Probabilidade condicional

Em dezembro de 2024, a prova do PAS 2 descreveu um teste de vacina: 100 pessoas, metade vacinada e metade com placebo; 40 ficaram com sintomas, 5 delas vacinadas e 35 do grupo placebo. O item 102 chamou de $A$ o conjunto dos infectados e de $B$ o dos vacinados e afirmou que “a probabilidade condicional $P(A/B) = 4/5$”. Uma semana antes, a prova do PAS 3 tinha dado números do IBGE (89 % dos moradores de áreas urbanas e 72 % dos de áreas rurais têm celular), mandado supor que 85 % das pessoas moram na cidade, e perguntado: de alguém que tem celular, qual é a chance de morar numa área urbana? Os dois itens eram falsos ($P(A/B) = 1/10$; a chance do morador urbano é cerca de 87,5 %, e não os $3/17$ que o item propunha), e os dois erram pelo mesmo motivo: trocar de que grupo a fração está sendo tirada.

Esta página é sobre isso: o que acontece com uma probabilidade quando chega uma informação. A probabilidade de um evento é uma fração de casos favoráveis sobre casos possíveis, ou uma frequência numa tabela; a probabilidade condicional é a mesma fração depois que alguém avisa “o resultado está em $B$”. O aviso não muda o que aconteceu; muda o conjunto dos casos possíveis, que deixa de ser o espaço amostral inteiro e passa a ser $B$. Tudo o que vem a seguir (a regra do produto, a árvore com dependência, o teste de independência, a probabilidade total, a inversão da condicional que os livros chamam de Bayes) é consequência dessa troca de denominador. Contar e medir a chance simples são os passos anteriores; o “e” dos eventos independentes, que a página anterior já usou, reaparece aqui como caso particular.

A informação troca o espaço amostral

Uma escola tem 300 estudantes, 180 do turno da manhã e 120 do turno da tarde. Uma pesquisa perguntou quem pratica esporte no contraturno: 90 da manhã e 30 da tarde responderam que sim. Organizando em tabela de dupla entrada:

Sorteado um estudante da escola, a chance de ele praticar esporte é $\dfrac{120}{300} = 0{,}40$. Agora alguém diz: “o sorteado é da manhã”. Os casos possíveis deixam de ser 300 e passam a ser os 180 da linha da manhã; entre eles, 90 praticam esporte. A chance recalculada é $\dfrac{90}{180} = 0{,}50$. Se a informação fosse “é da tarde”, a linha seria a de baixo: $\dfrac{30}{120} = 0{,}25$. Três perguntas, três denominadores, três números, e nenhum deles está errado: cada um responde à sua pergunta.

Na escola, $A$ = pratica esporte e $B$ = é da manhã: $P(A \cap B) = \dfrac{90}{300}$, $P(B) = \dfrac{180}{300}$, e $P(A \mid B) = \dfrac{90/300}{180/300} = \dfrac{90}{180} = 0{,}50$, o mesmo número da contagem direta. Invertendo, $P(B \mid A) = \dfrac{90}{120} = 0{,}75$: entre os que praticam esporte, três quartos são da manhã. E $P(A \cap B) = \dfrac{90}{300} = 0{,}30$ é uma terceira coisa, a chance de o sorteado ser da manhã e praticar esporte, medida na escola inteira.

As palavras que anunciam uma condicional são várias e a prova usa todas: “dado que”, “sabendo que”, “se … então a probabilidade de”, “entre os”, “dos que”, “selecionado um estudante da manhã”, “caso tenha sido aplicada uma vacina do tipo X”. Em todas elas, o grupo nomeado é o novo espaço amostral.

Na tabela: a condição escolhe a linha

A tabela de dupla entrada é a casa natural da condicional, e a prova a usa em três formas: a tabela impressa, a tabela em prosa (como o teste da vacina) e o gráfico de setores. O procedimento é o mesmo nas três: localize o grupo da condição, some o que ele contém, e divida a parte pedida por essa soma.

Exemplo resolvido 1: cinco vacinas (PAS 3 2020). Um grupo de 100 pessoas recebeu 100 doses de 5 vacinas, aplicadas ao acaso: Madivax (vírus inativado) 16 doses, Tembulax (vírus inativado) 36, Corentax (vetor viral) 17, Parilax (RNA) 14 e Difomax (subunidade proteica) 17. O item afirmou: “caso tenha sido aplicada em um indivíduo uma vacina do tipo vírus inativado, a probabilidade de a Tembulax ter sido a vacina aplicada é maior que 60 %”. A condição é o tipo, vírus inativado: duas vacinas, $16 + 36 = 52$ pessoas. A parte pedida, Tembulax, são 36 delas. $P(\text{Tembulax} \mid \text{inativado}) = \dfrac{36}{52} = \dfrac{9}{13} \approx 0{,}692$, maior que 60 %. Certo. Conferência: sem a condição, a Tembulax seria $\dfrac{36}{100} = 36\%$; a informação “é de vírus inativado” quase dobrou a chance, porque tirou do espaço as 48 pessoas das outras três vacinas. Quem divide por 100 chega a 36 % e julga errado.

Exemplo resolvido 2: o barco de refugiados (PAS 3 2021). Num barco há 150 refugiados de cinco países, e cada um fala só os idiomas oficiais do seu: Gâmbia (inglês) 60, Lesoto (sesoto e inglês) 25, Angola (português) 10, Etiópia (amárico) 25, Camarões (francês e inglês) 30. “Se um indivíduo do barco não fala inglês, então a probabilidade de ele ser angolano é maior que 35 %.” A condição é “não fala inglês”: gambianos, lesotos e camaroneses falam; sobram Angola e Etiópia, $10 + 25 = 35$ pessoas. Angolanos entre elas: 10. $P(\text{angolano} \mid \text{não fala inglês}) = \dfrac{10}{35} = \dfrac{2}{7} \approx 28{,}6\%$, que não passa de 35 %. Errado. O item foi construído para quem lê a condição pela metade: 35 pessoas não falam inglês, e “35 %” é o número que aparece se alguém confunde a contagem do grupo com a resposta.

Exemplo resolvido 3: a pizza dos continentes (PAS 3 2008). Um gráfico de setores distribuía os usuários de Internet em 2008 por continente: Ásia 42,0 %, Américas 26,5 %, Europa 26,0 %, África 4,0 %, Oceania 1,5 %. “Pelas informações do gráfico, conclui-se que a probabilidade de um usuário de Internet, selecionado ao acaso, estar na Europa, sabendo-se que ele não está na Ásia, é inferior a 0,47.” A condição é o complementar de uma fatia: “não está na Ásia” reúne $100 - 42 = 58\%$ dos usuários. A Europa inteira está dentro desse grupo, 26 %. $P(\text{Europa} \mid \text{não Ásia}) = \dfrac{26}{58} \approx 0{,}448 < 0{,}47$. Certo. Aqui não há tabela com linhas e colunas; a condição é uma soma de fatias, e a conta é a fatia pedida sobre essa soma. Conferência: as quatro fatias fora da Ásia somam $26{,}5 + 26{,}0 + 4{,}0 + 1{,}5 = 58$, e as quatro condicionais ($0{,}457$, $0{,}448$, $0{,}069$, $0{,}026$) somam 1, como toda distribuição de probabilidades sobre o novo espaço.

Repare numa consequência que a prova gosta de testar: a condicional restringe o espaço, mas nunca muda os casos favoráveis que estão fora dele. Se a pergunta é “dado que é da tarde, qual a chance de ser da manhã?”, a resposta é 0: a condição e o evento se excluem. E se o evento contém a condição (“dado que pratica esporte na manhã, qual a chance de praticar esporte?”), a resposta é 1.

A regra do produto e a árvore com dependência

A definição $P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$ é uma fração; multiplicada em cruz, vira uma receita para a conjunta.

Exemplo resolvido 4: a rifa sem reposição. Numa caixa há 10 cartões de uma rifa, 3 premiados e 7 em branco. Dois cartões são tirados em sequência, sem devolver o primeiro. No primeiro estágio, $P(\text{premiado}) = \dfrac{3}{10}$ e $P(\text{branco}) = \dfrac{7}{10}$. No segundo, a fração depende do que saiu: se o primeiro foi premiado, restam 9 cartões com 2 premiados, $P(\text{premiado} \mid \text{premiado antes}) = \dfrac{2}{9}$; se o primeiro foi branco, restam 9 com 3 premiados, $P(\text{premiado} \mid \text{branco antes}) = \dfrac{3}{9}$. As quatro folhas:

Conferência: $6 + 21 + 21 + 42 = 90$, as folhas somam 1. A chance de dois premiados é $\dfrac{6}{90} = \dfrac{1}{15} \approx 0{,}067$; pelo caminho das combinações, $\dfrac{C_{3,2}}{C_{10,2}} = \dfrac{3}{45} = \dfrac{1}{15}$, o mesmo número. Quem multiplica $\dfrac{3}{10} \cdot \dfrac{3}{10} = 0{,}09$ está sorteando com reposição, um experimento diferente.

A árvore tem uma vantagem sobre a fórmula: ela mostra todos os caminhos, e por isso responde perguntas que a fórmula sozinha esconde. Qual é a chance de o segundo cartão ser premiado? Há dois caminhos que terminam em “premiado” no segundo estágio: premiado-premiado ($\dfrac{6}{90}$) e branco-premiado ($\dfrac{21}{90}$). Somando, $\dfrac{27}{90} = \dfrac{3}{10}$: a mesma chance do primeiro cartão. Não é coincidência; sem informação sobre o primeiro sorteio, o segundo cartão é um cartão qualquer entre 10, e 3 são premiados. A ordem dos sorteios não cria vantagem para ninguém, o que é a razão de a rifa ser justa.

Independência é um teste de conta, não de intuição

Na escola dos 300, a informação “é da manhã” mudou a chance de praticar esporte de 0,40 para 0,50. Houve informação de fato: turno e esporte estão ligados nessa escola. Agora outra pergunta da mesma pesquisa: 60 estudantes usam óculos, 36 da manhã e 24 da tarde. Sorteado um estudante, $P(\text{óculos}) = \dfrac{60}{300} = 0{,}20$. Dado que é da manhã: $\dfrac{36}{180} = 0{,}20$. Dado que é da tarde: $\dfrac{24}{120} = 0{,}20$. A informação sobre o turno não mudou nada. Turno e óculos são independentes nessa escola.

O teste é sempre o mesmo: compare a condicional com a probabilidade sem condição. Esporte: $P(A \mid \text{manhã}) = 0{,}50 \ne 0{,}40 = P(A)$, dependentes. Óculos: $0{,}20 = 0{,}20$, independentes. Pelo produto dá no mesmo: esporte e manhã, $P(A) \cdot P(B) = 0{,}40 \times 0{,}60 = 0{,}24$ contra $P(A \cap B) = \dfrac{90}{300} = 0{,}30$, diferentes; óculos e manhã, $0{,}20 \times 0{,}60 = 0{,}12$ contra $\dfrac{36}{300} = 0{,}12$, iguais.

Duas observações sobre o que a independência não é. Primeira: ela não é uma propriedade dos temas (“turno não tem nada a ver com esporte”) e sim dos números; numa outra escola, a mesma pergunta pode dar outro resultado. Segunda: ela não é simetria de tamanhos. Na tabela dos óculos, a manhã tem mais usuários de óculos (36) que a tarde (24), e mesmo assim os eventos são independentes, porque a manhã tem mais estudantes na mesma proporção. O que se compara é a fração dentro de cada grupo, nunca a contagem.

Um ensaio de vacina é um teste de independência disfarçado. No teste de 2024, $P(\text{sintomas} \mid \text{vacinado}) = \dfrac{5}{50} = 0{,}10$ e $P(\text{sintomas} \mid \text{placebo}) = \dfrac{35}{50} = 0{,}70$; sem condição, $P(\text{sintomas}) = \dfrac{40}{100} = 0{,}40$. As três são diferentes: vacina e sintomas são dependentes, e no sentido bom, a vacina reduziu o risco. A razão entre os dois riscos, $\dfrac{0{,}10}{0{,}70} = \dfrac{1}{7}$, diz que o vacinado adoeceu sete vezes menos; a redução relativa, $1 - \dfrac{1}{7} \approx 86\%$, é o número que os ensaios clínicos chamam de eficácia. Se os dois riscos fossem iguais, a vacina não teria feito diferença, e “ser vacinado” e “adoecer” seriam independentes. O cotidiano que a matriz do PAS pede (decidir se um tratamento ou um método vale a pena) é a comparação de duas condicionais.

Somar os ramos: a probabilidade total

A rifa já mostrou o padrão: um evento do segundo estágio pode acontecer por vários caminhos, e a sua probabilidade é a soma das folhas que terminam nele. Esse procedimento tem nome e uma forma geral.

Exemplo resolvido 5: quem tem celular (PAS 3 2024). O IBGE informou que, em 2022, 89,0 % dos moradores de áreas urbanas e 72,0 % dos de áreas rurais tinham celular. Supondo, como o item mandou, que 85 % das pessoas morem em área urbana e 15 % em área rural, qual é a fração de pessoas com celular? Dois grupos, dois ramos: $P(\text{celular}) = 0{,}85 \times 0{,}89 + 0{,}15 \times 0{,}72 = 0{,}7565 + 0{,}1080 = 0{,}8645$, cerca de 86,5 %. Conferência: o resultado tem de ficar entre 72 % e 89 %, e mais perto de 89 % porque o grupo urbano é maior. Fica. O IBGE publicou 85 % para a população inteira com mais de 10 anos; a diferença vem da hipótese de 85 % de moradores urbanos que o item escolheu, não de erro de conta.

Na escola: $P(\text{esporte}) = P(\text{manhã}) \cdot P(\text{esporte} \mid \text{manhã}) + P(\text{tarde}) \cdot P(\text{esporte} \mid \text{tarde}) = 0{,}60 \times 0{,}50 + 0{,}40 \times 0{,}25 = 0{,}30 + 0{,}10 = 0{,}40$, que é $\dfrac{120}{300}$, como tem de ser. A probabilidade total é a maneira de reconstruir a coluna de totais a partir das linhas.

Inverter a condicional: Bayes com uma tabela de 1 000 pessoas

A pergunta que o item do IBGE fez de verdade não era “quem tem celular?”, e sim o contrário: “se uma pessoa tem celular, qual é a chance de ela morar na área urbana?”. Os dados vêm numa direção ($P(\text{celular} \mid \text{urbana}) = 0{,}89$) e a pergunta vai na outra ($P(\text{urbana} \mid \text{celular})$). Inverter uma condicional é o problema mais importante desta página, e o mais fácil de errar: a tentação é responder $0{,}89$, ou “85 %”, sem perceber que a condição trocou de lado.

O método que nunca falha é contar pessoas. Imagine 1 000 pessoas. Moram na cidade $850$; têm celular $0{,}89 \times 850 = 756{,}5$. Moram no campo $150$; têm celular $0{,}72 \times 150 = 108$. Pessoas com celular: $756{,}5 + 108 = 864{,}5$. Das pessoas com celular, moram na cidade $756{,}5$. Logo

$$P(\text{urbana} \mid \text{celular}) = \frac{756{,}5}{864{,}5} = \frac{1\,513}{1\,729} \approx 0{,}875.$$

O item afirmou $\dfrac{3}{17} \approx 0{,}176$. Errado, e por muito: entre quem tem celular, quase 9 em 10 moram na cidade, porque a cidade é maior e tem mais celulares por pessoa. Conferência: a resposta tem de ser maior que 85 % (a informação “tem celular” favorece o grupo urbano, que tem mais celulares) e menor que 1. $0{,}875$ cabe.

Exemplo resolvido 6: o exame com falso positivo. Uma doença atinge 2 % da população. Um exame detecta a doença em 90 % dos doentes (sensibilidade) e dá resultado negativo em 95 % dos saudáveis (especificidade), isto é, 5 % dos saudáveis recebem um falso positivo. Uma pessoa sorteada da população faz o exame e o resultado é positivo. Qual é a chance de ela estar doente?

Com 1 000 pessoas: doentes, $0{,}02 \times 1\,000 = 20$; saudáveis, $980$. Entre os 20 doentes, $0{,}90 \times 20 = 18$ positivos e 2 negativos. Entre os 980 saudáveis, $0{,}05 \times 980 = 49$ positivos e $931$ negativos. Positivos no total: $18 + 49 = 67$. Doentes entre os positivos:

$$P(\text{doente} \mid \text{positivo}) = \frac{18}{67} \approx 0{,}27.$$

Um exame que acerta 90 % dos doentes e 95 % dos saudáveis deixa quem recebe um positivo com uma chance de só 27 % de estar doente. Não há erro: a doença é rara, e os 5 % de falsos positivos de um grupo enorme (49 pessoas) pesam mais que os 90 % de acertos de um grupo pequeno (18 pessoas). Conferência: se a doença fosse comum (prevalência 50 %), seriam 450 positivos verdadeiros contra 25 falsos, e $P(\text{doente} \mid \text{positivo}) \approx 0{,}95$. A chance depois do exame depende da chance antes dele.

Pela fórmula, o mesmo número: $P(\text{doente} \mid \text{positivo}) = \dfrac{0{,}02 \times 0{,}90}{0{,}02 \times 0{,}90 + 0{,}98 \times 0{,}05} = \dfrac{0{,}018}{0{,}018 + 0{,}049} = \dfrac{0{,}018}{0{,}067} \approx 0{,}27$. A tabela e a fórmula são a mesma conta; a tabela tem a vantagem de deixar visíveis as 49 pessoas que a intuição esquece.

Quando a banca escreve Bayes: o classificador de vídeos (PAS 3 2022)

Em 2022, a prova do PAS 3 descreveu um classificador do tipo naive Bayes: 28 vídeos foram analisados, 16 classificados como contendo discurso de ódio ($DO$) e 12 como não contendo ($\sim\!DO$), e uma tabela registrou quantas vezes cada uma de dez palavras-chave, $P_1$ a $P_{10}$, apareceu em cada classe (totais de 40 ocorrências nos vídeos sem discurso de ódio e 50 nos com). Para um vídeo novo em que só apareceu a palavra $P_2$ (3 ocorrências na classe $\sim\!DO$, 2 na classe $DO$), o enunciado mostrou as duas contas:

$$P(\sim\!DO \mid P_2) = \frac{P(P_2 \mid \sim\!DO) \cdot P(\sim\!DO)}{P(P_2)} = \frac{\frac{3}{40} \cdot \frac{12}{28}}{\frac{5}{90}} = \frac{81}{140}, \qquad P(DO \mid P_2) = \frac{\frac{2}{50} \cdot \frac{16}{28}}{\frac{5}{90}} = \frac{72}{175},$$

e concluiu que o vídeo deve ser classificado como sem discurso de ódio, porque a primeira é maior. É exatamente a inversão da seção anterior: $P(\text{palavra} \mid \text{classe})$ é a célula da tabela sobre o total da classe (3 de 40; 2 de 50); $P(\text{classe})$ é a fração de vídeos (12 e 16 de 28); e $P(P_2) = \dfrac{5}{90}$ é a frequência da palavra entre todas as 90 ocorrências. Conferência das contas do enunciado: $\dfrac{3}{40} \cdot \dfrac{12}{28} = \dfrac{36}{1\,120}$, dividido por $\dfrac{5}{90}$ dá $\dfrac{36 \times 90}{1\,120 \times 5} = \dfrac{3\,240}{5\,600} = \dfrac{81}{140}$; e $\dfrac{2}{50} \cdot \dfrac{16}{28} = \dfrac{32}{1\,400}$, vezes $\dfrac{90}{5}$, $\dfrac{2\,880}{7\,000} = \dfrac{72}{175}$. Batem. (As duas não somam exatamente 1, $0{,}579 + 0{,}411 = 0{,}99$, porque o denominador comum $\dfrac{5}{90}$ é uma estimativa da frequência da palavra; para classificar, basta comparar os numeradores.)

Os três itens pendurados nesse texto usam a tabela de três maneiras.

• Item 114 (certo): “a probabilidade de o vídeo conter discurso de ódio e nele estiver contida a palavra $P_5$ é $4/50$”. $P_5$ aparece 4 vezes nos 50 registros da classe $DO$, e $\dfrac{4}{50}$ é a célula que o classificador usa como $P(P_5 \mid DO)$: a frequência da palavra dentro da classe. O gabarito oficial julgou o item certo com essa leitura. Vale notar que a frase, lida à risca, descreve uma conjunta, e a conjunta seria $P(P_5 \mid DO) \cdot P(DO) = \dfrac{4}{50} \cdot \dfrac{16}{28} \approx 0{,}046$; em prova, a leitura que vale é a da tabela do classificador, e o número $\dfrac{4}{50}$ está nela.
• Item 115 (certo): “um vídeo que contém as palavras $P_1$, $P_4$ e $P_6$ será classificado como um vídeo que contém discurso de ódio”. O método naive (“ingênuo”) supõe as palavras independentes dentro de cada classe e multiplica as condicionais. Classe $\sim\!DO$: $\dfrac{7}{40} \cdot \dfrac{5}{40} \cdot \dfrac{2}{40} \cdot \dfrac{12}{28} = \dfrac{70}{64\,000} \cdot \dfrac{12}{28} \approx 0{,}00047$. Classe $DO$: $\dfrac{4}{50} \cdot \dfrac{7}{50} \cdot \dfrac{6}{50} \cdot \dfrac{16}{28} = \dfrac{168}{125\,000} \cdot \dfrac{16}{28} \approx 0{,}00077$. O denominador $P(P_1 \cap P_4 \cap P_6)$ aparece igual nas duas frações e não precisa ser calculado; $0{,}00077 > 0{,}00047$, discurso de ódio. Certo.
• Item 116 (errado): “a probabilidade de o vídeo não conter discurso de ódio e nele estiverem contidas as palavras $P_5$, $P_8$ e $P_9$ é superior a 2 %”. Mesmo produto na classe $\sim\!DO$: $\dfrac{9}{40} \cdot \dfrac{4}{40} \cdot \dfrac{5}{40} \cdot \dfrac{12}{28} = \dfrac{180}{64\,000} \cdot \dfrac{12}{28} \approx 0{,}0012$, cerca de 0,12 %. Mesmo sem o fator $\dfrac{12}{28}$, o produto das três frações dá $0{,}0028 = 0{,}28\%$, longe dos 2 %. Errado em qualquer leitura.

O que esse bloco ensina para além do item: a palavra independentes no texto-base não era enfeite. A multiplicação das condicionais de várias palavras só é legítima sob a hipótese de independência dentro da classe; é por isso que o método se chama ingênuo. A prova deu a hipótese; o candidato só precisou usá-la.

Genética: o quadro de Punnett com condição

A matriz do PAS 2 cita a genética mendeliana como aplicação de probabilidade, e a primeira lei de Mendel é, para esta página, um espaço amostral de quatro resultados equiprováveis. Nas ervilhas de Mendel, o alelo $A$ (semente amarela) domina o alelo $a$ (semente verde). No cruzamento de duas plantas heterozigotas, $Aa \times Aa$, cada planta manda um alelo com chance $\dfrac{1}{2}$, e o quadro de Punnett lista $AA$, $Aa$, $aA$ e $aa$, cada um com $\dfrac{1}{4}$. Fenótipos: amarela ($AA$, $Aa$, $aA$) com $\dfrac{3}{4}$; verde ($aa$) com $\dfrac{1}{4}$. A chance de uma semente amarela ser heterozigota, sem mais informação, é $\dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}$.

Agora a condição. Uma semente dessa geração é escolhida e é amarela. Qual é a chance de ela ser heterozigota? O espaço amostral deixou de ter 4 casos: a informação “amarela” eliminou o $aa$, e sobraram 3 casos, $AA$, $Aa$ e $aA$, ainda equiprováveis. Dois deles são heterozigotos:

$$P(Aa \mid \text{amarela}) = \frac{P(Aa \cap \text{amarela})}{P(\text{amarela})} = \frac{2/4}{3/4} = \frac{2}{3}.$$

Não é $\dfrac{1}{2}$. A informação sobre o fenótipo encolheu o quadro de quatro para três células, e a fração mudou.

Exemplo resolvido 7: aconselhamento genético. Uma doença de herança autossômica recessiva se manifesta só em quem tem genótipo $aa$. Um casal sem a doença tem um filho afetado. (a) Qual é a chance de o próximo filho ter a doença? (b) Sabendo que o próximo filho nasceu sem a doença, qual é a chance de ele ser portador ($Aa$)? © Qual é a chance de dois próximos filhos nascerem ambos sem a doença?

(a) O filho afetado é $aa$ e recebeu um $a$ de cada pai; como os pais não têm a doença, os dois são $Aa$. Cada gestação é um cruzamento $Aa \times Aa$: $P(aa) = \dfrac{1}{4}$. O filho afetado já nascido não muda a chance dos próximos (gestações são independentes); ele só serviu para descobrir os genótipos dos pais. (b) “Nasceu sem a doença” é a condição: 3 casos, 2 heterozigotos, $\dfrac{2}{3}$. © Gestações independentes, cada uma com chance $\dfrac{3}{4}$ de filho sem a doença: $\dfrac{3}{4} \times \dfrac{3}{4} = \dfrac{9}{16}$. A chance de pelo menos um dos dois ter a doença é o complementar, $1 - \dfrac{9}{16} = \dfrac{7}{16}$. Conferência: (b) pela fórmula, $P(Aa \mid \text{não } aa) = \dfrac{2/4}{3/4} = \dfrac{2}{3}$; © os quatro resultados de duas gestações (doente-doente $\dfrac{1}{16}$, doente-sadio $\dfrac{3}{16}$, sadio-doente $\dfrac{3}{16}$, sadio-sadio $\dfrac{9}{16}$) somam 1.

A árvore resolve também os heredogramas de duas gerações. Se um avô é $Aa$ para uma doença autossômica dominante (quem tem o alelo $A$ manifesta a doença) e a avó é $aa$, cada filho recebe o $A$ com chance $\dfrac{1}{2}$; se o filho recebeu, cada neto recebe com chance $\dfrac{1}{2}$. Ao longo do ramo, a chance de um neto ter a doença sem nenhuma outra informação é $\dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4}$. Mas se o pai do neto for examinado e tiver a doença, a condição fixa o primeiro ramo e a chance do neto sobe para $\dfrac{1}{2}$; se o pai não tiver, cai para 0. A informação sobre a geração do meio reescreve a árvore.

Censos e pesquisas: a condicional disfarçada de taxa

Quase toda taxa de um censo ou de uma pesquisa é uma probabilidade condicional com outro nome. “Taxa de desocupação” é a fração de desocupados entre as pessoas na força de trabalho, e não entre todos os habitantes: a condição é estar procurando emprego ou empregado. “Mortalidade infantil” conta mortes entre os nascidos vivos do ano. “89 % dos moradores de áreas urbanas têm celular” é $P(\text{celular} \mid \text{urbana})$. Ler o denominador de cada taxa é o mesmo exercício de identificar a condição numa frase.

Exemplo resolvido 8: os municípios do MATOPIBA. A tabela que a prova do PAS 2 de 2025 extraiu de um texto sobre o cerrado dividia a região entre os quatro estados que a formam: Maranhão 143 municípios (33 % do território), Tocantins 130 (38 %), Piauí 33 (11 %) e Bahia 30 (18 %), total 336. (a) Sorteado um município da região, sabendo que ele é do Maranhão ou da Bahia, qual é a chance de ser baiano? (b) Sorteados dois municípios, um depois do outro, qual é a chance de o segundo ser baiano sabendo que o primeiro foi? © Qual é a chance de os dois serem baianos?

(a) A condição reúne $143 + 30 = 173$ municípios; baianos entre eles, 30: $\dfrac{30}{173} \approx 0{,}173$. Os percentuais de área não entram, porque o sorteio é de municípios, não de hectares. (b) Sem reposição, restam 335 municípios com 29 baianos: $\dfrac{29}{335} \approx 0{,}087$, um pouco abaixo da chance do primeiro ($\dfrac{30}{336} \approx 0{,}089$). © Regra do produto: $\dfrac{30}{336} \times \dfrac{29}{335} = \dfrac{870}{112\,560} \approx 0{,}0077$; pelas combinações, $\dfrac{C_{30,2}}{C_{336,2}} = \dfrac{435}{56\,280}$, o mesmo valor. Conferência: (a) a chance sem condição, $\dfrac{30}{336} \approx 0{,}089$, é menor que $0{,}173$; a informação “Maranhão ou Bahia” descartou 163 municípios que não eram baianos e nenhum que era, então a chance tinha de subir.

Como a banca pergunta

Os oito itens reais desta página (um do PAS 2, sete do PAS 3) cabem em quatro formatos.

1. Condicional lida numa tabela ou num gráfico, com limiar ou com valor afirmado, tipo A: $P(A/B) = 4/5$ no teste da vacina, que é $5/50$ (PAS 2 2024/102); Tembulax dado vírus inativado, $36/52 \approx 69\%$ contra 60 % (2020/85); angolano dado que não fala inglês, $10/35 \approx 29\%$ contra 35 % (2021/48); Europa dado que não está na Ásia, $26/58 \approx 0{,}448$ contra 0,47 (2008/66). O trabalho é achar o grupo da condição e somar o que ele contém; a conta é uma divisão.
2. Inversão da condicional, tipo A: morar na cidade dado que tem celular, $0{,}875$ contra $3/17$ (2024/95). Os dados vêm numa direção e a pergunta vai na outra; a tabela de 1 000 pessoas resolve.
3. Classificador bayesiano com a hipótese de independência dada no texto, tipo A: a célula $4/50$ (2022/114), a comparação dos dois produtos (2022/115), o produto das três frações contra 2 % (2022/116). O texto-base traz a fórmula pronta; o candidato aplica.
4. Genética e árvore, tipos A e B: a matriz da 2.ª etapa cita a genética mendeliana nominalmente, e a 3.ª etapa já cobrou heredogramas em resposta numérica (o risco de 25 % de um neto, em 2021, está resolvido na página anterior). O formato esperado aqui é a condicional no quadro de Punnett (“sabendo que o fenótipo é dominante”) e a árvore de duas gerações.

Dois avisos. Primeiro, o item de condicional quase sempre vem pendurado numa tabela de outra disciplina (vacinas, refugiados, usuários de Internet, classificador de vídeos, censo do IBGE), e a condição é uma linha, uma coluna ou uma soma de fatias dessa tabela: leia a tabela inteira antes de dividir. Segundo, os distratores são frações legítimas da mesma tabela com o denominador errado ($36/100$ no lugar de $36/52$; $5/40$ ou $40/50$ no lugar de $5/50$; $0{,}89$ ou $0{,}85$ no lugar de $0{,}875$). Quando a sua resposta coincidir com um número que aparece pronto no enunciado, desconfie.

Os erros que mais derrubam

• Trocar o condicionante. $P(A \mid B)$ e $P(B \mid A)$ têm o mesmo numerador e denominadores diferentes: $5/50$ não é $5/40$; “89 % dos urbanos têm celular” não é “89 % de quem tem celular é urbano”. Leia qual grupo vem depois de “dado que”.
• Confundir a condicional com a conjunta. $P(A \cap B) = 90/300$ mede os dois eventos sobre o total; $P(A \mid B) = 90/180$ mede $A$ dentro de $B$. A conjunta é sempre menor ou igual às duas condicionais.
• Dividir pelo total depois de ler a condição. A condição reduz o denominador ao grupo nomeado: 52, não 100; 35, não 150; 58 %, não 100 %.
• Multiplicar sem independência. Sem reposição, a segunda fração é condicional ($3/10 \cdot 2/9$, não $(3/10)^2$). O produto simples só vale quando a conta confirma $P(A \mid B) = P(A)$.
• Declarar independência pela intuição, ou pela contagem. Independência é $P(A \mid B) = P(A)$, uma igualdade numérica; compare frações dentro dos grupos, nunca os totais (36 e 24 usuários de óculos podem ser independentes do turno).
• Tratar exclusivos como independentes. Se $A$ e $B$ não podem ocorrer juntos e têm chance positiva, $P(A \mid B) = 0 \ne P(A)$: dependentes.
• Esquecer ramos na probabilidade total. $P(A)$ soma todos os caminhos que chegam a $A$ (urbano-com-celular e rural-com-celular); um ramo esquecido estraga o denominador da inversão.
• Responder a condicional direta quando a pergunta é a inversa. “Dado positivo, doente?” não é “dado doente, positivo?”; 90 % de sensibilidade virou 27 % na tabela de 1 000.
• Esquecer a prevalência. Na inversão, a chance antes da informação pesa tanto quanto a precisão do exame: doença rara, positivo pouco informativo.
• Falácia do promotor. “Raro entre inocentes” não é “quase certamente culpado”; conte quantos inocentes combinam.
• Não reduzir o quadro de Punnett. “Sabendo que é dominante” tira o $aa$: $2/3$ heterozigoto, não $1/2$.
• Confundir “pelo menos um é menino” com “o primeiro é menino”. $1/3$ e $1/2$ saem de condições diferentes sobre o mesmo espaço.

O essencial em meia página

• Definição: $P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} = \dfrac{n(A \cap B)}{n(B)}$ no caso equiprovável. O evento depois da barra é o novo espaço amostral; o denominador deixa de ser o total.
• Na tabela: a condição escolhe a linha (ou a coluna, ou a soma de fatias); a resposta é a célula sobre o total dessa linha. $P(A \mid B) \ne P(B \mid A) \ne P(A \cap B)$, mesmo numerador.
• Produto: $P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A \mid B)$; na árvore, o segundo nível carrega condicionais, a folha é o produto do ramo, as folhas somam 1. Sem reposição: $\dfrac{3}{10} \cdot \dfrac{2}{9}$.
• Independência: $P(A \mid B) = P(A) \Leftrightarrow P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$. É um teste de conta; exclusivos com chance positiva nunca são independentes.
• Total: $P(A) = \sum P(B_i) \cdot P(A \mid B_i)$, somando os ramos; o resultado fica entre a menor e a maior condicional.
• Inversão (Bayes): $P(B \mid A) = \dfrac{P(B) \cdot P(A \mid B)}{P(A)}$; faça com 1 000 pessoas: grupos, depois o evento em cada grupo, depois a célula sobre a coluna. Exame com prevalência 2 %, sensibilidade 90 %, falso positivo 5 %: $18/67 \approx 27\%$.
• Genética: $Aa \times Aa$ tem 4 casos; “dado dominante” deixa 3, $P(Aa \mid \text{dominante}) = 2/3$; gestações independentes multiplicam; heredograma de duas gerações é árvore ($1/2 \cdot 1/2$).
• Censos: toda taxa “entre os X” é $P(\cdot \mid X)$; risco por grupo num ensaio é condicional, e eficácia compara dois riscos.
• Na prova: ache o grupo da condição na tabela, some-o, divida; se a pergunta inverter a condição, monte a tabela de 1 000; se o texto disser “independentes”, multiplique; desconfie de respostas que já aparecem prontas no enunciado.