Funções trigonométricas

Em dezembro de 2024, depois de um bloco sobre a ária Habanera, da ópera Carmen, a prova do PAS 2 escreveu que a intensidade sonora de uma orquestra, durante 30 minutos de uma peça que se repete, era $D(t) = 80 - 20\cos\!\left(\dfrac{\pi t}{4}\right)$ decibéis, com $t$ em minutos, e perguntou duas coisas: se a intensidade máxima era 80 dB e quantos minutos durava um ciclo. Um ano depois, no fim de um bloco sobre o motor a etanol, a posição de um pistão virou $f(t) = \dfrac{21}{5}\operatorname{sen}(200\pi t)$, e a pergunta foi se um ciclo durava mais de 0,012 s e se o pistão estava na mesma posição em $t = \dfrac{401}{80}$ e $t = \dfrac{641}{80}$. Nenhum dos quatro itens exigia calcular um seno ou um cosseno. Todos exigiam saber ler uma fórmula: em $D(t)$, o 80 marca o centro da oscilação e o 20 mede a altura dela; o $\pi/4$ de $D(t)$ e o $200\pi$ de $f(t)$ fixam, sozinhos, a duração de cada ciclo. Quem reconhece a função de cada coeficiente responde em uma linha; quem não reconhece fica preso tentando calcular $\operatorname{sen}(200\pi \cdot 401/80)$.

É isso que esta página ensina. A trigonometria nasceu no triângulo, como razão entre lados (página própria), e foi solta no círculo, onde seno e cosseno passaram a valer para qualquer ângulo. Aqui damos o último passo: o ângulo vira uma variável que corre, o seno e o cosseno viram funções de uma variável real, e o gráfico delas, a onda, passa a modelar tudo o que sobe e desce, de marés a respiração, de rodas-gigantes a correntes elétricas. A onda física em si (velocidade, comprimento, interferência) tem página em Física; o que nos interessa aqui é a função.

A altura de um ponto que gira: de onde vem a onda

Olhe para o ponteiro dos segundos de um relógio de parede e acompanhe só a ponta dele, medindo a altura em relação ao chão. Aos 0 s a ponta está no alto; aos 15 s, na altura do centro; aos 30 s, embaixo; aos 45 s, de novo na altura do centro; aos 60 s, no alto outra vez, e tudo recomeça. A posição horizontal da ponta foi descartada de propósito: sobrou um único número, a altura, que oscila entre dois limites fixos e volta ao mesmo valor a cada minuto. Marcando esse número contra o tempo, o desenho que aparece no papel não é um círculo, é uma onda, e essa curva tem nome: é a cossenoide (ou a senoide, conforme o instante escolhido como zero) traçada por um ângulo que cresce com o tempo. A roda-gigante da figura abaixo faz a mesma coisa em escala maior, e com números que vamos reaproveitar.

Agora a mesma ideia no círculo trigonométrico: tome o ponto $P$ da circunferência de raio 1 cujo raio forma o ângulo $x$, em radianos, com o eixo horizontal; a altura de $P$ é $\operatorname{sen}x$ e a abscissa é $\cos x$. Ponha $P$ a girar em ritmo constante. O ângulo $x$ cresce sem parar (uma volta, $2\pi$; duas voltas, $4\pi$; e assim por diante), e a altura de $P$ sobe até 1, desce até $-1$, volta a subir. A regra que leva cada valor de $x$ à altura do ponto é a função seno; a que leva à abscissa é a função cosseno. O triângulo ficou para trás: $x$ é qualquer número real, positivo ou negativo, maior que uma volta ou não.

Essa é a ponte entre a função e o mundo. A matriz do PAS a chama de projeção do movimento circular uniforme, e ela vale para qualquer objeto que gire em ritmo constante, do ponteiro do relógio ao eixo de um motor: a coordenada vertical (ou a horizontal) de um ponto desse objeto é um seno ou um cosseno do tempo. Vale também na direção contrária, para fenômenos em que nada gira: a caixa torácica que infla e esvazia, o nível do mar num porto, a pressão do ar num som, a corrente alternada da rede. Basta que algo se repita em ritmo fixo para que a mesma curva o descreva, e é isso que permite à prova apresentar a mesma função como orquestra, pistão, pulmão, palmito ou radiação ultravioleta: a roupagem muda, a Matemática não.

Em 2007, a prova do PAS 2 desenhou o motor de uma locomotiva: uma manivela de comprimento $r$ presa à roda, fazendo o ângulo $\varphi$ com a horizontal, e a altura $h$ do pino da manivela acima da linha do centro. Perguntava, em um item tipo C, qual dos quatro gráficos descrevia $h$ em função de $\varphi$ no intervalo $[0, \pi]$. No triângulo retângulo formado pela manivela, $h = r\operatorname{sen}\varphi$: zero em $\varphi = 0$, máximo $r$ em $\varphi = \pi/2$, zero de novo em $\varphi = \pi$, e a subida é curva, não reta. Dos quatro gráficos, só um era um arco de senoide; os outros eram um V, uma rampa que vira patamar e uma serra de duas retas. A resposta vem de saber a cara da onda.

Seno e cosseno como funções: o que o gráfico mostra

Três leituras do gráfico decidem itens inteiros.

Onde o seno vale 1? Em $\pi/2$ dentro da primeira volta, e no ponto correspondente de cada volta seguinte ou anterior: $\dfrac{\pi}{2} + 2k\pi$ para todo inteiro $k$ ($\dfrac{\pi}{2}$, $\dfrac{5\pi}{2}$, $\dfrac{9\pi}{2}$, e também $-\dfrac{3\pi}{2}$). Infinitas vezes, uma por volta, e não em $x = \pi$, onde o seno volta a zero. Cada valor da imagem é atingido infinitas vezes. Se um item disser que existe um único $x$ real com $\operatorname{sen}x = 1$, está errado: periodicidade quer dizer precisamente que nenhum valor é atingido uma vez só.

Onde o cosseno vale 1? Só em $0$ e nos múltiplos de $2\pi$: $\cos\theta = 1 \iff \theta = 2k\pi$. Onde vale $-1$? Em $\pi$, $3\pi$, $5\pi$: os múltiplos ímpares de $\pi$. Onde seno e cosseno valem zero? O seno zera nos múltiplos de $\pi$; o cosseno, nos múltiplos ímpares de $\pi/2$.

Como o cosseno é “o seno deslocado”? Deslize o gráfico do seno $\pi/2$ para a esquerda e ele vira o gráfico do cosseno; isso é o que $\cos x = \operatorname{sen}(x + \pi/2)$ diz. Deslize $\pi/2$ para a direita e aparece $-\cos x$: $\operatorname{sen}(x - \pi/2) = -\cos x$. Por isso uma função dada com seno pode sempre ser reescrita com cosseno e vice-versa, mudando só a fase; é também por isso que uma prova pode dar a mesma onda com seno em um ano e com cosseno no outro.

Em 2008, a prova do PAS 2 desenhou as margens de um trecho de rio como os gráficos de $f(x) = \operatorname{sen}\!\left(\dfrac{\pi x}{10}\right)$ e $g(x) = 4 + \operatorname{sen}\!\left(\dfrac{\pi x}{10}\right)$, com $0 \le x \le 10$ e a unidade em metros, e afirmou que, estendidas a $\mathbb{R}$, as duas funções tinham período $20\pi$. O argumento é $\dfrac{\pi x}{10}$; ele completa uma volta ($2\pi$) quando $x = 20$. O período é 20, um número, e o “$\pi$” do item estava no lugar errado: errado. O item vizinho afirmava que a equação $g(x) = 3$ tinha pelo menos uma raiz em $[0, 10]$. Como $g(x) = 3$ exige $\operatorname{sen}(\pi x/10) = -1$, isto é, $\dfrac{\pi x}{10} = \dfrac{3\pi}{2}$, $x = 15$, fora do intervalo; e em $[0, 10]$ o argumento vai só de $0$ a $\pi$, onde o seno nunca é negativo. Nenhuma raiz: errado também. Duas perguntas, dois olhares para o gráfico.

Repetir é a propriedade: período, frequência e a soma de ondas

Há uma pergunta clássica que parece pedir uma conta e não pede: “o móvel ocupa a mesma posição nos instantes $t_1$ e $t_2$?”. Basta verificar se $t_2 - t_1$ cabe um número inteiro de vezes no período; se cabe, a função devolve o mesmo valor, porque tudo nela se repete a cada $T$. Em 2025, com $f(t) = \dfrac{21}{5}\operatorname{sen}(200\pi t)$ e $t$ em segundos, o item perguntou se o pistão estava na mesma posição em $t = \dfrac{401}{80}$ e $t = \dfrac{641}{80}$. A diferença é $\dfrac{240}{80} = 3$ s. O período (a seção seguinte mostra de onde vem) é $T = \dfrac{2\pi}{200\pi} = 0{,}01$ s, e $3 = 300 \times 0{,}01$: trezentos ciclos inteiros. Mesma posição, certo. Os denominadores 80 estão ali para intimidar; nenhum passo da solução precisa deles.

O período de uma soma de ondas. Quando uma função é a soma de duas ondas de períodos $T_1$ e $T_2$, ela só repete quando as duas repetiram ao mesmo tempo: o período da soma é o menor múltiplo comum dos dois períodos. A prova de 2012 trouxe esse caso num bloco sobre um estádio: a componente norte-sul da velocidade do vento, registrada ao longo de uma semana ($0 \le t \le 168$ horas), obedecia a

$$v(t) = 25\operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi t}{4} + \frac{\pi}{2}\right) + 12\cos\!\left(\frac{2\pi t}{3} + \frac{\pi}{3}\right),$$

em cm/s, e um item afirmou que o vento se repetia diariamente porque o período de $v$ era 24 horas. Tomadas em separado, as parcelas têm períodos $2\pi \div \dfrac{\pi}{4} = 8$ h e $2\pi \div \dfrac{2\pi}{3} = 3$ h. Depois de 24 horas a primeira completou três ciclos e a segunda, oito, e só então as duas voltam juntas ao ponto de partida: $\operatorname{mmc}(8, 3) = 24$. A função repete a cada dia: certo. Quem soma os períodos ($8 + 3 = 11$) ou toma só o primeiro (8) erra.

O mesmo raciocínio serve para ciclos que não vêm de fórmula nenhuma. Em 2018, quatro pás de turbinas distintas davam uma volta completa em 12, 9, 10 e 16 décimos de segundo, e o item afirmou que, estando todas na vertical em um instante, levariam mais de 2 minutos para voltar a estar. O menor múltiplo comum de 12, 9, 10 e 16 é 720 décimos de segundo, ou seja, 72 s, menos que 2 minutos: errado. É o período da soma, sem seno nenhum à vista.

Frequência disfarçada. A prova de 2011 descreveu as duas engrenagens de um moinho de vento por $F_1(t) = \operatorname{sen}(2\pi f_1 t)$ e $F_2(t) = \operatorname{sen}(2\pi f_2 t)$, e o item afirmou que, se a engrenagem maior dá uma volta enquanto a menor dá 2,5, então $f_2 = \dfrac{5}{3}f_1$. Para julgar é preciso saber o que $f$ representa nessa forma de escrever. O período de $\operatorname{sen}(2\pi f t)$ é $2\pi \div 2\pi f = \dfrac{1}{f}$; logo $f$ conta quantos ciclos (voltas) cabem em uma unidade de tempo. Duas voltas e meia da menor para cada volta da maior significa $f_2 = 2{,}5 f_1 = \dfrac{5}{2}f_1$. O item trocou $\dfrac{5}{2}$ por $\dfrac{5}{3}$: errado. A forma $\operatorname{sen}(2\pi f t)$ é a preferida da Física justamente porque exibe a frequência; a forma $\operatorname{sen}(\omega t)$ exibe a frequência angular $\omega = 2\pi f$, em radianos por segundo.

Linha média, amplitude, período e fase: a fórmula lida pelos coeficientes

Num porto do litoral norte, o marégrafo registra a água subindo e descendo em torno de um nível de referência: digamos que o nível médio fique a 2,1 m, que a água suba até 1,8 m acima dele e desça até 1,8 m abaixo, e que o ciclo se complete a cada 12 horas. Com isso a altura varia de 0,3 m a 3,9 m. Três informações bastaram para descrever o movimento inteiro: o centro da oscilação, a altura da oscilação e a duração de um ciclo. Falta só uma quarta, o horário da primeira preamar, para acertar o relógio. A fórmula que modela a maré guarda essas quatro informações em quatro posições fixas, e aprender a localizá-las é o centro desta página.

Exemplo resolvido 1: a maré do porto. $h(t) = 2{,}1 + 1{,}8\operatorname{sen}\!\left(\dfrac{\pi t}{6}\right)$, com $t$ em horas após a meia-noite e $0 \le t \le 24$. Leitura dos coeficientes: $a = 2{,}1$ é o nível médio; $\lvert b\rvert = 1{,}8$ é a amplitude, de modo que a água chega a $2{,}1 + 1{,}8 = 3{,}9$ m e desce a $2{,}1 - 1{,}8 = 0{,}3$ m; $c = \dfrac{\pi}{6}$ dá $T = 2\pi \div \dfrac{\pi}{6} = 12$ h, duas preamares por dia. O horário da primeira preamar é o instante em que o seno atinge 1: $\dfrac{\pi t}{6} = \dfrac{\pi}{2}$, $t = 3$ h. A primeira baixa-mar, quando o seno chega a $-1$: $\dfrac{\pi t}{6} = \dfrac{3\pi}{2}$, $t = 9$ h. Conferência: $h(3) = 3{,}9$ e $h(9) = 0{,}3$; nos zeros do seno ($t = 0$, $6$, $12$) a água está no nível médio, 2,1 m. Diante de um item do tipo “em algum momento do dia a maré passa de 3,5 m”, a resposta é certo, mas só depois de uma segunda verificação: o instante do máximo pertence ao intervalo do problema? Aqui $t = 3 \in [0, 24]$, e a resposta se mantém. Quando o domínio é um intervalo curto, essa verificação pode inverter o gabarito.

Exemplo resolvido 2: a orquestra de 2024. $D(t) = 80 - 20\cos\!\left(\dfrac{\pi t}{4}\right)$, $0 \le t \le 30$, $t$ em minutos. O item afirmava que a intensidade máxima era 80 dB. Mas 80 ocupa a posição da linha média, e o termo $-20\cos(\pi t/4)$ oscila entre $-20$ e $+20$; a intensidade sobe, portanto, até $80 + 20 = 100$ dB, no instante em que o cosseno vale $-1$ ($\dfrac{\pi t}{4} = \pi$, $t = 4$ min). Errado. O item vizinho, tipo C, perguntava quantos minutos leva um ciclo, entre 4, 5, 8 e 15: $T = 2\pi \div \dfrac{\pi}{4} = 8$ minutos. Nos 30 minutos da peça cabem três ciclos inteiros e mais três quartos. Cada distrator corresponde a um descuido típico: quem usa $\pi$ em vez de $2\pi$ obtém 4; quem divide a duração da peça por 2 chega a 15.

De trás para a frente: máximo e mínimo dados. Se o item fornece o máximo $M$ e o mínimo $m$, a linha média é o ponto médio, $a = \dfrac{M + m}{2}$, e a amplitude é metade da distância, $\lvert b\rvert = \dfrac{M - m}{2}$. Em 2008, a temperatura entre os anos 1000 e 1200 foi modelada por $T(t) = 13{,}75 + a\operatorname{sen}\!\left[\pi\!\left(\dfrac{t - 1000}{50}\right)\right]$, e o item dizia: se as temperaturas máxima e mínima foram $13{,}8\,°\text{C}$ e $13{,}6\,°\text{C}$, então $a = 0{,}2$. Metade da distância é $\dfrac{13{,}8 - 13{,}6}{2} = 0{,}1$; o item afirmou a distância inteira. Errado. Observe ainda que o 13,75 impresso não coincide com o ponto médio dos extremos, 13,7: a inconsistência ficou ali de propósito, para que o estudante que raciocina “vai de 13,6 a 13,8, logo varia 0,2” tomasse esse 0,2 como amplitude. O período dessa função, já que estamos aqui: o argumento é $\dfrac{\pi(t - 1000)}{50} = \dfrac{\pi}{50}t - 20\pi$, logo $c = \dfrac{\pi}{50}$ e $T = 100$ anos.

O período num fenômeno elétrico. Em 2015, o fluxo magnético nas espiras de uma turbina era $\psi(t) = 10\cos(800\pi t)$, com $t$ em segundos, e o tipo C perguntava o período entre 1,25, 2,50, 10,00 e 400,00 milésimos de segundo. $T = \dfrac{2\pi}{800\pi} = \dfrac{1}{400}$ s $= 2{,}5$ ms. A opção 1,25 é esquecer o 2 de $2\pi$; 400 é confundir período com o coeficiente. Na rede elétrica brasileira, a tensão de uma tomada de 220 V oscila como $v(t) = 311\operatorname{sen}(120\pi t)$ volts (311 V é o valor de pico), com período $\dfrac{2\pi}{120\pi} = \dfrac{1}{60}$ s: 60 ciclos por segundo, os 60 Hz da rede.

O que cada coeficiente faz ao gráfico (o item D de 2016)

Em 2016, depois de dois itens sobre o perfil de uma encosta marítima dado por $y(x) = -2\cos\!\left(\dfrac{2\pi x}{5}\right) + 3$, o único item de resposta escrita da prova pediu: considerando $y(x) = A\cos(Bx + C) + D$ com constantes positivas, “redija um texto explicando o efeito, no gráfico, da variação do valor de um dos coeficientes”. É a tabela da seção anterior em português, e vale conhecer cada linha com a figura na cabeça.

• Aumentar $a$ (ou $D$) sobe o gráfico inteiro: máximos e mínimos sobem o mesmo tanto, a linha média sobe, e nada mais muda: nem a amplitude, nem o período, nem os instantes de máximo.
• Aumentar $\lvert b\rvert$ (ou $A$) estica a onda na vertical: máximos mais altos, mínimos mais baixos, afastando-se da linha média, que não muda; o período e os pontos onde a curva cruza a linha média ficam onde estavam. Trocar o sinal de $b$ reflete a onda em torno da linha média: onde era máximo vira mínimo.
• Aumentar $c$ (ou $B$) comprime a onda na horizontal: mais ciclos cabem no mesmo intervalo porque o período $\dfrac{2\pi}{c}$ diminui; amplitude e linha média não mudam. Dobrar $c$ não dobra o período: reduz o período à metade.
• Aumentar $d$ (ou $C$) desloca o gráfico para a esquerda (com $c > 0$), de $\dfrac{d}{c}$ unidades, sem mudar forma, altura nem período; só muda onde ficam os máximos e mínimos.

Um texto completo diz o efeito e o que não muda. “Com $A$ maior, os máximos sobem e os mínimos descem a mesma quantidade; linha média e período ficam como estavam” é uma resposta inteira; “aumentar $A$ aumenta a função” é meia.

Os dois itens que antecederam o tipo D mostram a família em uso. O perfil $y(x) = -2\cos\!\left(\dfrac{2\pi x}{5}\right) + 3$, com $x$ em $[-120, 120]$ metros e um farol na origem: linha média 3, amplitude 2, mínimo $y = 1$ (em $x = 0$, onde o cosseno vale 1 e o sinal negativo o leva para baixo), máximo $y = 5$, período $2\pi \div \dfrac{2\pi}{5} = 5$ m. O primeiro item afirmou que o perfil se repetia a cada 6 m: errado, o período é 5. O segundo afirmou que uma embarcação que colidisse com a encosta em $x = -22{,}5$ m estaria a menos de 23 m do farol. Em $x = -22{,}5$, o argumento é $\dfrac{2\pi \cdot (-22{,}5)}{5} = -9\pi$, cosseno $-1$, logo $y = 2 + 3 = 5$. A distância até a origem é $\sqrt{22{,}5^2 + 5^2} = \sqrt{506{,}25 + 25} = \sqrt{531{,}25}$. Em vez de extrair a raiz, compare quadrados: $23^2 = 529 < 531{,}25$, logo a distância passa de 23 m. Errado.

Comparar duas funções. Entre $p(t) = 3\operatorname{sen}(2t)$ e $q(t) = 5\operatorname{sen}\!\left(\dfrac{t}{2}\right)$, qual tem maior amplitude e qual tem maior período? Amplitudes 3 e 5: $q$ oscila mais alto. Períodos $\dfrac{2\pi}{2} = \pi$ e $\dfrac{2\pi}{1/2} = 4\pi$: $q$ demora quatro vezes mais por ciclo. O coeficiente maior dentro do argumento ($2$ contra $\dfrac12$) dá o período menor. Em 2021, um animal com dificuldades respiratórias passou a ter ciclo mais curto e menos ar retido, e o novo modelo $g(t) = a_1\operatorname{sen}(b_1 t) + c$ foi comparado ao antigo $f(t) = a\operatorname{sen}(bt) + c$: o item afirmou $a_1 < a$ e $b_1 < b$. A primeira desigualdade é verdadeira (reter menos ar é oscilar com amplitude menor), e é ela que empresta plausibilidade à segunda. Mas um ciclo mais curto é um período menor, e, com $T = \dfrac{2\pi}{b}$, encurtar $T$ obriga $b$ a crescer: $b_1 > b$. Errado. Guarde o reflexo: quanto maior o coeficiente de $t$, mais apertado o ciclo.

A fase decide onde fica o máximo

A fase $d$ é o coeficiente mais maltratado, porque o seu efeito não é “$d$ para a direita”. A forma mais segura de lê-la é fatorar o $c$: $ct + d = c\!\left(t + \dfrac{d}{c}\right) = c(t - t_0)$ com $t_0 = -\dfrac{d}{c}$. O gráfico de $a + b\operatorname{sen}(c(t - t_0))$ é o de $a + b\operatorname{sen}(ct)$ deslocado de $t_0$ para a direita (se $t_0 > 0$) ou para a esquerda (se $t_0 < 0$). O número $d$ sozinho está dentro do argumento, em radianos, e precisa ser dividido por $c$ para virar um deslocamento na unidade de $t$.

Mas, para a maioria dos itens, nem é preciso deslocar nada: basta perguntar onde o argumento vale $\pi/2$ (máximo do seno), $0$ (máximo do cosseno), $\pi$ (mínimo do cosseno) ou $3\pi/2$ (mínimo do seno).

Exemplo resolvido 3: o mês dos frutos (PAS 2 2022). A quantidade mensal de frutos maduros de um pé de palmito-juçara era $F(t) = M + M\operatorname{sen}\!\left(\dfrac{(t - 2)\pi}{6}\right)$, com $M > 0$ e $t$ o mês do ano ($t = 1$ janeiro, $t = 12$ dezembro). O item afirmava que o mês de mais frutos era fevereiro.

Estratégia: procurar o instante em que o argumento do seno vale $\dfrac{\pi}{2}$, porque é ali que o seno chega a 1 e a função ao seu máximo.

Resolução: $\dfrac{(t - 2)\pi}{6} = \dfrac{\pi}{2} \Rightarrow t - 2 = 3 \Rightarrow t = 5$: maio. Em fevereiro ($t = 2$) o argumento zera e a função vale $M$, a linha média. Errado.

Conferência: o período é $2\pi \div \dfrac{\pi}{6} = 12$ meses, um ciclo anual, e o máximo $2M$ em maio é seguido do mínimo $0$ em novembro ($t - 2 = 9$). A aposta do item era a confusão entre o ponto em que o seno começa (argumento zero) e o ponto em que ele é máximo (argumento $\pi/2$). Sem o deslocamento $t - 2$, uma lei como $M + M\operatorname{sen}\!\left(\dfrac{\pi t}{6}\right)$ teria o máximo em $t = 3$, março.

Exemplo resolvido 4: o mínimo de ar nos pulmões (PAS 2 2021). Com $f(t) = a\operatorname{sen}(bt) + c$, $a$, $b$, $c$ positivos e $a < c$, o item afirmou que, para $0 \le t \le \dfrac{2\pi}{b}$, a quantidade mínima de ar era $c - a$ litros. O intervalo $\left[0, \dfrac{2\pi}{b}\right]$ é exatamente um período, então o seno percorre todos os seus valores e chega a $-1$ (em $bt = \dfrac{3\pi}{2}$, $t = \dfrac{3\pi}{2b}$, dentro do intervalo). Mínimo $c - a$, positivo porque $a < c$. Certo. O item vizinho, já visto na armadilha, afirmou o máximo em $t = \dfrac{\pi}{b}$: errado, porque aí o seno zera; o máximo é em $\dfrac{\pi}{2b}$.

Valor num instante dado. Para calcular $f$ num instante, reduza o argumento por voltas inteiras antes de qualquer tabela. Em 2012, o item perguntou se, no dia 9/8 ao meio-dia, o vento $v(t) = 25\operatorname{sen}\!\left(\dfrac{\pi t}{4} + \dfrac{\pi}{2}\right) + 12\cos\!\left(\dfrac{2\pi t}{3} + \dfrac{\pi}{3}\right)$ soprava a 25 cm/s para o norte. Meio-dia de 9/8 é $t = 60$ h (dois dias e meio depois de 0 h de 7/8). Primeiro termo: $\dfrac{60\pi}{4} + \dfrac{\pi}{2} = 15\pi + \dfrac{\pi}{2}$; quinze meias-voltas levam ao lado esquerdo do círculo, mais um quarto de volta cai no ponto mais baixo: seno $-1$, termo $-25$. Segundo termo: $\dfrac{120\pi}{3} + \dfrac{\pi}{3} = 40\pi + \dfrac{\pi}{3}$; vinte voltas inteiras não mudam nada, $\cos\dfrac{\pi}{3} = \dfrac12$, termo $6$. $v(60) = -19$: 19 cm/s para o sul. Errado. O outro item do bloco afirmava que em algum instante o vento atingiu 40 cm/s para o sul. O valor mais baixo que $v$ pode alcançar exige as duas parcelas no mínimo simultaneamente, $-25 - 12 = -37$; a função nunca desce a $-40$. Errado, e para decidir bastou lembrar que seno e cosseno não ultrapassam 1 em módulo.

Do gráfico à fórmula: ler e escrever a lei

A operação inversa, olhar um gráfico (ou uma tabela, ou uma descrição) e escrever a lei, é a leitura mais completa da família, e a prova a cobrou em tipo C e em tipo D.

Roteiro. (1) Máximo $M$ e mínimo $m$ no gráfico: linha média $a = \dfrac{M + m}{2}$, amplitude $\lvert b\rvert = \dfrac{M - m}{2}$. (2) Distância entre dois máximos consecutivos (ou entre dois cruzamentos da linha média no mesmo sentido): o período $T$, e então $c = \dfrac{2\pi}{T}$. (3) Valor em $t = 0$ decide entre seno e cosseno e o sinal: começa na linha média subindo, $+\operatorname{sen}$; na linha média descendo, $-\operatorname{sen}$; no máximo, $+\cos$; no mínimo, $-\cos$. (4) Se nenhum dos quatro serve, há fase: localize o primeiro máximo $t_0$ e escreva $a + \lvert b\rvert\cos(c(t - t_0))$.

Exemplo resolvido 5: o índice UV de Natal (PAS 2 2012). O gráfico impresso era um sino: índice $R = 0$ às 6 h 00 min, máximo 10 às 11 h 20 min e de volta a 0 às 16 h 40 min; $t$ contava minutos a partir das 6 h, $0 \le t \le 640$. As opções: (A) $5 + 5\operatorname{sen}(\pi t/640)$; (B) $5 - 5\cos(\pi t/320)$; © $10\operatorname{sen}(\pi t/320)$; (D) $-10\cos(\pi t/640)$.

Resolução: a curva ocupa a faixa de 0 a 10, logo o centro está em 5 e a amplitude também vale 5. Isso elimina C e D, cujas amplitudes valem 10 e que mergulhariam em valores negativos. O ciclo completo ($0$, $10$, $0$) ocupa os 640 min, portanto $T = 640$ e $c = \dfrac{2\pi}{640} = \dfrac{\pi}{320}$, e A cai fora ($T = 1280$). Resta B, que em $t = 0$ dá $5 - 5\cos 0 = 0$ e em $t = 320$ dá $5 - 5\cos\pi = 10$, como o gráfico. B.

Conferência: a opção A, $5 + 5\operatorname{sen}(\pi t/640)$, também começa em 0 e chega a 10 em $t = 320$, mas em $t = 640$ o argumento é $\pi$ e a função volta a 5, não a 0: ela desenha só meio ciclo e termina na linha média. O terceiro ponto do gráfico desempata.

Exemplo resolvido 6: escolher o gráfico de uma lei (PAS 2 2020). $Y(t) = 220\cos(120\pi t)$, $t$ em segundos, e quatro gráficos de “o primeiro período”: (A) começa em 220 e termina em $t = \dfrac{1}{60}$; (B) começa em 110 e termina em $\dfrac{1}{120}$; © começa em 0, sobe até 220, termina em $\dfrac{1}{120}$; (D) começa em 0, sobe até 110, termina em $\dfrac{1}{60}$. Dois fatos bastam: $Y(0) = 220$ (cosseno começa no máximo, o que elimina C e D, que começam em zero como um seno) e $T = \dfrac{2\pi}{120\pi} = \dfrac{1}{60}$ s (elimina B). A. O item vizinho, “$Y = 110$ em $t = 2$ min”, já foi desmontado na armadilha: 2 min $= 120$ s dá um argumento múltiplo de $2\pi$ e $Y = 220$.

Exemplo resolvido 7: a curva pelos ninhos (PAS 2 2019, tipo D). Ninhos de formigas nos pontos $A(-4, 5)$, $B(-5, 0)$, $C(0, 5)$, $D(-2, -5)$ e $E(1, 0)$, unidade em metros; pedia-se os menores $m$ e $n$ não negativos para que $f(x) = m\cos(n\pi x)$ passasse por todos, e o esboço.

Estratégia: o ponto sobre o eixo vertical dá $m$; os zeros e os extremos dão $n$ por meio do período.

Resolução: $f(0) = m\cos 0 = m = 5$ (ponto $C$). Com $m = 5$, os pontos $A$ e $C$ são máximos e $D$ é mínimo: entre o máximo em $x = -4$ e o máximo em $x = 0$ cabe um período inteiro, $T = 4$ (o mínimo em $x = -2$, no meio, confirma). Então $n\pi = \dfrac{2\pi}{T} = \dfrac{\pi}{2}$, $n = \dfrac12$. Conferência nos cinco: $f(-4) = 5\cos(-2\pi) = 5$ ✓; $f(-5) = 5\cos(-5\pi/2) = 0$ ✓; $f(0) = 5$ ✓; $f(-2) = 5\cos(-\pi) = -5$ ✓; $f(1) = 5\cos(\pi/2) = 0$ ✓. Com $n = 0$ a função seria a constante 5 e não passaria por $B$, $D$ e $E$; $n = \dfrac12$ é o menor que serve. O esboço é uma cossenoide de amplitude 5 e período 4: máximos em $x = -4, 0, 4$; mínimos em $x = -6, -2, 2, 6$; zeros em $x = \pm 1, \pm 3, \pm 5$.

Como esboçar qualquer uma. Marque a linha média, o máximo e o mínimo com retas tracejadas; divida um período em quatro partes iguais; marque os cinco pontos (início, quarto, metade, três quartos, fim) e ligue com uma curva suave, sem bicos. Para $f(t) = 5 + 2\operatorname{sen}(\pi t/6)$: $f(0) = 5$, $f(3) = 7$, $f(6) = 5$, $f(9) = 3$, $f(12) = 5$. Pronto: amplitude 2, linha média 5, período 12, tudo visível.

Modelos com unidades: segundos, horas, meses e graus

A fórmula só tem sentido com a unidade de $t$ declarada, e o item costuma testá-la. Três cuidados.

A unidade do período é a de $t$. Em $f(t) = \dfrac{21}{5}\operatorname{sen}(200\pi t)$ com $t$ em segundos (PAS 2 2025), $T = \dfrac{2\pi}{200\pi} = \dfrac{1}{100} = 0{,}010$ s, e a afirmação “o pistão leva mais de 0,012 s para completar um ciclo” é errada: 0,010 não passa de 0,012. Repare no valor escolhido para o limiar: 0,012 fica 20 % acima do período verdadeiro, distância suficiente para quem calcula direito e pequena o bastante para absorver quem troca $2\pi$ por $\pi$ (e encontra 0,005) ou calcula $\dfrac{1}{200\pi} \approx 0{,}0016$. Não há conversão a fazer: $t$ em segundos, período em segundos.

Converter o período em frequência de rotação. Em 2018, o ângulo de uma pá de turbina com a vertical, em radianos, era $f(t) = [1 - \cos(3\pi t)] \times \pi$, $t$ em segundos, e o tipo C pedia a velocidade de rotação em voltas por minuto, com as faixas: menos de 60; de 60 a 120; de 120 a 180; mais de 180. Uma volta da pá corresponde a um ciclo do cosseno, cujo período é $T = \dfrac{2\pi}{3\pi} = \dfrac23$ s. Em um minuto cabem $60 \div \dfrac23 = 90$ voltas: a faixa de 60 a 120. Nem o fator $\pi$ nem o “$1 -$” interferem no ritmo: eles mudam a escala e a posição da onda, enquanto a duração do ciclo depende apenas do coeficiente $3\pi$ colado ao $t$.

Graus dentro do argumento. Às vezes um modelo vem escrito com o argumento em graus, por exemplo a temperatura média mensal de uma cidade $T(m) = 22 + 5\operatorname{sen}(30° \cdot (m - 4))$, com $m$ o mês. O período é o valor de $m$ que faz o argumento completar $360°$: $360 \div 30 = 12$ meses. Convertendo $30° = \dfrac{\pi}{6}$ rad, a mesma conta dá $2\pi \div \dfrac{\pi}{6} = 12$. Tanto faz a unidade, desde que o $2\pi$ (ou os $360°$) e o coeficiente estejam na mesma; o que não pode é misturar: $\dfrac{2\pi}{30}$ não é período de nada. E o máximo: $30(m - 4) = 90 \Rightarrow m = 7$, julho, com $T = 27$ °C; o mínimo em janeiro ($m = 1$, argumento $-90°$), $T = 17$ °C.

Dois cossenos e senos somados com a mesma frequência. Em 2013, o sistema massa-mola veio como $x(t) = A\cos(\omega t) + B\operatorname{sen}(\omega t)$. Com $A = B > 0$ e a identidade fornecida $\operatorname{sen}(2\theta) = 2\operatorname{sen}\theta\cos\theta$, o quadrado é $x^2 = A^2(\cos^2\omega t + \operatorname{sen}^2\omega t + 2\operatorname{sen}\omega t\cos\omega t) = A^2(1 + \operatorname{sen}2\omega t)$, máximo quando $\operatorname{sen}(2\omega t) = 1$, isto é, $2\omega t = \dfrac{\pi}{2}$, $t = \dfrac{\pi}{4\omega}$; nesse instante $x$ também é máximo (os dois termos são positivos e iguais): certo. O item seguinte afirmou que, com $A$ e $B$ positivos, o estiramento máximo seria $A + B$: errado, porque seno e cosseno de um mesmo ângulo nunca valem 1 ao mesmo tempo; o máximo de $A\cos\theta + B\operatorname{sen}\theta$ é $\sqrt{A^2 + B^2}$, e com $A = B$ isso dá $A\sqrt2 \approx 1{,}41A$, menos que $2A$. A soma de duas ondas de mesma frequência é outra onda de mesma frequência, com amplitude $\sqrt{A^2 + B^2}$ e uma fase.

Quando f(t) vale isso? Equações e inequações no gráfico

Resolver $f(t) = k$ é perguntar em que instantes a onda cruza a reta horizontal $y = k$. Se $k$ está estritamente entre o mínimo e o máximo, a onda cruza a reta duas vezes por período: uma subindo, outra descendo. Se $k$ é o máximo ou o mínimo, toca uma vez por período. Se $k$ está fora da imagem, nunca.

Exemplo resolvido 8: quando a onda vale 6. Para $h(t) = 5 + 2\operatorname{sen}\!\left(\dfrac{\pi t}{6}\right)$, encontre os instantes em $[0, 12)$ em que $h(t) = 6$, e diga quantas soluções há em $[0, 36)$.

Estratégia: isole o seno, encontre os dois arcos do círculo com esse seno no primeiro período e depois some períodos.

Resolução: $5 + 2\operatorname{sen}\!\left(\dfrac{\pi t}{6}\right) = 6 \Rightarrow \operatorname{sen}\!\left(\dfrac{\pi t}{6}\right) = \dfrac12$. Em um período, o argumento $\dfrac{\pi t}{6}$ percorre $[0, 2\pi)$, e os arcos com seno $\dfrac12$ são $\dfrac{\pi}{6}$ e $\dfrac{5\pi}{6}$ (o círculo mostra os dois, simétricos em relação ao eixo vertical). Logo $\dfrac{\pi t}{6} = \dfrac{\pi}{6} \Rightarrow t = 1$ e $\dfrac{\pi t}{6} = \dfrac{5\pi}{6} \Rightarrow t = 5$. Em $[0, 36)$ cabem três períodos: seis soluções, $1$, $5$, $13$, $17$, $25$, $29$.

Conferência: $1$ e $5$ são simétricos em relação a $t = 3$, o instante do máximo, como devem ser. Quem usa só o arco $\dfrac{\pi}{6}$ perde metade das soluções.

Inequação no mesmo gráfico. “Durante quanto tempo, em cada período, $h(t) > 6$?” É o trecho em que a onda está acima da reta: entre as duas soluções, de $1$ a $5$, isto é, 4 unidades de tempo por período, um terço do período. Para “$h(t) \ge 6{,}5$”, a conta é a mesma com $\operatorname{sen} \ge \dfrac34$, e o trecho fica mais curto, em torno do máximo. Inequações do tipo “$f(t)$ nunca é negativa” se decidem só pelo mínimo: $g(t) = 7 + 5\operatorname{sen}(\pi t)$ tem mínimo $7 - 5 = 2 > 0$, logo nunca é negativa, sem resolver nada.

Quando o valor está fora da imagem. O item de 2008 sobre $g(x) = 3$ com $g(x) = 4 + \operatorname{sen}(\pi x/10)$ em $[0, 10]$ é desse tipo com um detalhe: 3 está na imagem da função estendida a $\mathbb{R}$ (é o mínimo), mas não é atingido dentro do intervalo pedido, porque o argumento só vai até $\pi$ e o seno não chega a $-1$. A pergunta “em que intervalo?” faz parte da equação.

A tangente é outra onda: período π e assíntotas

A função tangente, $\operatorname{tg}x = \dfrac{\operatorname{sen}x}{\cos x}$, herda as duas funções anteriores e tem uma estrutura diferente, que a prova raramente cobra mas que fecha o assunto.

Um uso da tangente como função apareceu em 2010, na contagem de renas de uma ilha: $Q(t) = M\operatorname{tg}\!\left(\dfrac{(t - 1944)\pi}{76}\right) + N$. A única trigonometria do item era $\operatorname{tg}0 = 0$ (em 1944) e $\operatorname{tg}\dfrac{\pi}{4} = 1$ (em 1963), que o círculo garante; o resto era álgebra. Repare na escolha do modelo: a tangente cresce sem limite perto de $t = 1944 + 38 = 1982$, onde o argumento chegaria a $\pi/2$, uma explosão populacional que nenhum seno descreveria.

Como a banca pergunta

Os trinta itens reais desta página, de 2007 a 2025, cabem em sete formatos.

1. Máximo, mínimo ou amplitude direto da fórmula, ou amplitude a partir dos extremos (2024/45, 2015/88, 2021/98, 2025/80, 2008/69): $a \pm \lvert b\rvert$; amplitude é $\lvert b\rvert$, a metade do curso.
2. Período direto da fórmula, em tipo A ou C (2024/46, 2025/78, 2015/89, 2016/105, 2008/47): $T = \dfrac{2\pi}{\lvert c\rvert}$, na unidade de $t$.
3. Período disfarçado: soma de ondas (2012/97), frequência (2011/58), voltas por minuto (2018/86), coincidência de ciclos (2018/85), mesma posição (2025/79).
4. Instante do máximo ou valor num instante (2022/91, 2021/100, 2020/93, 2012/96, 2013/100, 2016/106): argumento igual a $\dfrac{\pi}{2}$ (seno) ou $0$ (cosseno); reduza por voltas inteiras.
5. Gráfico ↔ fórmula (2012/39, 2020/94, 2007/25, 2019/87): linha média, amplitude, período e valor inicial, nessa ordem.
6. Efeito de cada coeficiente e comparação de modelos (2016/107, 2021/99): $c$ e $T$ em sentidos opostos.
7. Existência de solução e limites (2008/48, 2012/95, 2013/101): seno e cosseno ficam entre $-1$ e $1$, e dentro do intervalo pedido.

E um aviso de formato: nas provas recentes, os itens de trigonometria não vêm dentro do texto longo do bloco, e sim depois dele, ligados a um “pressuposto” de duas linhas que traz a fórmula (o pistão em 2025, a orquestra em 2024). Leia o comando, localize esse pressuposto e extraia $a$, $\lvert b\rvert$, $c$ e $d$ antes de qualquer conta. Metade dos itens da década se decide só com essas leituras.

Os erros que a banca planta

• Período lido como o coeficiente, ou sem o 2. $T = \dfrac{2\pi}{c}$: em $\cos(800\pi t)$, $T = \dfrac{1}{400}$ s, não $\dfrac{1}{800}$ nem 800. Em $\operatorname{sen}(\pi x/10)$, $T = 20$, não $20\pi$.
• $c$ grande, período grande. É o contrário: ciclo encurtado exige $c$ maior (2021/99).
• Período confundido com frequência. Um é o inverso do outro: $f_2 = 2{,}5f_1$ para 2,5 voltas por volta (2011/58).
• Período da soma = soma dos períodos. É o mmc: 8 h e 3 h dão 24 h, não 11.
• Amplitude = curso total, ou = máximo. Amplitude é $\lvert b\rvert$; o curso entre extremos é $2\lvert b\rvert$; o máximo é $a + \lvert b\rvert$ (2015/88, 2008/69, 2024/45).
• Esquecer a linha média. $a$ desloca a imagem inteira: $[a - \lvert b\rvert, a + \lvert b\rvert]$, não $[-\lvert b\rvert, \lvert b\rvert]$.
• Máximo onde o argumento zera. O seno é máximo em $\pi/2$, zero em $0$ e em $\pi$ (2022/91, 2021/100).
• Sinal da fase. $\operatorname{sen}(c(t - t_0))$ desloca para a direita $t_0$; $\operatorname{sen}(ct + d)$ desloca para a esquerda $d/c$. Divida $d$ por $c$ antes de ler o deslocamento.
• Unidade do argumento. 2 minutos são 120 segundos em $Y(t) = 220\cos(120\pi t)$ (2020/93); 30° e $\pi/6$ rad são o mesmo coeficiente, mas $\dfrac{2\pi}{30}$ não é período de nada.
• Soma de senos e cossenos somada “na mão”. $A\cos\theta + B\operatorname{sen}\theta$ não chega a $A + B$; chega a $\sqrt{A^2 + B^2}$ (2013/101).
• Esquecer o intervalo. $g(x) = 3$ tem solução em $\mathbb{R}$, mas não em $[0, 10]$ (2008/48); o máximo existe na fórmula, mas é atingido dentro do domínio?
• Transferir regras da senoide para a tangente. Período $\pi$, sem amplitude, sem imagem limitada, com assíntotas.

O essencial em meia página

• Seno e cosseno como funções ($x$ em rad): domínio $\mathbb{R}$, imagem $[-1, 1]$, período $2\pi$. Seno: $0, 1, 0, -1, 0$ em $0, \dfrac{\pi}{2}, \pi, \dfrac{3\pi}{2}, 2\pi$. Cosseno: $1, 0, -1, 0, 1$. $\cos x = \operatorname{sen}(x + \pi/2)$. Seno ímpar, cosseno par. Cada valor é atingido infinitas vezes; o seno é máximo em $\pi/2$, não em $\pi$.
• Família $f(t) = a + b\operatorname{sen}(ct + d)$: linha média $a$; amplitude $\lvert b\rvert$; máximo $a + \lvert b\rvert$, mínimo $a - \lvert b\rvert$; período $T = \dfrac{2\pi}{\lvert c\rvert}$; deslocamento $-\dfrac{d}{c}$. $c$ e $T$ em sentidos opostos; $d$ e o sinal de $b$ não mudam extremos nem período.
• De máximo e mínimo: $a = \dfrac{M + m}{2}$, $\lvert b\rvert = \dfrac{M - m}{2}$. Frequência: $f = \dfrac{1}{T}$; $\operatorname{sen}(2\pi f t)$ exibe $f$; $\operatorname{sen}(\omega t)$ exibe $\omega = 2\pi f$.
• Mesma posição em $t_1$ e $t_2$: $t_2 - t_1$ múltiplo inteiro de $T$. Soma de ondas: período $= \operatorname{mmc}$ dos períodos.
• Instante do máximo: argumento $= \dfrac{\pi}{2}$ (seno) ou $0$ (cosseno); do mínimo: $\dfrac{3\pi}{2}$ ou $\pi$. Valor num instante: reduza o argumento por voltas inteiras.
• Do gráfico à lei: máximo e mínimo → $a$ e $\lvert b\rvert$; distância entre máximos → $T$ → $c$; valor inicial → seno ou cosseno e sinal; primeiro máximo → fase.
• Equação $f(t) = k$: duas soluções por período se $m < k < M$ (uma subindo, outra descendo), uma se $k$ é extremo, nenhuma fora da imagem; conte os períodos do intervalo. Inequação: trecho entre as soluções.
• Tangente: período $\pi$, assíntotas em $\dfrac{\pi}{2} + k\pi$, imagem $\mathbb{R}$, sem amplitude.
• Na prova: ache o pressuposto com a fórmula; extraia $a$, $\lvert b\rvert$, $c$, $d$; unidade de $t$; em limiar com raiz, compare quadrados.