (2009), 88,1 (2010), 84,7 (2011), 82,5 (2012), 88,6 (2013) e 92,9 (2014); o item afirmou que a série “tem mediana inferior a $87 \times 10^9$ litros”. A ordem dos anos não serve. Em ordem crescente: 76,8; 82,5; 84,7; 88,1; 88,6; 92,9. Seis dados, mediana $\dfrac{84{,}7 + 88{,}1}{2} = 86{,}4$, inferior a 87. Certo. Quem toma o 3.º e o 4.º da ordem cronológica (84,7 e 82,5) acha 83,6 e acerta o julgamento pelo motivo errado; o item seguinte da banca pode não perdoar.

Em 2011, com um gráfico de setores do consumo previsto de derivados de petróleo para 2030 (diesel 43%, outros 17%, gasolina 17%, GLP 8%, nafta 7%, óleo combustível 4%, querosene 4%), o item afirmou: “É superior a 7 a mediana da sequência numérica formada pelos números inteiros correspondentes aos percentuais do consumo de querosene, GLP, nafta e gasolina em 2030.” Os quatro números são 4, 8, 7 e 17; em ordem, 4, 7, 8, 17; mediana $7{,}5$, superior a 7. Certo. Com quatro dados, a mediana é a média dos dois do meio, e a diferença entre “7” e “7,5” é todo o item.

Com muitos dados, conte posições. Em 2013, o gráfico da frota de veículos por 100 habitantes no Brasil, de 2000 a 2012, trazia 17,6; 18,5; 19,6; 20,7; 21,6; 22,8; 24,3; 26,2; 28,5; 30,9; 33,9; 36,5 e 39,5, e o enunciado avisava que a média era 26,2; o item afirmou que a mediana da série superava essa média. A série já está em ordem crescente (ela cresce ano a ano); são 13 valores e a mediana é o 7.º, 24,3, abaixo de 26,2. Errado. Esse item fecha com a próxima seção: numa série que cresce cada vez mais depressa, os últimos valores ficam longe dos primeiros e puxam a média acima do meio.

Em 2015, a tabela das parlamentares mulheres da Suécia trazia 150, 157, 159 e 157. “A mediana dos dados apresentados para as parlamentares femininas da Suécia é igual a 157.” Em ordem: 150, 157, 157, 159; mediana $\dfrac{157 + 157}{2} = 157$. Certo. Com dois valores centrais iguais, a mediana de $n$ par é um dos dados.

Em 2016, as 14 caixas de som tinham, em pares, as frequências 60, 170, 310, 7 500, 2 200, 1 550 e 5 100 Hz; o item afirmou que “a mediana entre as frequências predominantes é 2.200 Hz”. Ordenando as 14: 60, 60, 170, 170, 310, 310, 1 550, 1 550, 2 200, 2 200, 5 100, 5 100, 7 500, 7 500; a 7.ª e a 8.ª são ambas 1 550, mediana 1 550 Hz. Errado. Quem ordena só as sete frequências distintas (60, 170, 310, 1 550, 2 200, 5 100, 7 500) encontra 2 200 e cai na armadilha: a mediana é da lista de 14 dados, não da lista de valores diferentes.

Moda: o que mais se repete

Uma loja vendeu, num dia, camisetas nos tamanhos P, M, G e GG nas quantidades 12, 31, 24 e 8. Não há média de tamanho nem mediana de tamanho que ajude a repor o estoque; o que o gerente quer saber é que o M foi o mais vendido. Esse é o papel da moda: o valor, ou a categoria, de maior frequência.

A moda é a frequência, não o tamanho do valor. Em 2020, na tabela das cinco vacinas (Madivax 16, Tembulax 36, Corentax 17, Parilax 14, Difomax 17), o PAS 3 afirmou que “a moda da distribuição das quantidades de vacina é 36, portanto a vacina Tembulax é a mais frequente entre as apresentadas na tabela”. A variável é a quantidade de doses; os dados são 16, 36, 17, 14 e 17. O único valor repetido é 17 (duas vezes): a moda é 17. Errado. O enunciado confunde “o maior valor” (36) com “o valor mais frequente”, e ainda troca a frequência de um valor pela quantidade de uma vacina. Se a pergunta fosse “qual vacina foi mais aplicada nas 100 pessoas”, a resposta seria a Tembulax, mas isso é o máximo da tabela, não a moda da distribuição das quantidades.

Numa tabela de frequências a moda é imediata: a linha de maior frequência (os 2 livros do Exemplo 4). Num gráfico de barras, a barra mais alta. Numa lista crua, convém ordenar primeiro: as repetições ficam vizinhas e a contagem não falha. A moda é a mais grosseira das três medidas (basta trocar um dado para ela mudar ou desaparecer), e por isso quase não aparece em afirmações com limiar; o seu lugar na prova é o julgamento conceitual, como o de 2020.

Média acima ou abaixo da mediana: o que a diferença revela

Na seção da mediana, os sete tempos de espera tinham média 19,3 e mediana 12. A diferença não é um erro de conta, é informação: a média ficou acima da mediana porque há um dado muito grande (o 60) e nenhum muito pequeno que o compense. A média, que reparte o total, sobe com ele; a mediana, que só olha a fila, fica onde está.

Exemplo resolvido 5: salário médio e salário mediano. Dez pessoas trabalham numa oficina. Nove delas ganham, em reais, 2 200, 2 400, 2 500, 2 600, 2 800, 3 000, 3 200, 3 500 e 4 000; a dona ganha 30 000. Soma dos nove: 26 200; com a dona, 56 200; média $56\,200 \div 10 = 5\,620$. Mediana: os dados já estão em ordem, $n = 10$, centrais o 5.º e o 6.º, $\dfrac{2\,800 + 3\,000}{2} = 2\,900$. “O salário médio da oficina é R$ 5 620” é uma frase verdadeira que nove das dez pessoas acham mentirosa: ninguém ganha isso, e nove ganham menos que isso. “O salário mediano é R$ 2 900” descreve a oficina: metade ganha até 2 900, metade ganha a partir daí. Conferência: troque o salário da dona por 300 000; a média vai a 32 620, a mediana continua 2 900. Troque por 3 000; a média cai para 2 920 e a mediana vai a 2 900 (o 5.º e o 6.º continuam 2 800 e 3 000). O que a comparação revela é a cauda: média muito acima da mediana significa que alguém, lá em cima, está puxando.

A comparação em itens reais. Em 2014, o gráfico da taxa de fecundidade no Brasil trazia 5,7 (1970), 4,3 (1980), 2,8 (1990), 2,2 (2000) e 2,0 (2010); o item afirmou que, “para a sequência numérica apresentada no gráfico, a mediana é inferior à média aritmética”. Em ordem crescente, 2,0; 2,2; 2,8; 4,3; 5,7: mediana 2,8. Média: $17{,}0 \div 5 = 3{,}4$. Mediana menor que a média: certo. A forma da série explica: dois valores altos (5,7 e 4,3) se destacam de três valores próximos entre si; a cauda está à direita. O item da frota de 2013 (mediana 24,3 contra média 26,2) é o mesmo fenômeno: uma série que acelera tem os últimos valores longe dos primeiros, e eles puxam a média.

Em 2019, com um gráfico de barras da participação feminina na autoria de publicações científicas em 14 países ibero-americanos, o PAS 3 pediu para considerar só os sul-americanos e afirmou que a série dos percentuais “tem curva de distribuição de frequência com assimetria negativa”. Os oito países sul-americanos do gráfico têm 54% (Argentina), 52% (Uruguai), 51% (Brasil), 47% (Venezuela), 41% (Colômbia), 39% (Chile), 39% (Equador) e 38% (Peru). Média $361 \div 8 \approx 45{,}1$; mediana (4.º e 5.º da ordem crescente: 41 e 47) $44$. Média acima da mediana: a cauda está à direita, assimetria positiva. Errado. O item não pede o desenho da curva; pede que você saiba que o sinal da assimetria se lê na posição relativa das duas medidas.

Média de um conjunto contra mediana de outro. Em 2009, com uma tabela dos preços médios anuais do barril de petróleo Brent e WTI de 1999 a 2008, o item afirmou que “os preços médios do barril de petróleo do tipo Brent de 2001 a 2008 formam uma sequência numérica cuja média é inferior à mediana da sequência numérica formada pelos preços médios do barril de petróleo do tipo WTI no mesmo período”. Brent 2001–2008: 24,46; 24,98; 28,84; 38,21; 54,42; 65,03; 72,52; 99,04; soma $407{,}50$, média $50{,}94$. WTI 2001–2008, já em ordem crescente: 25,89; 26,09; 31,11; 41,42; 56,50; 66,01; 72,26; 98,58; mediana $\dfrac{41{,}42 + 56{,}50}{2} = 48{,}96$. A média do Brent (50,94) não é inferior a 48,96: errado. Duas séries, duas medidas diferentes, uma comparação; o item é longo de conta e curto de ideia, e a ideia é que a média de uma série em alta acelerada (o 99 de 2008) fica acima do centro.

Exemplo resolvido 6: a série aparada (PAS 3 2019). O mesmo gráfico de 2019 trazia, para cada país, o percentual de mulheres entre os 10% de autores mais produtivos: Argentina 43, Portugal 49, Uruguai 36, Brasil 40, Cuba 33, Venezuela 31, Espanha 40, Panamá 28, Colômbia 30, México 32, Costa Rica 30, Chile 26, Equador 28, Peru 30. “Considere a série formada pelos percentuais de mulheres no decil mais produtivo e desconsidere o menor e o maior percentual dessa lista. Nesse caso, ao se calcular o valor médio e a mediana dessa série, percebe-se que é na América Central que estão os países em que os referidos percentuais mais se aproximam do valor médio e da mediana calculados.” Retirando o menor (26, Chile) e o maior (49, Portugal), sobram 12 valores: em ordem, 28, 28, 30, 30, 30, 31, 32, 33, 36, 40, 40, 43. Soma 401, média $\approx 33{,}4$; mediana $\dfrac{31 + 32}{2} = 31{,}5$. O percentual mais próximo da média é 33 (Cuba, ilha do Caribe); os mais próximos da mediana são 31 (Venezuela) e 32 (México). Os dois países centro-americanos do gráfico, Panamá (28) e Costa Rica (30), ficam mais longe. Errado. Conferência: a soma 401 fecha com $12 \times 33{,}4 = 400{,}8$. Retirar o menor e o maior valor antes de calcular a média é um procedimento com nome, média aparada, usado justamente para que um extremo não arraste o resultado.

Qual número representa melhor?

Nenhuma das três medidas é “a certa”. Cada uma responde a uma pergunta, e escolher mal produz resumos verdadeiros que enganam.

Alguns critérios resolvem a escolha na hora. Se a variável é qualitativa, só a moda existe. Se o conjunto é simétrico e sem extremos (notas de uma turma regular, alturas), as três ficam próximas e a média é a mais informativa, porque usa todos os valores. Se há uma cauda (renda, patrimônio, tempo de espera, número de filhos), a mediana descreve e a média engana, salvo quando a pergunta é sobre o total. Nas provas, quando o item pergunta qual medida descreve melhor o salário habitual de um grupo em que alguns poucos ganham muito e a maioria ganha pouco, a resposta é a mediana; “média”, “amplitude” e “desvio padrão” aparecem como distratores que medem outra coisa.

Mexer nos dados: o que muda em cada medida

Os dados 4, 6, 6, 9 e 15 têm média 8, mediana 6 e moda 6. O que acontece com as três se todos os dados forem alterados da mesma maneira? E se só um deles mudar?

Com $c = 3$: os dados viram 7, 9, 9, 12, 18, com média 11, mediana 9, moda 9. Com $k = 2$: 8, 12, 12, 18, 30, com média 16, mediana 12, moda 12. Se os dados fossem salários e todos recebessem um reajuste de 10% ($k = 1{,}1$), a média e a mediana subiriam 10%; se todos recebessem um abono fixo de R$ 200, as duas subiriam R$ 200. Repare que, nos dois casos, a distância entre média e mediana se comporta de modo diferente: com a soma, ela não muda; com o produto, ela é multiplicada por $k$.

Trocar um único dado é a situação em que as três medidas se separam. A média muda sempre, e muda de um valor previsível: se o dado $x_j$ é trocado por $x_j + d$, a soma cresce $d$ e a média cresce $\dfrac{d}{n}$. A mediana muda só se a troca mexer na ordem perto do centro; se o dado trocado continua do mesmo lado da mediana e os centrais não se movem, ela fica igual. A moda muda só se a frequência máxima for alterada.

Exemplo resolvido 7: mudar um dado. Nos dados 4, 6, 6, 9, 15, troque o 15 por 150. A soma passa de 40 para 175 e a média de 8 para $175 \div 5 = 35$; pela regra, $d = 135$ e $\dfrac{135}{5} = 27$, logo $8 + 27 = 35$. A mediana continua 6 (4, 6, 6, 9, 150) e a moda continua 6. Agora troque, em vez disso, o 4 por 8: a soma vai a 44 e a média a $8{,}8$; a lista ordenada é 6, 6, 8, 9, 15, e a mediana passou de 6 para 8, porque o dado trocado atravessou o centro; a moda continua 6. Por fim, troque o 9 por 6: os dados são 4, 6, 6, 6, 15, média $7{,}4$, mediana 6, e a moda continua 6, agora com frequência 3. Conferência: em cada caso, a nova média vezes 5 tem de dar a nova soma (175, 44 e 37).

Acrescentar ou retirar um dado. Acrescentar um valor igual à média não a altera (a soma cresce $\bar{x}$ e o $n$ cresce 1). Acrescentar um valor maior que a média a aumenta; menor, a diminui; e o efeito é tanto maior quanto menor for $n$. Nos tempos de espera do posto, acrescentar a 8.ª pessoa com 10 minutos levou a média de 19,3 para 18,1 e a mediana de 12 para 11. Já retirar um extremo é a operação que mais aproxima a média da mediana: sem o 60, os seis tempos 7, 8, 9, 12, 14, 25 têm média 12,5 e mediana 10,5.

A média de uma lista de números é sempre um dos números da lista? Não ($\{1, 2\}$ tem média 1,5). A mesma pergunta para a mediana tem resposta “só se $n$ for ímpar”. Para a moda, sim, sempre: ela é, por definição, um valor observado.

Ler a tabela antes de resumir

Toda conta desta página começa numa tabela, num gráfico ou numa frase com números, e a conta certa sobre dados lidos errado continua errada. Três perguntas, feitas antes de somar, resolvem a maior parte dos itens que caem pela leitura. De quê é o percentual? Os 18% da Bahia são da área do MATOPIBA, não da área da Bahia; dividi-los por 30 municípios dá a fatia média de um município baiano na região, e nada diz sobre o tamanho do estado. O número é absoluto ou relativo? Uma média de percentuais de grupos de tamanhos diferentes (a pesquisa de 2006 e 2010) não é a média das pessoas; e 35% de um grupo grande podem ser mais pessoas que 40% de um grupo pequeno. O que a tabela mediu, e em que unidade? A taxa de absorção “por metro quadrado de área foliar” se pondera por área foliar; a “quantidade de doses” de uma vacina é um dado, não uma frequência. Esses cuidados pertencem a um assunto próprio, a leitura crítica de tabelas e gráficos (eixos que não começam em zero, escalas diferentes, percentuais de recortes), que não cabe nesta página; aqui basta o reflexo de perguntar o que cada número significa antes de resumi-lo.

O resumo esconde a dispersão

Duas turmas de cinco estudantes: a primeira com notas 7, 7, 8, 8, 10; a segunda com 2, 6, 8, 10, 14. As duas têm média 8 e mediana 8. A primeira é uma turma homogênea em que todos passaram; a segunda tem quem precisa de recuperação e quem está muito acima. Nenhuma medida de centro distingue as duas, porque elas foram feitas para dizer onde os dados se concentram, não quanto se espalham. A amplitude (3 contra 12), a variância e o desvio padrão medem esse espalhamento, e são o assunto da página de variância e desvio padrão. A leitura completa de um conjunto de dados exige um número de centro e um número de dispersão; esta página trata do primeiro.

Como a banca pergunta

Os 32 itens reais desta página (6 do PAS 1, 5 do PAS 2 e 21 do PAS 3) cabem em seis formatos.

1. Média de uma série lida de gráfico ou tabela, com limiar, tipo A: cereais de 1985 a 2000, 1 912,75 contra 1 800 (2008/16, PAS 3); imigração mexicana de 1910 a 1970, 496 mil contra 500 mil (2023/91); candidatos homens eleitos a vereador, média 47,55 contra 20% da média de candidatos, 55,65 (2018/117); média da variação percentual anual da posse de celular, 9,1 pontos em 6 anos contra 1,5% (2024/96); média dos desalojados contra média dos desabrigados em cinco estados, razão 1,92 contra “mais de 90%” (2009/65, PAS 1). O trabalho é escolher as barras certas e somar sem errar; o limiar fica perto.
2. Média como taxa por unidade, tipos A e C: área média por município baiano, 0,60% (2025/54, tipo C); mais de 10 000 por ano em 350 anos (2015/94); mais de 300 blocos por dia em 20 anos (2021/55); média anual de nascimentos de renas em dois períodos (2010/85); aumento percentual da média de peixes por pescador, 160 (2017/95, tipo B).
3. Média ponderada, tipos A, B e C: isótopos com pesos 25 g e 50 g, 480 (2011/49, tipo B); eficiência de água e taxa de absorção ponderadas por áreas (2007/53 e 2007/54); rendimento em óleo por hectare com pesos 20%, 50% e 30%, 1,70 (2013/65); crescimento médio anual com durações 5, 10 e 10 anos, 3,8% (2011/25, tipo C); frequências ponderadas pelas coordenadas, 203 (2016/69, tipo B); média de pessoas em duas pesquisas de tamanhos diferentes (2010/44); soma de médias de séries do mesmo tamanho (2015/34).
4. Mediana com dados fora de ordem ou com repetições, tipo A: vacinas, 17 e não 16,5 (2020/83); refugiados, 25 e não 10 (2021/47); etanol, 86,4 contra 87 (2017/116); percentuais de 2030, 7,5 contra 7 (2011/21); Suécia, 157 (2015/35); caixas de som, 1 550 e não 2 200 (2016/63).
5. Média contra mediana e assimetria, tipo A: frota de veículos, 24,3 contra 26,2 (2013/70); fecundidade, 2,8 contra 3,4 (2014/109); média do Brent contra mediana do WTI (2009/59); assimetria da série sul-americana (2019/118); série aparada, média 33,4 e mediana 31,5 (2019/119).
6. Conceito, tipo A: moda 17, não 36 (2020/84); média das 14 caixas igual à das 7 (2016/67); e a média como uma das parcelas de um índice, com uma equação para recuperar o dado que falta (o IDH de 2009/71, tipo B, resposta 461).

Três avisos de formato. Primeiro, quase todo item vem pendurado numa tabela ou num gráfico de outra disciplina (frota, fecundidade, vacinas, refugiados, etanol, imigração); leia a tabela inteira, identifique a variável e conte $n$ antes de qualquer operação. Segundo, nos itens de resposta numérica, o fator de escala (vezes 1 000, dividido por 10, vezes 5) serve para a resposta caber em três algarismos; aplique-o por último e despreze a parte fracionária só no fim. Terceiro, quando a banca dá a média pronta (“sabendo que a média é 26,2”), ela está economizando a sua conta para testar outra coisa (a mediana, a variância); use o número dado e não o recalcule.

Os erros que mais derrubam

• Dividir pelo número errado. A média é a soma dividida pela quantidade de dados; numa tabela de frequências, por $\sum f_i$, não pelo número de linhas; numa taxa, pelas unidades que a frase nomeia (os 30 municípios da Bahia, não os 336).
• Média simples onde os pesos são diferentes. Massas (25 g e 50 g), áreas, anos de duração, tamanhos de grupos: cada valor entra multiplicado pelo seu peso. 450 em vez de 480; 4,0% em vez de 3,8%.
• Média dos percentuais de grupos de tamanhos diferentes. Converta em quantidades antes de combinar.
• Mediana sem ordenar, ou sem as repetições. 16,5 em vez de 17; 10 em vez de 25; 2 200 em vez de 1 550. Ordem cronológica não é ordem crescente.
• Trocar o caso par pelo ímpar. Com $n$ par, a mediana é a média dos dois centrais (7,5, não 7); com $n$ ímpar, é um dado só.
• Moda confundida com o maior valor. A moda é o valor mais repetido (17), não o máximo (36); e é moda da variável, não “a vacina mais frequente”.
• Esquecer que a média é arrastada pelos extremos. Uma série que acelera tem média acima da mediana; um salário alto puxa a média e não a mediana.
• Ler o sinal da assimetria ao contrário. Cauda à direita: média acima da mediana, assimetria positiva.
• Taxa por unidade alterada pela diferença dos percentuais. Peixes por pescador: $3{,}38 \div 1{,}30 = 2{,}6$, aumento de 160%, não 208%.
• Fator de escala aplicado cedo ou esquecido. Termine a média, multiplique ou divida, só então despreze a parte fracionária.
• Acreditar que o centro conta a história toda. Mesma média e mesma mediana, turmas opostas; a dispersão é a outra metade.

O essencial em meia página

• Média: $\bar{x} = \dfrac{\sum x_i}{n}$; soma $= n\bar{x}$; fica entre o mínimo e o máximo; desvios somam zero; arrastada por extremos; não precisa ser um dado.
• Média como taxa: total dividido pelas unidades (“por município”: $18\% \div 30 = 0{,}6\%$; “por ano”: $4\,000\,000 \div 350$). Variação média por período: diferença dividida pelo número de anos.
• Ponderada: $\bar{x} = \dfrac{\sum p_i x_i}{\sum p_i}$, com pesos iguais a massas, áreas, durações, frequências ou tamanhos de grupos. Média de grupos juntos: ponderada pelos tamanhos; percentuais de bases diferentes viram quantidades antes.
• Tabela de frequências: média com $f_i$ como pesos; moda na linha de maior $f_i$; mediana pela frequência acumulada na posição $\frac{n+1}{2}$ (ou nas duas centrais).
• Mediana: ordene; $n$ ímpar, o dado da posição $\frac{n+1}{2}$; $n$ par, a média dos dois centrais. Inclua as repetições. Não depende dos extremos.
• Moda: valor mais frequente; pode haver uma, várias ou nenhuma; única para categorias; sempre um dado.
• Média × mediana: iguais em conjuntos simétricos; média acima da mediana, cauda à direita (assimetria positiva); abaixo, cauda à esquerda (negativa).
• Qual usar: total ou “por pessoa”, média; caso típico com extremos, mediana; categoria mais comum, moda.
• Constantes: somar $c$ soma $c$ às três; multiplicar por $k$ multiplica as três. Trocar um dado: a média muda $\frac{d}{n}$; a mediana só se o centro se mover; a moda só se a frequência máxima mudar.
• Na prova: leia a tabela inteira, nomeie a variável, conte $n$; compare a soma com $n$ vezes o limiar; fator de escala por último; a média dada pela banca não se recalcula.