Função afim (função do 1.º grau)

O aplicativo de transporte mostra o preço antes de o carro chegar: R$ 4 de bandeirada e R$ 3 por quilômetro rodado. Uma corrida de 1 km sai por R$ 7; de 2 km, R$ 10; de 10 km, R$ 34. Repare no que não muda: o décimo quilômetro é cobrado exatamente como o primeiro, R$ 3, e a bandeirada é paga uma vez só. Em dezembro de 2025, a prova do PAS 1 partiu de uma reportagem sobre recifes, com 319 interações entre peixes-limpadores e seus clientes contadas em 44 horas de observação, e propôs ao candidato que admitisse um ritmo constante de observação: nesse caso, o total de interações até o instante $t$ seria $I(t) = 7{,}25t$. O item não trazia gráfico nem a palavra “reta”; trazia uma hipótese sobre o ritmo e exigia uma única divisão, $319/44$.

O preço da corrida e a contagem de peixes são, por baixo da roupa, a mesma estrutura: uma quantidade que recebe sempre o mesmo acréscimo a cada passo igual da outra. A matemática chama isso de função afim, ou função do 1.º grau, e a escreve como $f(x) = ax + b$. Esta página é sobre o que $a$ e $b$ dizem do fenômeno, por que o gráfico é uma reta, como ir da tabela à fórmula e da fórmula ao gráfico, onde a reta cruza o eixo, como comparar duas retas e onde o modelo deixa de valer. O conceito geral de função, a progressão aritmética e os juros simples têm páginas próprias; aqui aparecem só como vizinhos.

O que a afim descreve: acréscimos iguais a passos iguais

O que define o objeto não é a fórmula, e sim a regularidade que ela registra: na corrida, andar mais um quilômetro custa R$ 3 em qualquer trecho do percurso, no início ou no fim. Se o acréscimo por passo variasse, a fórmula teria de ser outra.

Para a corrida, $f(x) = 3x + 4$, com $x$ em quilômetros e $f$ em reais: $a = 3$ reais por quilômetro, $b = 4$ reais, e $f(10) = 30 + 4 = 34$ confere com o preço anunciado. A taxa sempre carrega uma unidade composta, com um “por” no meio: reais por quilômetro, metros por segundo, litros por minuto, pontos percentuais por ano. O valor inicial carrega a unidade da saída. Escrever as duas unidades é o jeito mais barato de não trocar $a$ por $b$.

A pergunta que decide qualquer item de função afim vem antes de qualquer conta: esta grandeza varia a taxa constante? Se o enunciado diz “a cada hora, mais 250 litros”, “R$ 0,50 por minuto excedente”, “velocidade constante” ou “aumentou a taxa constante”, a resposta é sim, o modelo é afim e o trabalho se reduz a identificar $a$ e $b$ no contexto. Se diz “aumenta 10% ao mês” ou “dobra a cada sessão”, a taxa não é constante e a reta não serve.

Por que o gráfico é uma reta, e o que a e b fazem com ela

O gráfico de uma função é o conjunto dos pontos $(x, f(x))$. Se a cada passo de 1 unidade em $x$ a saída sobe sempre os mesmos $a$, então de qualquer ponto do gráfico para o seguinte se anda 1 para a direita e $a$ para cima: os degraus são todos iguais, e pontos que sobem degraus iguais ficam alinhados. É por isso que o gráfico é uma reta. A recíproca também vale: escolhidos dois pontos quaisquer dela, perto ou longe um do outro, a divisão da subida pelo avanço dá sempre o mesmo número, e esse número é $a$. Dizer “taxa constante” e dizer “o gráfico é uma reta” é afirmar a mesma coisa, uma vez em palavras e outra em desenho.

O painel da esquerda mostra o que $a$ faz: com $b$ fixo, $a$ maior é reta mais inclinada; $a$ negativo é reta descendo da esquerda para a direita; $a = 0$ é reta horizontal, a função constante. O da direita mostra o que $b$ faz: com $a$ fixo, mudar $b$ só levanta ou abaixa a reta. Duas retas com o mesmo $a$ e $b$ diferentes nunca se cruzam, e isso vai importar quando compararmos dois planos de preço.

Para traçar $f(x) = ax + b$ bastam dois pontos, e os mais cômodos são o corte do eixo, $(0, b)$, e o ponto um passo adiante, $(1, a + b)$. Um terceiro ponto não é necessário para a reta, mas é a conferência mais barata que existe contra erro de conta.

Três retratos da mesma reta: tabela, gráfico e fórmula

A prova cobra a tradução nos dois sentidos, e a matriz do PAS pede com todas as letras “modos de conversão entre as representações gráficas e algébricas”. Tabela, gráfico e fórmula são três retratos do mesmo objeto, e o trabalho é passar de um retrato a outro sem perder nada.

Exemplo resolvido 1: da tabela à fórmula. Uma gráfica cobra R$ 28 por 2 banners e R$ 46 por 5 banners, e o preço varia a taxa constante com a quantidade. Escreva a lei do preço e diga quanto custam 12 banners.

Estratégia: taxa constante autoriza $C(q) = aq + b$. Dois pontos dão $a$; um deles dá $b$; o outro confere.

Resolução: $a = (46 - 28)/(5 - 2) = 18/3 = 6$ reais por banner. Em $C(q) = 6q + b$, o ponto $(2, 28)$ dá $28 = 12 + b$, logo $b = 16$. Lei: $C(q) = 6q + 16$. Para 12 banners, $C(12) = 72 + 16 = 88$ reais.

Conferência: o segundo ponto precisa bater: $C(5) = 30 + 16 = 46$. Bate. Leitura dos coeficientes: R$ 16 é um custo fixo (arte, montagem), R$ 6 é o preço de cada banner. E o domínio é $\{0, 1, 2, \ldots\}$: banners são contados em inteiros, e a fórmula aceitar $q = 2{,}5$ não torna dois banners e meio possíveis.

O sentido inverso, da fórmula ao ponto, é a pergunta “este ponto pertence ao gráfico?”. Um ponto $(x_0, y_0)$ pertence quando $f(x_0) = y_0$, e nada além disso. Em 2012, a prova ajustou uma reta aos tempos dos vencedores olímpicos dos 100 metros rasos, com $f(1900) = 10{,}8$ s e $f(1960) = 10{,}2$ s, e afirmou que $(1920;\ 10{,}5)$ pertencia ao gráfico. A taxa é $-0{,}6/60 = -0{,}01$ segundo por ano; em 20 anos a reta cai $0{,}2$, e $f(1920) = 10{,}6$. O ponto não pertence. O valor $10{,}5$ foi escolhido para quem estima “meio caminho” em vez de calcular um terço do caminho.

Onde a reta cruza o eixo: zero, crescimento e sinal

Três perguntas têm resposta no sinal de $a$ e no valor de $-b/a$: onde a função vale zero, se ela sobe ou desce, e onde é positiva ou negativa.

Exemplo resolvido 2: o zero como data. O volume de um reservatório, em milhares de litros, cai a taxa constante: era 200 em $t = 0$ e 100 em $t = 5$ dias. Em que instante o reservatório fica vazio, e o que significa $V(12)$?

Estratégia: converter os dois pontos em lei, calcular o zero, interpretar.

Resolução: $b = 200$ (leitura em $t = 0$); $a = (100 - 200)/(5 - 0) = -20$ mil litros por dia. $V(t) = 200 - 20t$. Vazio quando $V = 0$: $t = 200/20 = 10$ dias.

Conferência: $V(5) = 200 - 100 = 100$, bate com o dado. $V(12) = -40$ é o que a fórmula devolve, mas volume negativo não existe: o modelo vale em $[0, 10]$, e o gráfico é um segmento que termina no eixo. Num item de julgamento que afirme “no 12.º dia o reservatório terá $-40$ mil litros”, a resposta é E, não porque a conta esteja errada, mas porque a fórmula saiu do domínio.

Uma consequência que vale testar: “toda função afim decrescente tem raiz positiva” é falso. $f(x) = -2x - 4$ é decrescente e zera em $x = -2$. O zero é $-b/a$, e seu sinal depende de $a$ e de $b$.

Inequações do 1.º grau: a mesma reta, uma pergunta de faixa

Uma inequação do 1.º grau é a pergunta “para quais $x$ a reta está acima (ou abaixo) de certa altura?”. Resolver $ax + b > c$ é achar o $x$ em que a reta atinge $c$ e decidir de que lado ela fica acima. O gráfico responde sem conta nenhuma; a álgebra confirma.

Exemplo resolvido 3: quando o preço ultrapassa um limite. O valor de uma cesta básica, em reais, é $V(t) = 600 + 8t$, com $t$ em meses desde o início do acompanhamento. A partir de que mês o valor ultrapassa R$ 850?

Estratégia: montar $600 + 8t > 850$, isolar $t$ e traduzir a fronteira para o domínio inteiro dos meses.

Resolução: $8t > 250$, logo $t > 31{,}25$. Como $t$ é número inteiro de meses, o primeiro mês em que o valor passa de 850 é $t = 32$.

Conferência: $V(31) = 600 + 248 = 848 < 850$ e $V(32) = 600 + 256 = 856 > 850$. A fronteira $31{,}25$ não é resposta: é o ponto em que a reta cruza a altura 850, e a resposta é o primeiro inteiro depois dela. Um item que afirmasse “o valor ultrapassou R$ 850 antes de completados 36 meses” seria C.

Quando $a$ é negativo, há um passo que derruba muita gente: dividir os dois lados por um número negativo inverte o sentido da desigualdade. Em $-2x + 8 > 0$, tem-se $-2x > -8$ e, dividindo por $-2$, $x < 4$. O gráfico de $g(x) = -2x + 8$ confirma: a reta desce, está acima do eixo antes do zero. Quem esquece de inverter escreve $x > 4$ e acerta o zero errando o lado. O esboço da reta é a conferência.

Duas retas, uma decisão: encontro e comparação de planos

Todo dia alguém compara dois planos: telefonia com franquia, estacionamento com hora cheia, dois fretes. Cada plano é uma afim do consumo, e a pergunta “qual compensa?” é a pergunta “onde as retas se cruzam?”.

Exemplo resolvido 4: qual plano compensa. Uma operadora oferece o plano I, R$ 40 fixos mais R$ 0,50 por minuto, e o plano II, R$ 60 fixos mais R$ 0,25 por minuto. Para quais consumos mensais o plano II é o mais barato?

Estratégia: escrever as duas leis, igualar para achar o encontro, decidir o lado pela taxa.

Resolução: $P_I(m) = 40 + 0{,}5m$ e $P_{II}(m) = 60 + 0{,}25m$. Encontro: $40 + 0{,}5m = 60 + 0{,}25m$, logo $0{,}25m = 20$ e $m = 80$ minutos, com os dois planos custando R$ 80. Como o plano I tem a taxa maior, ele fica mais caro depois do encontro: o plano II é o mais barato para $m > 80$.

Conferência: em $m = 100$, $P_I = 90$ e $P_{II} = 85$: II mais barato. Em $m = 60$, $P_I = 70$ e $P_{II} = 75$: I mais barato. Um item que afirmasse “o plano II é o mais vantajoso para qualquer consumo superior a 70 minutos” seria E: entre 70 e 80 minutos o plano I ainda ganha.

A mesma estrutura resolve o encontro de dois móveis em movimento uniforme (mesma posição, mesmo instante) e a pergunta “quando a produção paga o investimento”: receita $R(q) = 15q$ e custo $C(q) = 2\,000 + 7q$ empatam em $q = 250$ unidades, e a partir daí há lucro.

Dois casos especiais: proporcionalidade direta e função constante

Quando $b = 0$, a reta passa pela origem e $f(x) = ax$ é uma proporcionalidade direta: dobrar a entrada dobra a saída, e a razão $f(x)/x$ é sempre $a$. Foi exatamente o item de 2025: se as interações foram observadas a taxa constante, e em $t = 0$ nada tinha sido observado, então $I(t) = at$ com $a = 319/44 = 7{,}25$ interações por hora. A conta fechou exata, o item era C. Repare no que autoriza $b = 0$: não a fórmula, mas o fato de a contagem começar do zero.

Quando $a = 0$, a função é constante: $f(x) = b$ para todo $x$, o gráfico é uma reta horizontal e a taxa de variação é nula. No gráfico da massa corporal de 2006, o segundo trecho, constante em 85 kg do dia 360 ao 540, é uma função constante. Ela continua sendo função afim no sentido amplo desta página, mas não tem zero (a menos que $b = 0$) e não é crescente nem decrescente, e é por isso que as afirmações sobre raiz única e monotonia supõem $a \ne 0$.

A reta como modelo: custo, tarifa, velocidade, temperatura

A função afim aparece vestida de fenômeno, quase nunca com o nome na frente. Quatro roupas voltam sempre.

No movimento uniforme, a matriz do PAS cita a afim nominalmente: posição inicial é o $b$, velocidade é o $a$, e “quando passa pela origem” é o zero. A conversão Celsius–Fahrenheit é a afim que não passa pela origem e tem uma pergunta clássica: as duas escalas coincidem onde $1{,}8C + 32 = C$, isto é, em $C = -40$. Como $F$ é afim de $C$, uma sequência de temperaturas em progressão aritmética continua em progressão aritmética depois de convertida, com razão multiplicada por $1{,}8$: função afim preserva passos iguais, e foi um item de 2012.

Exemplo resolvido 5: construir o modelo a partir do comando (item 94 do PAS 1 de 2016, tipo D). O comando do item reunia alguns dados sobre o abastecimento do DF: a demanda de água, medida uma vez por ano, é diretamente proporcional ao número de habitantes; a população de 2016 era de 2,8 milhões de pessoas e o consumo daquele ano, de 7 mil litros por segundo; para 2018 a demanda prevista era de 9,5 mil litros por segundo; e, dentro do triênio 2016–2018, o consumo anual podia ser descrito por $f(x) = ax + b$, com $2016 \le x \le 2018$. Três tarefas: a população estimada para 2018, os valores das constantes $a$ e $b$ e o gráfico de $f$ no triênio.

Estratégia: a proporcionalidade dá a população; os dois pontos $(2016,\ 7\,000)$ e $(2018,\ 9\,500)$ dão $a$ e $b$; o gráfico é um segmento entre eles.

Resolução: $7\,000 / 2\,800\,000 = 2{,}5$ litros por segundo para cada mil habitantes; $9\,500 / 2{,}5 = 3\,800$ mil, ou seja, 3,8 milhões. $a = (9\,500 - 7\,000)/(2018 - 2016) = 2\,500/2 = \mathbf{1\,250}$ litros por segundo a cada ano. $b = 7\,000 - 1\,250 \cdot 2016 = 7\,000 - 2\,520\,000 = \mathbf{-2\,513\,000}$. Gráfico: segmento de reta crescente de $(2016,\ 7\,000)$ a $(2018,\ 9\,500)$, e só ele.

Conferência: $f(2018) = 1\,250 \cdot 2018 - 2\,513\,000 = 2\,522\,500 - 2\,513\,000 = 9\,500$. Bate. O $b$ negativo e enorme não tem significado: é o que a reta valeria no “ano zero”, fora de qualquer domínio razoável. Se a variável fosse “anos desde 2016”, a mesma reta seria $f(x) = 1\,250x + 7\,000$, com um $b$ legível. Mas o comando fixou $x$ como o ano-calendário, e a resposta corrigida é a que respeita essa escolha: quem entregou $b = 7\,000$ respondeu a outra pergunta.

Ler uma reta num gráfico ou numa tabela de verdade

Gráficos de prova vêm com escala, trechos e ruído, e três cuidados separam a leitura correta da leitura a olho.

A inclinação visual depende da escala. Uma reta que “parece íngreme” pode ter taxa pequena se o eixo vertical estiver esticado. A taxa se calcula pelas coordenadas, $\Delta y / \Delta x$, nunca pelo ângulo no papel. Duas retas em gráficos com escalas diferentes não se comparam pelo desenho.

Trecho reto não é a curva inteira. Um gráfico pode ser formado por vários segmentos de reta emendados, cada qual com a sua taxa, e cada lei só vale no intervalo do seu segmento. Os dois itens de 2006 sobre a massa corporal exploraram isso de maneiras opostas: um pedia a fórmula do trecho inicial, o outro pedia uma previsão com o trecho final. No terceiro período, entre os dias 540 e 660, a massa recuava de 85 kg para 73 kg: queda de 12 kg ao longo de 120 dias, $a = -0{,}1$ kg por dia. Para chegar aos 70 kg restavam 3 kg, que a essa taxa consomem mais 30 dias; a data pedida é o dia $660 + 30 = 690$. No fundo, é a raiz de uma função afim vestida de calendário, e a conta só usa o trecho ao qual a pergunta se refere.

Na tabela, compare diferenças só com passos iguais. Uma tabela é afim quando a diferença das saídas dividida pela diferença das entradas dá sempre o mesmo número. Com entradas 0, 2, 5 e saídas 16, 28, 46, os acréscimos 12 e 18 não são iguais, mas $12/2 = 18/3 = 6$: é afim, com $a = 6$. Quem compara 12 com 18 diretamente e conclui “não é reta” esqueceu que os passos eram 2 e 3. Quando as entradas avançam de 1 em 1 (semanas, meses, filas de arquibancada), as saídas formam uma lista em que cada termo supera o anterior pela mesma quantia: é a progressão aritmética, os pontos de uma reta vistos apenas nas entradas inteiras, assunto de página própria.

O essencial em meia página

• Função afim $f(x) = ax + b$: $a$ é a taxa de variação (unidade com “por”), $b = f(0)$ é o valor inicial. Taxa constante no enunciado é o sinal de que o modelo é afim.
• Gráfico: reta. $b$ é o corte do eixo vertical; $a$ é o degrau $\Delta y / \Delta x$ entre dois pontos quaisquer. Mudar $a$ gira a reta em torno de $(0, b)$; mudar $b$ desliza sem girar; mesmo $a$ é paralelismo.
• Da tabela ou do gráfico à fórmula: $a$ por dois pontos, $b$ pelo eixo ou por substituição; conferir com um terceiro ponto. Da fórmula ao gráfico: $(0, b)$ e $(1, a + b)$, respeitando o domínio (segmento, não reta sem fim).
• Zero: $x = -b/a$. Crescente se $a > 0$, decrescente se $a < 0$, em todo o domínio. Sinal: à direita do zero, $f$ tem o sinal de $a$. Crescente não é positiva; o sinal de $a$ não é o sinal de $f$.
• Inequação do 1.º grau: achar onde a reta cruza a altura pedida e decidir o lado; dividir por negativo inverte a desigualdade; em domínio inteiro, a resposta é o primeiro inteiro depois da fronteira.
• Encontro de retas: igualar as leis; $x^* = (b_2 - b_1)/(a_1 - a_2)$; depois do encontro vence quem tem a maior taxa; paralelas ($a_1 = a_2$) não se encontram.
• Casos: $b = 0$ é proporcionalidade direta (contagem que começa do zero: $I(t) = 7{,}25t$); $a = 0$ é função constante (reta horizontal, sem crescimento).
• Modelos: custo fixo mais preço por unidade; tarifa com assinatura; $s = s_0 + vt$; $F = 1{,}8C + 32$. Função afim preserva progressão aritmética.
• O domínio manda: o modelo vale onde foi calibrado; $V(12) = -40$ litros e tempo de corrida zero são a fórmula fora do mundo. Leia $b$ no eixo, não no fim do trecho; calcule a taxa pelas coordenadas, não pelo ângulo no papel.