Geradores e receptores elétricos

Quem já ficou com o carro parado numa manhã fria conhece a cena. A chave gira, o painel acende, o rádio toca, e o motor de partida responde com um estalo seco e um zumbido curto. O voltímetro do painel marcava 12 V um segundo antes. A bateria não está “sem energia”: ela acende tudo o que pede pouca corrente e falha exatamente no único aparelho que pede muita, o motor de partida, que puxa 150 A ou 200 A por alguns segundos. O mesmo acontece com a pilha esquecida na gaveta: acende o LED da lanterna, que precisa de 20 mA, e não move o carrinho de brinquedo, que precisa de 1 A. Nos dois casos a fonte tem a tensão da etiqueta enquanto ninguém pede corrente e a perde quando a corrente cresce. O responsável é uma resistência que mora dentro da própria fonte, no eletrólito, nos eletrodos, nos contatos, e que come uma parte da tensão a cada ampère fornecido. Toda pilha, bateria, dínamo ou painel solar de verdade carrega essa resistência interna, e é ela que separa o gerador dos livros, com tensão fixa, do gerador que existe.

Esta é a página do gerador real e do seu par, o receptor. Ela define a força eletromotriz como energia por carga, deduz a equação $U = \varepsilon - r\,i$, ensina a ler a curva característica $U \times i$ com seu intercepto e sua inclinação, faz o balanço de potência do gerador e do receptor, demonstra em que condição a potência entregue ao circuito é máxima e por que esse ponto não é o de melhor rendimento, resolve circuitos de uma malha com gerador, receptor e resistores pela lei de Pouillet, compara pilhas em série e em paralelo, e explica o que um amperímetro e um voltímetro reais fazem com o circuito que medem. No PAS/UnB o assunto é da 3.ª etapa: a fem em circuito aberto e a potência máxima (2011, itens 56 e 65), o motor real do bonde (2017, item 91), o gerador de 12 V com resistência interna de 2 Ω ligado a um termômetro (2013, item 110), a bateria de lítio de 20 V e 1 Ω (2020, itens 111 e 112), as pilhas do rádio em série e em paralelo (2021, itens 85 a 87), as baterias de 4 V em paralelo (2023, item 95) e o amperímetro de resistência infinita (2008, item 70). A página pressupõe a corrente elétrica, a resistência elétrica e as leis de Ohm, a associação de resistores e a potência elétrica. Circuitos com duas ou mais malhas e sistemas de equações ficam na página de leis de Kirchhoff, em construção; o capacitor ligado ao circuito, na de capacitores; de onde vem a energia que as usinas geram, em geração de energia elétrica.

Força eletromotriz é energia por carga, não força

Um resistor só sabe fazer uma coisa com a energia elétrica: transformá-la em calor. Se um circuito tivesse só resistores e fios, a corrente pararia no primeiro instante, porque nada reporia a energia que os elétrons perdem nas colisões. O que mantém a corrente é um dispositivo que faz o caminho inverso, converte alguma outra forma de energia em energia elétrica e a entrega às cargas: é o gerador. Na pilha e na bateria, a energia é química, liberada pelas reações nos eletrodos. No dínamo e no alternador, é mecânica, vinda do eixo que gira. No painel solar, é a luz. Na termopilha, o calor. O nome “gerador” é da eletrodinâmica e não tem a ver com tamanho: uma pilha AA e a usina de Itaipu são geradores no mesmo sentido, dispositivos que elevam a energia potencial das cargas que os atravessam.

A grandeza que mede essa capacidade é a força eletromotriz, escrita $\varepsilon$ e abreviada fem. Apesar do nome, herdado do século XIX, ela não é uma força: é a energia não elétrica convertida em elétrica por unidade de carga que atravessa o gerador,

$$\varepsilon = \frac{W_{\text{convertida}}}{q},$$

e por isso se mede em volts, joule por coulomb, como qualquer diferença de potencial. Uma pilha de 1,5 V entrega 1,5 J a cada coulomb que passa por dentro dela; uma bateria de carro de 12 V, 12 J por coulomb. Como a corrente é carga por segundo, a potência que o gerador converte é

$$P_{\text{gerada}} = \varepsilon\, i,$$

energia por carga vezes carga por segundo. É a mesma conta $P = Ui$ da página de potência elétrica, com a fem no lugar da tensão, e vale para qualquer gerador, químico, mecânico ou fotovoltaico.

Nos esquemas, o gerador aparece como duas barras paralelas, a longa e fina para o polo positivo e a curta e grossa para o negativo, e a fem ao lado. O sentido da corrente dentro dele é o que mais confunde quem começa: no circuito externo a corrente convencional sai do polo positivo, atravessa os resistores e volta ao negativo, descendo o potencial a cada resistor; dentro do gerador ela vai do negativo para o positivo, contra o que faria sozinha, e é justamente aí que a energia química ou mecânica é gasta para empurrá-la ladeira acima. Um gerador é uma bomba de carga, e a fem é a altura que a bomba consegue erguer cada coulomb.

Em potência elétrica apareceu o item 61 da 3.ª etapa de 2011, em que uma bateria de 12 V fornece 4 A por 5 minutos e diminui sua energia química em $12 \times 4 \times 300 = 14\,400$ J. Essa é a fem em ação: 12 J por coulomb, 1 200 C em cinco minutos, 14,4 kJ retirados da química da bateria. Repare que a conta usou a fem como se toda ela chegasse ao circuito. Se a bateria fosse real, uma fração desses 14,4 kJ nem sairia dela.

A resistência interna e a equação do gerador

Dentro de uma pilha, a corrente atravessa o eletrólito, uma pasta ou um líquido condutor bem pior do que o cobre; atravessa os eletrodos, porosos e de metais pouco condutores; passa pelos contatos entre as peças. Dentro de um dínamo, atravessa metros de fio enrolado. Tudo isso tem resistência, e a soma se chama resistência interna, $r$. Ela não é um componente separado que alguém colocou lá; é a resistência do próprio caminho da corrente dentro da fonte. Numa pilha AA nova, $r$ fica em torno de 0,15 a 0,3 Ω; numa bateria de carro nova, em alguns milésimos de ohm; numa pilha gasta, $r$ cresce para vários ohms, porque os reagentes se esgotam e o eletrólito seca.

O efeito de $r$ segue de um balanço de energia. Cada coulomb que atravessa o gerador ganha $\varepsilon$ joules da conversão e perde $r\,i$ joules em calor na resistência interna (é a lei de Ohm aplicada ao trecho interno: tensão $= r i$). O que sobra para o circuito externo, por coulomb, é a tensão entre os terminais:

$$U = \varepsilon - r\,i.$$

Volte ao carro. Uma bateria de 12,6 V com $r = 0{,}01$ Ω alimentando o painel e o rádio, uns 5 A, perde $0{,}01 \times 5 = 0{,}05$ V: o voltímetro marca 12,55 V, nem se nota. Na partida, o motor pede 200 A e a queda interna é $0{,}01 \times 200 = 2$ V: os terminais caem para 10,6 V, as luzes do painel diminuem por um instante e o motor gira. Agora envelheça a bateria até $r = 0{,}05$ Ω. Com 5 A, a queda é 0,25 V, e nada muda para o rádio. Com 200 A, a queda seria 10 V, sobrariam 2,6 V para o motor de partida, e ele não gira; a corrente real fica bem menor que 200 A, o estalo é o solenoide fechando e a partida falhando. A bateria “está com 12 V” e está morta para o único aparelho que importa. A pilha da gaveta é o mesmo caso em miniatura: com $\varepsilon = 1{,}4$ V e $r = 5$ Ω, ela entrega ao LED (20 mA) uma tensão $1{,}4 - 5 \times 0{,}02 = 1{,}3$ V, suficiente; ao motor do carrinho, que pediria 1 A, ela só consegue dar $i = 1{,}4/(5 + 1) \approx 0{,}23$ A se o motor tiver 1 Ω, e o motor não vence o atrito.

Uma consequência que a prova gosta: o gerador ideal é o caso $r = 0$. Ele impõe a fem entre os terminais aconteça o que acontecer no resto do circuito, e a corrente que fornece é decidida pela resistência externa, sem limite. É o modelo usado sempre que o enunciado diz “bateria ideal” ou “sem resistência interna”, como a bateria de 24 V das dezesseis lâmpadas de 2023 ou a fonte de 7 V do bloco de 2025. Quando o enunciado dá a resistência interna, ela entra na malha como um resistor a mais, em série com a fem, e esquecê-la é o erro mais comum do assunto.

A curva característica: uma reta que conta ε, r e a corrente de curto

A equação $U = \varepsilon - r\,i$ é a de uma reta, com $U$ no eixo vertical e $i$ no horizontal. É a curva característica do gerador, e cada elemento da reta tem um significado físico.

• O intercepto no eixo das tensões é $\varepsilon$: a tensão com corrente zero.
• A inclinação é $-r$: cada ampère a mais derruba a tensão em $r$ volts. Reta mais inclinada, gerador com mais resistência interna, pior sob carga.
• O intercepto no eixo das correntes é a corrente de curto-circuito, $i_{\text{cc}} = \varepsilon/r$: a corrente que zera a tensão nos terminais.

Como a reta é definida por dois pontos, dois pares $(i, U)$ medidos bastam para obter tudo. Suponha que uma pilha marque 1,50 V em circuito aberto e 1,20 V quando fornece 0,60 A. O intercepto dá $\varepsilon = 1{,}50$ V; a inclinação dá $r = (1{,}50 - 1{,}20)/0{,}60 = 0{,}50$ Ω; a corrente de curto é $1{,}50/0{,}50 = 3{,}0$ A. Se os dois pontos medidos não incluem o circuito aberto, a conta é a mesma com duas equações: com $U_1 = \varepsilon - r i_1$ e $U_2 = \varepsilon - r i_2$, a diferença dá $r = (U_1 - U_2)/(i_2 - i_1)$ e depois $\varepsilon = U_1 + r i_1$.

A pilha gasta tem uma curva reveladora. Sua fem quase não muda com o uso, porque ela depende da química dos eletrodos; o que cresce é $r$. A reta parte do mesmo intercepto e fica cada vez mais inclinada: a mesma tensão em aberto e uma tensão muito menor sob carga. Por isso medir a tensão de uma pilha solta com o voltímetro não diz se ela está boa: uma pilha que marca 1,45 V em aberto pode marcar 0,9 V dentro do brinquedo. Os testadores de pilha decentes fazem a medição com uma carga ligada, isto é, medem um ponto da reta longe do intercepto.

Potência e rendimento do gerador: quem fica com quanto

A equação $U = \varepsilon - ri$ vira um balanço de potência quando se multiplica tudo pela corrente:

$$\varepsilon\, i = U\, i + r\, i^{2}.$$

O lado esquerdo é a potência gerada (ou total), a taxa em que o gerador converte energia química ou mecânica em elétrica. O primeiro termo da direita é a potência útil, entregue ao circuito externo pelos terminais. O segundo é a potência dissipada na resistência interna, o calor que esquenta a pilha em uso. A energia se conserva: o que é gerado ou sai pelos terminais ou vira calor dentro.

Um exemplo completo. Uma bateria de $\varepsilon = 12$ V e $r = 1$ Ω alimenta um resistor de 5 Ω. A corrente é $i = 12/(5 + 1) = 2$ A. A tensão nos terminais é $U = 12 - 1 \times 2 = 10$ V, e também $U = 5 \times 2 = 10$ V pelo resistor: a malha fecha. Potência gerada: $12 \times 2 = 24$ W. Potência útil: $10 \times 2 = 20$ W, ou $5 \times 2^{2} = 20$ W. Potência dissipada dentro: $1 \times 2^{2} = 4$ W. Soma: $20 + 4 = 24$ W. Rendimento: $10/12 = 5/6 \approx 83\,\%$, ou $5/(5+1)$, o mesmo número. Dos 24 J que a bateria converte por segundo, 20 J chegam ao resistor e 4 J esquentam a própria bateria.

A prova cobrou o balanço com um gerador de 12 V e $r = 2$ Ω ligado a um termômetro de resistência, no item 110 da 3.ª etapa de 2013. O gráfico do caderno mostrava a resistência do termômetro crescendo linearmente com a temperatura, de 1 Ω a 0 °C até 21 Ω a 20 °C, um ohm por grau; a 19 °C, então, $R = 20$ Ω. A corrente é $i = 12/(20 + 2) = 6/11 \approx 0{,}545$ A, e a potência total fornecida pelo gerador é $\varepsilon i = 12 \times 6/11 = 72/11 \approx 6{,}55$ W, entre 6 W e 7 W, gabarito B. Quem esqueceu a resistência interna calculou $i = 0{,}6$ A e $P = 7{,}2$ W, caiu na opção C; quem usou $Ui$ com $U = 20 \times 6/11$ achou a potência útil, $5{,}95$ W, e caiu na A. O item testa se o candidato sabe que “potência total do gerador” é $\varepsilon i$ e que $r$ entra na corrente.

A potência máxima é entregue quando R = r, e isso não é o melhor rendimento

Volte à bateria de 12 V e 1 Ω e varie o resistor. Com $R = 5$ Ω, a potência útil foi 20 W. Com $R = 1$ Ω, igual a $r$: $i = 12/2 = 6$ A e $P = 1 \times 36 = 36$ W, mais. Com $R = 0{,}5$ Ω: $i = 12/1{,}5 = 8$ A e $P = 0{,}5 \times 64 = 32$ W, já caiu. Com $R = 0$, curto-circuito: 12 A de corrente e potência útil zero, porque $U = 0$; todos os 144 W gerados viram calor dentro da bateria. Com $R \to \infty$, circuito aberto, corrente zero e potência zero. Entre os dois zeros há um máximo, e ele fica em $R = r$.

A demonstração é curta. A potência útil em função de $R$ é

$$P_{\text{útil}} = R\,i^{2} = \frac{\varepsilon^{2} R}{(R + r)^{2}}.$$

Escreva o denominador como $(R + r)^{2} = (R - r)^{2} + 4Rr$. Então

$$P_{\text{útil}} = \frac{\varepsilon^{2} R}{(R - r)^{2} + 4Rr} = \frac{\varepsilon^{2}}{4r} \cdot \frac{4Rr}{(R - r)^{2} + 4Rr},$$

e a fração da direita é no máximo 1, quando $(R - r)^{2} = 0$, ou seja, $R = r$. Logo

$$P_{\text{máx}} = \frac{\varepsilon^{2}}{4r}, \qquad \text{em } R = r, \quad i = \frac{\varepsilon}{2r} = \frac{i_{\text{cc}}}{2}, \quad U = \frac{\varepsilon}{2}.$$

Para a bateria de 12 V e 1 Ω: $P_{\text{máx}} = 144/4 = 36$ W, com 6 A e 6 V nos terminais, os números encontrados acima. Em função da corrente, $P_{\text{útil}} = Ui = (\varepsilon - ri)\,i = \varepsilon i - r i^{2}$ é uma parábola com concavidade para baixo, zero em $i = 0$ e em $i = i_{\text{cc}}$, e vértice no meio, $i = i_{\text{cc}}/2$.

Uma leitura que vale guardar: no ponto de potência máxima o gerador está trabalhando a meia tensão e meia corrente de curto, e dissipando dentro de si tanto quanto entrega. Nenhuma pilha comercial é projetada para operar aí; os aparelhos são feitos para puxar correntes bem menores que $i_{\text{cc}}$, na região de rendimento alto. A condição $R = r$ aparece em telecomunicações e áudio, onde o que importa é extrair o máximo sinal de uma fonte fraca, e a energia perdida não custa nada.