Relatividade

O aplicativo de mapas do celular sabe onde você está porque recebe, de quatro ou mais satélites, a hora exata em que cada sinal saiu; multiplica o atraso de cada sinal pela velocidade da luz e obtém a distância a cada satélite; com as distâncias, triangula a posição. A conta é sensível: a luz percorre 300 metros em um milionésimo de segundo, e um relógio que erre por um milionésimo joga o carro na quadra errada. Os relógios de bordo são atômicos e muito bons. Só que há um descompasso: a 20 mil quilômetros de altitude e a 14 mil quilômetros por hora, o relógio de cada satélite ganha cerca de 38 milionésimos de segundo por dia sobre o do seu celular. Sem correção, o erro de posição somaria uns 11 quilômetros a cada dia; ao fim de uma semana, o aplicativo colocaria o carro em outro estado. Esse descompasso, com sinal e tamanho, estava previsto antes de existir satélite: Albert Einstein o deduziu em duas teorias, a relatividade restrita (1905), segundo a qual um relógio em movimento atrasa, e a relatividade geral (1915), segundo a qual um relógio afastado da Terra, num campo gravitacional mais fraco, adianta. No GPS, os dois efeitos acontecem ao mesmo tempo, com sinais opostos, e o segundo vence.

Esta página é a física por trás desse número. Ela começa onde a relatividade começou: na pergunta de Galileu sobre o que um passageiro pode saber do próprio movimento, e no fato experimental, do fim do século XIX, de que a luz não obedece à soma de velocidades que vale para bolas e trens. Depois vêm os dois postulados de 1905 e o que eles custam: a simultaneidade deixa de ser absoluta, relógios em movimento atrasam (com uma dedução de três linhas, pelo teorema de Pitágoras), réguas encolhem, velocidades não se somam como antes, e a massa de um corpo parado vale uma energia que a fissão, a fusão e o Sol liberam todos os dias. A segunda metade é a relatividade geral: a gravidade como forma do espaço-tempo, a luz que curva ao passar pelo Sol, os relógios que adiantam na altitude, Mercúrio, buracos negros e ondas gravitacionais. O episódio histórico de Sobral, com as expedições de 1919, o Observatório Nacional e a manchete do Times, está na página de história da física moderna; aqui fica a física da deflexão. A cosmologia, que usa a relatividade geral para descrever o universo em expansão, e a gravitação de Newton, que a relatividade geral contém como caso-limite, têm páginas próprias.

Galileu já sabia: dentro do navio, não dá para saber se ele anda

Em 1632, Galileu propôs um experimento mental que continua sendo o melhor ponto de partida. Feche-se no porão de um navio sem janelas, com moscas, peixes num aquário e uma garrafa pingando num balde. Com o navio parado, as moscas voam para todos os lados, os peixes nadam em qualquer direção, as gotas caem no balde. Agora o navio anda, em linha reta e com velocidade constante. Nada muda: as moscas não se acumulam na parede de trás, as gotas continuam caindo no balde, e você, sem olhar para fora, não tem como dizer se o navio está parado ou a 20 km/h. Esse é o princípio da relatividade de Galileu: as leis da mecânica são as mesmas em todos os referenciais que se movem uns em relação aos outros com velocidade constante, os referenciais inerciais. “Estar em repouso” não é um fato absoluto; é sempre repouso em relação a algo. A página do movimento uniforme usa essa ideia o tempo todo sem nomeá-la.

De um referencial para outro, o que muda é a velocidade atribuída a cada objeto, e a receita de Galileu para converter uma na outra é somar. Imagine um vagão de metrô a 90 km/h e, dentro dele, uma criança que rola uma bola pelo corredor, no sentido da marcha, a 15 km/h. Para quem espera na estação e vê o vagão passar, a bola corre a 105 km/h; rolada no sentido contrário, a 75 km/h. A receita serve para bolas, para carros que se cruzam na estrada, para o som que atravessa o vagão, e em três séculos de medidas ninguém achou um caso em que ela falhasse. O item do INSPER de 2019 que está nos exercícios testa exatamente isso: um objeto lançado dentro de um vagão cai no mesmo ponto do piso quer o trem ande a $v$ ou a $2v$, porque, dentro do vagão, a física é a mesma.

A luz não obedece à regra: o éter que ninguém achou

No fim do século XIX, as equações de Maxwell previam que a luz é uma onda eletromagnética (ondas eletromagnéticas) e que ela se propaga no vácuo a uma velocidade fixa, $c \approx 3{,}0 \times 10^{8}$ m/s, calculada só com constantes elétricas e magnéticas. Fixa em relação a quê? Toda onda conhecida tinha um meio: o som precisa de ar, a onda do mar precisa de água. Supôs-se então que a luz se propagava num meio invisível que preenchia o universo, o éter, e que $c$ era a velocidade da luz em relação ao éter. A Terra, orbitando o Sol a 30 km/s, deveria atravessar esse éter como um carro atravessa o ar, e a luz medida a favor do “vento de éter” deveria ser um pouco mais rápida que a luz medida contra ele, na proporção de $30/300\,000 = 10^{-4}$.

Em 1887, Albert Michelson e Edward Morley montaram em Cleveland um interferômetro capaz de detectar um deslocamento das franjas de interferência quarenta vezes menor que o previsto pelo vento de éter. Giraram o aparelho, repetiram em estações diferentes do ano, e o resultado foi sempre o mesmo: nenhuma diferença. A luz tinha a mesma velocidade em todas as direções, como se a Terra estivesse sempre parada em relação ao éter. Durante dezoito anos, físicos do porte de Lorentz e Poincaré tentaram salvar o éter com hipóteses auxiliares (o aparelho encolheria na direção do movimento, na medida exata para esconder o efeito). Em 1905, Einstein tomou o resultado como fato de partida, sem éter: a velocidade da luz é a mesma para todos, e o que precisa mudar é a nossa ideia de tempo e espaço. O resultado de Michelson e Morley é o que importa aqui; a montagem do interferômetro e a história do éter ficam para a página de história.

Dois postulados, e o segundo é o que dói

O primeiro postulado é fácil de aceitar; o segundo contraria a intuição de todo mundo, porque a intuição foi treinada com bolas e trens, em velocidades em que a diferença entre Galileu e Einstein é de uma parte em $10^{14}$. É por isso que ele rende item. Um item segundo o qual “a luz emitida por uma nave que avança a $0{,}5c$ chega à Terra a $1{,}5c$” ou “a luz de uma nave que se afasta chega mais devagar” está errado sem conta nenhuma: viola o segundo postulado. E um item que afirme que “a velocidade da luz depende do movimento da fonte” também. É o molde dos itens conceituais de vestibular sobre os postulados (UNICENTRO 2018 e UPE 2021, nos exercícios): uma frase que soa razoável e contradiz um postulado.

Vale dizer o que o segundo postulado não afirma. Ele fala da luz no vácuo. Na água ou no vidro, a luz anda mais devagar que $c$ (é a refração), e partículas podem ultrapassá-la ali, produzindo o brilho azulado dos reatores nucleares, a radiação Cherenkov. O limite intransponível é $c$, a velocidade da luz no vácuo, não a velocidade da luz no meio.

“Ao mesmo tempo” depende de quem olha

O primeiro preço dos postulados é a simultaneidade. Einstein a explicou com um trem. Um vagão muito longo anda a velocidade $v$ pelos trilhos. Dois raios caem ao mesmo tempo, um na frente e outro na traseira do vagão, deixando marcas nos trilhos e no trem. Um observador parado na plataforma, exatamente no meio das duas marcas dos trilhos, recebe os dois clarões no mesmo instante: para ele, os raios foram simultâneos. Um passageiro sentado exatamente no meio do vagão, porém, está se movendo ao encontro da luz que vem da frente e se afastando da luz que vem de trás. Ele recebe o clarão da frente antes do clarão de trás.

Até aqui é só geometria: o passageiro viu primeiro a luz da frente. O passo que importa vem agora. O passageiro sabe que está no meio do vagão e sabe (segundo postulado) que a luz viaja a $c$ nos dois sentidos para ele. Se os dois clarões percorreram a mesma distância na mesma velocidade e um chegou antes, é porque saiu antes: no referencial do trem, o raio da frente caiu primeiro. Não é ilusão de óptica nem atraso de percepção; é a conclusão correta de um observador que aplica as leis da física no seu referencial. Dois eventos simultâneos para a plataforma não são simultâneos para o trem, e nenhum dos dois está “mais certo”. A simultaneidade de eventos em lugares diferentes é relativa.

O relógio de luz: a dilatação do tempo em três linhas

A dedução mais limpa da relatividade cabe num triângulo retângulo. Construa um relógio com dois espelhos paralelos separados pela distância $d$ e um pulso de luz que vai e volta entre eles; cada ida e volta é um “tique”. Para quem viaja com o relógio (o referencial do próprio relógio), a luz percorre $2d$, e o tique dura

$$\Delta t_0 = \frac{2d}{c}.$$

Agora o relógio passa por você a velocidade $v$, na direção horizontal, perpendicular aos espelhos. Você vê o pulso sair do espelho de baixo, subir em diagonal (porque o espelho de cima se deslocou enquanto a luz subia), bater e descer em diagonal. Durante o tique, que para você dura $\Delta t$, o relógio andou $v\,\Delta t$; cada trecho diagonal é a hipotenusa de um triângulo de catetos $d$ (vertical) e $v\,\Delta t/2$ (horizontal). Pelo segundo postulado, a luz anda a $c$ também para você, logo cada hipotenusa mede $c\,\Delta t/2$. Pitágoras:

$$\left(\frac{c\,\Delta t}{2}\right)^{2} = d^{2} + \left(\frac{v\,\Delta t}{2}\right)^{2} \quad\Longrightarrow\quad \Delta t^{2}\,(c^{2} - v^{2}) = 4d^{2} \quad\Longrightarrow\quad \Delta t = \frac{2d}{\sqrt{c^{2} - v^{2}}} = \frac{2d/c}{\sqrt{1 - v^{2}/c^{2}}}.$$

Como $2d/c = \Delta t_0$,

$$\Delta t = \gamma\,\Delta t_0, \qquad \text{com}\quad \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - (v/c)^{2}}}.$$

O mesmo tique visto de dois referenciais. Para quem viaja com o relógio, a luz sobe e desce na vertical; para quem vê o relógio passar, ela percorre duas diagonais mais longas, à mesma velocidade $c$, e por isso o tique demora mais. O triângulo retângulo é toda a dedução. Diagrama autoral.

Esse é o conteúdo da dilatação do tempo: entre dois tiques de um relógio que passa por você, o seu próprio relógio conta um intervalo maior; dito de outro modo, o relógio que viaja atrasa diante do seu, e o fator de atraso é $\gamma$ (gama), o fator de Lorentz. Como $v$ nunca alcança $c$, a raiz do denominador fica entre 0 e 1 e $\gamma$ nunca é menor que 1: é exatamente 1 para um relógio parado, difere de 1 por menos de uma parte em um trilhão nas velocidades de um carro ou de um avião, e dispara para valores arbitrariamente grandes à medida que $v$ chega perto de $c$. O intervalo $\Delta t_0$, medido por quem está parado em relação ao relógio (ou, em geral, por quem vê os dois eventos acontecerem no mesmo lugar), chama-se tempo próprio, e é sempre o menor de todos.

Exemplo resolvido 1: a nave a 0,8c. Uma nave passa pela Terra a $0{,}8c$. O relógio de bordo marca 6 anos entre a partida e a chegada a uma estrela. (a) Quanto tempo a viagem dura para a Terra? (b) A que distância está a estrela, medida pela Terra?

(a) Os dois eventos (partida, chegada) ocorrem no mesmo lugar para a nave (dentro dela), logo 6 anos é o tempo próprio: $\Delta t_0 = 6$ anos. Para a Terra, $\Delta t = \gamma\,\Delta t_0 = \tfrac{5}{3} \times 6 = 10$ anos.

(b) Para a Terra, a nave andou 10 anos a $0{,}8c$: $d = 0{,}8c \times 10$ anos $= 8$ anos-luz.

Conferência: a Terra vê a nave demorar 10 anos para 8 anos-luz, velocidade $0{,}8c$, consistente. E a nave? Ela não mediu 8 anos-luz: mediu $8/\gamma = 4{,}8$ anos-luz percorridos em 6 anos, também a $0{,}8c$. Essa segunda conta é a contração do comprimento da próxima seção; as duas descrições fecham.

Exemplo resolvido 2: quanto um avião dilata. Um avião voa a 900 km/h ($250$ m/s) durante 10 horas. Quanto o relógio de bordo fica atrasado diante de um relógio deixado no aeroporto, só pela dilatação do tempo?

$v/c = 250/(3 \times 10^{8}) = 8{,}3 \times 10^{-7}$; $v^2/c^2 = 6{,}9 \times 10^{-13}$. Para $v \ll c$, vale a aproximação $\gamma - 1 \approx \tfrac{1}{2}\,v^2/c^2 = 3{,}5 \times 10^{-13}$. Em $10$ h $= 36\,000$ s, o atraso é $\Delta t - \Delta t_0 = (\gamma - 1)\,\Delta t_0 \approx 3{,}5 \times 10^{-13} \times 36\,000 \approx 1{,}2 \times 10^{-8}$ s, uns 12 nanossegundos. Minúsculo, mas relógios atômicos medem nanossegundos com folga: em outubro de 1971, Joseph Hafele e Richard Keating levaram quatro relógios de césio em voos comerciais ao redor do mundo e encontraram diferenças de dezenas a centenas de nanossegundos, compatíveis com a relatividade (a conta completa deles inclui também a gravidade e a rotação da Terra, e por isso os números são maiores que os 12 ns deste exemplo). Um item que apresente a dilatação do tempo como “previsão teórica ainda sem confirmação experimental” está errado desde 1971: ela é medida de rotina.

Réguas encolhem: a contração do comprimento e os múons que chegam ao chão

Se o tempo entre dois eventos depende do referencial, a distância também precisa depender, para que todos concordem sobre a velocidade. Uma régua de comprimento $L_0$ em repouso (o comprimento próprio) é medida, por quem a vê passar a velocidade $v$, com

$$L = \frac{L_0}{\gamma} = L_0\sqrt{1 - v^{2}/c^{2}},$$

menor que $L_0$. A contração só acontece na direção do movimento; as dimensões perpendiculares não mudam (é o que garantiu, no relógio de luz, que a distância $d$ entre os espelhos fosse a mesma nos dois referenciais). E vale o mesmo aviso da dilatação: cada observador vê a régua do outro encolhida.

O exemplo que transforma isso de álgebra em fato são os múons. Raios cósmicos, prótons vindos do espaço, chocam-se com núcleos no alto da atmosfera, a uns 10 km de altitude, e produzem múons, partículas parecidas com o elétron, 200 vezes mais pesadas, que decaem com vida média de $2{,}2\ \mu\text{s}$ medida em repouso. Eles descem a $v \approx 0{,}998c$. A conta de Galileu diz que, em $2{,}2\ \mu\text{s}$, um múon percorre

$$d = v\,\Delta t_0 = 0{,}998 \times 3 \times 10^{8} \times 2{,}2 \times 10^{-6} \approx 660\ \text{m}.$$

Da altura em que nascem até o chão há 10 km, quinze vidas médias: a fração que sobreviveria seria $e^{-15} \approx 3 \times 10^{-7}$ (quinze vidas médias são $15/0{,}69 \approx 22$ meias-vidas: $(1/2)^{22}$), isto é, praticamente nenhum múon deveria ser detectado ao nível do mar. Detectam-se aos milhares por metro quadrado por minuto. A relatividade explica, e explica de dois jeitos que concordam.

No referencial da Terra, o múon é um relógio em movimento: sua vida média é dilatada para $\gamma \times 2{,}2\ \mu\text{s}$. Com $v = 0{,}998c$, $1 - 0{,}998^{2} = 1 - 0{,}996 = 0{,}004$, $\sqrt{0{,}004} = 0{,}063$, $\gamma \approx 16$. A vida média vira $16 \times 2{,}2 \approx 35\ \mu\text{s}$, e o alcance, $0{,}998 \times 3 \times 10^{8} \times 35 \times 10^{-6} \approx 10{,}5$ km: os 10 km da atmosfera cabem em uma vida média, e uma fração substancial ($e^{-1} \approx 37\ \%$) chega ao chão.

No referencial do múon, ele está parado e vive seus $2{,}2\ \mu\text{s}$; quem se move é a atmosfera, que sobe ao seu encontro a $0{,}998c$ e, por isso, está contraída: os 10 km viram $10/16 \approx 0{,}63$ km. Para percorrer 630 m a $0{,}998c$ bastam $2{,}1\ \mu\text{s}$, menos que uma vida média. O múon chega.

O mesmo múon, dois referenciais. Para a Terra, o relógio do múon anda devagar e ele vive o bastante para descer 10 km; para o múon, a atmosfera que sobe ao seu encontro tem só 600 m. Dilatação do tempo e contração do comprimento são a mesma física vista de dois lugares. Diagrama autoral.

Exemplo resolvido 3: a nave que encolheu 29 %. Uma estação espacial mede o comprimento de uma nave em voo e o encontra 29 % menor que o comprimento medido com a nave parada na plataforma de lançamento. Qual é a velocidade da nave em relação à estação? (É o item da UEG de 2019 que está nos exercícios.)

$L/L_0 = 0{,}71 = \sqrt{1 - v^2/c^2}$. Elevando ao quadrado: $1 - v^2/c^2 = 0{,}504$, logo $v^2/c^2 = 0{,}496$ e $v \approx 0{,}70c$. Conferência pela tabela: $v = 0{,}7c$ dá $\sqrt{1 - 0{,}49} = \sqrt{0{,}51} = 0{,}714$, uma redução de 28,6 %, que é o “29 %” do enunciado.

O paradoxo dos gêmeos não é paradoxo

Se cada um vê o relógio do outro atrasar, o que acontece quando dois relógios se reencontram? Uma gêmea parte numa nave a $0{,}8c$ rumo a uma estrela a 8 anos-luz e volta; o irmão fica na Terra. Para o irmão, a viagem dura $2 \times 8/0{,}8 = 20$ anos. Para a gêmea, cada trecho é de 6 anos (exemplo 1): ela volta com 12 anos a mais, e o irmão, com 20. A gêmea é mais nova em 8 anos. Mas, do ponto de vista dela, era o irmão que se movia; não deveria ser ele o mais novo?

A situação não é simétrica, e é aí que o “paradoxo” se desfaz. O irmão permaneceu num único referencial inercial o tempo todo. A gêmea não: para voltar, teve de frear, inverter e acelerar, trocando de referencial inercial no meio do caminho. Quem muda de referencial é quem tem o tempo próprio menor; a relatividade restrita não diz que “tudo é simétrico”, diz que as leis são as mesmas nos referenciais inerciais, e a nave na volta não é o mesmo referencial inercial da nave na ida. (A contabilidade exata, feita com a relatividade da simultaneidade, mostra que, no instante em que a gêmea inverte o rumo, o “agora” dela na Terra salta vários anos para a frente; os dois lados fecham sem contradição.) O resultado não é especulação: é o que os múons fazem e o que os relógios de Hafele e Keating mediram, e o item da UFJF de 2024 nos exercícios o explora numa versão com dois viajantes.

Velocidades não se somam: nada passa de c

Se a bola do trem obedecia a $u = u' + v$ e a luz não, qual é a regra geral? A relatividade a fornece: um objeto que se move a $u'$ no referencial do trem, que por sua vez anda a $v$, tem, para a plataforma,

$$u = \frac{u' + v}{1 + \dfrac{u'\,v}{c^{2}}}.$$

O denominador é a correção. Para velocidades pequenas, $u'v/c^2$ é desprezível e a fórmula vira a de Galileu (a bola a 15 km/h no vagão a 90 km/h dá 105 km/h menos $1{,}2 \times 10^{-13}$ km/h). Para velocidades altas, ela impede o resultado de passar de $c$:

• Duas naves se cruzam, cada uma a $0{,}5c$ em relação à Terra, em sentidos opostos. Galileu daria $c$ de velocidade relativa; Einstein dá $(0{,}5 + 0{,}5)/(1 + 0{,}25) = 0{,}8c$.
• Uma nave a $0{,}9c$ dispara uma sonda a $0{,}9c$ à frente: $(0{,}9 + 0{,}9)/(1 + 0{,}81) = 1{,}8/1{,}81 = 0{,}994c$. Ainda abaixo de $c$.
• A nave a $0{,}5c$ acende um farol ($u' = c$): $(c + 0{,}5c)/(1 + 0{,}5) = c$. A luz continua a $c$ para a Terra, como o segundo postulado exigia. A fórmula foi construída para isso: $c$ composta com qualquer velocidade dá $c$.

Trem a $0{,}5c$: a reta de Galileu passa de $c$ sem cerimônia; a curva de Einstein se encosta em $c$ e não passa. Em velocidades pequenas (canto inferior esquerdo), as duas coincidem. Diagrama autoral.

É esse resultado que dá sentido à frase “limite de velocidade do universo”. Não é que falte motor: é que a própria operação de somar velocidades satura em $c$. E há uma segunda razão, energética, que vem a seguir.

Massa é energia: E = mc²

O último artigo de Einstein em 1905 tinha três páginas e uma pergunta no título: “A inércia de um corpo depende do seu conteúdo de energia?” A resposta é sim. Um corpo que emite energia $E$ (luz, por exemplo) fica com massa menor em $E/c^{2}$; um corpo que absorve energia fica mais pesado na mesma razão. Em geral, todo corpo de massa $m$, mesmo parado, possui uma energia de repouso

$$E_0 = m\,c^{2}.$$

O fator $c^{2} = 9 \times 10^{16}$ J/kg é o que torna a equação dramática: um grama de qualquer coisa, se inteiramente convertido, vale $9 \times 10^{13}$ J, o consumo elétrico de um mês de uma cidade de cem mil habitantes. Em condições comuns, essa energia fica trancada: queimar carvão libera energia química, que vem de uma variação de massa de uma parte em $10^{10}$, imensurável numa balança. Só nas reações nucleares a fração convertida se torna apreciável, e é por isso que $E = mc^{2}$ ficou associada a elas.

A expressão “massa relativística”, $\gamma m$, aparece em textos de divulgação e em livros antigos: ela traduz a ideia de que o corpo “fica mais pesado” perto de $c$ e por isso é mais difícil de acelerar. Hoje os físicos evitam a expressão, porque ela confunde: o que cresce com a velocidade é a energia (e o momento), e a resistência à aceleração depende até da direção da força; a massa $m$ de uma partícula é uma propriedade dela, como a carga, e não muda com o movimento. Se um item disser “a massa do elétron aumenta com a velocidade”, leia como “a energia aumenta”: a frase é um resquício de linguagem, não um erro físico grave, mas “o elétron se torna infinitamente pesado e por isso não atinge $c$” está dizendo, de forma torta, o que $K \to \infty$ diz direito.

Exemplo resolvido 4: o elétron de 1 MV. Um elétron é acelerado do repouso por uma diferença de potencial de 1 milhão de volts. Qual é a sua velocidade? ($m_e c^{2} = 0{,}511$ MeV.)

A energia cinética é $K = 1$ MeV. Pela conta de Newton, $v = \sqrt{2K/m} = c\sqrt{2K/(mc^{2})} = c\sqrt{2/0{,}511} = 1{,}98c$: impossível, e o sinal de que Newton saiu do domínio dele. Relativisticamente, $\gamma = 1 + K/(mc^{2}) = 1 + 1/0{,}511 = 2{,}96$, e

$$\frac{v}{c} = \sqrt{1 - \frac{1}{\gamma^{2}}} = \sqrt{1 - 0{,}114} = 0{,}941.$$

O elétron chega a $0{,}94c$. Conferência: dobrar a tensão para 2 MV dá $\gamma = 4{,}91$ e $v = 0{,}979c$; a velocidade quase não mudou, mas a energia dobrou. É o retrato de um acelerador: a partir de certo ponto, a energia que se injeta vai quase toda para $\gamma$, e quase nada para $v$.

Exemplo resolvido 5: o Sol emagrece. O Sol irradia $3{,}8 \times 10^{26}$ W. Quanta massa ele converte em energia a cada segundo? E em um ano? Que fração da sua massa ($2{,}0 \times 10^{30}$ kg) é isso?

$m = E/c^{2} = 3{,}8 \times 10^{26}/(9 \times 10^{16}) \approx 4{,}2 \times 10^{9}$ kg por segundo: pouco mais de 4 milhões de toneladas por segundo. Em um ano ($3{,}16 \times 10^{7}$ s), $1{,}3 \times 10^{17}$ kg. Em 4,6 bilhões de anos de vida, $6 \times 10^{26}$ kg, isto é, $3 \times 10^{-4}$ da massa atual: o Sol perdeu, por radiação, menos de um milésimo de si mesmo desde que nasceu. (Com a potência arredondada para $3{,}6 \times 10^{26}$ W, como alguns enunciados trazem, a conta dá exatamente $4 \times 10^{9}$ kg/s: 4 milhões de toneladas.)

De onde a energia nuclear sai: fissão, fusão e aniquilação

O balanço de massa é o que une os três processos. Em cada um, a soma das massas depois é menor que a soma antes, e a diferença $\Delta m$ sai como energia $\Delta m\,c^{2}$, em geral na forma de energia cinética dos produtos e de radiação.

Fissão. Um núcleo de urânio-235 absorve um nêutron e se parte em dois fragmentos mais leves, mais dois ou três nêutrons, liberando cerca de 200 MeV por núcleo. A massa do urânio é de cerca de 235 u $\times$ 931,5 MeV/u $\approx 2{,}19 \times 10^{5}$ MeV; a fração convertida é $200/(2{,}19 \times 10^{5}) \approx 0{,}09\ \%$, menos de um milésimo. Parece pouco, mas é um milhão de vezes mais que numa reação química: um quilograma de urânio-235 fissionado inteiro libera $8 \times 10^{13}$ J, o equivalente a quase 3 mil toneladas de carvão. Na usina, essa energia vira calor, o calor vira vapor, o vapor gira uma turbina, e a turbina gira um gerador, onde a eletricidade nasce por indução eletromagnética: a página de geração de energia elétrica percorre a cadeia, e o item 93 do PAS 3 de 2025, reusado nos exercícios, foi escrito para derrubar quem lê “fissão e $E = mc^{2}$”, concorda, e não repara que a oração final dispensava o eletromagnetismo.

Fusão. No centro do Sol, quatro prótons viram, por uma cadeia de reações, um núcleo de hélio-4 (mais dois pósitrons e dois neutrinos). Quatro prótons têm $4 \times 938{,}27 = 3\,753{,}1$ MeV de massa; o núcleo de hélio-4 tem $3\,727{,}4$ MeV. A diferença é de 25,7 MeV; descontada a massa dos dois pósitrons criados (1,0 MeV) e somada a energia das duas aniquilações deles com elétrons do meio (2,0 MeV), o total liberado é 26,7 MeV: 0,7 % da massa inicial: a fusão converte uma fração oito vezes maior que a fissão. É dessa conta que saem as 4 milhões de toneladas por segundo do exemplo 5, e é essa a reação que os projetos de fusão controlada (ITER, na França) tentam reproduzir. Note que a massa não “some” porque átomos são “extintos”, como diz um distrator clássico: os prótons continuam existindo dentro do hélio; o que diminui é a massa do conjunto ligado, porque a energia de ligação foi embora.

Aniquilação. Quando um elétron encontra sua antipartícula, o pósitron, os dois desaparecem e viram dois fótons de 511 keV cada um ($m_e c^{2}$ de cada partícula), emitidos em sentidos opostos para conservar o momento. É a conversão de 100 % da massa em energia, e é o que faz funcionar a tomografia por emissão de pósitrons (PET): um radiofármaco emite pósitrons dentro do paciente, cada pósitron se aniquila com um elétron a poucos milímetros, e o aparelho detecta os pares de fótons de 511 keV que saem em linha reta pelos dois lados, reconstruindo de onde vieram.

Aceleradores: a fórmula vem no enunciado, a conta é uma razão

Nenhum lugar na Terra é mais relativístico que um acelerador de partículas. No Sirius, o síncrotron do Laboratório Nacional de Luz Síncrotron, em Campinas, elétrons de 3 GeV circulam num anel de 518 m: $\gamma = E/(m_e c^{2}) = 3\,000/0{,}511 \approx 5\,900$, e $v/c = \sqrt{1 - 1/\gamma^{2}} = 0{,}999\,999\,986$, a 4 m/s da velocidade da luz. No LHC, em Genebra, prótons de 6,8 TeV têm $\gamma = 6\,800/0{,}938 \approx 7\,200$ e dão 11 mil voltas por segundo nos 27 km do anel. Os projetistas não usam $\tfrac{1}{2}mv^{2}$ para nada: toda a engenharia (os campos magnéticos que curvam o feixe, as cavidades que o aceleram, o tempo de voo) é feita com $E = \gamma mc^{2}$ e $p = \gamma mv$.

Mantidas em círculo por campos magnéticos, as partículas carregadas têm aceleração centrípeta, e carga acelerada irradia (é a luz síncrotron que o Sirius produz de propósito, para iluminar amostras com raios X; a página de força magnética trata o movimento circular da carga no campo, e o item 88 do PAS 3 de 2010, reusado aqui, cobra exatamente a origem da radiação). Essa radiação custa energia à partícula, e a fração perdida por volta cresce muito depressa com a energia e cai muito depressa com a massa: para a mesma energia e o mesmo raio, ela é proporcional a $E^{3}/(mc^{2})^{4}$. A banca não espera que você saiba essa fórmula; ela a fornece e pede a leitura da dependência. É a única conta relativística das 18 provas do PAS 3, e vale como molde.

Exemplo resolvido 6: elétron contra próton no síncrotron (PAS 3 2010, item 89). “Ao emitir radiação durante uma volta em um síncrotron, a partícula carregada perde energia. Considere que, para altas velocidades, a fórmula relativística para a fração de energia perdida pela radiação, $\Delta E$, em relação à energia total por ciclo, $E$, seja dada por $\dfrac{\Delta E}{E} = \dfrac{q^{2}}{3\varepsilon_{0} r}\cdot\dfrac{E^{3}}{(mc^{2})^{4}}$, em que $m$ e $q$ são, respectivamente, a massa e a carga da partícula, $\varepsilon_{0}$ é a permissividade elétrica do espaço livre, e $r$, o raio do círculo descrito pela partícula. Nessas condições, um elétron perderá mais de $10^{13}$ vezes energia por ciclo que um próton.”

Estratégia. Antes de substituir qualquer valor, monte o quociente entre a fração do elétron e a fração do próton. Elétron e próton têm a mesma carga em módulo ($q^{2}$ igual), e o item compara os dois à mesma energia total $E$ e no mesmo raio $r$; $\varepsilon_{0}$ é constante. Na razão, tudo isso cancela:

$$\frac{(\Delta E/E)_{e}}{(\Delta E/E)_{p}} = \frac{(m_{p}c^{2})^{4}}{(m_{e}c^{2})^{4}} = \left(\frac{m_{p}}{m_{e}}\right)^{4}.$$

Conta. $m_{p}/m_{e} \approx 1\,836 \approx 1{,}8 \times 10^{3}$. Quarta potência: $(1{,}8)^{4} \times 10^{12}$. Como $1{,}8^{2} = 3{,}24$ e $3{,}24^{2} \approx 10{,}5$, a razão vale $\approx 1{,}05 \times 10^{13}$, que é maior que $10^{13}$. Certo (gabarito oficial C).

Verificação. O sentido físico bate: por isso os síncrotrons de luz usam elétrons (irradiam muito, que é o que se quer) e os colisores de alta energia, como o LHC, usam prótons (irradiam pouco, e a energia não escapa pelas paredes). A armadilha está na margem: $1{,}05 \times 10^{13}$ passa de $10^{13}$ por 5 %; com $m_p/m_e = 1\,836$ exatos, $(1\,836)^{4} = 1{,}14 \times 10^{13}$, folga maior. Quem “sente” a ordem de grandeza sem elevar à quarta (“uns mil vezes”) erra por um fator de bilhões.

Lendo o gráfico de γ

A curva de $\gamma$ em função de $v/c$ é a figura que resume a relatividade restrita, e um item pode pedi-la lida. Três coisas para enxergar nela.

O fator de Lorentz. Até metade da velocidade da luz, a curva mal sai de 1 e Newton descreve tudo; acima de $0{,}9c$, cada centésimo a mais de velocidade custa muito mais $\gamma$ do que o anterior; em $v = c$ ela não existe. Os pontos do cotidiano (um avião, um satélite, a própria Terra em órbita) ficam todos esmagados no canto esquerdo. Diagrama autoral.

Primeiro: a curva começa em 1, não em 0; $\gamma = 1$ é “nenhum efeito”, e em todo o trecho até $0{,}3c$ ela está abaixo de 1,05. Um item que diga que “os efeitos relativísticos são proporcionais à velocidade” está errado: eles são praticamente nulos até velocidades enormes e depois crescem de forma explosiva. Segundo: a curva tem assíntota vertical em $v = c$. Não há valor de $\gamma$ para $v = c$ nem para $v > c$ (a raiz fica nula ou imaginária): a figura mostra, sem equação, que a luz é um limite e não um recorde. Terceiro: a leitura inversa. Um relógio que marca metade do tempo (item da UEG de 2024) está em $\gamma = 2$, e a curva devolve $v \approx 0{,}87c$; uma régua encolhida a 60 % está em $\gamma = 1{,}67$, isto é, $0{,}8c$.

A relatividade geral: o peso que desaparece na queda livre

A relatividade restrita deixou uma pendência. A gravitação de Newton age instantaneamente a qualquer distância: se o Sol sumisse, a Terra sairia da órbita no mesmo instante. Num universo em que nenhum sinal viaja mais rápido que a luz, isso não pode ser. Einstein levou dez anos (1905–1915) para resolver, e o ponto de partida foi uma observação que ele chamou de “o pensamento mais feliz da minha vida”.

A observação é a de quem já esteve numa torre de queda livre de parque de diversões. No instante em que o freio solta a cadeira, o celular que você segurava frouxo deixa de pesar na mão; aberta a mão, ele fica parado diante do seu rosto, e um pingente no pescoço sobe e flutua. Nada o empurra para o piso da cadeira porque você, a cadeira e o celular descem com a mesma aceleração $g$, e, para quem está lá dentro, o peso deixou de existir enquanto a queda dura. Os astronautas em órbita vivem nessa condição o tempo inteiro: a 400 km de altura, a atração da Terra ainda é 89 % da que se sente no chão (gravitação universal), e eles não pesam nada porque caem sem parar ao redor do planeta, numa queda livre que nunca chega ao fim. O espelho dessa situação é um foguete com os motores ligados, acelerando a $9{,}8$ m/s² num ponto do espaço afastado de qualquer estrela ou planeta: ali, o celular que escapa da mão vai de encontro ao piso com a mesma aceleração que teria em Brasília, e uma balança debaixo das botas marca o peso de sempre.

Do princípio da equivalência Einstein extraiu uma consequência imediata, sem nenhuma equação: se a gravidade é indistinguível de aceleração, e num foguete acelerado um raio de luz que entra por uma janela atinge a parede oposta um pouco abaixo do ponto de entrada (porque o foguete subiu enquanto a luz atravessava), então a luz também cai num campo gravitacional. E, pelo mesmo raciocínio, um relógio no piso do foguete acelerado atrasa em relação a um relógio no teto; logo, relógios mais fundo num campo gravitacional andam mais devagar. A teoria completa de 1915 deu a esses dois efeitos os números exatos.

Gravidade como geometria: o espaço-tempo curvo

A ideia central da relatividade geral cabe numa frase de John Wheeler, aqui na ordem em que ele a formulou: o espaço-tempo diz à matéria como mover-se; a matéria diz ao espaço-tempo como curvar-se. A gravidade deixa de ser uma força transmitida à distância e passa a ser a forma do próprio espaço-tempo. Um planeta não é “puxado” pelo Sol: ele segue o caminho mais reto possível (uma geodésica) num espaço-tempo que a massa do Sol deformou, como um avião que voa “em linha reta” sobre a Terra descreve, visto do espaço, um arco de círculo máximo. A luz faz o mesmo: segue geodésicas, e por isso curva perto de uma massa.

A analogia do lençol: uma massa afunda a superfície e os corpos contornam a depressão. Ela ajuda a ver por que trajetórias se curvam, mas tem um defeito de origem: usa a gravidade “de baixo” para explicar a gravidade. Na teoria, não há “baixo”; o que curva é o espaço-tempo, inclusive o tempo, e é a curvatura do tempo que responde pela maior parte do que sentimos como peso. Diagrama autoral.

Para campos fracos e velocidades baixas (todo o Sistema Solar, com folga), as equações de Einstein reproduzem a lei de Newton: a relatividade geral contém Newton como caso-limite, do mesmo modo que a restrita contém a mecânica clássica. É com Newton que se calculam as órbitas dos satélites de GPS; é com Einstein que se corrigem os relógios deles. Os dois trabalham juntos, cada um no seu domínio.

A luz curva: 0,87″ ou 1,75″?

A primeira previsão testável da teoria foi o desvio da luz de uma estrela ao passar rente ao Sol. A ideia de que a luz “cai” não era nova: tratando a luz como uma partícula newtoniana com velocidade $c$ atraída pela massa do Sol, Johann von Soldner calculou, em 1801, um desvio de cerca de 0,87 segundo de arco na borda solar, e o próprio Einstein, em 1911, usando só o princípio da equivalência, chegou ao mesmo valor. A teoria completa de 1915 dobrou o número: 1,75″. A diferença vem da curvatura do espaço, que a versão de 1911 ignorava e que contribui com a outra metade. É esse fator 2 que transforma a medida do eclipse num julgamento entre duas físicas: 0,87″ significaria “a luz tem peso num espaço plano”; 1,75″ significa “o próprio espaço é curvo”.

Duas previsões para a mesma estrela: 0,87″ se a luz fosse uma partícula pesada num espaço plano; 1,75″ se o espaço-tempo é curvo. As expedições de 1919 mediram $1{,}98'' \pm 0{,}12''$ em Sobral e $1{,}61'' \pm 0{,}30''$ em Príncipe. Ângulos exagerados milhões de vezes. Diagrama autoral.

O mesmo efeito, com massas maiores, produz as lentes gravitacionais: a luz de uma galáxia distante, ao passar por um aglomerado de galáxias no caminho, é desviada e chega à Terra por vários caminhos, formando imagens múltiplas, arcos e, quando o alinhamento é perfeito, um anel de Einstein. O primeiro caso, um quasar visto em dobro, foi identificado em 1979; hoje as lentes são ferramenta de rotina para pesar aglomerados (inclusive a matéria escura deles, que a cosmologia discute) e para enxergar galáxias que, sem a ampliação, seriam fracas demais.

Relógios na altitude: o desvio gravitacional para o vermelho e o GPS

A segunda previsão trata do ritmo dos relógios. Quanto mais fundo no poço de potencial de uma massa um relógio está, mais lentos são os seus tiques; afastado dela, ele acelera. Para dois relógios separados por uma altura $h$ num campo aproximadamente uniforme $g$, a diferença de ritmo é

$$\frac{\Delta t_{\text{alto}} - \Delta t_{\text{baixo}}}{\Delta t} \approx \frac{g\,h}{c^{2}}.$$

Com $h = 1$ m, isso dá $1{,}1 \times 10^{-16}$: o relógio na mesa adianta, em relação ao relógio no chão, um segundo a cada 300 milhões de anos. Parece inalcançável, e por isso o primeiro teste, feito por Robert Pound e Glen Rebka em Harvard, em 1960, usou o que se tinha de mais preciso: raios gama de 14,4 keV emitidos por ferro-57 subindo a torre de 22,5 m de um laboratório. A luz que sobe num campo gravitacional perde energia, logo chega com frequência menor, deslocada para o vermelho (o desvio gravitacional para o vermelho); a fração prevista era $gh/c^{2} = 9{,}8 \times 22{,}5/(9 \times 10^{16}) = 2{,}5 \times 10^{-15}$, e foi medida com 10 % de precisão (depois 1 %). Hoje relógios ópticos detectam a diferença de ritmo entre dois pontos separados por um centímetro de altura.

Para alturas grandes, o campo não é uniforme e usa-se o potencial completo: a diferença fracionária de ritmo entre um relógio na superfície ($r = R$) e outro à distância $r$ do centro da Terra é

$$\frac{\Delta t_{r} - \Delta t_{R}}{\Delta t} \approx \frac{GM}{c^{2}}\left(\frac{1}{R} - \frac{1}{r}\right).$$

Exemplo resolvido 7: a conta completa do GPS. Os satélites do GPS orbitam a $r = 26\,600$ km do centro da Terra ($20\,200$ km de altitude) a $v = 3{,}87$ km/s, com período de 11 h 58 min. $GM_{\text{Terra}} = 3{,}99 \times 10^{14}$ m³/s², $R = 6\,370$ km. (a) Quanto o relógio de bordo atrasa por dia pela velocidade? (b) Quanto adianta pela altitude? © Saldo e erro de posição por dia.

(a) Restrita. $v/c = 3\,870/(3 \times 10^{8}) = 1{,}29 \times 10^{-5}$; $\gamma - 1 \approx \tfrac{1}{2}(v/c)^{2} = 8{,}3 \times 10^{-11}$. Em um dia, $86\,400 \times 8{,}3 \times 10^{-11} = 7{,}2 \times 10^{-6}$ s: o relógio em movimento atrasa 7 µs.

(b) Geral. $\dfrac{GM}{c^{2}}\left(\dfrac{1}{R} - \dfrac{1}{r}\right) = \dfrac{3{,}99 \times 10^{14}}{9 \times 10^{16}}\left(\dfrac{1}{6{,}37 \times 10^{6}} - \dfrac{1}{2{,}66 \times 10^{7}}\right) = 4{,}43 \times 10^{-3} \times (1{,}570 - 0{,}376) \times 10^{-7} = 5{,}3 \times 10^{-10}$. Em um dia, $86\,400 \times 5{,}3 \times 10^{-10} = 4{,}6 \times 10^{-5}$ s: o relógio de bordo, instalado onde o poço de potencial é menos profundo, ganha 46 µs sobre o relógio do chão (o valor costuma ser arredondado para 45).

© Saldo: $+46 - 7 \approx +38\ \mu\text{s}$ por dia, adiantando. Cada microssegundo de desacerto entre os relógios vira, no receptor, 300 m de distância mal medida: $38 \times 10^{-6} \times 3 \times 10^{8} \approx 11\,400$ m. Em um dia, o erro de posição passaria de 11 km. A solução de engenharia é ajustar o relógio de fábrica: os osciladores de bordo são sintonizados a $10{,}229\,999\,995\,43$ MHz em vez dos $10{,}23$ MHz nominais, uma redução de $4{,}465 \times 10^{-10}$, para que, vistos da Terra, batam a 10,23 MHz exatos. Conferência: $4{,}465 \times 10^{-10} \times 86\,400 = 38{,}6\ \mu\text{s}$ por dia, que é o saldo da conta.

Os dois Einsteins no mesmo satélite: a velocidade atrasa o relógio (restrita), a altitude o adianta (geral), e o segundo efeito é seis vezes maior. O saldo, 38 µs por dia, é corrigido antes do lançamento. Diagrama autoral com os valores do exemplo 7.

Mercúrio, buracos negros e o espaço que treme

A precessão do periélio de Mercúrio. A órbita de Mercúrio não é uma elipse fixa: o ponto mais próximo do Sol (o periélio) gira lentamente, cerca de 575″ por século em relação às estrelas fixas, e o eixo da elipse dá uma volta completa a cada 225 mil anos. Quase tudo isso (cerca de 530″ por século) é explicado por Newton, pelas perturbações dos outros planetas. Sobrava um resto de 43 segundos de arco por século que ninguém explicava, e que Urbain Le Verrier, o mesmo que previra Netuno, havia identificado em 1859; chegou-se a propor um planeta a mais, Vulcano, entre Mercúrio e o Sol. Em novembro de 1915, Einstein calculou o que sua teoria previa para a órbita mais próxima e mais excêntrica do Sistema Solar: 43″ por século, sem planeta nenhum. Foi o primeiro teste da relatividade geral, e o único feito com dados que já existiam.

Buracos negros e o raio de Schwarzschild. Semanas depois da publicação das equações, Karl Schwarzschild, servindo no exército alemão, encontrou a solução exata para o espaço-tempo em torno de uma massa esférica. Ela tem um raio crítico,

$$r_{s} = \frac{2GM}{c^{2}},$$

o raio de Schwarzschild: se toda a massa $M$ couber dentro dele, nada que esteja aquém, nem a luz, consegue sair. É um buraco negro, e $r_{s}$ é o seu horizonte de eventos. Para o Sol, $r_{s} = 2 \times 6{,}67 \times 10^{-11} \times 2{,}0 \times 10^{30}/(9 \times 10^{16}) \approx 3{,}0$ km: o Sol, com 700 mil km de raio, precisaria encolher 230 mil vezes para virar um. Para a Terra, 9 mm. Para o buraco negro do centro da Via Láctea, Sagitário A*, com 4 milhões de massas solares, $r_{s} \approx 1{,}2 \times 10^{7}$ km, 17 raios solares; para o de M87, com 6,5 bilhões de massas solares, $r_{s} \approx 1{,}9 \times 10^{10}$ km, 130 vezes a distância Terra–Sol. Note que $r_{s}$ é proporcional à massa: buraco negro grande não é denso; o de M87 tem densidade média menor que a do ar. Em 10 de abril de 2019, a colaboração Event Horizon Telescope, uma rede de radiotelescópios do tamanho da Terra, mostrou ao público o primeiro retrato da “sombra” de um buraco negro, o de M87; em 12 de maio de 2022, a de Sagitário A*. A sombra é cerca de 2,6 vezes maior que o horizonte, porque a luz que passa perto é desviada, pela mesma física da deflexão da seção anterior, só que com ângulos de dezenas de graus, não de segundos de arco.

Ondas gravitacionais. Em 1916, Einstein mostrou que massas aceleradas produzem ondulações na curvatura do espaço-tempo que viajam a $c$: ondas gravitacionais, o análogo gravitacional das ondas eletromagnéticas. Ele mesmo duvidou que fossem detectáveis, porque a distorção prevista é absurdamente pequena. Em 14 de setembro de 2015, os dois interferômetros do LIGO, nos Estados Unidos, com braços de 4 km, registraram uma variação de comprimento de uma parte em $10^{21}$ (alguns milésimos do diâmetro de um próton em 4 km): o sinal, batizado GW150914 e anunciado em fevereiro de 2016, era a fusão de dois buracos negros de 36 e 29 massas solares, a 1,3 bilhão de anos-luz, que viraram um só de 62 massas solares. As 3 massas solares que faltam na soma foram emitidas como ondas gravitacionais, $E = \Delta m\,c^{2}$ numa escala que, nos milissegundos finais, superou a potência luminosa de todas as estrelas do universo observável somadas. O Nobel de Física de 2017 foi para Rainer Weiss, Barry Barish e Kip Thorne “por contribuições decisivas para o detector LIGO e a observação de ondas gravitacionais”. Em 2017, a fusão de duas estrelas de nêutrons foi vista ao mesmo tempo em ondas gravitacionais e em luz, confirmando, com uma diferença de segundos em 130 milhões de anos de viagem, que as duas viajam à mesma velocidade $c$.

O que a relatividade não diz

A palavra “relatividade” fez a teoria passar, na cultura, por uma doutrina de que “tudo é relativo” e “depende do ponto de vista”. O matemático Felix Klein propôs chamá-la teoria dos invariantes, e o próprio Einstein admitiu, em carta de 1921, que o nome “relatividade” era infeliz e alimentava confusões filosóficas. Com razão: o conteúdo da teoria é a lista do que não muda de um referencial para outro.

• $c$, a velocidade da luz no vácuo: todo observador inercial encontra o mesmo valor; isso é postulado de partida, não resultado derivado.
• As leis da física: nenhum referencial inercial tem leis privilegiadas; cada observador faz física válida com as próprias medidas.
• A massa de repouso de uma partícula, a carga elétrica, o número de tiques que um relógio dá entre dois eventos pelos quais ele passa (o tempo próprio) são invariantes.
• A ordem causal: se um evento pode ter causado outro, todos concordam sobre qual veio antes. O que varia é a ordem de eventos que não podem se influenciar.
• O intervalo $c^{2}\Delta t^{2} - \Delta x^{2}$ que separa dois eventos: todos os referenciais calculam o mesmo número; é o análogo, no espaço-tempo, da distância entre dois pontos, que não muda quando se gira o sistema de eixos. A dilatação do tempo e a contração do comprimento são o que sobra quando se olha só para $\Delta t$ ou só para $\Delta x$, como a sombra de um bastão muda com a orientação sem que o bastão mude.

O que depende do referencial são medidas de tempo, comprimento, simultaneidade, velocidade, energia e momento; e elas dependem de um modo preciso, calculável, que todos os observadores podem reproduzir. “Para você passaram 10 anos e para mim 6” não é opinião: é o que os dois relógios mostram quando se reencontram, e qualquer um dos dois calcula o número do outro. A teoria é o contrário de relativismo: é um conjunto de regras rígidas sobre como traduzir as medidas de um observador nas de outro.

Também não diz que “o tempo é uma ilusão”, que “é possível voltar no passado” (a dilatação só faz relógios andarem mais devagar, nunca para trás) nem que “a massa aumenta até o infinito” (é a energia que cresce). E a relatividade não aboliu Newton: delimitou. Para $v \ll c$ e campos fracos, as equações de Einstein viram as de Newton, e a órbita do satélite de GPS, cujo relógio Einstein ajusta, foi desenhada com as equações de Newton. O item 67 do PAS 1 de 2023 afirmava que, com a reformulação einsteiniana do espaço-tempo, a teoria de Newton teria sido “completamente descartada”; está errado por isso, e sua página é a de gravitação universal.

Lendo um texto de divulgação sobre relatividade

A matriz do PAS 1 lista “espaço-tempo” entre as noções de física moderna, e a do PAS 3 lista a relatividade restrita e a geral; nenhuma das duas pede contas pesadas. O que elas pedem é ler um texto, em geral de divulgação ou de obra do caderno, e julgar frases. Quatro verificações resolvem a maioria.

1. Restrita ou geral? Velocidade, dilatação do tempo por movimento, contração, $E = mc^{2}$, limite $c$: restrita (1905). Gravidade, curvatura, deflexão da luz, relógios em altitude, Mercúrio, buracos negros, ondas gravitacionais, Sobral: geral (1915). A troca é a armadilha mais barata de fabricar.
2. Postulado violado? Qualquer frase que some velocidade à luz, que faça um corpo com massa chegar a $c$, que diga “tempo absoluto” ou “a velocidade da luz depende da fonte” está errada sem conta.
3. Qual relógio, qual referencial? O relógio que se move atrasa; a régua que se move encolhe; o relógio mais fundo no campo gravitacional atrasa. “No referencial do múon, a atmosfera é mais espessa” inverte o efeito.
4. Metáfora ou medida? “A massa curva o espaço como uma bola num lençol” é metáfora; “o GPS adianta 38 µs por dia” é medida. Um item que converta a metáfora em afirmação literal (o planeta “rola para o fundo”, o espaço “é um tecido”) saiu da física.

Exemplo resolvido 8: três frases de um texto de divulgação. Julgue: (I) “Como mostrou Einstein em 1905, um astronauta que viaje a velocidades próximas à da luz envelhece mais devagar do que quem fica na Terra, efeito já medido com relógios atômicos em aviões.” (II) “A mesma teoria de 1905 explica por que a luz das estrelas se curva ao passar pelo Sol, o que foi confirmado em Sobral em 1919.” (III) “Segundo $E = mc^{2}$, a energia liberada na fissão do urânio corresponde à conversão integral da massa do núcleo em energia.”

(I) Certa. Dilatação do tempo, restrita, 1905; a medida em aviões é Hafele e Keating (1971), e os múons confirmam o mesmo. (II) Errada. A deflexão da luz pela gravidade é previsão da relatividade geral (1915), não da restrita; Sobral e 1919 estão certos, a teoria não. (III) Errada. Na fissão converte-se menos de 0,1 % da massa; “integral” só vale para a aniquilação matéria–antimatéria. Conferência: as três frases têm pedaços verdadeiros (nomes, datas, lugares) servindo de isca; o erro está sempre num único termo (restrita/geral; integral/parcial).

Como a banca pergunta

Nas 18 provas do PAS 3 entre 2008 e 2025, a relatividade rendeu dois itens, ambos reproduzidos nesta página: a conta de razão do síncrotron de 2010 (item 89, a fórmula fornecida, $(m_p/m_e)^{4}$) e a frase sobre fissão e $E = mc^{2}$ de 2025 (item 93, correta na física e errada na oração final sobre o eletromagnetismo). A relatividade geral, Sobral e o GPS nunca renderam item, apesar de o vídeo da BBC sobre o eclipse estar na lista de obras do triênio 2025–2027: é tema anunciado sem histórico. O precedente mais próximo está na etapa vizinha: o PAS 2 de 2024 estreou história da ciência com um item conceitual sobre Copérnico e o movimento da Terra (item 101), sem conta nenhuma. No PAS 1, o item 67 de 2023 (Newton “completamente descartado”) mostra o molde do item de estatuto: delimitar não é descartar. Nos vestibulares, o padrão é outro e mais numérico: dilatação e contração com $0{,}6c$, $0{,}8c$, $12c/13$ (UERJ 2023, UEG 2024, UEMA 2022, UEG 2019), paradoxo dos gêmeos (UEL 2023, UFJF 2024), $E = mc^{2}$ com o Sol e a fissão, postulados (UNICENTRO 2018), o trem de Einstein e a simultaneidade (UEG 2025) e a deflexão de Sobral (UFRGS 2019). Os exercícios desta página cobrem os dois estilos.

Os erros que a prova planta

• Somar velocidade à luz. “A luz da nave chega à Terra a $1{,}5c$.” Nunca: a composição relativística satura em $c$, e $c$ composta com qualquer velocidade dá $c$.
• Corpo com massa a $c$. “Com energia suficiente, a nave atinge a velocidade da luz.” $K = (\gamma - 1)mc^{2} \to \infty$ quando $v \to c$.
• Trocar o efeito pelo referencial. O relógio que se move atrasa, a régua que se move encolhe. “A atmosfera é mais espessa para o múon” inverte; “o astronauta vê o próprio relógio atrasar” não existe.
• Dilatar e contrair o mesmo objeto no mesmo referencial. Para a Terra, o múon vive mais; para o múon, a atmosfera é mais curta. Um efeito por referencial.
• Restrita por geral. Sobral, deflexão, GPS pela altitude, buracos negros e ondas gravitacionais são a geral (1915); dilatação por velocidade e $E = mc^{2}$ são a restrita (1905).
• “Massa vira energia integralmente”. Fissão: 0,1 %; fusão: 0,7 %; só a aniquilação converte tudo.
• Fóton com massa. “A radiação gama tem massa de repouso elevada por ter muita energia”: fóton tem $m = 0$ e $E = pc$.
• “Tudo é relativo”. $c$, as leis, a massa de repouso, o tempo próprio e a ordem causal são invariantes; o que muda são as medidas, de um modo calculável.
• “Newton foi descartado”. Newton é o caso-limite $v \ll c$, campos fracos; as órbitas dos satélites continuam sendo calculadas com as equações dele.
• Lençol como mecanismo. A analogia usa a gravidade para explicar a gravidade; a teoria curva o espaço-tempo, inclusive o tempo.

O essencial em meia página

• Galileu: as leis da mecânica são as mesmas em todo referencial inercial; velocidades se somam, $u = u' + v$. Michelson e Morley (1887): a luz não obedece; nenhum “vento de éter”.
• Postulados (1905): (1) nenhum referencial inercial é privilegiado: as leis valem iguais em cada um; (2) $c$ tem o mesmo valor para qualquer observador, mova-se ou não a fonte. Nada com massa, nenhum sinal, passa de $c$.
• Simultaneidade é relativa para eventos em lugares diferentes; a ordem causa–efeito não.
• Dilatação do tempo: $\Delta t = \gamma\,\Delta t_{0}$, $\gamma = 1/\sqrt{1 - v^{2}/c^{2}} \ge 1$; $\Delta t_{0}$ é o tempo próprio (relógio que viaja junto). O relógio que se move atrasa. $0{,}6c \to 1{,}25$; $0{,}8c \to 5/3$; $12c/13 \to 2{,}6$.
• Contração do comprimento: $L = L_{0}/\gamma$, só na direção do movimento. Múons: para a Terra, vida de 2,2 µs vira 35 µs; para o múon, 10 km viram 0,6 km. Concordam.
• Gêmeos: quem muda de referencial (acelera para voltar) envelhece menos; sem paradoxo. Hafele–Keating (1971) mediu.
• Composição de velocidades: $u = (u' + v)/(1 + u'v/c^{2})$; $0{,}5c + 0{,}5c = 0{,}8c$; $c + v = c$.
• Massa–energia: $E_{0} = mc^{2}$; $E = \gamma mc^{2}$; $K = (\gamma - 1)mc^{2}$ (vira $\tfrac{1}{2}mv^{2}$ para $v \ll c$, vai a infinito para $v \to c$); $E^{2} = (pc)^{2} + (mc^{2})^{2}$; fóton: $E = pc$, $m = 0$. Fissão 0,1 %, fusão 0,7 %, aniquilação 100 % (dois fótons de 511 keV). Sol: 4 milhões de toneladas por segundo.
• Síncrotron (PAS 3 2010/89): fórmula fornecida, razão $(m_p/m_e)^{4} \approx 1{,}05 \times 10^{13}$. Sirius: elétrons de 3 GeV, $\gamma \approx 5\,900$.
• Princípio da equivalência: nenhuma medida local separa um campo gravitacional de uma aceleração; quem cai livremente não sente peso. Logo a luz cai e relógios mais fundo no campo atrasam.
• Relatividade geral (1915): gravidade é a curvatura do espaço-tempo; Newton é o caso-limite de campo fraco.
• Deflexão da luz: $\alpha = 4GM/(c^{2}b)$; na borda do Sol, 1,75″, duas vezes os 0,87″ da conta newtoniana; medida em 1919 (Sobral). Lentes gravitacionais.
• Relógios na altitude: ritmo relativo $\approx gh/c^{2}$ (Pound–Rebka, 1960). GPS: $-7\ \mu\text{s}$/dia (velocidade) $+ 45\ \mu\text{s}$/dia (altitude) $= +38\ \mu\text{s}$/dia $\to$ 11 km/dia; corrigido na fábrica.
• Mercúrio: 43″/século. Schwarzschild: $r_{s} = 2GM/c^{2}$ (Sol 3 km, Terra 9 mm); EHT: M87* (2019), Sgr A* (2022). Ondas gravitacionais: LIGO, 14/9/2015, GW150914 (36 + 29 → 62 massas solares, 3 irradiadas); Nobel 2017.
• Invariantes: $c$, leis, massa de repouso, tempo próprio, ordem causal. “Tudo é relativo” não é a teoria.