Volume de pirâmides e cones

Na entrada de uma obra, um caminhão basculante despeja areia e vai embora. O que fica no chão não é um cubo nem um cilindro: é um monte com a forma de um cone, com a base espalhada e a ponta no alto, porque a areia escorrega até se acomodar num ângulo que ela mesma escolhe. O mestre de obras olha o monte, mede o diâmetro com passos e diz quantos metros cúbicos chegaram. Ele não está adivinhando: está usando, de cabeça, a fórmula desta página. A mesma fórmula explica por que a Pirâmide do Sol, em Teotihuacán, com 225 metros de lado, contém menos pedra do que um bloco com a mesma base e um terço da altura, e por que a casquinha de sorvete, cheia até a borda, engana quem compara com o copinho de mesma boca.

O assunto é um número: $\frac{1}{3}$. Pirâmides e cones valem um terço do prisma ou do cilindro de mesma base e mesma altura, e esta página explica de onde esse terço vem (por experiência, por um cubo que se parte em três e por um prisma que se parte em três), mostra que ele vale para qualquer base, para sólidos tortos e para o cone, e depois aplica o resultado onde a prova o cobra: a altura escondida atrás da geratriz, a ponta cortada que guarda a fração ao cubo, o tronco que sobra quando a ponta sai, funis, montes de areia e pirâmides de verdade. A regra base vezes altura e as unidades estão em Volume de prismas e cilindros; o princípio que iguala pirâmides de mesma base e altura está em Princípio de Cavalieri e é usado aqui como ferramenta pronta; os sólidos que juntam cone, cilindro e esfera numa peça só ficam para Volumes de sólidos compostos; as áreas laterais e as planificações do cone e da pirâmide são de Geometria espacial.

A altura é a perpendicular; o lado inclinado é outra coisa

Uma pirâmide é o sólido formado por um polígono (a base) e um ponto fora do plano dela (o vértice), com todos os segmentos que ligam o vértice aos pontos da base. As faces laterais são triângulos. Um cone é a mesma construção com um círculo no lugar do polígono; a superfície lateral é curva, e cada segmento do vértice a um ponto da circunferência da base é uma geratriz. Tudo o que esta página diz sobre volume vale para os dois, porque o cone se comporta como uma pirâmide de base circular.

A primeira pergunta diante de qualquer figura é: qual destas medidas é a altura? A geratriz do cone e a aresta lateral da pirâmide são sempre mais compridas que a altura, porque são hipotenusas de triângulos retângulos que têm a altura como cateto. Um item que dá a geratriz e o raio está pedindo um Pitágoras antes da fórmula; um item que dá a aresta lateral de uma pirâmide de base quadrada está pedindo dois.

Medir o terço antes de demonstrá-lo

Quem tem uma jarra graduada pode medir o terço em casa. Um funil de cozinha com 12 cm de boca e 9 cm de fundo, tampado no bico e cheio de água até a borda, despeja cerca de 340 mL na jarra; uma lata cilíndrica com a mesma boca e a mesma altura, cheia do mesmo jeito, despeja cerca de 1 020 mL, três vezes mais (a conta do funil está no exemplo resolvido 11; a da lata é $\pi \times 6^2 \times 9$). A razão 1 : 3 não depende do tamanho do funil nem do formato da boca: os kits de sólidos de acrílico das escolas trazem uma pirâmide de base quadrada e o prisma de mesma base e mesma altura exatamente para isso, e a pirâmide cheia de água esvazia-se três vezes dentro do prisma antes de ele transbordar. O cone guarda um terço do cilindro de mesma boca e mesma altura; a pirâmide, um terço do prisma.

A medição convence, mas não explica, e a prova de vestibular cobra o número com variações que a experiência não cobre: e se a base for um hexágono? e se o vértice estiver deslocado? e se o cone estiver deitado? As duas próximas seções dão a razão do terço, de duas maneiras, e a razão é o que permite estender o resultado a todos esses casos.

Exemplo resolvido 1: a casquinha e o copinho. Uma casquinha de sorvete é um cone de 3 cm de raio e 12 cm de altura. Ao lado, um copinho cilíndrico de mesma boca e mesma altura. Quanto cabe em cada um? Use $\pi = 3{,}14$.

Estratégia: o copinho é base vezes altura; a casquinha é um terço disso.

Resolução: copinho: $\pi r^2 h = 3{,}14 \times 9 \times 12 = 339{,}1$ cm³. Casquinha: $\dfrac{1}{3} \times 339{,}1 = 113{,}0$ cm³, isto é, 113 mL.

Conferência: $\frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3} \times 3{,}14 \times 9 \times 12 = 113{,}04$; três casquinhas somam 339, o copinho. Quem toma o sorvete “na casquinha” leva um terço do que levaria “no copinho” de mesma boca, antes da bola em cima.

O cubo que se parte em três pirâmides iguais

Tome um cubo de aresta $a$ e escolha um vértice $P$. Das seis faces do cubo, três passam por $P$ e três não. Ligue $P$ a cada uma das três faces que não o contêm: cada face, com o vértice $P$, forma uma pirâmide de base quadrada. As três pirâmides não se sobrepõem e juntas preenchem o cubo inteiro (cada ponto interior do cubo “vê” $P$ através de exatamente uma das três faces opostas). E as três são congruentes: uma rotação de 120° em torno da diagonal do cubo que passa por $P$ leva uma na outra. Logo, cada uma tem um terço do cubo:

$$V_{\text{pirâmide}} = \frac{a^3}{3} = \frac{1}{3} \cdot a^2 \cdot a = \frac{1}{3} \cdot A_b \cdot h.$$

Repare em dois detalhes. Primeiro, essas pirâmides são oblíquas: o vértice $P$ fica na vertical de um canto da base, não do centro. O terço nasce, portanto, num sólido torto, e vale para ele. Segundo, a altura de cada pirâmide é a aresta $a$, porque $P$ está a uma distância $a$ do plano da face oposta, mesmo não estando sobre o centro dela.

O cubo admite ainda outra partilha que dá o mesmo número. Ligue o centro do cubo aos seus oito vértices: o cubo fica dividido em seis pirâmides congruentes, uma sobre cada face, todas com vértice no centro. Cada uma tem base $a^2$ e altura $a/2$ (metade da aresta, do centro até a face), e vale um sexto do cubo:

$$\frac{a^3}{6} = \frac{1}{3} \cdot a^2 \cdot \frac{a}{2}.$$

De novo um terço da base vezes a altura. É uma boa conferência mental: duas decomposições diferentes, com alturas diferentes, e a mesma regra.

Exemplo resolvido 2: a pirâmide dentro do cubo. Um cubo de 6 cm de aresta. (a) Qual é o volume da pirâmide que tem por base uma face do cubo e por vértice um canto da face oposta? (b) E da pirâmide com a mesma base e vértice no centro do cubo? © E da pirâmide com a mesma base e vértice no centro da face oposta?

Estratégia: nas três, a base é a mesma ($36$ cm²); mudam a altura e a posição do vértice. A posição não altera o volume; a altura, sim.

Resolução: (a) altura 6: $V = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 6 = 72$ cm³, um terço dos 216 cm³ do cubo. (b) altura 3: $V = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 3 = 36$ cm³, um sexto do cubo. © altura 6 outra vez, vértice no centro: $72$ cm³, igual à (a).

Conferência: (a) e © têm o mesmo volume com vértices em posições diferentes, uma oblíqua e a outra reta: é o princípio de Cavalieri, seções de mesma área em toda altura. (b) é a metade de (a) porque a altura é a metade.

O prisma triangular em três pirâmides de mesmo volume

O cubo dá o terço para pirâmides de base quadrada e altura igual ao lado. Para chegar a qualquer base e qualquer altura, o caminho é o prisma triangular. Tome um prisma de base triangular $ABC$, topo $A'B'C'$ e altura $h$. Corte-o em três pirâmides triangulares (tetraedros):

1. Primeira: base $ABC$ (o chão do prisma) e vértice $A'$. Tem a mesma base e a mesma altura $h$ do prisma.
2. O que sobra é uma pirâmide de vértice $A'$ e base no paralelogramo $BCC'B'$, a face lateral oposta a $A'$. A diagonal $B'C$ divide esse paralelogramo em dois triângulos de mesma área, $BCB'$ e $B'C'C$, e divide a pirâmide em duas: a segunda tem vértice $A'$ e base $BCB'$; a terceira tem vértice $A'$ e base $B'C'C$.

A segunda e a terceira têm o mesmo vértice e bases de mesma área no mesmo plano: mesma altura (a distância de $A'$ ao plano da face), seções que encolhem pela mesma lei, mesmo volume. A terceira, olhada de outro ângulo, tem base $A'B'C'$ (o teto do prisma, cópia de $ABC$) e vértice $C$, a uma distância $h$ do teto: é uma pirâmide de mesma base e mesma altura da primeira, logo, pelo princípio de Cavalieri, de mesmo volume. As três têm o mesmo volume, e as três juntas são o prisma. Cada uma vale um terço de $A_b \cdot h$.

Daí para qualquer pirâmide é um passo. Uma pirâmide de base poligonal qualquer se divide, por planos que passam pelo vértice e pelas diagonais da base, em pirâmides de base triangular com a mesma altura; cada uma vale um terço de (sua base) vezes $h$, e a soma das bases é a base inteira. Para o cone, o princípio de Cavalieri resolve de uma vez: um cone e uma pirâmide de mesma altura e bases de mesma área têm seções de mesma área em toda altura (as duas encolhem com o quadrado da distância ao vértice), logo o mesmo volume. E, como a decomposição do prisma não usou em momento nenhum a posição do vértice sobre a base, o resultado vale para pirâmides e cones oblíquos.

Exemplo resolvido 3: uma base, três sólidos. Três sólidos têm 9 cm de altura: uma pirâmide de base hexagonal regular de lado 4 cm, um cone cuja base tem a mesma área do hexágono, e uma pirâmide oblíqua com a mesma base hexagonal e o vértice deslocado 5 cm para o lado. Quanto vale cada volume? (Área do hexágono regular de lado $\ell$: $\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\ell^2$; use $\sqrt{3} = 1{,}73$.)

Estratégia: uma única conta de base, uma única altura, três vezes a mesma fórmula.

Resolução: $A_b = \dfrac{3 \times 1{,}73}{2} \times 16 = 41{,}5$ cm². $V = \dfrac{1}{3} \times 41{,}5 \times 9 = 124{,}5$ cm³ para os três.

Conferência: o deslocamento de 5 cm do vértice da pirâmide oblíqua não entrou na conta, nem o raio do cone (que seria $r = \sqrt{41{,}5/\pi} \approx 3{,}6$ cm). A única informação que o item podia esconder era a altura; aqui ela foi dada.

Cone: raio, altura e geratriz são um triângulo retângulo

Corte um cone reto por um plano que passa pelo eixo. A seção é um triângulo isósceles cujos lados iguais são duas geratrizes e cuja base é o diâmetro. A altura desse triângulo é a altura do cone, e ela o divide em dois triângulos retângulos de catetos $r$ e $h$ e hipotenusa $g$:

$$g^2 = r^2 + h^2.$$

Essa relação é a porta de entrada de metade dos itens de cone: o enunciado dá $g$ e $r$ (o cone de papel, o chapéu, o cone de sinalização, cuja geratriz é o que se mede com a fita), e o volume pede $h$.

Exemplo resolvido 4: o cone de sinalização. Um cone de trânsito tem 36 cm de diâmetro na base e a geratriz, medida com a fita métrica do pé ao topo, tem 82 cm. Quanto de ar ele contém, se fosse fechado? Use $\pi = 3{,}14$.

Estratégia: $r = 18$ cm; a altura vem de Pitágoras; depois a fórmula.

Resolução: $h^2 = 82^2 - 18^2 = 6\,724 - 324 = 6\,400$, logo $h = 80$ cm. $V = \dfrac{1}{3} \times 3{,}14 \times 324 \times 80 = 27\,129{,}6$ cm³, cerca de 27 litros.

Conferência: $18^2 + 80^2 = 324 + 6\,400 = 6\,724 = 82^2$, e o triângulo $18$–$80$–$82$ é o $9$–$40$–$41$ dobrado. Quem usasse a geratriz como altura obteria $27\,808$ cm³, 2,5 % a mais; neste caso o erro é pequeno porque o cone é alto e fino. Num cone baixo e largo (geratriz 50, raio 40, altura 30) o mesmo erro superestima o volume em 67 %.

Exemplo resolvido 5: o cone equilátero de geratriz 10. Um cone equilátero tem geratriz de 10 cm. Qual é o volume? Use $\pi = 3{,}14$ e $\sqrt{3} = 1{,}73$.

Estratégia: $g = 2r$ dá o raio; $h = r\sqrt{3}$.

Resolução: $r = 5$ cm; $h = 5 \times 1{,}73 = 8{,}65$ cm; $V = \dfrac{1}{3} \times 3{,}14 \times 25 \times 8{,}65 = 226{,}3$ cm³.

Conferência: pela forma fechada, $\dfrac{\sqrt{3}}{3}\pi r^3 = \dfrac{1{,}73}{3} \times 3{,}14 \times 125 = 226{,}3$. Confere. Quem toma $h = 10$ (a geratriz) acha $261{,}7$; quem toma $h = 2r = 10$ pelo nome “equilátero” cai no mesmo erro.

Pirâmides regulares: apótema, aresta lateral e o tetraedro

Numa pirâmide regular de base quadrada de lado $b$, há três triângulos retângulos escondidos, todos com a altura $h$ como cateto:

• altura, apótema da base e apótema da pirâmide: $a_p^2 = h^2 + \left(\dfrac{b}{2}\right)^2$ (o apótema da base de um quadrado é metade do lado);
• altura, metade da diagonal e aresta lateral: $\ell^2 = h^2 + \left(\dfrac{b\sqrt{2}}{2}\right)^2 = h^2 + \dfrac{b^2}{2}$;
• apótema da pirâmide, metade do lado e aresta lateral: $\ell^2 = a_p^2 + \left(\dfrac{b}{2}\right)^2$, dentro da face lateral.

O item costuma dar a aresta lateral (é o que se vê na figura, a quina da pirâmide) e o lado da base, e esperar que o aluno passe pela metade da diagonal. Dar o apótema no lugar da aresta lateral é a variante.

Exemplo resolvido 6: a aresta lateral que não é altura. Uma pirâmide regular de base quadrada tem 12 cm de lado e arestas laterais de 11 cm. Qual é o volume?

Estratégia: achar a altura pelo triângulo com a metade da diagonal.

Resolução: metade da diagonal: $\dfrac{12\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2}$, cujo quadrado é $72$. $h^2 = 11^2 - 72 = 121 - 72 = 49$, logo $h = 7$ cm. $V = \dfrac{1}{3} \times 144 \times 7 = 336$ cm³.

Conferência: o apótema da pirâmide seria $\sqrt{49 + 36} = \sqrt{85} \approx 9{,}2$ cm, entre a altura (7) e a aresta lateral (11), como deve ser. Com a aresta lateral no lugar da altura o volume sairia $528$ cm³, 57 % a mais.

Cortar a ponta: a escala vale ao cubo

Corte um cone ou uma pirâmide por um plano paralelo à base, a uma distância $d$ do vértice. A ponta que fica acima do corte é um sólido semelhante ao original, e a razão de semelhança é $k = d/h$: todos os comprimentos da ponta (raio, lado, geratriz, apótema) são $k$ vezes os do sólido inteiro, as áreas são $k^2$ vezes e os volumes são $k^3$ vezes. É a regra geral da semelhança no espaço, e aqui ela tem uma consequência que o olho não aceita de primeira:

Não confunda duas mudanças de medida. Ampliar o sólido inteiro (todas as medidas vezes $k$) multiplica o volume por $k^3$. Mudar só uma medida multiplica o volume pelo fator com que ela aparece na fórmula: só a altura vezes $k$ dá volume vezes $k$ (a altura aparece uma vez); só o raio do cone vezes $k$ dá volume vezes $k^2$ (o raio aparece ao quadrado). Dobrar a altura de um cone mantendo o raio dobra o volume; dobrar o raio mantendo a altura quadruplica; dobrar tudo multiplica por oito.

Exemplo resolvido 7: a taça pela metade. Uma taça de coquetel é um cone invertido de 8 cm de raio na boca e 10 cm de profundidade. (a) Cheia até a borda, quanto ela comporta? (b) Com o líquido a 5 cm de profundidade (metade), quanto há? © A que altura o líquido deve chegar para a taça estar “pela metade” de verdade? Use $\pi = 3{,}14$.

Estratégia: (a) fórmula; (b) ponta com $k = \frac{1}{2}$; © $k^3 = \frac{1}{2}$.

Resolução: (a) $V = \dfrac{1}{3} \times 3{,}14 \times 64 \times 10 = 669{,}9$ cm³, cerca de 670 mL. (b) o líquido forma um cone semelhante com $k = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$: $V = \dfrac{669{,}9}{8} = 83{,}7$ mL, um oitavo. © $k = \sqrt[3]{0{,}5} \approx 0{,}794$, logo o líquido deve chegar a $0{,}794 \times 10 \approx 7{,}9$ cm de profundidade.

Conferência: em (b), o cone de líquido tem raio $4$ e altura $5$: $\frac{1}{3} \times 3{,}14 \times 16 \times 5 = 83{,}7$. Confere. Em ©, $0{,}794^3 = 0{,}500$. Uma taça que parece “cheia até quase a borda” está, de fato, pela metade.

Tronco de pirâmide e de cone: o que sobra quando a ponta sai

O tronco é a parte do cone ou da pirâmide que fica entre a base e um corte paralelo a ela. É a forma do balde, do vaso de planta, do copo descartável, do abajur, da panela de pedra e de quase toda “pirâmide” pré-colombiana, que tem o topo plano. Há dois caminhos para o volume, e os dois convém saber.

Caminho 1: diferença entre o sólido inteiro e a ponta. Prolongue as geratrizes (ou as arestas laterais) até se encontrarem no vértice. O tronco é o sólido inteiro menos a ponta, e a ponta é semelhante ao inteiro. Se as bases do tronco têm raios $R$ (maior) e $r$ (menor) e a altura do tronco é $h$, a altura $x$ da ponta sai da semelhança:

$$\frac{r}{R} = \frac{x}{x + h} \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{r\,h}{R - r}.$$

Depois, $V_{\text{tronco}} = \dfrac{1}{3}\pi R^2 (x + h) - \dfrac{1}{3}\pi r^2 x$. Para a pirâmide, troque $\pi R^2$ e $\pi r^2$ pelas áreas das bases e $r/R$ pela razão entre lados correspondentes.

Caminho 2: a fórmula fechada. Chame $A_1$ a área da base maior, $A_2$ a da base menor e $h$ a altura do tronco. Então

$$V_{\text{tronco}} = \frac{h}{3}\left(A_1 + \sqrt{A_1 A_2} + A_2\right),$$

e, para o tronco de cone, como $A_1 = \pi R^2$, $A_2 = \pi r^2$ e $\sqrt{A_1 A_2} = \pi R r$,

$$V_{\text{tronco de cone}} = \frac{\pi h}{3}\left(R^2 + R r + r^2\right).$$

A fórmula não é um fato novo: é o caminho 1 escrito de uma vez. Com $k = \sqrt{A_2/A_1}$ a razão de semelhança, a altura do sólido inteiro é $H = \dfrac{h}{1 - k}$ (porque $x = kH$ e $H - x = h$), e

$$V = \frac{1}{3}A_1 H - \frac{1}{3}A_2 \, kH = \frac{H}{3}\left(A_1 - k^3 A_1\right) = \frac{h}{3}\cdot\frac{1 - k^3}{1 - k}\,A_1 = \frac{h}{3}\left(1 + k + k^2\right)A_1,$$

e $A_1$, $kA_1$ e $k^2 A_1$ são exatamente $A_1$, $\sqrt{A_1 A_2}$ e $A_2$. Quem esquece a fórmula na prova refaz a diferença; quem lembra, usa-a e confere pela diferença.

Exemplo resolvido 8: a lixeira que o fabricante anuncia em litros. Uma lixeira de escritório é um tronco de cone com 14 cm de raio na boca, 10 cm de raio no fundo e 30 cm de altura, e a etiqueta diz “14 litros”. A etiqueta está certa? Use $\pi = 3{,}14$.

Estratégia: a ponta que falta fica abaixo do fundo, porque a lixeira é mais larga em cima; caminho 1 para calcular, caminho 2 para conferir, e a escala $k^3$ como terceira prova.

Resolução: razão de semelhança $k = 10/14 = 5/7$. Altura da ponta: $x = \dfrac{10 \times 30}{14 - 10} = 75$ cm, um vértice bem abaixo do chão. Cone inteiro: raio 14, altura 105, $V = \dfrac{1}{3}\pi \times 196 \times 105 = 6\,860\pi$. Ponta: raio 10, altura 75, $V = \dfrac{1}{3}\pi \times 100 \times 75 = 2\,500\pi$. Tronco: $6\,860\pi - 2\,500\pi = 4\,360\pi = 13\,690$ cm³, cerca de 13,7 litros: a etiqueta arredonda para cima, mas por pouco.

Conferência: pela fórmula, $\dfrac{\pi \times 30}{3}\left(196 + 140 + 100\right) = 10\pi \times 436 = 4\,360\pi$. Confere. E pela escala: a ponta deve valer $k^3 = (5/7)^3 = 125/343 \approx 0{,}364$ do cone inteiro; $0{,}364 \times 6\,860\pi \approx 2\,500\pi$. Confere também. A “média das bases” daria $30 \times \frac{196\pi + 100\pi}{2} = 4\,440\pi$, quase 2 % a mais; com bases tão parecidas o erro é pequeno, e cresce quando uma base é muito menor que a outra, como no exemplo da armadilha acima.

Exemplo resolvido 9: o tronco de pirâmide de base quadrada. Um pedestal de pedra tem a forma de um tronco de pirâmide regular: base quadrada de 8 m de lado, topo quadrado de 2 m de lado, 6 m de altura. Qual é o volume de pedra?

Estratégia: $A_1 = 64$, $A_2 = 4$; fórmula fechada; conferir pela diferença.

Resolução: $V = \dfrac{6}{3}\left(64 + \sqrt{64 \times 4} + 4\right) = 2 \times (64 + 16 + 4) = 168$ m³.

Conferência: $k = 2/8 = 1/4$; altura da ponta $x = \dfrac{2 \times 6}{8 - 2} = 2$ m; pirâmide inteira de altura 8: $\frac{1}{3} \times 64 \times 8 = 170{,}67$; ponta: $\frac{1}{3} \times 4 \times 2 = 2{,}67$; diferença $168$. Confere. Repare que a ponta removida é pequena ($k^3 = 1/64$ da pirâmide inteira): um tronco com topo estreito é “quase” a pirâmide inteira.

Objetos de ponta: funil, ampulheta, monte de areia

Os cones do mundo real raramente estão parados: um funil se esvazia, uma ampulheta escorre, um monte de areia cresce. O volume entra junto com uma vazão ou com um ângulo, e a geometria desta página se junta à proporção.

Funil e vazão. Um funil cônico cheio tem volume $\frac{1}{3}\pi r^2 h$; se o líquido sai pelo bico com vazão constante $q$ (volume por tempo), o tempo de esvaziamento é $V/q$. O que a vazão constante não dá é um nível que desce em linha reta: como o cone é largo em cima e estreito embaixo, o nível desce devagar no começo e cada vez mais depressa perto do bico. A fração de volume que sobra quando o nível está a uma fração $k$ da altura é $k^3$, a regra da seção anterior.

Ampulheta. Cada bulbo é, de modo aproximado, um cone; a areia do bulbo de cima, que tem o vértice embaixo, forma um cone de líquido cuja superfície baixa; a do bulbo de baixo, que recebe a areia pelo vértice, forma um monte cônico que cresce. O tempo de escoamento é o volume de areia dividido pela vazão do gargalo, e a vazão de um material granular é aproximadamente constante (ao contrário da água, a areia não escoa mais depressa por estar mais alta), razão pela qual a ampulheta funciona como relógio.

Montes de material granular e o ângulo de repouso. Areia, brita, grãos, sal: despejados de um ponto, formam um cone cuja superfície faz com a horizontal um ângulo característico do material, o ângulo de repouso (cerca de 30° a 35° para areia seca, maior para brita angulosa, menor para material molhado ou muito liso). Esse ângulo prende a altura ao raio: $h = r \tan\theta$. Para medir o volume de um monte basta então medir o diâmetro da base e saber o ângulo: $V = \frac{1}{3}\pi r^3 \tan\theta$, proporcional ao cubo do raio. Um monte com o dobro do diâmetro tem oito vezes a areia.

Exemplo resolvido 10: quantos caminhões há no monte. Um monte de areia tem 6 m de diâmetro na base e ângulo de repouso de 30°. Quantas viagens de um caminhão de 6 m³ foram necessárias para formá-lo? Use $\pi = 3{,}14$ e $\tan 30° = 0{,}577$.

Estratégia: altura pelo ângulo; volume do cone; divisão.

Resolução: $r = 3$ m; $h = 3 \times 0{,}577 = 1{,}73$ m. $V = \dfrac{1}{3} \times 3{,}14 \times 9 \times 1{,}73 = 16{,}3$ m³. São $16{,}3 / 6 \approx 2{,}7$, ou seja, três viagens (a última incompleta).

Conferência: $\frac{1}{3}\pi r^3 \tan\theta = \frac{1}{3} \times 3{,}14 \times 27 \times 0{,}577 = 16{,}3$. Confere. Um monte de 12 m de diâmetro, mesmo material, teria $8 \times 16{,}3 \approx 130$ m³: 22 viagens, e não 6.

Exemplo resolvido 11: o funil que se esvazia. Um funil cônico tem 12 cm de diâmetro na boca e 9 cm de altura, e está cheio de óleo. O óleo sai pelo bico a 20 mL por segundo. (a) Em quanto tempo o funil esvazia? (b) Quando o nível estiver na metade da altura, quanto tempo ainda falta? Use $\pi = 3{,}14$.

Estratégia: (a) volume e vazão; (b) o que resta é a ponta com $k = \frac{1}{2}$.

Resolução: (a) $V = \dfrac{1}{3} \times 3{,}14 \times 36 \times 9 = 339{,}1$ cm³ = 339 mL; tempo $= 339{,}1 / 20 \approx 17$ s. (b) resta $\dfrac{1}{8}$ do volume, $42{,}4$ mL, que leva $42{,}4/20 \approx 2{,}1$ s.

Conferência: dos 17 segundos, o nível leva quase 15 para descer a primeira metade da altura e só 2 para descer a segunda. É o gráfico da figura acima lido ao contrário.

Pirâmides de verdade: Egito, Teotihuacán e a contagem de blocos

As pirâmides do Egito são pirâmides regulares de base quadrada; as de Teotihuacán, no México, e as maias são troncos de pirâmide, com o topo plano onde ficava o templo, e escadarias que sobem por uma das faces, apoiadas sobre o apótema. As duas famílias dão itens de prova, e a diferença entre pirâmide e tronco é a primeira coisa a identificar.

A Grande Pirâmide de Gizé (Quéops) tem base de aproximadamente 230 m de lado e altura original de cerca de 146 m. O volume é

$$V = \frac{1}{3} \times 230^2 \times 146 \approx 2{,}57 \times 10^6 \ \text{m}^3,$$

dois milhões e meio de metros cúbicos. Com cerca de 2,3 milhões de blocos, dá pouco mais de 1 m³ por bloco, em média. Um prisma de mesma base e mesma altura teria 7,7 milhões de metros cúbicos: a pirâmide “economiza” dois terços da pedra que a caixa de mesmo tamanho gastaria, e é um dos motivos de a forma ter sido escolhida.

A Pirâmide do Sol, em Teotihuacán, tem cerca de 225 m de lado na base e 65 m de altura (o item do PAS de 2017 arredonda para 60 m, e o de 2009 usa 63 m). Modelada como pirâmide de 60 m de altura, tem $\frac{1}{3} \times 225^2 \times 60 \approx 1{,}0 \times 10^6$ m³: um milhão de metros cúbicos, com uma base quase igual à de Quéops e menos da metade da altura. A Pirâmide da Lua, menor, tem cerca de 43 m de altura e base retangular de cerca de 147 m por 130 m; o item do PAS de 2009 a modela como tronco de pirâmide de base quadrada com 120 m de lado, e nesse modelo o volume depende do tamanho do topo, que é o que a prova pede: a escadaria sobre o apótema da face dá a inclinação, a inclinação dá o lado do topo, e o lado do topo entra na fórmula do tronco.

Exemplo resolvido 12: a contagem de blocos. Uma pirâmide reta de base quadrada com 60 m de lado e arestas laterais de 50 m foi construída, sem vazios, com blocos cúbicos de dois tamanhos: grandes, de 2 m de aresta, e pequenos, de 1 m, na proporção de três grandes para um pequeno. Quantos blocos foram usados? Use $\sqrt{7} = 2{,}65$.

Estratégia: altura pela aresta lateral e pela metade da diagonal; volume; “pacotes” de 3 grandes + 1 pequeno.

Resolução: metade da diagonal: $30\sqrt{2}$, quadrado $1\,800$. $h^2 = 2\,500 - 1\,800 = 700$, $h = 10\sqrt{7} = 26{,}5$ m. $V = \dfrac{1}{3} \times 3\,600 \times 26{,}5 = 31\,800$ m³. Cada pacote de 3 blocos grandes ($3 \times 8 = 24$ m³) e 1 pequeno (1 m³) ocupa 25 m³: há $31\,800 / 25 = 1\,272$ pacotes, logo $4 \times 1\,272 = 5\,088$ blocos.

Conferência: $3 \times 1\,272 \times 8 + 1\,272 \times 1 = 30\,528 + 1\,272 = 31\,800$. Confere. Foi o item de resposta numérica do PAS 1 de 2020, que pedia o total dividido por 10: 508.

Exemplo resolvido 13: a Pirâmide da Lua como tronco. Modele a Pirâmide da Lua como um tronco de pirâmide regular de base quadrada com 120 m de lado e 43 m de altura, cuja escadaria, construída sobre o apótema de uma face, mede $43\sqrt{2}$ m. Qual é o volume?

Estratégia: o apótema da face é a hipotenusa de um triângulo retângulo cujos catetos são a altura do tronco e o recuo horizontal entre as duas bases; o recuo dá o lado do topo.

Resolução: $(43\sqrt{2})^2 = 43^2 + (\text{recuo})^2 \Rightarrow 2 \times 43^2 = 43^2 + (\text{recuo})^2 \Rightarrow \text{recuo} = 43$ m (a face sobe a 45°). O topo tem lado $120 - 2 \times 43 = 34$ m. $V = \dfrac{43}{3}\left(120^2 + 120 \times 34 + 34^2\right) = \dfrac{43}{3}\left(14\,400 + 4\,080 + 1\,156\right) = \dfrac{43 \times 19\,636}{3} = 281\,449$ m³.

Conferência: pela diferença, $k = 34/120 = 0{,}283$; altura da ponta $x = \dfrac{34 \times 43}{120 - 34} = 17$ m; pirâmide inteira de altura 60: $\frac{1}{3} \times 14\,400 \times 60 = 288\,000$; ponta: $\frac{1}{3} \times 1\,156 \times 17 = 6\,551$; diferença $281\,449$. Confere. O item do PAS 1 de 2009 pedia esse volume dividido por 500: 562.

Leia como na prova: cotas, tracejados e o vértice fora do desenho

Os itens de pirâmide e cone vêm com figura, e a figura carrega metade do enunciado. Quatro hábitos de leitura.

Identifique o que está cotado. Uma letra ao lado de uma quina inclinada é aresta lateral ou geratriz; uma letra ao lado de uma linha tracejada vertical, do vértice ao centro da base, é a altura; uma letra num segmento do centro da base à borda é o raio ou o apótema da base. A fórmula quer a altura; o resto é Pitágoras. No item de 2020 do PAS 1, a figura mostrava a aresta lateral $a$ e o lado $b$, e a altura $h$ tracejada sem valor: o valor tinha de ser calculado.

Tracejado para fora do sólido é a ponta que foi removida. Quando as arestas de um tronco se prolongam em tracejado até se encontrarem num ponto, a figura está dizendo “complete a pirâmide”: a cota da parte tracejada ($H - h$, no item de 2011 do PAS 1) é a altura da ponta, e a conta é a diferença. Quando o tracejado não existe, a fórmula fechada do tronco evita ter de achar o vértice.

Qual base é a maior? O tronco de um vaso é mais largo em cima; o de uma pirâmide maia, mais largo embaixo; o de um estádio pode ter a boca maior em cima, com o cilindro central retirado. A fórmula não se importa com a posição, mas a semelhança sim: a altura da ponta se mede a partir da base menor.

Duas figuras, dois sólidos. Quando o enunciado traz “figura I” e “figura II”, cada item costuma usar uma; o cilindro com cone no topo da figura I e o cilindro com semiesfera da figura II (PAS 2 de 2014) não se misturam. E, quando a figura II é a figura I escavada (o bloco e a panela, 2019), o item de “material removido” é o volume do interior, não o do bloco.

Como a banca pergunta

• Volume direto com limiar (tipo A). “O volume da pirâmide do Sol é superior a $10^6$ m³”, com 60 m de altura e 225 m de lado (PAS 1 de 2017): $\frac{1}{3} \times 50\,625 \times 60 = 1\,012\,500$, certo por pouco.
• Resposta numérica com a altura escondida (tipo B). A pirâmide de arestas laterais 50 m e base 60 m, com a contagem de blocos de 2 m e 1 m na proporção 3 : 1 (PAS 1 de 2020): $h = 10\sqrt{7}$, $V = 31\,800$ m³, 5 088 blocos, resposta 508.
• Tronco de pirâmide com o vértice prolongado (tipos A e B). O casco de navio modelado como tronco de pirâmide de bases retangulares, com as cotas $x$, $y$, $a$, $b$, $H$ e $h$ (PAS 1 de 2011): o volume é a diferença das duas pirâmides, $\frac{1}{3}(xyH - ab(H - h))$; com os números do item, $244 \times 10^5$ m³. E o item de julgamento: dobrar $h$ não dobra o volume do tronco, porque o tronco não é proporcional a $h$.
• Tronco de pirâmide pelo apótema (tipo B). A Pirâmide da Lua com escadaria de $43\sqrt{2}$ m sobre o apótema da face, 43 m de altura e 120 m de base (PAS 1 de 2009): recuo 43, topo 34, volume 281 449 m³, resposta 562.
• Cone sobre cilindro (tipo C). O sólido da figura I, cilindro de 27 cm e diâmetro 8 cm com um cone de 3 cm em cima (PAS 2 de 2014): $432\pi + 16\pi = 448\pi \approx 1\,407$ cm³, entre 1 350 e 1 450. O erro planejado é esquecer o terço no cone e somar $48\pi$.
• Tronco escavado (tipo A). O bloco de pedra-sabão em forma de tronco de cone, 21 cm de altura, raios 10 e 12, do qual se esculpiu uma panela com fundo e parede de 1 cm (PAS 2 de 2019): o material removido é o tronco interior, de altura 20 e raios cerca de 9 e 11, pouco mais de 6 300 cm³, “mais de 6 000”, certo.
• Tronco de cone menos cilindro (tipo B). A estrutura superior de um estádio como tronco de cone de altura 30 m, raios $200 + 50$ e $200 + 150$, de que se retirou o cilindro central de raio 200 m (PAS 2 de 2012): $2\,725\,000\pi - 1\,200\,000\pi = 1\,525\,000\pi \approx 4\,788\,500$ m³; dividido por $10^4$, resposta 478.
• Cone contra esfera (tipo A). Cinco esferas de gelo de raio $r$ derretidas caberiam em dois cones de raio e altura $2r$ (PAS 2 de 2013): $\frac{20}{3}\pi r^3$ contra $\frac{16}{3}\pi r^3$, não cabem, errado. O volume da esfera está em Geometria da esfera.
• Semelhança entre pirâmides (tipo A). “$h = 2h_1$” para o tronco cujo topo tem metade do lado da base (PAS 1 de 2013): a razão $\frac{1}{2}$ vale para alturas tanto quanto para lados, certo.
• Vestibulares. Pirâmide de base quadrada 3 cm e altura 10 cm (30 cm³); tronco de pirâmide de 160 m³ cortado a meia altura (ponta 20, tronco 140); parafina de um cone de 500 mL num prisma de base 5 × 5 (altura 20 cm); terra de um poço cilíndrico num cone de raio triplo (ENEM); copos descartáveis troncocônicos e a caneca que os substitui (ENEM); pirâmides semelhantes de 4 e 6 cm de altura (volumes na razão $27/8$).

Os erros que a banca planta

• Esquecer o terço. O cone de 3 cm sobre o cilindro vira $48\pi$ em vez de $16\pi$; a pirâmide vira um prisma. É o erro mais barato e o mais cobrado.
• Geratriz ou aresta lateral no lugar da altura. Sempre superestima; o tamanho do erro depende de quão “achatado” é o sólido. Pitágoras primeiro.
• “Cone equilátero” lido como $h = 2r$. A geratriz é $2r$; a altura é $r\sqrt{3}$.
• Metade da altura, metade do volume. A ponta a meia altura tem $\frac{1}{8}$; o tronco, $\frac{7}{8}$. Escala linear $k$, volume $k^3$.
• Ampliar tudo e multiplicar por $k$. Pirâmides semelhantes com razão $k$ têm volumes na razão $k^3$; só a altura vezes $k$ dá volume vezes $k$.
• Tronco pela média das bases. $\frac{A_1 + A_2}{2}$ no lugar de $\frac{A_1 + \sqrt{A_1 A_2} + A_2}{3}$: sempre para mais.
• Altura da ponta medida da base errada. A semelhança parte da base menor: $x = \dfrac{r h}{R - r}$, com $r$ o raio menor.
• Tronco proporcional a $h$. Com $H$ e as bases da pirâmide fixas, dobrar a altura do tronco não dobra o seu volume (item de 2011).
• Trocar o sólido do item. Figura I ou figura II; bloco ou panela; o interior escavado ou o material que ficou.
• Unidade e divisor no tipo B. O volume em m³ dividido por 500, por 10, por $10^4$, em $10^5$ m³: ler o comando duas vezes antes de marcar.

O essencial em meia página

• Vocabulário: altura $h$ = perpendicular do vértice ao plano da base; geratriz $g$ (cone), aresta lateral e apótema (pirâmide) são hipotenusas: $g^2 = r^2 + h^2$; $\ell^2 = h^2 + \frac{b^2}{2}$ na pirâmide regular de base quadrada de lado $b$.
• Fórmula: $V = \frac{1}{3} A_b h$ para toda pirâmide e todo cone, retos ou oblíquos; cone: $\frac{1}{3}\pi r^2 h$. Depende só de $A_b$ e de $h$.
• De onde vem o $\frac{1}{3}$: três cones enchem o cilindro; o cubo se parte em três pirâmides congruentes de vértice num canto (e em seis de vértice no centro); o prisma triangular se parte em três pirâmides de mesmo volume (Cavalieri); qualquer base se divide em triângulos; o cone empata com a pirâmide de mesma base e altura.
• Cone equilátero: $g = 2r$, $h = r\sqrt{3}$, $V = \frac{\sqrt{3}}{3}\pi r^3$. Tetraedro regular: $V = \frac{a^3\sqrt{2}}{12}$.
• Resposta a cada medida: altura $\times k$ → volume $\times k$; raio $\times k$ → volume $\times k^2$; tudo $\times k$ (semelhança) → volume $\times k^3$.
• Ponta cortada a uma fração $k$ da altura (do vértice): volume $k^3$; a meia altura, $\frac{1}{8}$; metade do volume a $k \approx 0{,}794$.
• Tronco: $V = V_{\text{inteiro}} - V_{\text{ponta}}$, com $x = \dfrac{r h}{R - r}$ a altura da ponta; ou $V = \dfrac{h}{3}\left(A_1 + \sqrt{A_1 A_2} + A_2\right)$, cone: $\dfrac{\pi h}{3}(R^2 + Rr + r^2)$. Nunca a média das bases.
• Objetos: funil (volume que resta $\propto$ nível ao cubo), ampulheta, monte de areia ($h = r\tan\theta$, $V = \frac{1}{3}\pi r^3 \tan\theta$), casquinha (um terço do copinho), silo com fundo cônico.
• Pirâmides reais: Quéops $\approx 2{,}6 \times 10^6$ m³; Pirâmide do Sol $\approx 10^6$ m³; as de Teotihuacán e as maias são troncos, com a escadaria sobre o apótema da face.
• Na prova: achar a altura antes da fórmula; tracejado até o vértice = diferença de sólidos; figura I ou II; bloco ou interior escavado; o divisor do tipo B.