Geometria espacial

Em dezembro de 2016, a prova do PAS 2 mostrou o desenho de um tanque de água da chuva em forma de meio cilindro deitado, medindo 4 m de diâmetro por 6 m de comprimento, e pendurou nele três itens. Um dizia que, se diâmetro e comprimento fossem divididos por 2, a área total da superfície cairia para um quarto. Outro posicionava um plano pelos dois cantos opostos da face plana e perguntava que curva ele desenhava na parte curva do tanque: circunferência, elipse, parábola ou hipérbole. O terceiro pedia o volume. Nenhum dos três exigia fórmula nova; os dois primeiros exigiam enxergar: ver que todas as medidas lineares do tanque foram reduzidas na mesma razão, e ver que um plano inclinado em relação ao eixo de um cilindro corta a superfície numa elipse. No ano seguinte, um cilindro com um cone dentro e uma semiesfera em cima representava uma árvore do cerrado, e a prova pediu a altura do conjunto “tendo como referência a figura a seguir, que representa uma secção meridiana do esboço”: o sólido virou um desenho plano, e a conta virou Pitágoras.

É esse o assunto desta página: a geometria dos objetos de três dimensões vista pelas figuras planas que eles escondem. Primeiro, o vocabulário que permite falar de retas e planos no espaço sem desenhar (e saber quando duas arestas são reversas). Depois, os sólidos com seus nomes e elementos, as vistas que os representam no papel, as seções que um plano revela ao cortá-los, as planificações que a superfície revela ao ser desenrolada, e a medida dessas superfícies: quanto metal forma uma cúpula, quanto concreto forma uma parede, quanto papel envolve uma lata. Fecham a página as diagonais e distâncias no espaço e a regra de escala que resolve itens inteiros sem fórmula. Os poliedros e a relação de Euler, as cônicas, a esfera com seus círculos máximos e os volumes têm páginas próprias e aparecem aqui só como remissão.

O espaço tem um caso que o plano não tem: retas reversas

No plano, duas retas distintas ou se cortam num ponto ou são paralelas. No espaço, há uma terceira possibilidade, e ela é o primeiro conceito novo da geometria espacial. Pense numa ponte sobre uma estrada: a viga da ponte e a faixa da estrada não se cruzam (uma passa por cima da outra) e não são paralelas (uma vai de norte a sul, a outra de leste a oeste). Elas são reversas: não existe plano que contenha as duas.

Um cubo é o laboratório dessas posições. Chame a base de $ABCD$ e a face de cima de $EFGH$, com $E$ sobre $A$, $F$ sobre $B$, $G$ sobre $C$ e $H$ sobre $D$. As arestas $AB$ e $EF$ são paralelas (estão na mesma face da frente); $AB$ e $AE$ são concorrentes em $A$; $AB$ e $CG$ são reversas: $AB$ é horizontal na frente, $CG$ é vertical no fundo, e nenhuma face, nenhum plano, contém as duas. Elas são, além disso, ortogonais. Repare que no desenho em perspectiva $AB$ e $CG$ podem até parecer se cruzar; a conclusão não vem do desenho, vem da posição.

A prova do PAS 1 de 2008 desenhou exatamente esse laboratório: um cubo de aresta $FG$ dentro de um paralelepípedo de arestas $LK$, $LM$ e $LN$ (uma caixa branca dentro de uma caixa de vidro, de uma obra do caderno) e afirmou que “sabendo-se que retas reversas não são coplanares, conclui-se que a reta que contém o segmento $FG$ e a que contém o segmento $KL$ são reversas”. Na figura, $FG$ era uma aresta de profundidade do cubo, no nível do chão da caixa, e $KL$ uma aresta horizontal da frente, no topo da caixa de vidro: direções diferentes (não paralelas) e alturas diferentes (não concorrentes). Reversas, item certo. O mesmo bloco trazia um item sobre planos: “se $r$ e $s$ são retas quaisquer paralelas entre si e também paralelas ao plano $\alpha$, então existe um plano que contém essas retas, que é, necessariamente, paralelo ao plano $\alpha$”. Errado: duas retas paralelas determinam, sim, um plano, mas ele pode estar inclinado em relação a $\alpha$, como duas vigas horizontais num telhado de uma água só, paralelas ao chão sem que o telhado seja paralelo ao chão. O plano das retas é paralelo a $\alpha$ só se as retas forem paralelas a $\alpha$ e o plano não cortar $\alpha$; a condição do item não garante isso.

O ângulo entre dois planos aparece na prova disfarçado de telhado. Em 2024, um bloco do PAS 2 (anulado depois pela banca, por razões que o gabarito não detalha) mostrava um modelo de casa com cobertura de duas águas em forma de trapézios $HQPE$ e $GQPF$ e perguntava o cosseno do ângulo entre os planos das duas águas. O método, válido mesmo com o item anulado, é o desta página inteira: imagine um plano atravessando a casa de modo a formar ângulo reto com a cumeeira $QP$. A figura que ele desenha é uma seção, e nela as duas águas viram dois segmentos que se encontram no vértice do telhado; o ângulo entre os planos é o ângulo entre esses segmentos, um ângulo de triângulo, que a lei dos cossenos resolve com as medidas da figura. Ângulo entre planos é sempre ângulo de uma seção perpendicular à reta de interseção.

Cada sólido tem nome, e cada parte dele também

Os sólidos da prova vêm vestidos de objeto (tanque, silo, lata, tenda, cone de sinalização, bloco de pedra), e o primeiro gesto é nomear a forma por trás do objeto. Os sólidos se dividem em duas famílias. Os poliedros são fechados por polígonos (as faces), que se encontram em arestas, que concorrem em vértices: prismas, pirâmides, o cubo, o paralelepípedo. Os corpos redondos têm alguma superfície curva: cilindro, cone e esfera. A relação de Euler, os poliedros regulares e os capsídeos de vírus ficam na página de poliedros.

Vale guardar os ternos pitagóricos que a banca prefere: raio 5 e altura 12 dão geratriz 13; raio 8 e altura 15, geratriz 17; e o 3-4-5 em qualquer escala (o silo de 2014 usa 4-3-5; o cone de sinalização mais adiante, 21-72-75). O cone equilátero de raio 3 tem geratriz 6 e altura $\sqrt{36 - 9} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3} \approx 5{,}2$. Em 2017, o esboço da árvore do cerrado usava exatamente esse cone (“o cone é equilátero, isto é, o tamanho da geratriz é igual ao diâmetro da base”, raio 3 m): a altura do cone era $3\sqrt{3}$, e quem trocou geratriz por altura, ou altura por geratriz, errou dois itens de uma vez.

As faces laterais de um prisma reto são retângulos, e a prova gosta de medi-las. Em 2016, o PAS 1 mostrou um bloco em forma de prisma reto de 50 cm de altura cujas bases eram trapézios retângulos de bases 71 cm e 53 cm e altura 80 cm, e afirmou que a face $ABCD$ tinha área superior a 0,4 m². A face $ABCD$ é o retângulo apoiado no lado inclinado do trapézio: um lado mede 50 cm (a altura do prisma) e o outro é o lado oblíquo do trapézio, $\sqrt{80^2 + (71 - 53)^2} = \sqrt{6\,400 + 324} = \sqrt{6\,724} = 82$ cm. Área $50 \times 82 = 4\,100$ cm² $= 0{,}41$ m². Certo, por uma margem de 100 cm². A face do sólido é uma figura plana; a única novidade é descobrir as medidas dela, e para isso serve o triângulo retângulo escondido no trapézio.

Três vistas e uma perspectiva: desenhar o sólido sem mentir

Todo desenho de um sólido numa folha é uma projeção, e toda projeção perde alguma coisa. A perspectiva cavaleira (a das figuras de cubo desta página) conserva a face da frente em verdadeira grandeza e desenha as arestas de profundidade inclinadas, em geral a 45° e reduzidas à metade: ângulos retos viram ângulos de 45° ou 135°, e comprimentos iguais aparecem diferentes. É por isso que nunca se mede um ângulo no desenho em perspectiva; mede-se na figura plana que a seção ou a vista fornece.

As vistas ortográficas fazem o contrário: projetam o sólido perpendicularmente sobre três planos (vista frontal, vista superior ou planta, vista lateral), e cada uma conserva as medidas do que está paralelo ao seu plano. Uma lata vista de frente é um retângulo $2r \times h$; vista de cima, um círculo de raio $r$. Um cone visto de frente é um triângulo isósceles; visto de cima, um círculo com um ponto no centro (o vértice). Um bloco em L feito de cubinhos tem vista superior que diz quantos cubinhos ocupam cada posição do chão, e vista frontal que diz quantos andares há em cada coluna.

Uma haste de 10 cm apoiada sobre a mesa a 60° projeta uma “sombra vertical” de $10 \times \cos 60° = 5$ cm. Se, em vez do ângulo, o item dá a projeção (8 cm para uma haste de 10 cm), a diferença de altura entre as pontas sai de Pitágoras: $\sqrt{10^2 - 8^2} = 6$ cm. Haste, projeção e desnível formam um triângulo retângulo com a haste na hipotenusa; o erro de somar 8 com 6 para obter a haste é o erro de esquecer que a hipotenusa não é soma de catetos.

Cortar para enxergar: as seções

Um tomógrafo não vê o corpo inteiro: vê fatias. Cada imagem que ele produz é o desenho que um plano deixaria se atravessasse o paciente naquela altura, e o médico reconstrói o volume empilhando essas figuras planas. A geometria espacial faz o caminho inverso com a mesma ideia: dado o sólido e a posição do plano, qual figura aparece no corte? Num cilindro deitado, o plano vertical dá um retângulo e o plano inclinado dá uma elipse; num cone, a altura do corte decide o tamanho do círculo; numa esfera, não importa a direção, o corte é sempre circular. A figura que o plano desenha dentro do sólido é a seção, e a prova quase nunca entrega a faca: ela descreve o sólido, diz por onde o plano passa e espera que você enxergue a figura de olhos fechados.

A ordem de leitura é sempre a mesma: classifique o plano antes de julgar a figura. Paralelo à base? Contém o eixo? Perpendicular à base, mas fora do eixo? Inclinado? Cada resposta determina a seção, e a maior parte dos erros vem de pular essa pergunta.

As seções do cubo

Um cubo pode ser cortado em triângulo, quadrado, retângulo, pentágono e hexágono, e é um bom exercício produzir cada um. Um plano paralelo a uma face corta um quadrado igual à face. Um plano que passa por duas arestas opostas (paralelas, uma em cada uma de duas faces opostas) corta um retângulo de lados $a$ e $a\sqrt{2}$: um lado é a aresta, o outro é a diagonal de uma face. Um plano que corta três arestas que saem do mesmo vértice produz um triângulo; quando passa pelos três vértices vizinhos de um vértice, o triângulo é equilátero de lado $a\sqrt{2}$, porque os três lados são diagonais de faces. Um plano que atravessa cinco faces corta um pentágono (irregular). E um plano perpendicular a uma diagonal do cubo, passando pelo centro, corta as seis faces pelos pontos médios de seis arestas: um hexágono regular de lado $\frac{a\sqrt{2}}{2}$.

O triângulo equilátero das diagonais foi um item inteiro em 2008: no cubo da caixa branca, $I$, $J$ e $H$ eram três vértices que, dois a dois, estavam ligados por diagonais de faces (uma da face de cima, uma da frente, uma da esquerda); o item afirmava que o ângulo $I\hat{J}H$ media 60°, e estava certo, porque o triângulo $IJH$ tem os três lados iguais a $a\sqrt{2}$. Sem nenhuma conta trigonométrica: três lados iguais, três ângulos de 60°.

Cilindro, cone, tronco e o quantificador escondido

Tome uma lata de raio 5 cm e altura 15 cm. Qualquer plano paralelo às bases a corta num círculo de raio 5, não importa a altura. O plano que passa pelo eixo corta um retângulo de 10 cm por 15 cm. Desloque agora o plano, ainda vertical (paralelo ao eixo), para 3 cm de distância do eixo: a seção continua retangular, apenas mais estreita. A largura passa a ser a corda que esse plano recorta no círculo da base, $2\sqrt{5^2 - 3^2} = 2 \times 4 = 8$ cm, enquanto os 15 cm de altura se mantêm, já que as geratrizes do cilindro são todas verticais. Se o plano se inclinar em relação ao eixo e cruzar a superfície curva de ponta a ponta, a seção vira uma elipse.

Essa diferença entre cilindro e tronco de cone decidiu dois itens em provas seguidas, com a mesma pergunta e gabaritos opostos. Em 2018, o PAS 2 mostrou um corte de tronco de árvore em forma de cilindro circular reto e afirmou: “as seções do corte I por planos verticais, mas não tangentes à sua casca, serão retângulos”. Certo: plano vertical é paralelo às geratrizes, que são verticais; ele as corta em segmentos verticais de comprimento igual à altura, e a figura fecha com dois segmentos horizontais (as cordas nas duas bases). Em 2019, um bloco de pedra-sabão em forma de tronco de cone de 21 cm de altura e raios 10 cm e 12 cm; o item: “se o bloco for cortado por um plano perpendicular à base, a figura que se verá sobre o plano será sempre a de um quadrilátero com dois lados paralelos”. Errado, e a palavra decisiva é sempre. Quando o plano perpendicular à base passa pelo eixo, a figura é de fato um trapézio isósceles, com bases de 20 cm e 24 cm. Basta, porém, afastar esse plano do eixo, mantendo-o perpendicular à base, para que ele encontre a superfície lateral inclinada ao longo de curvas (arcos de hipérbole): a figura passa a ter dois lados retos (as cordas nas bases) e dois lados curvos, e deixa de ser quadrilátero.

A prova de 2016 transformou a seção num tipo C. No tanque semicilíndrico deitado, com a face plana retangular em cima, os pontos $A$ e $B$ eram cantos opostos dessa face, um em cada base semicircular. “Se um plano divide o tanque ao meio e contém os pontos $A$ e $B$, então a curva formada pela interseção desse plano com a superfície da figura que representa o tanque (o semicilindro sem a face plana) é parte de uma: circunferência, elipse, parábola ou hipérbole.” O plano que passa por $A$ e por $B$ e divide o tanque ao meio está inclinado em relação ao eixo (horizontal) e cruza a superfície curva desde uma base até a outra: é o caso oblíquo do conceito, com todas as geratrizes atravessadas. Elipse. Para sair uma circunferência o plano teria de ser perpendicular ao eixo; parábola e hipérbole nascem do cone (a página de cônicas explica por quê) e nunca de um cilindro.

A seção meridiana resolve o sólido composto

Quando o sólido é uma composição (cilindro com cone, semiesfera com cone), a seção pelo eixo empilha os perfis e transforma a pergunta num problema de geometria plana. Foi assim em 2017, num item de resposta numérica.

Exemplo resolvido 1: a altura do esboço da árvore. Um desenhista representou uma árvore do cerrado com um cilindro circular reto de raio 3 m, um cone circular reto equilátero (geratriz igual ao diâmetro da base) com o vértice no centro da base do cilindro e a base coincidindo com o círculo de base de uma semiesfera, e a semiesfera, que representa a copa, com a circunferência da borda sobre a superfície do cilindro. A prova apresentou “a figura a seguir, que representa uma secção meridiana do esboço” (um triângulo com o vértice voltado para baixo, coroado por um semicírculo, com um ponto marcando o centro do diâmetro) e pediu a altura da árvore, do vértice do cone ao topo da superfície esférica, em metros, multiplicada por 100, sem a parte fracionária.

Estratégia: a seção meridiana é o perfil: o triângulo (cone) e o semicírculo (semiesfera) compartilham o diâmetro de 6 m. A altura procurada é a altura do triângulo mais o raio do semicírculo.

Resolução: cone equilátero de raio 3: geratriz $g = 2r = 6$, altura $h = \sqrt{6^2 - 3^2} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3} \approx 5{,}196$ m. A semiesfera de raio 3 soma os seus 3 m: $5{,}196 + 3 = 8{,}196$ m. Multiplicando por 100 e descartando a parte decimal, a marcação é 819.

Conferência: o triângulo tem lado 6, e a altura de um triângulo equilátero é $\frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$, mesma conta por outro caminho. A seção fez o sólido virar desenho, e nenhuma fórmula de volume entrou.

O tronco de cone também se resolve pelo perfil. A prova de 2012 descreveu o estádio olímpico de Londres como um tronco de cone de 30 m de altura cuja geratriz fazia um ângulo $\alpha$ com a vertical; a seção meridiana mostra um trapézio, e no triângulo retângulo da lateral (cateto vertical 30 m, cateto horizontal igual ao avanço $b - a$ da borda de cima sobre a de baixo) a relação é $30\operatorname{tg}\alpha = b - a$, não a secante que o item afirmava. A seção transversal, por sua vez, foi o tema de dois itens do PAS 1 de 2025 sobre o Templo Mayor de Tenochtitlán: um trapézio com ângulos e área para calcular. Seção é figura plana; depois de reconhecê-la, o trabalho pertence às páginas de ângulos, áreas e trigonometria.

Abrir a superfície sobre a mesa: planificações

Quem já montou uma caixa de papelão sabe que ela chega à loja plana: um recorte com abas que, dobrado nas vincadas, fecha o paralelepípedo. A indústria faz o mesmo com o tubo de batata chips (uma folha enrolada mais duas tampas) e com o chapéu de festa (um pedaço de círculo que, fechado, vira cone). Esse recorte plano que se dobra no sólido, sem esticar nem rasgar o material, é a planificação; e a razão de ela importar aqui é prática: medir uma área no plano é fácil, medir sobre uma superfície curva não é. Nem tudo se planifica. A esfera é o contraexemplo famoso: não existe recorte plano que se feche nela sem deformação, e por isso a área da esfera vem de outra fórmula, não de um desenrolar.

Pense numa casquinha de sorvete com 4 cm de raio e 10 cm de geratriz. Aberta, ela vira um setor de raio 10 cm cujo arco tem o comprimento da boca da casquinha, $2\pi \times 4 = 8\pi$ cm. Um círculo inteiro de raio 10 teria volta de $20\pi$; o setor ocupa, portanto, $\frac{8\pi}{20\pi} = \frac{2}{5}$ dele, o que corresponde a $\frac{2}{5} \times 360° = 144°$. A relação funciona nos dois sentidos: se um item diz que a lateral de um copo cônico de papel, planificada, é um semicírculo, então o arco mede $\pi g$ e a base tem contorno $2\pi r$; igualando, $r = g/2$, e o cone é equilátero ($g = 2r$), com ângulo de 60° entre geratriz e base. Setor de um quarto de volta (90°) significa $r = g/4$.

As planificações do cubo têm uma pergunta clássica: dobrada a planificação, que faces ficam opostas? O cubo tem onze planificações diferentes (dos 35 hexaminós, os arranjos de seis quadrados unidos por lados, só onze fecham um cubo; o recurso da Casa das Ciências listado nos links mostra as onze), e duas regras valem em todas: faces vizinhas na planificação nunca ficam opostas, e, em três quadrados seguidos numa mesma fileira, os das pontas ficam opostos. Na “escada” de seis quadrados, que não tem três numa fileira, cada face fica oposta à terceira seguinte ao longo da escada. Essa pergunta foi item do ENEM e está nos exercícios desta página.

Quanto material reveste cada sólido: áreas lateral e total

Pintar um silo, revestir uma cúpula, rotular uma lata: em cada caso o que se compra é material para cobrir a casca do sólido, e a medida pedida é a da superfície, não a do espaço interno (essa é o volume, com página própria). O caminho da resposta é a planificação: abra a superfície, reconheça a figura plana que aparece e aplique a área dela.

A área lateral do cone merece uma conferência, porque é a fórmula que mais se confunde. O setor de raio $g$ e arco $2\pi r$ é a fração $\frac{r}{g}$ do círculo de raio $g$, cuja área é $\pi g^2$: $\frac{r}{g} \times \pi g^2 = \pi r g$. Lê-se “pi vezes raio vezes geratriz”, e a altura $h$ não aparece. Ela só entra, via Pitágoras, quando o item dá $r$ e $h$ e esconde $g$.

Um tubo de batata chips de raio 4 cm e altura 25 cm: a lateral de papelão é $2\pi \times 4 \times 25 = 200\pi \approx 628$ cm²; a tampa plástica e o fundo metálico somam $2 \times 16\pi = 32\pi \approx 100$ cm²; a superfície toda, $232\pi \approx 729$ cm², e a lateral responde por 86 % dela, o que explica por que o fabricante economiza no papelão, não na tampa. Um cone de sinalização de trânsito de raio 21 cm e altura 72 cm tem geratriz 75 cm (os três números formam o triângulo 7-24-25 ampliado por 3) e lateral $\pi \times 21 \times 75 = 1\,575\pi \approx 4\,950$ cm². Uma caixa de pizza cilíndrica de raio 16 cm e altura 4 cm, item do PAS 3 de 2024: área total $2\pi \times 16^2 + 2\pi \times 16 \times 4 = 512\pi + 128\pi = 640\pi$ cm², e o item, que afirmava exatamente $640\pi$, estava certo. Repare que a prova deixou a resposta em função de $\pi$: nenhuma aproximação, nenhuma margem, só a fórmula montada certa.

O depósito de carvão e o esboço da árvore

Em 2015, o PAS 2 desenhou o perfil (uma seção meridiana: um retângulo com um semicírculo em cima) de um depósito de carvão. O corpo era um cilindro com 40 m de altura e base de 120 m de diâmetro; a cobertura, uma semiesfera que “se encaixa perfeitamente” nele. A superfície esférica é de metal, as paredes laterais do cilindro são de concreto e o piso é de cerâmica, com $\pi = 3{,}14$. Dois itens de área, cada um nomeando um material.

Exemplo resolvido 2: parede, cúpula e piso. “A área da parede de concreto do depósito é superior a 15.000 m².” Parede é a lateral do cilindro, raio 60 m: $2\pi r h = 2 \times 3{,}14 \times 60 \times 40 = 15\,072$ m². Superior a 15 000: certo, por 72 m². “Para construir a semiesfera gastou-se mais de 25.000 m² de metal.” Casca da semiesfera: $2\pi r^2 = 2 \times 3{,}14 \times 3\,600 = 22\,608$ m². Menos de 25 000: errado. O piso, se fosse perguntado, seria $\pi r^2 = 11\,304$ m² de cerâmica.

Conferência: o limiar do concreto está a 0,5 % do valor, e o do metal a 10 %: no primeiro, só a conta completa decide; no segundo, quem usou $4\pi r^2$ (esfera inteira, 45 216) marcou certo e perdeu. Cada material cobre uma superfície diferente, e o substantivo que o enunciado escolhe (“parede”, “cobertura”, “piso”) decide qual fórmula entra: leia-o antes dos números.

Em 2017, o esboço da árvore rendeu o item de limiar mais apertado do assunto: “a área da superfície lateral do cone é inferior a 50 m²”, com o cone equilátero de raio 3 m. Geratriz $g = 2r = 6$; lateral $\pi r g = 3{,}14 \times 3 \times 6 = 56{,}52$ m², que não é inferior a 50: errado. Quem trocou a geratriz pela altura ($3\sqrt{3} \approx 5{,}2$) achou $49{,}0$ e marcou certo. O limiar foi posto exatamente entre o valor certo e o valor do erro mais comum.

Sólidos compostos: a lateral de cada peça

Exemplo resolvido 3: a lateral do silo. Em 2014, a prova empilhou um cone sobre um cilindro: o cilindro, circular reto, tinha 27 cm de altura e base de 8 cm de diâmetro; o cone, também reto, apoiava-se nessa base com 3 cm de altura. Pediu-se, em item de resposta numérica, a área lateral do sólido, em cm², com $\pi = 3{,}14$.

Estratégia: a “lateral” do sólido composto soma a lateral do cilindro à lateral do cone; ficam de fora o círculo do fundo e a base do cone, que está colada ao cilindro e não é superfície exposta. Para o cone, Pitágoras dá a geratriz.

Resolução: raio 4 cm. Cilindro: $2\pi r h = 2 \times 3{,}14 \times 4 \times 27 = 678{,}24$ cm². Cone: $g = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5$ cm, lateral $\pi r g = 3{,}14 \times 4 \times 5 = 62{,}8$ cm². Soma: $741{,}04$ cm²; marcação 741.

Conferência: a lateral do cone é pequena (um “chapéu” baixo, 3 cm de altura sobre 8 cm de diâmetro) diante da lateral do cilindro, como a figura sugere; e $4$–$3$–$5$ é o triângulo que a banca sempre escolhe.

Na mesma prova, o outro sólido era um cilindro de 26 cm de altura e 6 cm de diâmetro com um anel plano (raio interno 3 cm, raio externo 4 cm) e uma semiesfera de raio 4 cm por cima, um cogumelo. O item: “a área da superfície do sólido formado pela semiesfera e pelo anel é superior a 130 cm²”. Semiesfera: $2\pi \times 16 = 100{,}48$ cm²; anel: $\pi(4^2 - 3^2) = 21{,}98$ cm², contado uma vez, pela face de baixo, a única exposta; total $122{,}46$ cm², inferior a 130. Errado. Quem contou o anel duas vezes (144,4) marcou certo. O anel é uma chapa: tem área, não tem volume, e a face colada à semiesfera não é superfície do sólido.

O barril de petróleo de 2009 juntou tudo num item só: barris cilíndricos de 50 cm de diâmetro e 159 litros de capacidade, fabricados (lateral, tampa e fundo) com chapas de latão de 3 m², um milhão deles, e a afirmação de que bastariam menos de 500 000 chapas. A capacidade dá a altura: a base tem área $3{,}14 \times 25^2 = 1\,962{,}5$ cm², e 159 litros são 159 000 cm³, logo $h = 159\,000 / 1\,962{,}5 \approx 81$ cm (área da base vezes altura é o volume do cilindro, que a página de volumes desenvolve). Área total: $2 \times 1\,962{,}5 + 2 \times 3{,}14 \times 25 \times 81 \approx 3\,925 + 12\,717 = 16\,642$ cm² $\approx 1{,}66$ m² por barril; um milhão de barris, 1,66 milhão de m²; dividido por 3 m² por chapa, cerca de 555 000 chapas, mais de 500 000. Errado. Unidades: centímetros até o fim, metros quadrados só na hora de dividir pela chapa ($1$ m² $= 10\,000$ cm²).

Diagonais e distâncias: Pitágoras duas vezes

Quanto mede o maior segmento que cabe dentro de uma caixa? É a diagonal do paralelepípedo, de um vértice ao vértice oposto, e ela sai de Pitágoras aplicado duas vezes: uma na face de baixo, outra num plano vertical.

Uma caixa de $3 \times 4 \times 12$: diagonal da base 5, diagonal do sólido $\sqrt{25 + 144} = 13$; uma vareta de 13 cm cabe deitada na diagonal, uma de 14 não cabe. Um cubo de aresta 10 cm: diagonal da face $10\sqrt{2} \approx 14{,}1$ cm, diagonal do cubo $10\sqrt{3} \approx 17{,}3$ cm. Em 2022, o PAS 1 pediu, num item de resposta numérica sobre o poliedro de uma gravura de Escher, o comprimento do segmento que ligava dois vértices opostos de um cubo de aresta $\ell/2$ com $\ell = \sqrt{1\,200}$: $\frac{\sqrt{1\,200}}{2}\sqrt{3} = \frac{\sqrt{3\,600}}{2} = 30$. Diagonal do cubo é aresta vezes $\sqrt{3}$; o resto foi escolher $\ell$ para a raiz fechar.

O mesmo bloco de Escher trazia um item de área: o poliedro era “um cubo de lado $\ell$ com recorte de um cubo menor de lado $\ell/2$” num vértice, e o item afirmava que a área superficial do poliedro, contando as três faces não visíveis, coincidia com a de um cubo de lado $\ell$. Certo: ao retirar o cubinho do canto, três quadrados de lado $\ell/2$ saem de três faces do cubo grande, e três quadrados iguais, as paredes internas do recorte, aparecem no lugar; a área total não muda, $6\ell^2$. Um entalhe num canto não muda a área; muda o volume.

Escala: comprimentos vezes k, áreas vezes k², volumes vezes k³

Amplie um sólido multiplicando cada comprimento dele por um mesmo fator $k$: as áreas saem multiplicadas por $k^2$ e os volumes por $k^3$, seja qual for a forma. A regra dispensa a fórmula da área; a única exigência é que a ampliação (ou a redução) tenha sido uniforme em todas as direções. Uma lata cujo raio e cuja altura triplicam consome nove vezes mais folha de metal; se as duas medidas caem a um terço, a área cai a um nono.

Foi a regra que resolveu o primeiro item do tanque de 2016: “se o diâmetro e a altura do tanque fossem ambos divididos por 2, então a área total da superfície do tanque seria dividida por 4”. Diâmetro e comprimento são todas as medidas lineares do semicilindro; divididas por 2, $k = \frac{1}{2}$ e toda área fica dividida por $2^2 = 4$. Certo, sem montar a área do semicilindro (meia lateral, mais a face retangular, mais dois semicírculos), que chegaria ao mesmo lugar em cinco linhas. Para volumes a razão é $k^3$: metade das medidas, um oitavo do volume; e a ponta de um cone cortado a meia altura ($k = \frac{1}{2}$) tem um oitavo do volume do cone inteiro, o que a página de volumes de pirâmides e cones usa para o tronco.

Como a banca pergunta

Os itens de geometria espacial do PAS quase nunca abrem bloco próprio: pegam carona num texto-base de outra disciplina (uma foto de árvore do cerrado, uma obra de Escher, um bloco de pedra-sabão, uma pintura com caixas de pizza) e trazem os seus dados consigo. Três moldes se repetem.

• A seção afirmada. A banca descreve o sólido, posiciona um plano e afirma a figura, muitas vezes com um “sempre” (2018/49 certo, 2019/69 errado) ou num tipo C de quatro curvas (2016/64). Classifique o plano antes de olhar para a afirmação.
• O limiar de área. “A área da parede é superior a 15 000 m²” (2015), “a lateral do cone é inferior a 50 m²” (2017), “a casca mede $\pi$ cm²” (2022), “área total igual a $640\pi$” (2024). Os limiares ficam colados ao valor (15 000 contra 15 072, em 2015) ou entre o valor certo e o do erro mais comum (geratriz por altura, raio por diâmetro, semiesfera por esfera): conta completa, com o $\pi$ do comando.
• A resposta numérica. Lateral do sólido composto (2014, resposta 741), altura pela seção meridiana (2017, resposta 819), diagonal do cubo (2022, resposta 030). Três dígitos, parte fracionária desprezada, nunca em branco.

E um molde mais raro, de posição relativa: duas arestas reversas, duas retas paralelas a um plano, um ângulo entre diagonais de faces (2008). Esses se decidem no vocabulário, sem conta.

Os erros que a banca planta

• Geratriz no lugar da altura, ou altura no lugar da geratriz. A lateral do cone é $\pi r g$; o volume usa $h$. Cone equilátero de raio 3: $g = 6$, $h = 3\sqrt{3}$ (2017).
• Diâmetro no lugar do raio. Fruto de 1 cm de diâmetro: $r = 0{,}5$, área $\pi$ (2022). Caixa de pizza de 16 cm de raio: 16 é o raio mesmo (2024).
• Semiesfera como metade do círculo. $2\pi r^2$, não $\frac{1}{2}\pi r^2$ (2015).
• Lateral com base. A lateral do silo não tem fundo nem a base do cone (2014).
• Chapa contada duas vezes. O anel colado à semiesfera só expõe uma face (2014).
• “Sempre” aceito sem testar o plano fora do eixo. No tronco de cone, o trapézio exige que o plano contenha o eixo (2019).
• Elipse na esfera. Toda seção de esfera é círculo; a elipse aparece ao cortar cilindro ou cone obliquamente (2016).
• “Não se cruzam, logo paralelas.” No espaço podem ser reversas (2008).
• Perpendicular a uma reta do plano, logo perpendicular ao plano. São precisas duas retas concorrentes.
• Ângulo lido na perspectiva. 45° no desenho pode ser 90° no sólido; meça na seção ou na vista.
• Escala sem elevar. Metade das medidas: área por 4, volume por 8 (2016).
• Diagonal do cubo como $a\sqrt{2}$. $a\sqrt{2}$ é a da face; a do cubo é $a\sqrt{3}$ (2022).
• Unidade. $1$ m² $= 10\,000$ cm²; 159 litros $= 159\,000$ cm³ (2009).

O essencial em meia página

• Retas no espaço: concorrentes, paralelas ou reversas (sem plano comum). Reta $\perp$ plano exige perpendicularidade a duas retas concorrentes do plano. Planos secantes se cortam numa reta; o ângulo entre eles é o ângulo de uma seção perpendicular a essa reta. Duas retas paralelas a um plano não garantem plano paralelo.
• Sólidos: prisma (bases iguais, laterais paralelogramos; reto = retângulos), pirâmide (apótema da pirâmide $a_p^2 = h^2 + a_b^2$), cilindro (geratriz = altura), cone ($g^2 = r^2 + h^2$; equilátero $g = 2r$), esfera, tronco. Pitágoras “em pé”: 3-4-5, 6-8-10, 21-72-75.
• Vistas: frontal, superior, lateral; projeção ortogonal de um segmento $L' = L\cos\alpha$; nunca meça ângulo na perspectiva.
• Seções: paralela à base reproduz a base (semelhante, na pirâmide e no cone); pelo eixo mostra o perfil (retângulo, triângulo isósceles, trapézio); oblíqua ao eixo, elipse (cilindro e cone); esfera, sempre círculo. Cubo: triângulo, quadrado, retângulo $a \times a\sqrt{2}$, pentágono, hexágono regular. Teste o “sempre” com o plano fora do eixo.
• Planificações: cilindro, retângulo $2\pi r \times h$; cone, setor de raio $g$ e arco $2\pi r$, ângulo $360° \cdot r/g$; pirâmide, triângulos de altura $a_p$; esfera não se planifica.
• Áreas: cilindro $A_\ell = 2\pi r h$, $A_t = 2\pi r(r + h)$; cone $A_\ell = \pi r g$, $A_t = \pi r(r + g)$; prisma $A_\ell =$ perímetro $\times h$; pirâmide $A_\ell =$ perímetro $\times a_p / 2$; cubo $6a^2$; paralelepípedo $2(ab + bc + ca)$; esfera $4\pi r^2$, semiesfera $2\pi r^2$. Lateral sem bases, total com bases, chapa colada não conta.
• Diagonais: face $\sqrt{a^2 + b^2}$; sólido $\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$; cubo $a\sqrt{2}$ e $a\sqrt{3}$. Caminho mais curto pela superfície: planifique e trace a reta.
• Escala: comprimentos $\times k$, áreas $\times k^2$, volumes $\times k^3$.
• Na prova: nomeie o sólido, classifique o plano, desenhe a seção ou a planificação, use o $\pi$ do comando, confira o limiar com a conta completa, e desconfie de todo “sempre”.