Volumes de sólidos compostos

Uma loja de materiais vende manilhas de concreto por unidade, mas a usina que as fabrica compra concreto por metro cúbico. Entre os dois preços está uma pergunta de geometria: quanto concreto há numa manilha? O objeto é um tubo, e o tubo não aparece em nenhuma tabela de fórmulas. Aparece, porém, como a diferença entre dois cilindros, um grosso e um fino, e a diferença de dois volumes é uma conta que qualquer um faz. O mesmo gesto resolve a casquinha de sorvete (um cone com meia bola em cima), a cápsula de remédio (um cilindro com meia bola em cada ponta), o bloco de alumínio com um furo, a caixa de laranjas com ar entre as frutas e a pedra irregular que afunda num copo. Esta página é sobre esse gesto: decompor o objeto em sólidos conhecidos, somar as peças que se encostam, descontar as que foram tiradas e comparar o que sobra com o que cabia.

As fórmulas de cada peça vêm prontas de três páginas anteriores: base vezes altura para prismas e cilindros em Volume de prismas e cilindros, o terço de pirâmides e cones e o tronco em Volume de pirâmides e cones, os quatro terços de pi erre ao cubo e a sua dedução em Geometria da esfera. Aqui elas não são deduzidas, são usadas; e o princípio de Cavalieri, que tem página própria, entra uma única vez, como ferramenta para endireitar um canal curvo. É a página de síntese do bloco de volumes, e a mais frequente nas provas: o objeto raramente chega como um sólido só.

Volume soma: a regra que autoriza tudo o resto

O volume tem três propriedades que ninguém demonstra na escola e todo mundo usa: é um número não negativo, não muda quando o sólido é deslocado ou girado, e um sólido montado com pedaços que não se sobrepõem tem por volume a soma dos volumes de cada pedaço. Esta última é a que interessa aqui. Ela vale em dois sentidos. Se um objeto é a união de duas peças que só se tocam por uma face (um cilindro com um cone apoiado na tampa), o volume é a soma: a face comum é uma superfície, não tem volume, e não é contada duas vezes. Se de um sólido maior foi retirada uma parte (um cilindro de que se tirou um cilindro menor, coaxial), o que ficou vale o maior menos o menor, porque o maior é a união do que ficou com o que saiu.

A regra parece óbvia, e é; a dificuldade dos problemas não está nela, está em ver a decomposição e em ler as medidas de cada peça na figura. Três perguntas organizam a leitura de qualquer objeto composto:

1. Quais são as peças? Nomeie cada uma com o nome da matriz de sólidos: cilindro, cone, semiesfera, prisma, tronco, metade de cilindro.
2. Que medidas elas compartilham? “O cone se apoia sobre o cilindro”, “a semiesfera se encaixa perfeitamente”, “o furo atravessa o bloco”: cada uma dessas frases é uma igualdade de medidas (mesmo raio, mesma altura) que o enunciado dá sem número.
3. O que é cheio e o que é oco? Capacidade (o que cabe dentro), material (o que a parede tem) e volume externo (o que o objeto ocupa) são três números diferentes, e o item pergunta um deles.

Somar: casquinha, cápsula, casa e os sólidos “de duas figuras”

Exemplo resolvido 1: a casquinha de sorvete. Uma casquinha é um cone de 6 cm de diâmetro na boca e 12 cm de altura, cheia até a borda; por cima, uma bola de sorvete que é uma semiesfera de mesmo raio. Quanto sorvete há no conjunto, em mililitros? Use $\pi = 3{,}14$.

Estratégia: duas peças com o mesmo raio, $r = 3$ cm (metade do diâmetro); somar cone e semiesfera.

Resolução: cone: $\frac{1}{3}\pi \times 3^2 \times 12 = 36\pi$ cm³. Semiesfera: $\frac{2}{3}\pi \times 3^3 = 18\pi$ cm³. Total: $54\pi \approx 169{,}6$ cm³, isto é, cerca de 170 mL, dos quais um terço é a bola de cima.

Conferência: uma semiesfera de raio $r$ tem o volume de um cone de raio $r$ e altura $2r$ ($\frac{2}{3}\pi r^3$ nos dois); o cone da casquinha tem altura $4r$, logo a bola vale exatamente metade dele: $18\pi = 36\pi / 2$. Confere. Quem toma os 6 cm como raio quadruplica o cone e multiplica a bola por 8; quem usa $\frac{4}{3}$ na bola, esquecendo que é meia, soma $36\pi$ em vez de $18\pi$.

Exemplo resolvido 2: a cápsula. Um tanque de gás tem a forma de uma cápsula: um cilindro de 1 m de raio e 4 m de comprimento, com uma semiesfera de 1 m de raio fechando cada extremidade. Qual é o volume? Use $\pi = 3{,}14$.

Estratégia: as duas semiesferas têm o mesmo raio e, juntas, formam uma esfera inteira. Cápsula = cilindro + esfera.

Resolução: cilindro: $\pi \times 1^2 \times 4 = 4\pi$. Esfera: $\frac{4}{3}\pi \times 1^3 = \frac{4}{3}\pi$. Total: $\frac{16}{3}\pi \approx 16{,}75$ m³, isto é, 16 750 litros.

Conferência: as duas calotas valem $\frac{4}{3}\pi$, o mesmo que um pedaço de cilindro de raio 1 e comprimento $\frac{4}{3}$ m. A cápsula equivale, portanto, a um cilindro de $4 + 1{,}33 = 5{,}33$ m: $5{,}33\pi = 16{,}75$. Confere. A regra vale para qualquer cápsula: as duas pontas valem o mesmo que $\frac{4r}{3}$ a mais de comprimento.

Exemplo resolvido 3: a casa com telhado de duas águas. Um galpão tem planta retangular de 10 m por 8 m, paredes de 3 m de altura e um telhado de duas águas cuja cumeeira fica 2 m acima das paredes. Qual é o volume de ar no interior, desprezando a espessura das paredes?

Estratégia: o corpo é um paralelepípedo; o telhado é um prisma triangular deitado, com base no triângulo da empena (base 8 m, altura 2 m) e comprimento 10 m.

Resolução: paralelepípedo: $10 \times 8 \times 3 = 240$ m³. Prisma triangular: $\frac{8 \times 2}{2} \times 10 = 80$ m³. Total: $320$ m³.

Conferência: o triângulo da empena tem 8 m² e o retângulo da parede de fundo tem 24 m²; a razão $\frac{1}{3}$ entre as áreas das seções é a razão entre os volumes, $80 / 240$. Confere.

Os itens de prova com “figura I” e “figura II” são o caso típico de soma. Um sólido que empilha um cilindro de 26 cm de altura e 6 cm de diâmetro, um anel plano de raios 3 cm e 4 cm e uma semiesfera de 4 cm de raio tem volume $\pi \cdot 3^2 \cdot 26 + \frac{2}{3}\pi \cdot 4^3 = 234\pi + 42{,}67\pi = 276{,}67\pi \approx 868{,}7$ cm³. O anel, uma chapa sem espessura, entra na área da superfície e não entra no volume; o item de 2014 que perguntava se o volume era inferior a 870 cm³ foi calibrado a 0,15 % do valor, e só a conta completa decide.

Subtrair: cascas, tubos e paredes

A casca é o sólido que sobra entre duas superfícies parecidas, uma dentro da outra: a parede de um tubo, a parede de uma bola oca, o concreto das paredes de uma casa, o vidro de um copo. O volume de material é sempre o externo menos o interno, e a única dificuldade é identificar as medidas de cada um.

Exemplo resolvido 4: o tubo de PVC. Um tubo tem 10 cm de diâmetro interno, parede de 0,4 cm e 3 m de comprimento. Quanto plástico há nele, e quanto pesa, se o PVC tem 1,4 g/cm³? Use $\pi = 3{,}14$.

Estratégia: tudo em centímetros; raio interno 5, externo 5,4, comprimento 300; diferença de cilindros.

Resolução: $V = \pi \times 300 \times (5{,}4^2 - 5^2) = \pi \times 300 \times (29{,}16 - 25) = \pi \times 300 \times 4{,}16 = 1\,248\pi \approx 3\,919$ cm³, cerca de 3,9 litros de plástico. Massa: $3\,919 \times 1{,}4 \approx 5\,490$ g, uns 5,5 kg.

Conferência: pelo raio médio. A parede tem 0,4 cm e fica entre os raios 5 e 5,4; a circunferência do meio dela tem raio $5{,}2$ cm e comprimento $2\pi \times 5{,}2 = 10{,}4\pi$ cm. Uma faixa com esse comprimento, 0,4 cm de espessura e 300 cm de altura tem $10{,}4\pi \times 0{,}4 \times 300 = 1\,248\pi$ cm³, o mesmo valor. Confere. Para a massa, uma ordem de grandeza: 3,9 L de um material 1,4 vez mais denso que a água pesam uns 5,5 kg, o que bate com o resultado.

Quando “área vezes espessura” serve, e quando não serve

A tentação de calcular a parede como a superfície interna multiplicada pela espessura é natural: é o que se faria com uma chapa plana. Numa parede curva, porém, a face externa é maior que a interna, e o produto “área interna vezes espessura” fica sempre abaixo do valor exato, pelo termo $\pi h e^2$ no tubo e por um termo análogo na esfera. O erro relativo no tubo é

$$\frac{\pi h e^2}{\pi h(2re + e^2)} = \frac{e}{2r + e},$$

que vale 4 % para $e = 0{,}4$ e $r = 5$, 10 % para $e = 1$ e $r = 4{,}5$, e 33 % para uma parede tão grossa quanto o raio interno. Para uma lata de alumínio (parede de 0,1 mm, raio de 3 cm) o erro é 0,2 % e a aproximação é ótima; para uma manilha, um bloco de concreto ou uma panela de pedra, não é. E há uma versão que acerta sempre: se a área lateral é tomada no raio médio $r + \frac{e}{2}$, o produto $2\pi (r + \frac{e}{2}) h e = \pi h (2re + e^2)$ é exatamente o volume do tubo. O mesmo vale para a casca de paralelepípedo (perímetro medido pela linha média das paredes) e, com um erro residual pequeno, para a casca esférica (superfície no raio médio).

Exemplo resolvido 5: a bola oca. Uma esfera de aço oca tem 10 cm de raio externo e parede de 1 cm. Quanto pesa, se o aço tem 7,85 g/cm³? Use $\pi = 3{,}14$.

Estratégia: casca esférica de raios 10 e 9; diferença dos cubos.

Resolução: $V = \frac{4}{3}\pi\left(10^3 - 9^3\right) = \frac{4}{3}\pi(1\,000 - 729) = \frac{4}{3}\pi \times 271 = 361{,}3\pi \approx 1\,134{,}6$ cm³. Massa: $1\,134{,}6 \times 7{,}85 \approx 8\,907$ g, quase 9 kg.

Conferência: a esfera maciça de raio 10 tem $4\,187$ cm³; a casca de 1 cm leva 27 % dela, embora a espessura seja 10 % do raio, porque as camadas externas de uma esfera são as mais volumosas. Pela superfície média: $4\pi \times 9{,}5^2 \times 1 = 361\pi$, a 0,1 % do exato. Quem calcula “uma esfera de raio 1” obtém 4,19 cm³, duzentas e setenta vezes menos.

Exemplo resolvido 6: o concreto das paredes. Um galpão retangular mede 15 m por 8 m por fora, tem paredes de 4 m de altura e 20 cm de espessura, sem laje, com uma porta de 2,1 m por 0,9 m e duas janelas de 1,2 m por 1,0 m. Quanto concreto foi usado nas paredes?

Estratégia: casca de paralelepípedo (externo menos interno, mesma altura); depois descontar as aberturas, que são paralelepípedos com a espessura da parede.

Resolução: externo: $15 \times 8 \times 4 = 480$ m³. Interno: as medidas internas perdem 0,2 m de cada lado: $14{,}6 \times 7{,}6 \times 4 = 443{,}84$ m³. Paredes cheias: $36{,}16$ m³. Aberturas: porta $2{,}1 \times 0{,}9 \times 0{,}2 = 0{,}378$ m³; janelas $2 \times 1{,}2 \times 1{,}0 \times 0{,}2 = 0{,}48$ m³. Concreto: $36{,}16 - 0{,}858 \approx 35{,}3$ m³.

Conferência: pela linha média das paredes, o perímetro é $2 \times (14{,}8 + 7{,}8) = 45{,}2$ m, e $45{,}2 \times 4 \times 0{,}2 = 36{,}16$ m³, exatamente o valor da diferença. Pelo perímetro externo ($46$ m) sairiam $36{,}8$ m³; pelo interno ($44{,}4$ m), $35{,}52$ m³. Os três números são diferentes, e um item de prova com limiar entre eles fica indecidível se o enunciado não disser se as medidas são por fora ou por dentro. Foi o que aconteceu com um item do PAS 2 de 2024 sobre as paredes de 25 cm de um modelo de casa com duas aberturas, que a banca anulou; o molde do problema, casca de paralelepípedo com aberturas descontadas, continua valendo.

Exemplo resolvido 7: a lata com fundo. Uma lata sem tampa tem 4 cm de raio externo, 12 cm de altura externa, parede de 0,2 cm e fundo de 0,3 cm. Quanto metal há nela? Use $\pi = 3{,}14$.

Estratégia: o externo é um cilindro cheio; a cavidade é um cilindro de raio $4 - 0{,}2 = 3{,}8$ e altura $12 - 0{,}3 = 11{,}7$, porque o fundo come 0,3 cm de altura e não há tampa.

Resolução: externo: $\pi \times 16 \times 12 = 192\pi$. Cavidade: $\pi \times 3{,}8^2 \times 11{,}7 = \pi \times 14{,}44 \times 11{,}7 = 168{,}95\pi$. Metal: $23{,}05\pi \approx 72{,}4$ cm³.

Conferência: por soma de peças: a parede é um tubo de raios 3,8 e 4 com 11,7 cm de altura, $\pi(16 - 14{,}44) \times 11{,}7 = 18{,}25\pi$; o fundo é um disco cheio de raio 4 e espessura 0,3, $\pi \times 16 \times 0{,}3 = 4{,}8\pi$. Soma: $23{,}05\pi$. Confere. Quem toma a cavidade com a altura externa (12) subtrai metal que não existe e acha $4{,}3\pi$ a menos; quem calcula o tubo com 12 cm e ainda soma o fundo inteiro conta a borda do fundo duas vezes.

Escavar: furos, cuias e troncos ocos

Escavar é subtrair com outro nome: o material que sobra é o bloco menos a cavidade. A diferença prática em relação às cascas é que a cavidade pode ter formato diferente do bloco (um furo cilíndrico num paralelepípedo, uma semiesfera num cubo), e a pergunta pode ser pelo que ficou ou pelo que saiu.

Exemplo resolvido 8: o bloco furado. Um bloco de alumínio de 20 cm × 12 cm × 8 cm recebe um furo cilíndrico de 6 cm de diâmetro que o atravessa de cima a baixo. Qual é o volume de alumínio que sobra, e quanto pesa o bloco, com 2,7 g/cm³? Use $\pi = 3{,}14$.

Estratégia: o furo é um cilindro de raio 3 e altura 8 (a dimensão que ele atravessa).

Resolução: bloco: $20 \times 12 \times 8 = 1\,920$ cm³. Furo: $\pi \times 9 \times 8 = 72\pi \approx 226{,}1$ cm³. Sobra: $1\,693{,}9$ cm³, e a massa é $1\,693{,}9 \times 2{,}7 \approx 4\,574$ g, cerca de 4,6 kg.

Conferência: o furo retira 11,8 % do bloco. Se atravessasse o comprimento de 20 cm em vez da altura, retiraria $\pi \times 9 \times 20 = 565$ cm³: a altura do furo é sempre a dimensão que ele percorre, e a figura diz qual é.

Exemplo resolvido 9: a cuia. De um cubo de madeira de 12 cm de aresta escava-se, no centro da face de cima, uma cavidade semiesférica de 5 cm de raio. Quanta madeira sobra, e quanto líquido a cuia comporta? Use $\pi = 3{,}14$.

Estratégia: cubo menos semiesfera; a capacidade é a própria semiesfera.

Resolução: cubo: $1\,728$ cm³. Semiesfera: $\frac{2}{3}\pi \times 125 = 83{,}3\pi \approx 261{,}7$ cm³. Madeira: $1\,466{,}3$ cm³. Capacidade: 261,7 mL, pouco mais de um copo.

Conferência: a semiesfera de raio 5 cabe na face de 12 cm (diâmetro 10 < 12) e na altura (5 < 12); a figura precisa permitir a cavidade. Quem usa $\frac{4}{3}$ no lugar de $\frac{2}{3}$ dobra a cavidade e acha 523 mL.

O caso mais cobrado em prova é o tronco escavado: um bloco em forma de tronco de cone de que se esculpe uma panela com fundo e parede de 1 cm. O material removido é o interior, que também é um tronco de cone, com a altura diminuída da espessura do fundo e os raios diminuídos da espessura da parede; o material que fica é o bloco menos esse interior. Um bloco de 21 cm de altura e raios 10 cm e 12 cm tem cerca de $8\,000$ cm³; a panela de 1 cm leva embora cerca de $6\,360$ cm³ e fica com uns $1\,640$ cm³ de pedra. A mesma estrutura, invertida, modela a arquibancada de um estádio: um tronco de cone com um cilindro central removido, isto é, tronco menos cilindro, com os raios do tronco somando o raio do cilindro às larguras da coroa.

Comparar: frações, “cabe ou não cabe” e a esfera dentro de outros sólidos

Muitos itens não pedem um volume: pedem uma razão, uma fração ocupada ou uma decisão. As razões clássicas valem a pena saber de cor, porque não dependem do tamanho.

Exemplo resolvido 10: as laranjas na caixa. Uma caixa de 32 cm × 24 cm × 16 cm é preenchida com laranjas de 8 cm de diâmetro, arrumadas em fileiras, 4 × 3 × 2. Que fração da caixa é ar?

Estratégia: 24 laranjas, cada uma dentro de um “cubinho” de 8 cm; a fração ocupada em cada cubinho é $\pi/6$, e a da caixa é a mesma.

Resolução: caixa: $12\,288$ cm³. Laranjas: $24 \times \frac{4}{3}\pi \times 4^3 = 2\,048\pi \approx 6\,434$ cm³. Fração ocupada: $6\,434 / 12\,288 = 0{,}524$, isto é, $\pi/6$. Ar: $47{,}6\,\%$, cerca de $5\,854$ cm³.

Conferência: $24 \times 8^3 = 12\,288$: a caixa é exatamente a união dos 24 cubinhos, e cada um tem 52,4 % de laranja. O resultado não muda com o tamanho da laranja nem com o número delas, desde que o arranjo seja esse (em fileiras). Arranjos mais apertados, com as laranjas encaixadas nos vãos da camada de baixo, chegam a 74 %, que é o máximo possível para esferas iguais.

Exemplo resolvido 11: cabe ou não cabe. Quatro laranjas de 7 cm de diâmetro rendem 40 % do seu volume em suco. O suco cabe num copo de 250 mL? Use $\pi = 3{,}14$.

Estratégia: volume das esferas (raio 3,5 cm), porcentagem, comparação.

Resolução: $4 \times \frac{4}{3} \times 3{,}14 \times 3{,}5^3 = 4 \times \frac{4}{3} \times 3{,}14 \times 42{,}875 = 718{,}0$ cm³; 40 % disso são $287{,}2$ mL. Não cabe: faltam 37 mL de copo.

Conferência: uma laranja de 7 cm tem $179{,}5$ cm³ (pouco menos de um copo pequeno); 40 % de quatro delas dá 1,6 laranja, mais que um copo de 250 mL. A decisão “cabe ou não cabe” é sempre uma comparação de dois volumes, e as duas contas precisam estar na mesma unidade: cm³ e mL são a mesma coisa; m³ e litros, não.

A comparação por fração explica itens que parecem exigir conta e não exigem. Cinco bolas de gelo de raio $r$ derretidas (o enunciado manda igualar os volumes de gelo e de água) somam $\frac{20}{3}\pi r^3$; dois cones de raio $2r$ e altura $2r$ comportam $2 \times \frac{1}{3}\pi(2r)^2(2r) = \frac{16}{3}\pi r^3$. Não cabem, e a resposta sai sem nenhum número. Trezentos frutos esféricos de 1 cm de diâmetro somam $300 \times \frac{4}{3}\pi \times 0{,}5^3 = 50\pi \approx 157$ cm³, menos que 200; quem usa 1 cm como raio acha oito vezes mais (1 256 cm³) e erra o julgamento. É a regra do cubo da escala: metade do diâmetro, um oitavo do volume.

Medir por deslocamento: o nível que sobe

Quando um objeto é mergulhado por completo num líquido, o nível sobe, e o volume que subiu é exatamente o volume do objeto. É o modo de medir o volume de uma pedra, de uma chave ou de uma peça de motor, e é também um tipo de item: dada a subida do nível, achar o volume; dado o objeto, achar a subida.

Exemplo resolvido 12: a esfera no copo. Um copo cilíndrico de 5 cm de raio tem água. Uma esfera de aço de 3 cm de raio é mergulhada e fica totalmente coberta. Quanto o nível sobe?

Estratégia: $\Delta h = V_{\text{esfera}} / A_{\text{base}}$.

Resolução: $V = \frac{4}{3}\pi \times 27 = 36\pi$ cm³; $A = 25\pi$ cm². $\Delta h = \frac{36\pi}{25\pi} = 1{,}44$ cm.

Conferência: o $\pi$ cancela, o que é típico desses itens; a resposta é $\frac{4r^3}{3R^2}$, e com $r = 3$, $R = 5$ dá $\frac{108}{75} = 1{,}44$. Se a água inicial tiver menos de $6 - 1{,}44 = 4{,}56$ cm de altura, a esfera não fica coberta e a conta muda.

Exemplo resolvido 13: a pedra medida pelo copo. Numa proveta cilíndrica de 4 cm de raio, a água estava em 10 cm; depois de mergulhar uma pedra, foi a 12,5 cm. Qual é o volume da pedra? Use $\pi = 3{,}14$.

Resolução: $V = A \times \Delta h = 3{,}14 \times 16 \times 2{,}5 = 125{,}6$ cm³.

Conferência: uma pedra de 125 cm³ é do tamanho de uma laranja pequena; se a proveta fosse graduada em mL, bastaria ler a diferença entre as marcas: $125{,}6$ mL. É o mesmo raciocínio que decide quantas pedrinhas de 50 cm³ é preciso pôr num aquário para o nível subir até certa marca, ou quantas garrafas cheias de areia reduzem o volume útil de uma caixa de descarga: volume a deslocar dividido pelo volume de cada objeto.

Metades: semicilindro, meio anel, semiesfera e o rio curvo

Metade de um sólido tem metade do volume, desde que o corte seja pelo plano de simetria. Isso autoriza três peças que aparecem com frequência: o semicilindro (uma calha, um tanque de água de chuva, um túnel), o meio anel cilíndrico (um banco curvo, um canteiro) e a semiesfera (uma cúpula, a copa de uma árvore num esboço, a tampa de um depósito). O cuidado está em qual metade: um cilindro deitado cortado ao meio pelo plano que contém o eixo (a calha) tem seção semicircular; o mesmo cilindro cortado ao meio na altura (um cilindro mais baixo) tem seção circular inteira, e as duas metades têm o mesmo volume por razões diferentes.

Exemplo resolvido 14: a calha e o banco. (a) Uma calha semicilíndrica tem 60 cm de diâmetro e 6 m de comprimento. Quanta água cabe? (b) Um banco de concreto tem a forma de meio anel cilíndrico, com 1,2 m de raio externo, 0,8 m de raio interno e 45 cm de altura. Quanto concreto tem? Use $\pi = 3{,}14$.

Resolução: (a) metade do cilindro de raio 0,3 m e comprimento 6 m: $\frac{1}{2} \times 3{,}14 \times 0{,}09 \times 6 = 0{,}848$ m³, uns 848 litros. (b) metade da casca cilíndrica: $\frac{1}{2} \times 3{,}14 \times (1{,}44 - 0{,}64) \times 0{,}45 = \frac{1}{2} \times 3{,}14 \times 0{,}8 \times 0{,}45 = 0{,}565$ m³.

Conferência: em (a), a seção é um semicírculo de $0{,}1413$ m², vezes 6 m; em (b), a seção é meia coroa de $1{,}256$ m², vezes 0,45 m. Confere. O banco de um item do PAS 3 de 2024, descrito como a remoção das metades de dois cilindros concêntricos de raios 100 cm e 60 cm e 40 cm de altura, é exatamente a peça (b) com outros números: $\frac{1}{2}\pi(1^2 - 0{,}6^2) \times 0{,}4 = 0{,}128\pi = \frac{16\pi}{125}$ m³, e o item que afirmava $\frac{116\pi}{125}$ estava errado.

O caso mais interessante é o canal curvo. Um trecho de rio ou de canal que faz uma curva não é um prisma, mas, se todas as seções perpendiculares ao leito forem iguais, ele tem o mesmo volume que o prisma reto de mesma seção e mesmo comprimento. É o princípio de Cavalieri em ação: as fatias são congruentes, fatia por fatia, e os volumes coincidem. Pode-se, portanto, endireitar o rio: calcular a área da seção e multiplicar pelo comprimento do trecho.

Exemplo resolvido 15: o canal. Um canal de irrigação tem seção em U: um retângulo de 3 m de largura por 0,8 m de profundidade, sob o qual há um semicírculo de 1,5 m de raio. Num trecho curvo de 25 m de comprimento, quanta água ele leva, cheio? Use $\pi = 3{,}14$.

Estratégia: área da seção (retângulo + semicírculo), vezes o comprimento, como se o canal fosse reto.

Resolução: seção: $3 \times 0{,}8 + \frac{1}{2} \times 3{,}14 \times 1{,}5^2 = 2{,}4 + 3{,}53 = 5{,}93$ m². Volume: $5{,}93 \times 25 \approx 148$ m³.

Conferência: o semicírculo pesa mais que o retângulo nessa seção, 60 % contra 40 %; um canal só retangular de mesma largura e 2,3 m de profundidade (0,8 + 1,5) levaria $172$ m³, e o U leva 14 % a menos, porque os cantos do fundo foram arredondados. O comprimento de 25 m é o do trecho medido ao longo do leito; numa curva, a margem de fora é mais longa que a de dentro, e o comprimento “do rio” é o da linha do meio.

O item do PAS 2 de 2008 foi exatamente isso, com margens senoidais a 4 m uma da outra, 1 m de profundidade na parte retangular e um semicírculo de raio 2 m embaixo: $4 \times 1 \times 10 + \frac{1}{2} \times 3{,}14 \times 4 \times 10 = 40 + 62{,}8 = 102{,}8$ m³ num trecho de 10 m, resposta 102. As funções seno das margens eram um susto de leitura: serviam só para dizer que o rio curva mantendo a largura.

Conversões e porcentagens dentro do problema composto

O volume composto raramente é o fim do item: ele vem acompanhado de uma unidade incômoda, de uma porcentagem ou de um divisor para a marcação do tipo B. Três hábitos resolvem a maior parte.

Uma unidade só, antes de qualquer conta. Um bloco em metros com paredes em centímetros, um tubo em centímetros com comprimento em metros: escolha a unidade (a do resultado pedido, de preferência) e converta todos os dados antes de elevar ao quadrado ou ao cubo. Para litros, a passagem fica para o fim: $1$ m³ $= 1\,000$ L, $1$ dm³ $= 1$ L, $1$ cm³ $= 1$ mL. E uma unidade rara que a banca gosta: $1$ dam³ (decâmetro cúbico) $= 10^3$ m³ $= 10^6$ L.

Porcentagem é fração do volume inteiro. “5 % do volume da esfera”, “80 % do cilindro”, “40 % de suco”: calcule o volume inteiro, multiplique pela fração. Com $r = 30$ cm, a esfera tem $\frac{4}{3}\pi \times 27\,000 = 36\,000\pi$ cm³ e 5 % dela são $1\,800\pi$ cm³; os distratores do item de 2023 estavam a um fator 10 uns dos outros ($18\,000\pi$ é esquecer o 5 % e dividir por 2), e a ordem de grandeza decidia.

O divisor do tipo B é a última operação. “Em decâmetros cúbicos”, “divida por $10^4$”, “multiplique por 100”: o depósito de carvão de 2015, cilindro de 60 m de raio e 40 m de altura com semiesfera de 60 m, tem $\pi \times 3\,600 \times 40 + \frac{2}{3}\pi \times 216\,000 = 144\,000\pi + 144\,000\pi = 288\,000\pi \approx 904\,320$ m³; em decâmetros cúbicos, $904{,}32$; marcação 904. Repare que as duas peças deram o mesmo volume: a semiesfera de raio $r$ vale o cilindro de raio $r$ e altura $\frac{2r}{3}$, e aqui $\frac{2 \times 60}{3} = 40$, a altura do cilindro.

Exemplo resolvido 16: o tanque esférico. Um tanque esférico de gás tem 3 m de diâmetro e está com 30 % da capacidade. Quantos litros há nele? Use $\pi = 3{,}14$.

Resolução: $r = 1{,}5$ m; $V = \frac{4}{3} \times 3{,}14 \times 3{,}375 = 14{,}13$ m³; 30 %: $4{,}24$ m³ $= 4\,240$ L.

Conferência: uma esfera de 3 m de diâmetro cabe num cubo de 27 m³ e ocupa 52 % dele, $14{,}1$ m³. Confere. (A fração “30 % da capacidade” é de volume, não de altura: num tanque esférico, 30 % do volume fica bem abaixo de 30 % da altura, porque a esfera é estreita embaixo.)

Leia como na prova: cotas, encaixes e o texto-base de outra disciplina

Os itens de sólidos compostos têm uma gramática própria, e lê-la bem vale mais que decorar fórmulas.

“Se encaixa perfeitamente” é uma igualdade de medidas. A semiesfera que se encaixa no cilindro tem o raio do cilindro; o cone apoiado na tampa tem a base do cilindro; a esfera inscrita no cubo tem diâmetro igual à aresta. No item de 2015 sobre o depósito de carvão, a figura dava o diâmetro de 120 m do cilindro e a frase do encaixe; o item que afirmava que os dois raios valem 60 m não pedia conta, pedia leitura, e estava certo.

Cotas de uma peça servem para outra. Numa figura com um cilindro de 27 cm encimado por um cone de 3 cm, o diâmetro de 8 cm aparece uma vez e vale para os dois. Numa cápsula, o raio das semiesferas é o do cilindro. Num tubo, a figura pode dar o raio interno e a espessura, e o raio externo fica por conta do leitor.

Figura I e figura II são sólidos diferentes. O item diz qual delas usa; o volume de um não ajuda no outro, e os dois costumam ter cotas parecidas de propósito.

O texto-base pode ser de outra disciplina. Uma litogravura de 1835 com uma roda de capoeira, uma foto de um palmito-juçara, um vídeo sobre o motor a combustão, uma foto de uma escultura: a geometria chega pendurada num texto de artes, de biologia ou de física, e os dados do item de volume vêm dentro do próprio item (o raio da esfera, o diâmetro dos frutos, a espessura da parede). A imagem só empresta o objeto; não há nada para medir nela.

O limiar do julgamento é apertado. “Inferior a 870” para um valor de 868,7; “superior a 54” para 56,5; “inferior a 26” para um valor que vai de 24,5 a 26 conforme o perímetro seja medido por dentro ou por fora. Estimativa não decide; a conta completa, com o $\pi$ do comando, decide.

O limiar pode ser uma expressão, não um número. “O volume da parede é superior a $\pi r h$”: para uma parede de 0,5 cm num cilindro de raio $r$ e altura $h$, $\pi h[(r + 0{,}5)^2 - r^2] = \pi h (r + 0{,}25) = \pi r h + 0{,}25\pi h$, que é maior que $\pi r h$ para qualquer $r$ e $h$ positivos. O item do PAS 2 de 2025 era isso: uma linha de álgebra, nenhum número.

Como a banca pergunta

• Soma de duas peças com limiar (tipo A). Cilindro de 26 cm por 6 cm de diâmetro, anel plano e semiesfera de raio 4 cm (PAS 2 de 2014): $234\pi + 42{,}67\pi \approx 868{,}7 < 870$, certo; o anel não tem volume.
• Leitura de encaixe (tipo A). “O raio da base do cilindro e o raio da semiesfera são, ambos, iguais a 60 m”, com o diâmetro de 120 m na figura (PAS 2 de 2015): certo, sem conta.
• Capacidade total em unidade rara (tipo B). O mesmo depósito, “em decâmetros cúbicos” (PAS 2 de 2015): $288\,000\pi$ m³ $= 904{,}32$ dam³, marcação 904.
• Rio curvo endireitado (tipo B). Seção de retângulo $4 \times 1$ mais semicírculo de raio 2, trecho de 10 m (PAS 2 de 2008): $102{,}8$ m³, marcação 102.
• Casca com limiar algébrico (tipo A). Parede de 0,5 cm num cilindro de raio $r$ e altura $h$, “superior a $\pi r h$” (PAS 2 de 2025): $\pi h(r + 0{,}25) > \pi r h$, certo.
• Meio anel (tipo A). Metades de dois cilindros concêntricos de raios 100 cm e 60 cm e 40 cm de altura, “igual a $\frac{116\pi}{125}$ m³” (PAS 3 de 2024): o valor é $\frac{1}{2}\pi(1 - 0{,}36)(0{,}4) = \frac{16\pi}{125}$, errado.
• Semiesfera com limiar (tipo A). Copa de árvore modelada como semiesfera de 3 m de raio, “superior a 54 m³” (PAS 2 de 2017): $\frac{2}{3} \times 3{,}14 \times 27 = 56{,}5$, certo.
• Muitas esferas pequenas (tipo A). 300 frutos de 1 cm de diâmetro, “maior que 200 cm³” (PAS 2 de 2022): $50\pi \approx 157$, errado; o distrator é usar o diâmetro como raio.
• Porcentagem de uma esfera (tipo C). 5 % de uma esfera de ferro de 30 cm de raio (PAS 2 de 2023): $0{,}05 \times 36\,000\pi = 1\,800\pi$ cm³, opção B, com os distratores a um fator 10.
• Esfera inscrita no cilindro (tipo A). “O volume do cilindro é 50 % maior que o da esfera” (PAS 2 de 2008): $2\pi r^3$ contra $\frac{4}{3}\pi r^3$, razão $\frac{3}{2}$, certo.
• Cabe ou não cabe (tipo A). Cinco esferas de gelo de raio $r$ em dois cones de raio e altura $2r$ (PAS 2 de 2013): $\frac{20}{3}\pi r^3 > \frac{16}{3}\pi r^3$, errado.
• Tronco escavado (tipo A) e tronco menos cilindro (tipo B). A panela de pedra-sabão de 2019 e a arquibancada de 2012, resolvidas em Volume de pirâmides e cones, são sólidos compostos por subtração.
• Anulado, mas instrutivo. Concreto das paredes de 25 cm de um modelo de casa de 12 m por 6 m por 3 m, com duas aberturas de 2 m por 1 m, “inferior a 26 m³” (PAS 2 de 2024): pelo perímetro externo, $36 \times 3 \times 0{,}25 - 1 = 26$ m³, exatamente sobre o limiar; pela linha média, $25{,}25$; pelo interno, $24{,}5$; sem dizer de que lado as medidas foram tomadas, o item não se decide, e foi anulado.
• ENEM. Pílula cilindro + duas semiesferas, redução de volume ao mudar o raio (514 mm³); silo cilindro + cone e o número de viagens de caminhão (18); pião torneado de um cilindro, madeira descartada (99 cm³); taça hemisférica e taça cônica com o mesmo champanhe (altura 6 cm); esferas de aço de 6 cm de raio numa caixa cúbica de 13 824 cm³ (8 esferas); garrafas na caixa de descarga (8 garrafas); pedrinhas no aquário (48); terra de um poço cilíndrico num monte cônico de raio triplo (profundidade 6 m).

Os erros que a banca planta

• Somar o que foi retirado. Cavidade, furo, interior escavado entram com sinal de menos; “quanto foi removido” é só a cavidade.
• Esquecer o $\frac{1}{3}$ ou o $\frac{4}{3}$ numa das peças. O cone de cima vira cilindro; a semiesfera vira “metade de $\frac{4}{3}$” esquecida como $\frac{4}{3}$ inteiro. Cada peça com a sua fórmula.
• Diâmetro no lugar do raio. Frutos de 1 cm de diâmetro têm raio 0,5; o erro multiplica o volume por 8.
• Raio interno por externo, ou “cilindro de raio $e$”. A cavidade tem o raio interno; a espessura não é raio de nada.
• Casca como área vezes espessura. Fica sempre abaixo do exato; o termo $\pi h e^2$ decide limiares. Diferença de volumes, ou área no raio médio.
• Altura da cavidade igual à altura externa numa lata com fundo, num copo, numa panela. O fundo come altura.
• Contar o anel plano, a aba ou a face comum. Não têm volume.
• Medidas externas e internas misturadas nas paredes de uma caixa: a espessura entra dos dois lados.
• Unidades misturadas (parede em cm, bloco em m) e o divisor do tipo B esquecido ou aplicado antes da hora.
• Fração de altura por fração de volume num tanque esférico ou cônico: 30 % do volume não é 30 % da altura.
• Nível que sobe sem o objeto estar coberto, ou num recipiente que afunila: $\Delta h = V/A$ só para seção constante e objeto submerso.

O essencial em meia página

• Regra: volume de peças que não se sobrepõem é a soma; o que sobra de uma escavação é o sólido menos a cavidade. Nomeie as peças, ache as medidas compartilhadas (“se encaixa”, “mesma base”, “atravessa”), decida se a pergunta é capacidade, material ou volume externo.
• Somas típicas: silo (cilindro + cone ou + semiesfera); cápsula (cilindro + esfera, equivalente a $\frac{4r}{3}$ a mais de comprimento); casa (paralelepípedo + prisma triangular); sólidos de “duas figuras”. Anel plano e face comum não têm volume.
• Cascas: tubo $\pi h(R^2 - r^2) = \pi h(2re + e^2)$; bola oca $\frac{4}{3}\pi(R^3 - r^3)$; paredes de caixa, externo menos interno de mesma altura (ou perímetro pela linha média × altura × espessura); lata com fundo, cavidade mais baixa que o externo. “Área × espessura” subestima (erro $\frac{e}{2r+e}$ no tubo); no raio médio, acerta.
• Escavados: bloco com furo (altura do furo = dimensão atravessada); cubo com cuia semiesférica; tronco escavado e tronco menos cilindro.
• Frações: esfera no cubo $\frac{\pi}{6} \approx 52\,\%$; esfera no cilindro $\frac{2}{3}$; cone no cilindro $\frac{1}{3}$; cilindro : esfera : cone $= 3 : 2 : 1$; laranjas em fileiras 52 %, no arranjo máximo 74 %. “Cabe ou não cabe” = comparar dois volumes na mesma unidade; esferas semelhantes, $k^3$.
• Deslocamento: $\Delta h = V / A$ para objeto submerso em recipiente de seção constante; vários objetos, soma dos volumes; proveta graduada lê o volume direto.
• Metades: semicilindro (calha), meio anel (banco: $\frac{1}{2}\pi(R^2 - r^2)h$), semiesfera ($\frac{2}{3}\pi r^3$). Canal curvo de seção constante = prisma reto de mesmo comprimento (Cavalieri).
• Unidades e porcentagens: converter antes de elevar; $1$ m³ $= 1\,000$ L; $1$ dam³ $= 1\,000$ m³; porcentagem é do volume inteiro; o divisor do tipo B vem por último.
• Na prova: encaixe = igualdade de medidas; figura I ≠ figura II; dados dentro do item, não na imagem; limiar apertado exige conta completa; limiar algébrico exige abrir $(r + e)^2 - r^2$.